DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES

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1 UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en los que la derivada sea positiva. La derivada también es positiva en,, 0 Di otro punto en el que la derivada sea cero. La derivada también es cero en. Di otros dos puntos en los que la derivada sea negativa. La derivada también es negativa en, 5 Di un intervalo [a, b] en el que se cumpla que si [a, b], entonces f'() > 0. Por ejemplo, en el intervalo [ 5, ] se cumple que, si [ 5, ], entonces f'() > 0.

2 Problema Continúa escribiendo las razones por las cuales g () es una función cuyo comportamiento responde al de la derivada de f (). En el intervalo (a, b), f () es decreciente. Por tanto, su derivada es negativa. Es lo que le pasa a g() en (a, b). La derivada de f en b es 0: f'(b) 0. Y también es g(b) 0. a En general: g() f'() 0 donde f () tiene tangente horizontal. g() f'() > 0 donde f () es creciente. g() f'() < 0 donde f () es decreciente. a b b y f () y g() f'() Página 55 Problema Cuál es la derivada de cada cual? Justifica tus respuestas con argumentos análogos a los que utilizaste en el problema anterior. ) B ) A ) C La derivada se anula en los puntos de tangente horizontal, es positiva donde la función es creciente, y es negativa donde la función decrece. A B C

3 Invéntate una gráfica sencilla y trata de esbozar la gráfica de su función derivada. Por ejemplo: f() f'() Página 57,. f (), > Es derivable en 0? lím f () lím ( ) lím f () lím ( ) + + La función no es continua en, pues lím f () lím f (). + Por tanto, tampoco es derivable en.,. f () 8, > Es derivable en 0? lím f () lím ( ) lím f () lím ( 8) + + La función es continua, pues: lím f () lím f () f () + si < f'() si > f'( ) f'( + ) Por tanto, f () no es derivable en. Página 6. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones: a) f () b) f () + +

4 tg c) f () ln d) f () + + tg tg e) f () + tg f ) f () ln e tg g) f () + h) f () log (sen cos ) i) f () sen + cos + j) f () sen + cos k) f () 7 sen ( + ) l) f () sen ( 5 + ) m) f () sen + + n) f () cos + ( ) a) f'() ( + ) ( ) + ( + ) ( + ) b) Utilizamos el resultado obtenido en a): f'() ( + ) ( )( + ) + c) Utilizamos el resultado obtenido en a): f'() ( + ) ( + ) ( )( + ) + De otra forma: Si tomamos logaritmos previamente: f () ln ( ) ln ( + ). Derivamos: f'() + + d) f'() ( + tg )( + tg ) ( tg ) ( + tg ) ( + tg ) ( + tg )[ tg + tg ] ( + tg ) ( + tg ) ( + tg ) ( + ) De otra forma: Si tenemos en cuenta el resultado obtenido en a): f'() D [tg ] ( + tg ) ( + tg ) ( + tg ) ( + tg ) ( + tg ) e) Teniendo en cuenta lo obtenido en d): f'() ( + tg ) ( + tg ) tg + tg ( + tg ) ( tg )( + tg ) También podríamos haber llegado a este resultado utilizando lo obtenido en b).

5 f) f () ln ln e (tg ) / f'() e tg + tg + g) f () ( + ) / f'() ( + ) / ln ln + h) f () log (sen cos ) [log (sen + log (cos )] cos sen f'() [ + ] cos sen cos ln 0 sen cos ln 0 sen De otra forma: ln 0 sen cos tg f () log (sen cos ) sen log ( ) f'() cos ln 0 sen ln 0 ln 0 ln 0 tg i) f () sen + cos + + f'() cos sen sen cos ln 0 tg cos + cos j) f'() + + sen + ( sen ) cos + cos + sen + sen k) f'() 7 sen( + ) ln 7 D(sen ( + )) 7 sen( + ) ln 7 cos ( + ) l) f'() cos ( 5 + ) ( 5 + ) m) f'() (cos + ) sen + + cos + sen ( ) ( ) n) f'() cos + ( ) [ sen + ( ) ] ( + ( ) ) cos +( ) sen +( ) ( 5) ( + ( ) ) (5 ) sen ( + ( ) ) ( + ( ) ) 5

6 . Halla las derivadas -ª, -ª y -ª de las siguientes funciones: a) y 5 b) y cos c) y sen + cos + a) y 5 y' 5 ; y'' 0 ; y''' 60 b) y cos y' cos sen y'' sen sen cos sen cos y''' cos cos + sen cos + sen c) y sen + cos + + y' ; y'' 0; y''' 0. Calcula f'() siendo: f () e 5 5 f () e / / / e /5 e /0 9 e /0 5 /5 /5 5 9 e f'() 7/ e Por tanto: f'() 5 9 e 60. Calcula f'(π/6) siendo: f () (cos sen ) sen 6 f () (cos sen ) sen 6 cos 6 sen 6 f'() cos 6cos π π Por tanto: f'( ) 6 cos 6 cos(π) Calcula f'(0) siendo: f () ln + + ( +) f () ln ( + ) ln( ) ( + ) f'() ( + ) ( ) ( + + ) sen 6

7 6 + ( ) + 8 ( + + ) Por tanto: f'(0) 8 Página 6. Estudia la derivabilidad en 0 de la función: f () Continuidad en 0 : lím f () lím ( ) 0 lím f () f () 0 lím f () lím ( 9) 0 + Por tanto, f () es continua en 0. Derivabilidad en 0 : lím f'() lím ( ) f'( ) lím f'() lím () f'( + ) + + Por tanto, f () es derivable en 0. Además, f'()., 9, >. Calcula m y n para que f () sea derivable en Á: f () m + 5, 0 + n, > 0 Si 0, la función es continua y derivable, pues está formada por dos polinomios. Continuidad en 0: lím f () lím ( m + 5) lím f () lím ( + n) n f (0) 5 Derivabilidad en 0: lím f'() lím ( m) m f'(0 ) 0 0 lím f'() lím ( ) 0 f'(0 + ) Por tanto, f () es derivable en Á para m 0 y n 5. 7

8 Página 6. Halla las rectas tangentes a la curva y en los puntos de abscisas 0,,. Calculamos la derivada de la función: y' (5 + 6)( ) ( ) ( ) Ordenadas de los puntos: y(0) 0; y() ; y() 50 Recta tangente en (0, 0): y'(0) 8 y 8 Recta tangente en (, ): y'() 9 y 9( ) 9 + Recta tangente en (, 50): y'() y 50 + ( ) ( ). Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y + que sean paralelas a la bisectriz de los cuadrantes segundo y cuarto. y + Calculamos la derivada: y' Si son paralelas a la bisectriz del - o y - o cuadrante, la pendiente es. Por tanto: ± y( ) 6 y() 0 Recta tangente en (, 6): y 6 ( + ) + 5 Recta tangente en (, 0): y 0 ( ) + Página 6. Dada la función y 9 + 5, averigua: a) Dónde crece. b) Dónde decrece. y' 6 9 ( ) ( )( + ) 8

9 a) < y' > 0 f es creciente en (, ) > y' > 0 f es creciente en (, + ) b) < < y' < 0 f es decreciente en (, ) Página 66. Comprueba que la función y /( ) tiene solo dos puntos singulares, en 0 y en 6. Averigua de qué tipo es cada uno de ellos estudiando el signo de la derivada. y' ( ) ( ) ( )(( ) ) ( ) ( ) ( 6 ) ( ) ( 6) ( ) y' 0 ( 6) f'( 0,0) > 0 f'(0,0) > 0 En 0 hay un punto de infleión. f'(5,99) < 0 f'(6,0) > 0 En 6 hay un mínimo relativo. a) Halla todos los puntos singulares (abscisa y ordenada) de la función y +. Mediante una representación adecuada, averigua de qué tipo es cada uno de ellos. b) Ídem para y a) y' + ( + ) y' 0 0 Punto (0, 0) Punto (, ) Dos puntos singulares. Los dos puntos están en el intervalo [ ;,5], donde la función es derivable. Además, f ( ) 7 y f (,5),7. En (0, 0) hay un punto de infleión. En (, ) hay un máimo relativo. 9

10 b) y' ( +)( +)( +) y' 0 Punto (, 0) Punto (, ) Punto (, 0) Los tres puntos están en el mismo intervalo [, 0], donde la función es derivable. Además, f ( ) f (0) 9. Hay un mínimo relativo en (, 0), un máimo relativo en (, ) y un mínimo relativo en (, 0). Tres puntos singulares. 9 Página 68. Estudia la curvatura de la función: y f'() ; f''() Punto (0, 5) f''() 0 ( ) 0 Punto (, 7 ) ( f'''() 7 8; f'''(0) 0; f'''( ) 0) Los puntos (0, 5) y (, ) son puntos de infleión. 7 La función es cóncava en (, 0) U (, + ), pues f''() > 0. La función es convea en el intervalo ( ) 0,, pues f''() < 0.. Estudia la curvatura de la función: y f'() + 9; f''() 6 f''() Punto (, ) ( f'''() 6; f'''() 0) El punto (, ) es un punto de infleión. La función es convea en (, ), pues f''() < 0. La función es cóncava en (, + ), pues f''() > 0. 0

11 Página 70. Halla el número positivo cuya suma con veinticinco veces su inverso sea mínima. Llamamos al número que buscamos. Ha de ser > 0. Tenemos que minimizar la función: 5 f () + f'() 5 5 f (5) (no vale, pues >0) (Como lím f () +, lím f () +, y la función es continua en (0, + ); hay 0 + un mínimo en 5). + Por tanto, el número buscado es 5. El mínimo es 0.. De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 0 cm, halla las dimensiones de aquel cuya área es máima. + y 0 y 0 y (0 ) Área 0, 0 < < 0 Tenemos que maimizar la función: f () 0 y, 0 < < 0 0 f'() y ( 5 f (0) 0; f (0) 0; f (5) ; y f es continua. Luego, en 5 está el máimo). Los catetos miden 5 cm cada uno. El área máima es de,5 cm.. Entre todos los rectángulos de perímetro m, cuál es el que tiene la diagonal menor? d (6 ) +, 0 < < 6 d 6 Tenemos que minimizar la función: f () (6 ) +, 0 < < 6 (6 ) + f'() + (6 ) + (6 ) + f'() (6 ) + ( f (0) 6; f (6) 6; f () 8,; y f () es continua. Luego, en hay un mínimo). El rectángulo con la diagonal menor es el cuadrado de lado m.

12 . Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilíndrico de volumen igual a 6,8 litros para que pueda construirse con la menor cantidad posible de hojalata. Suponemos el recipiente con dos tapas: πr h h Área total πrh + πr πr(h + r) r r V 6,8 l 6,8 dm Como V π r h, r h 6,8 h 6,8 h, r r Así: Áreal total πr ( + r) ( π + r ) r Tenemos que hallar el mínimo de la función: f (r) π ( + r ), r >0 f'(r) π ( + r ) π ( ) 0 + r 0 r (Como lím f (r) +, lím f (r) +, y f es continua en (0, + ); en r hay r 0 + un mínimo). r r h. El cilindro tendrá radio dm y altura dm. r r r r + + r r Página 78 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Definición de derivada Halla la tasa de variación media (T.V.M.) de las siguientes funciones en los intervalos: [, ]; [0, ]; [, 5]; [, + h] a) f() + b) f() 7 5 c) f() d) f() En cuáles de ellas es constante la T.V.M.? Qué tipo de funciones son?

13 a) f () + En [, ] f ( ) f ( ) T.V.M. En [0, ] f () f (0) T.V.M. En [, 5] f (5) f () T.V.M. 7 En [, + h] f ( + h) f () h T.V.M. + h h h h + b) f () 7 5 En [, ] f ( ) f ( ) T.V.M. 7 En [0, ] f () f (0) T.V.M. 7 En [, 5] f (5) f () T.V.M. 7 En [, + h] f ( + h) f () 7h T.V.M. h h 7 c) f () En [, ] f ( ) f ( ) T.V.M. 0 En [0, ] f () f (0) T.V.M. 0 En [, 5] f (5) f () T.V.M. 0 En [, + h] f ( + h) f () T.V.M. h 0 d) f () En [, ] f ( ) f ( ) T.V.M. En [0, ] f () f (0) T.V.M. En [, 5] f (5) f () 8 T.V.M. En [, + h] f ( + h) f () T.V.M. h ( h ) h La función b) f () 7 5 es una función afín y la T.V.M. es constante. La función c) f () es una función constante y la T.V.M. es 0 (constante). 6

14 Halla la T.V.M. de la función f() + 5 en el intervalo [, + h] y, con el resultado obtenido, calcula f'(). f () + 5 en [, + h] f ( + h) f () h + h h + h h f'() lím ( h + ) h 0 Utilizando la definición de derivada, calcula f'() en las siguientes funciones: a) f() b) f() 7 c) f() ( 5) d) f() + f ( + h) f () (h/7) a) f'() lím lím h 0 h h 0 h 7 f ( + h) f () h b) f'() + 6h lím lím 6 h 0 h h 0 h f ( + h) f () h c) f'() h lím lím h 0 h h 0 h f ( + h) f () d) f'() lím lím h h 0 h h 0 9h + h 9 Calcula la función derivada de las siguientes funciones, utilizando la definición: 5 + a) f() b) f() c) f() d) f() 5h f ( + h) f () a) f'() lím lím h 0 h h 0 h f ( + h) f () b) f'() h + 6h lím lím 6 h 0 h h 0 h f ( + h) f () h c) f'() lím lím h 0 h h 0 ( ) ( + h ) h 5 lím h 0 ( ) ( + h ) ( )

15 f ( + h) f () d) f'() h + h h lím lím h 0 h h 0 h Reglas de derivación 5 Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) y b) y + + ( ) c) y d) y ( ) 0,5 + a) y' ( + ) ( ) ( + ) b) y' ( ) + ( + ) ( ) ( ) d) y' ( ) 0,5 ( ) 0, ( +) + ( ) 6 ( + ) c) y' ( + ) ( + ) ( + ) 6 Halla la derivada de estas funciones: + sen a) y b) y ( ) c) y d) y ( + ) sen cos a) y' ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) + b) y' ( ) ( ) c) y' cos sen d) y' cos + sen cos cos 7 Deriva las funciones siguientes: a) y e ( ) b) y ( ) c) y d) y ln ( ) e 5

16 a) y' e ( ) + e e ( ) b) y' ( ) e ( ) e ( ) ( ) ln c) y' e ln e + e d) y' 8 Deriva estas funciones: a) y ln ( ) b) y ln c) y ln d) y sen a) y' b) y' ( ) e e ln e ln c) y' e e ln e d) y' sen cos sen cos 9 Calcula la derivada de estas funciones: a) y sen cos b) y sen + cos c) y e + d) y cos ( + ) a) y' cos sen cos b) y' sen cos ( + cos ) + sen cos sen ( + cos ) sen cos ( + cos ) c) y' e + d) y' cos ( + ) sen( + ) 6 cos ( + )sen( + ) 6

17 0 Deriva las funciones siguientes: a) y log b) y sen c) y + d) y + a) y log log y' ln b) y' cos sen ( ) + ( + ) ( ) ( ) c) y' + + ( ) + ( ) ( + ) + + d) y' Halla la derivada de: a) y b) y ln c) y ln (sen e ) d) y + a) y y' b) y (ln ln ( + )) + + y' ( ) + c) y' e / cos e sen e + + ( + ) d) y' + ( ) ( + ) 7

18 Recta tangente Halla la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos cuya abscisa se indica: a) y en b) y 0, 0,0 en 0 c) y + en d) y en + 5 e) y en f) y sen π en 5 g) y e en 0 h) y sen cos en i) y ln ( + ) en 0 j) y ln en e a) Ordenada en el punto: y Pendiente de la recta: y' y' () Recta tangente: y ( ) + b) Ordenada en el punto: 0 y Pendiente de la recta: y' 0, 0,0 y' (0) 0, 0, 0, Recta tangente: y + 0, ( 0) 0, + π c) Ordenada en el punto: y Pendiente de la recta: y' + y' ( ) 7 Recta tangente: y + ( + ) d) Ordenada en el punto: y Pendiente de la recta: y' y' () Recta tangente: y ( ) + 6 e) Ordenada en el punto: y Pendiente de la recta: y' 0 0 y' () ( 5) 5 5 Recta tangente: y ( )

19 π f) Ordenada en el punto: y Pendiente de la recta: y' sen cos y' ( ) 0 Recta tangente: y π g) Ordenada en el punto: 0 y Pendiente de la recta: y' e y' (0) Recta tangente: y + π h) Ordenada en el punto: y Pendiente de la recta: y' cos sen y' ( ) 0 Recta tangente: y i) Ordenada en el punto: 0 y 0 Pendiente de la recta: y' + y' (0) Recta tangente: y π j) Ordenada en el punto: e y e Pendiente de la recta: y' ln + y' (e) Recta tangente: y e + ( e) e Página 79 S Escribe la ecuación de la tangente a la curva y + +, que es paralela a la recta y Calculamos la pendiente de la recta y + 5 0: y y + 5 Pendiente. y' + La recta tangente tiene pendiente y pasa por (, ): y + ( + ) y 9

20 Halla las tangentes a la curva y paralelas a la recta + y 0. S La pendiente de la recta + y 0 es m. Buscamos los puntos en los que la derivada sea igual a : y' ( ) ( ) + + y' ( + ) ( ) 0 Recta tangente en (0, 0): y Recta tangente en (, ): y ( ) y Escribe las ecuaciones de las tangentes a la función y en los puntos S de corte con el eje de abscisas. Los puntos de corte son (0, 0) y (, 0). y'(0) pendiente en (0, 0) y' y'() pendiente en (, 0) Rectas tangentes: En (0, 0) y En (, 0) y ( ) Halla los puntos de tangente horizontal en las siguientes funciones y escribe la ecuación de la tangente en esos puntos: a) y + b) y + c) y 6 d) y + a) y' y 0 / y /7 0 Punto (0, 0) Punto (, ) b) y' + ( + ) 0 0 y 0 + / y / / y / c) y' 6 ( + ) ( + ) d) y' ( 5) ( 5 + ) 0 0 y y y y 9 0

21 Máimos y mínimos. Puntos de infleión 7 Halla los máimos, mínimos y puntos de infleión de las siguientes funciones: a) y b) y ( 8) c) y d) y + e) y + f) y e ( ) a) y f'() f'() No tiene solución. No tiene ni máimos ni mínimos. f''() f'' < 0 f'' > 0 Hay un punto de infleión en (, 9). b) y 8 f'() f'() 0 ( ) 0 0 y 0 y (/) f' < 0 f' < 0 f' > 0 Hay un mínimo en (, ). f''() 0 ( ) 0 0 y 0 / y (6/8) f'' > 0 f'' < 0 f'' > Hay un punto de infleión en (0, 0) y otro en (, ). c) f'() 6 f'() 0 ( 6) 0 0 y 0 / y (7/6)

22 f' < 0 f' < 0 f' > Hay un mínimo en (, ). f''() ( ) 0 0 y 0 y f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 0 Hay un punto de infleión en (0, 0) y otro en (, ). d) f'() f'() 0 ( + ) 0 0 y 0 f' < 0 f' > 0 0 Hay un mínimo en (0, 0). f''() + 0 para todo. No hay puntos de infleión. e) f'() ( + ) f'() y f' > 0 f' < 0 0 Hay un máimo en (0, ). f''() ( + ) + ( + ) ( + ) + 8 ( + ) ( + ) 6 ( + ) f''() 0 ± ± ± y f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 Hay un punto de infleión en (, ) y otro en (, ).

23 f) f'() e ( ) + e e ( + ) e f'() 0 e 0 0 (pues e 0 para todo ) y f'' < 0 f'' > 0 0 Hay un mínimo en (0, ). f''() e + e e ( + ) f''() 0 y e f'' < 0 f'' > 0 e Hay un punto de infleión en (, ). 8 Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones y di si tienen máimo o mínimos: a) y b) y c) y d) y + + a) y. Dominio Á {, } f'() 0 0 ( ) Signo de la derivada: f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 0 La función: crece en (, ) U (, 0) decrece en (0, ) U (, + ) tiene un máimo en ( ) 0, b) y. Dominio Á { } + f'() ( + ) ( ) + + ( + ) ( + ) 5 ( + )

24 f'() > 0 para todo. Por tanto, la función es creciente en (, ) U (, + ). No tiene máimos ni mínimos. c) y. Dominio Á + f'() ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) f'() > Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 0 La función: decrece en (, 0) crece en (0, + ) tiene un mínimo en (0, 0) d) y. Dominio Á {0} f'() ( ) + + f'() 0 para todo 0. f'() > 0 para todo 0. La función es creciente en (, 0) U (0, + ). No tiene máimos ni mínimos. 9 Halla los intervalos de crecimiento y los máimos y mínimos de las siguientes funciones: 8 a) y b) y + c) y ( ) d) y e) y 9 f) y 8 a) y 8. Dominio Á {0, } ( ) f'() ( ) (8 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( )

25 f'() 0 6 ± ± ± 8 6 / Signo de la derivada: f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 0 La función: es creciente en (, 0) U ( ) 0, es decreciente en (, ) U (, ) 9 tiene un máimo en (, ) tiene un mínimo en ( ), U (, + ) f' > 0 b) y +. Dominio Á {, } f'() ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) f'() Signo de la derivada: f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 0 La función: es creciente en (, ) U (, 0) es decreciente en (0, ) U (, + ) tiene un máimo en (0, ) c) y. Dominio Á {, } f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f'() 0 ( ) 0 0 5

26 Signo de la derivada: f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 La función: es creciente en (, ) U (, + ) es decreciente en (, ) U (, ) U (, ) tiene un máimo en (, ) tiene un mínimo en (, ) tiene un punto de infleión en (0, 0) d) y. Dominio Á {} f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) f'() 0 ± 6 ± + 0 ± Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' > 0 f' < 0 La función: es creciente en (, ) U (, ) es decreciente en (, ) U (, + ) tiene un mínimo en (, ) tiene un máimo en (, 9) e) y 9. Dominio Á f'() 6 9 ( ) ± + ± 6 f'() 0 ± 6

27 Signo de la derivada: f' > 0 f' < 0 f' > 0 La función: es creciente en (, ) U (, + ) es decreciente en (, ) tiene un máimo en (, 5) tiene un mínimo en (, 7) f) y 8 8. Dominio Á {0, } ( ) f'() 8( 6) 8( 6) ( ) ( ) 8( 6) ( ) f'() Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 0 f' < 0 La función: es creciente en (0, ) es decreciente en (, 0) U (, ) U (, + ) tiene un máimo en (, ) 0 Estudia la concavidad, conveidad y puntos de infleión de las siguientes funciones: a) y + b) y 6 c) y ( ) d) y e e) y + f) y ln ( + ) a) y +. Dominio Á f'() ; f''() 6 f''() Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 0 La función: es convea en (, 0) es cóncava en (0, + ) tiene un punto de infleión en (0, ) 7

28 b) y 6. Dominio Á f'() ; f''() f''() 0 ( ) 0 Signo de f''(): f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 La función: es cóncava en (, ) U (, + ) es convea en (, ) tiene un punto de infleión en (, 5) y otro en (, 5) c) y ( ). Dominio Á f'() ( ) ; f''() ( ) f''() 0 f''() > 0 para Por tanto, la función es cóncava. No tiene puntos de infleión. d) y e. Dominio Á f'() e + e ( + )e ; f''() e + ( + )e ( + )e f''() 0 (e 0 para todo ) Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 La función: es convea en (, ) es cóncava en (, + ) tiene un punto de infleión en ( ), e) y. Dominio Á { } + f'() ( + ) ( ) + ( +) ( +) f''() 6 ( +) f''() 0 para todo. e ( +) 8

29 Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 La función: es convea en (, ) es cóncava en (, + ) no tiene puntos de infleión f) y ln( +). Dominio (, + ) f'() f''() + ( +) f''() < 0 para (, + ) Por tanto, la función es convea en (, + ). Estudia si las siguientes funciones tienen máimos, mínimos o puntos de infleión en el punto de abscisa : a) y + ( ) b) y + ( ) c) y ( ) 6 a) f'() ( ) ; f''() 6( ) f' > 0 f' > 0 f'' < 0 f'' > 0 Hay un punto de infleión en. b) f'() ( ) ; f''() ( ) f' < 0 f' > 0 f'' > 0 f'' > 0 Hay un mínimo en. c) f'() 6( ) 5 ; f''() 0( ) f' > 0 f' < 0 f'' < 0 f'' < 0 Hay un máimo en. 9

30 PARA RESOLVER Prueba que la recta y es tangente a y Halla el punto de tangencia y estudia si esa recta corta a la curva en otro punto distinto al de tangencia. y' +8 Veamos para qué valor de tiene pendiente : +8 y y El punto (, ) verifica la ecuación. Veamos los puntos de corte: ( 6 + 9) 0 El otro punto de corte es (0, 0). 0 y 0 y Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y 0 en su S punto de infleión. Hallamos su punto de infleión: f'() ; f''() f''() 0 Hay un punto de infleión en (, ). Pendiente de la recta tangente en ese punto: f'( 6 ) Ecuación de la recta tangente: Página 80 7 y ( ) 7 6 Determina la parábola y a + b + c que es tangente a la recta y S en el punto A(, ) y que pasa por el punto B(5, ). y a + b + c 6 6 f'' < 0 f'' >

31 y' a + b y'() a + b Pasa por A(, ) y() a + b + c Pasa por B(5, ) y(5) 5a +5b + c Solución del sistema: a, b 6, c 7 y La curva y + a + b + c corta al eje de abscisas en y tiene un punto de infleión en (, ). Calcula a, b y c. y + a + b + c f'() + a + b f''() 6 +a f ( ) 0 + a b + c 0 a b + c a 6 f () 8 + a + b + c a + b + c 7 b f''() 0 + a 0 a 6 c 6 De la función f () a + b sabemos que pasa por (, ) y en ese punto tiene tangente paralela a la recta + y 0. a) Halla a y b. b) Determina sus etremos relativos y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. a) f () a + b; f'() a + b 0 f () a + b f'() a + b a b f () + b) f'() 6 + f'() 0 ( ) 0 Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 La función: es decreciente en ( ), ( U, + ) es creciente en ( ),

32 tiene un mínimo en ( ), tiene un máimo en (, ) 0 si < 0 7 Considera la siguiente función: f () si 0 < S si a) Estudia su continuidad. b) Estudia su derivabilidad. a) Continuidad: Si 0 y Es continua, pues está formada por funciones continuas. En 0: lím f () lím lím f () lím f (0) 0 lím 0 f () f (0). Por tanto, la función es continua en 0. En : lím f () lím lím f () lím + f () lím f () f (). Por tanto, la función es continua en. La función es continua en Á. b) Derivabilidad: Si 0 y La función es derivable. Su derivada es, en esos puntos: f'() 0 si < 0 si 0 < < si > En 0: f'(0 ) 0 f'(0 + ). Por tanto, f () es derivable en 0; y f'(0) 0. En : f'( ) f'( + ). Por tanto, f () no es derivable en.

33 La función es derivable en Á {}. Su derivada es: 0 si < 0 f'() si 0 < si > 8 Esta es la gráfica de una función y f (). Calcula, observándola: f'( ), f'() y f'() En qué puntos no es derivable? f'( ) 0; f'() 0; f'() No es derivable en 0 ni en. 9 Cuántos puntos hay en esta función que no tengan derivada? y ± 6 6 ± 6 ± si < + 6 si < y 6 8 si y' 6 si < < si > + 6 si > La función es continua, pues es el valor absoluto de una función continua. En y'( ) y'( + ) En y'( ) y'( + ) La función no es derivable en ni en ; es decir, en (, 0) y en (, 0). Son dos puntos angulosos. 0 Calcula a y b para que la siguiente función sea derivable en todo Á: S f () a + si b si > Para que sea derivable, en primer lugar, ha de ser continua. Si La función es continua, pues está formada por dos polinomios. En : lím f () lím (a + ) a + 6 lím f () lím ( b ) b + f () a + 6 Para que sea continua, ha de ser a + 6 b, es decir, a + b; o bien b a.

34 Derivabilidad: Si la función es derivable. Además: a + si < f'() b si > En : f'( ) a + f'( + ) b Para que sea derivable ha de ser a + b, es decir, b a +. Teniendo en cuenta las dos condiciones obtenidas: b a b a + a a + a a b 7 Por tanto, para que f () sea derivable en todo Á, ha de ser a y b 7. Observa las gráficas de las siguientes funciones e indica en qué puntos no son derivables. a) b) c) Alguna de ellas es derivable en todo Á? a) No es derivable en (tiene un punto anguloso ) ni en (no está definida la función). b) Es derivable en todo Á. c) No es derivable en 0 (tiene un punto anguloso ). La función f () está definida por: S f () si 0 a + b si > 0 Calcula a y b para que f sea continua y derivable. Continuidad: En 0 La función es continua, pues está formada por dos polinomios. En 0: lím f () lím ( ) lím f () 0 + f (0) 0 lím (a + b) b 0 Para que sea continua ha de ser b 0

35 Derivabilidad: Si 0 La función es derivable. Además: f'() si < 0 a si > 0 En 0: f'(0 ) f'(0 + ) a Para que sea derivable, ha de ser a. Por tanto, f () será continua y derivable si a y b 0. Considera esta función: S f () + si + si > a) Estudia su continuidad. b) Estudia su derivabilidad. c) Eiste algún punto en el que f'() 0? d) Represéntala gráficamente. a) Continuidad: En : La función es continua, pues está formada por dos polinomios. En : lím f () lím ( + ) lím f () lím ( + ) + f () lím f () f (). Por tanto, la función es continua en. La función es continua en todo Á. b) Derivabilidad: Si : La función es derivable. Además: + si < f'() si > En : f'( ) f'( + ) La función no es derivable en. Por tanto, la función es derivable en Á {}. 5

36 c) Puntos en los que f'() 0: f'() + si < + 0 f'() si > f'() 0 si > Por tanto, la derivada se anula en. d) Gráfica de f (): S De la función f () + a + b se sabe que: Tiene un mínimo en. Su gráfica pasa por el punto (, ). Teniendo en cuenta estos datos, cuánto vale la función en? f () + a + b f'() + a f'() + a 0 a f () 8 + b b 6 f () + 6 f () 5 S Calcula p y q de modo que la curva y + p + q contenga al punto (, ) y presente un mínimo en. y + p + q y' + p y'( ) 6 + p 0 p 6 f ( ) 8 + q q 9 y La función f () está definida de la siguiente manera: S e, 0 f (), 0 < < + +, Estudia su continuidad y derivabilidad. 6

37 Continuidad: Si 0 y Es continua, pues está formada por funciones continuas. En 0 e, 0 f (), 0 < < + +, f (0) En lím f () lím e 0 lím f () lím lím f () f (0). La función es continua en 0 0 lím f () lím lím f () lím f () lím f () lím ( + + ) No es continua en + f () La función es continua en Á {}. Derivabilidad: Si 0 y. Es derivable y: f'() + e < < < + > En 0 f'(0 ) f'(0 + ) 0 No es derivable en 0. En No es derivable pues no es continua. La función es derivable en Á {0, }. + Página 8 Problemas de optimización 7 Con una cartulina rectangular de m m se quiere construir una caja sin S tapa. Para ello se recorta un cuadrado de cada uno de los vértices. Calcula el lado del cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea máimo. 7

38 El volumen de la caja es: V() ( ) ( ), (0, ) V() V'() V'() ± 8,7 (no vale) 0,9 V''() 0 + ; V''(0,9) < 0 0,9 es máimo. 8 Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 0 cm, cuál es el de área S máima? Perímetro + y 0 y 0 Altura h y h (c ) (0 ) y h Área y (0 ) 0 5 (5 ) 0 5 (5 ) (0 5) Tenemos que maimizar la función área: f () f'() f'() ( ) 0 5 ± ± 5 5 ± 5 5 (no vale) 0 ( 5 no vale, pues quedaría y 0, al ser perímetro 0) 8

39 (f'() > 0 a la izquierda de 0 y f'() < 0 a la derecha de 0. Por tanto, en 0 hay un máimo). Luego, el triángulo de área máima es el equilátero de lado 0 cm, cuya área es 5, cm. 9 Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 0 cm y de capacidad máima. Cuál debe ser el radio de la base? h + R 00 R 00 h Volumen πr h π (00 h )h π (00h h ) 0 cm h Tenemos que maimizar la función volumen: f (h) π (00h h ) f'(h) π (00 h ) R f'(h) 0 00 h 0 h 00 (consideramos la raíz positiva, pues h 0). ( f'(h) > 0 a la izquierda de h y f'(h) < 0 a la derecha de h Luego, en h 00 hay un máimo). Por tanto, el radio de la base será: R 00 h R 0 Se sabe que el rendimiento, r en %, de un estudiante que realiza un eamen de una hora viene dado por r (t) 00t ( t ) siendo 0 t, t en horas. a) Eplica cuándo aumenta y cuándo disminuye el rendimiento. b) Cuándo se anula? c) Cuándo es máimo? r(t) 00t( t), 0 t, t en horas. 00 a) r'(t) t r'(t) 0 t r' > 0 r' < 0 r(t) aumenta entre 0 y r(t) disminuye entre, pues r es creciente. y, pues r es decreciente. 9

40 b) r(t) 0 00t ( t) 0 t 0 y t c) r'(t) 0 t. (Es máimo pues r' > 0 a su izquierda y r' < 0 a su derecha). Un comerciante compra artículos a 50 la unidad y sabe que si el precio S de venta es 750, vende 0 unidades al mes y que por cada descuento de 0 en el precio de venta, incrementa las ventas de cada mes en unidades. Determina el precio de venta que hace máimos los beneficios del comerciante. Llamamos: n- o de veces que se descuentan 0. Así, el precio por unidad será de: 750 0, y por tanto se venderán 0 + unidades al mes; luego el dinero obtenido por las ventas vendrá dado por la función: f () (750 0) (0 + ) Maimizar los beneficios es equivalente a maimizar esta función: f'() f'() 0,75 0 Comprobamos que, efectivamente, se trata de un máimo: f''() 0 f''(,75) 0 < 0,75 es máimo Por tanto, el precio de venta que hace máimos los beneficios es: , /unidad Se quiere construir una pista de entrenamiento que consta de un rectángulo y de dos semicírculos adosados a dos lados opuestos del rectángulo. Si se S desea que el perímetro de dicha pista sea de 00 m, halla las dimensiones que hacen máima el área de la región rectangular. y Perímetro de la pista + π y 00 Despejamos: y 00 π Área del rectángulo y 00 π 00 π 0

41 Derivamos: A' 0 50 m y m π π π (A'' ; A''(50) < 0 50 es máimo) π El saldo, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo viene S dado por la función: 0,t si 0 t < f (t ), + 0,0(t ) si t < 8,6 + 0,(t 8) si 8 t Deduce razonadamente el valor de t en el que el capital fue máimo. f(t) 0,t si 0 t <, + 0,0(t ) si t < 8,6 + 0,(t 8) si 8 t En el primer intervalo se trata de una función afín decreciente que alcanza el máimo valor en 0, f (0). En el segundo intervalo tenemos otra función afín creciente, por lo que alcanza su máimo valor en 8, f (8 ),6. En el tercer intervalo, derivamos: f'(t) 0, (t 8) Tiene un mínimo en t 8, por lo que alcanza el máimo en el otro etremo del intrvalo: f (),96. Por tanto, el capital fue máimo en t. Se ha estudiado el rendimiento de los empleados de una oficina a medida S que transcurre la jornada laboral. (Dicho rendimiento corresponde al número de instancias revisadas en una hora). La función que epresa dicho rendimiento es: R(t) 0t 0,5t + t siendo t el número de horas transcurridas desde el inicio de la jornada laboral. a) Determina cuándo se produce el máimo rendimiento y cuándo se produce el mínimo rendimiento. b) Halla la tasa de variación media del rendimiento R(t) entre t y t. Vamos a suponer una jornada laboral de 8 horas; es decir: R(t) 0t 0,5t + t ; t [0, 8] a) R'(t) 0 t + t R'(t) 0 0 t + t 0 t 5 t

42 R' > 0 R' < 0 R' > R(0) 0 R() 6 R(5),5 R(8) 80 Hay un mínimo relativo en t 5 y un máimo relativo en t, pero el mínimo absoluto corresponde a t 0 y el máimo absoluto a t 8 horas. R() R() b) T.V.M.[, ] 5 5 Se desea construir el marco para una ventana rectangular de 6 m de superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta,5 y el de tramo vertical. a) Calcula las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo. b) Cuál será ese coste mínimo? 6 a) Área y 6 y 6 m y Coste,5 + y 5 + 6y 6 C 5 + C' ,68 m y 5, m (C'' 7 ; C''( ) > 0 es mínimo) b) C ,8 5 6 Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R() en miles de euros viene dada en función de la cantidad que se invierte, en miles de euros, por medio de la siguiente epresión: R() 0,00 + 0, +,5 a) Deduce y razona qué cantidad de dinero convendrá invertir en ese plan. b) Qué rentabilidad se obtendrá? R() 0,00 + 0, +,5 a) R'() 0,00 + 0, R'() 0 00 miles de. (R''() 0,00, R''(00) < 0 00 es máimo) Invirtiendo se obtiene la máima rentabilidad. b) R(00),5 miles de 500.

43 7 Un artículo ha estado 8 años en el mercado. Su precio P(t), en miles de euros, estaba relacionado con el tiempo, t, en años, que este llevaba en el mercado por la función: P(t) t + si 0 t (5/)t + 5 si < t 8 a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de P(t). b) Cuál fue el precio máimo que alcanzó el artículo? c) Cuál fue la tasa de variación media del precio durante los últimos 6 años? P(t) t + si 0 t (5/)t + 5 si < t 8 8t 0 < t < a) P'(t) (No eiste P'(), pues P'( ) P'( + )). 5/ < t < 8 P(t) es creciente en 0 < t < pues P'(t) > 0. P(t) es decreciente en < t < 8 pues P'(t) < 0. b) El máimo se alcanza en t, P() 0. P(8) P() c) T.V.M.[, 8], Página 8 8 Una empresa de mensajería ofrece estas tarifas: Si la carga es menor de kg, costará 8 por kilo. A partir de kg, el precio por kilo se obtiene restando de 8 el número de kilos que eceden de. La carga máima que puede llevar un mensajero es 6 kg. Sea el peso de la carga, P() la función que nos da el precio por kilo de carga e I() la función que nos da los ingresos de la empresa. a) Halla las epresiones algebraicas de P() e I() y represéntalas. b) Para qué valor de se obtiene el máimo ingreso? a) Precio por kilogramo de carga: 8, 0 < 8, 0 < P() 8 ( ), 6 0, 6 Ingresos en función de los kilos de carga: 8, 0 < I() (0 ), 6 8, 0 < 0, 6

44 0 8 6 P() I() b) Se obtiene el máimo ingreso para 5. CUESTIONES TEÓRICAS 9 Una función polinómica de tercer grado, cuántos puntos de derivada nula S puede tener? Puede tener uno o ninguno? La derivada de una función polinómica de tercer grado es una función polinómica de segundo grado. Por tanto, puede haber dos puntos, un punto, o ningún punto, con derivada nula. Por ejemplo: f () f'() 0 Dos puntos f () f'() 0 0 Un punto f () + f'() + 0 para todo Ninguno 50 Justifica que una función polinómica de segundo grado tiene siempre un S punto de tangente horizontal. Su derivada es una función polinómica de primer grado, que se anula siempre en un punto. 5 La función f tiene derivadas primera y segunda y es f'(a) 0 y f''(a) 0. S Puede presentar f un máimo relativo en el punto a? En caso afirmativo, pon un ejemplo. Sí puede presentar un máimo. Por ejemplo: f () en 0 es tal que: f' > 0 f' < 0 0 f'() f''() Por tanto: f'(0) 0 y f''(0) 0 En (0, 0) hay un máimo relativo.

45 5 S Una función f es decreciente en el punto a y derivable en él. Puede ser f'(a) > 0? Puede ser f'(a) 0? Puede ser f'(a) < 0? Razona tus respuestas. Si f es decreciente en a y es derivable en él, entonces f'(a) 0. Lo probamos: f decreciente en a signo de [ f () f (a)] signo de ( a) f () f (a) a < 0 f () f (a) Por tanto, f'() lím 0; es decir: f'(a) 0 a a Ejemplo: f'(a) es decreciente en Á y tenemos que: f'() f'(0) 0 (y f () es decreciente en 0) f'(0) < 0 para 0 5 Considera la función (valor absoluto de ): a) Presenta un mínimo relativo en algún punto? b) En qué puntos es derivable? Razona tus respuestas. si 0 si < 0 f () ; f'() si > 0 si > 0 f () no es derivable en 0, pues f'(0 ) f'(0 + ). Por tanto, f es derivable para 0. y Pero f () presenta un mínimo relativo en 0, pues f (0) 0 < f () si 0. De hecho, es el mínimo absoluto de f (). 5 La derivada de una función f es positiva para todos los valores de la variable. Puede haber dos números distintos, a y b, tales que f (a) f (b)? Razona tu respuesta. Si f'() > 0 para todo f () es creciente; es decir, si a > b f (a) > f (b), y si a < b f (a) < f (b). Por tanto, no puede ser f (a) f (b). (En este caso, tendría que eistir un punto c entre a y b, en el que f'(c) 0). 5

46 55 De una función f sabemos que f'(a) 0, f''(a) 0 y f'''(a) 5. Podemos asegurar que f tiene máimo, mínimo o punto de infleión en a? Justifica tu respuesta. f tiene un punto de infleión en a. Veamos por qué: f'''(a) 5 > 0 f'' es creciente en a. Como, además, f''(a) 0, tenemos que f''() < 0 a la izquierda de a y f''() > 0 a su derecha. Es decir, f () cambia de convea a cóncava en a. Por tanto, hay un punto de infleión en a. 56 Si f'(a) 0, cuál de estas proposiciones es cierta? a) f tiene máimo o mínimo en a. b) f tiene una infleión en a. c) f tiene en a tangente paralela al eje OX. Si f'(a) 0, solo podemos asegurar que f tiene en a tangente horizontal (paralela al eje OX). Podría tener un máimo, un mínimo o un punto de infleión en a. Por tanto, solo es cierta la proposición c). 57 De una función f () se sabe que: S f () f () 0; f'() 0; f''() > 0 Qué puedes decir acerca de la gráfica de esta función? f () f () 0 f'() 0 f''() > 0 f tiene un mínimo en. 58 La representación gráfica de la función derivada de una función f, es una S recta que pasa por los puntos (, 0) y (0, ). Utilizando la gráfica de la derivada: a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f. b) Estudia si la función f tiene máimo o mínimo. a) < f' > 0 f creciente > f' < 0 f decreciente b) f' 0 y tiene un máimo f' 6

47 59 S Si la gráfica de la derivada de g es una parábola que corta al eje OX en (0, 0) y (, 0) y tiene por vértice (, ), qué puedes decir del crecimiento y decrecimiento de g? Determina si la función g presenta máimos o mínimos. Si < 0 g' < 0 g decreciente Si 0 < < g' > 0 g creciente Si > g' < 0 g decreciente 0 g' En 0 tiene un mínimo y en un máimo. Página 8 PARA PROFUNDIZAR 60 Estas gráficas representan las funciones derivadas de las funciones f, g, h y j: f' g' h' j' a) Cuáles de estas funciones tienen puntos de tangente horizontal? b) Cuál de estas gráficas es la función derivada de una función polinómica de primer grado? c) Cuál de ellas corresponde a una función polinómica de segundo grado? a) Los puntos de tangente horizontal son los puntos en los que se anula la derivada. f tiene un punto de tangente horizontal en, pues f'( ) 0. j tiene dos puntos de tangente horizontal en y en, pues j'() j'() 0. g y h no tienen ningún punto de tangente horizontal. b) La derivada de una función polinómica de primer grado es una función constante. Por tanto, es g'. c) La derivada de una función polinómica de segunda grado es una función polinómica de primer grado. Por tanto, es f'. 6 Cuál de estas gráficas representa la función f y cuál su derivada f'? Justifica tu respuesta. a) b) c) 7

48 a) La función es una recta que tiene pendiente. Por tanto, su derivada es y. Luego, estas gráficas sí representan a una función y su derivada. b) En 0, la función tiene un máimo; la derivada se anula. La recta tendría que pasar por (0, 0). No representan, por tanto, a una función y su derivada. c) En, la función tiene un máimo; la derivada se anula, y tendría que pasar por (, 0). Estas tampoco representan a una función y su derivada. Por tanto, solo la primera es válida. 6 Estudia la derivabilidad de estas funciones: a) y b) y + c) y d) y ln ( ) a) y f () es una función continua en Á. f'() f () es derivable en Á {0} (en 0 no eiste la derivada). b) y + f () es continua en Á. f'() + f () es derivable en Á. c) y f () es continua en Á. f'() f () es derivable en Á {0} (en 0 no eiste la derivada). d) y ln( ) > 0 > < ó > f () es continua si < ó >. f'() f () es derivable si < ó > (pues para ser derivable ha de ser continua). 8

49 6 Sea la función: f () si 0 si > 0 Halla f'(), f''() y represéntalas. si < 0 f'() si 0 En 0 eiste la derivada, pues f () es continua, y, además, f'(0 ) f'(0 + ). si < 0 f''() si > 0 En 0 no eiste la segunda derivada, pues f''(0 ) f''(0 + ). f'() f''() 6 Prueba que la función f () + no es derivable en. + si < f () + si 0 si < f'() si > si < si f'( ) 0 f'( + ). Por tanto, la función no es derivable en. 65 Calcula la derivada de orden n de la función f () e. f () e f'() e f''() e f n () n e 66 Dada la función f () e + ln ( ), comprueba que f'(0) 0 y f''(0) 0. Será también f''' (0) 0? f'() e f'(0) 0 9

50 f''() e f''(0) 0 ( ) f''' () e f''' (0) 0 ( ) 67 Estudia la eistencia de máimos y mínimos relativos y absolutos de la función y. f () f'() si < + si si > si < si < < si > En no es derivable, pues f'( ) f'( + ). En no es derivable, pues f'( ) f'( + ). La derivada se anula en 0. Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 f' > 0 0 La función tiene un máimo relativo en (0, ). No tiene máimo absoluto ( lím f () lím f () + ). + Tiene un mínimo relativo en (, 0) y otro en (, 0). En estos puntos, el mínimo también es absoluto, puesto que f () 0 para todo. 68 Estudia los intervalos de crecimiento y los máimos y mínimos de la función dada por: y + ± ± f () f'() + si < + si + si > + si < si < < + si > 50

51 En no es derivable, pues f'( ) f'( + ). En no es derivable, pues f'( ) f'( + ). Veamos dónde se anula la derivada: + 0 Pero f'() + para < y >. 0 y f'() para < < Por tanto f'() se anula en. Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 f' > 0 La función: es creciente en (, ) U (, + ) es decreciente en (, ) U (, ) tiene un máimo en (, ) tiene un mínimo en (, 0) y otro en (, 0). 69 La función f () + a + b + c verifica que f (), f'() 0 y que f no tiene etremo relativo en. Calcula a, b y c. Si es f'() 0 y no hay etremo relativo, tiene que haber una infleión en. f () + a + b + c f'() + a + b f''() 6 +a f () + a + b + c f'() 0 + a + b 0 f''() a 0 a b c 0 f () + 70 Halla a y b para que la función f () sea continua: + a si < f () a + b si < 0 + si 0 Para los valores de a y b obtenidos, estudia la derivabilidad de f. Si y 0: La función es continua, pues está formada por polinomios. 5

52 En : lím f () lím ( + a) + a lím f () lím (a + b) a + b + f ( ) a + b Para que sea continua, ha de ser + a a + b, es decir: b a. En 0: lím f () 0 lím (a + b) b 0 lím f () lím ( + ) f (0) Para que sea continua, ha de ser b. Por tanto, f () será continua si a y b. Para estos valores, queda: f () f () + si < + si < 0; es decir: + si 0 + si < 0 + si 0 Derivabilidad: Si 0: Es derivable. Además: f'() si < 0 6 si > 0 En 0: f'(0 ) f'(0 + ) 0 La función no es derivable en 0. Por tanto, es derivable en Á {0}. 7 Eiste algún punto en el que f () + no sea derivable? Justifica tu respuesta. f () si < 0 si 0 + 5

53 Continuidad: Si 0 Es continua, pues está formada por dos funciones continuas en los intervalos en los que están definidas. Si 0: lím f () lím 0 0 lím f () lím f (0) lím f () f (0). Es continua en 0. 0 Por tanto, es una función continua en Á. Derivabilidad: Si 0: Es derivable. Además: f'() si < 0 ( ) si > 0 ( + ) En 0: f'(0 ) f'(0 + ) No es derivable en 0. Por tanto, es derivable en Á {0}. 5

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APLICACIONES DE LA DERIVADA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Página 68 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece

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