UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA CARRERA DE CIENCIAS DE EDUCACIÓN AREA DE MATEMÁTICAS. Módulo

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1 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA CARRERA DE CIENCIAS DE EDUCACIÓN AREA DE MATEMÁTICAS Módulo TRIGONOMETRÍA Y DIBUJO TÉCNICO Msc. Sexto Nivel Tercera Edición Quito, marzo 2012

2 Contenido TRIGONOMETRIA... iv 1.1 ÁNGULOS Medida de Ángulos Grado Sexagesimal ( ) Radián (rad) Equivalencias Ejercicios resueltos Actividades de Aprendizaje No Razones Trigonométricas Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo Razones trigonométricas fundamentales Razones trigonométricas recíprocas Razones trigonométricas de ángulos complementarios Resolución de triángulos rectángulos Ejercicios Resueltos Actividades de Aprendizaje No Razones trigonométricas de ángulos especiales Razones trigonométricas de 30 y Razones trigonométricas de Razones trigonométricas de 37 y Resumen funciones trigonométricas de ángulos especiales Ángulo de elevación y ángulo de depresión Ejercicios resueltos Actividades de aprendizaje No Sistema de coordenadas rectangulares Razones Trigonométricas en el círculo trigonométrico Signos de las Razones Trigonométricas en los Cuadrantes ii

3 1.6 Identidades Trigonométricas Fundamentales Recíprocas Tangenciales Pitagóricas Ejercicios Propuestos Actividades de Aprendizaje No Identidades Trigonométricas de Ángulos Compuestos Suma y Diferencia de dos Ángulos Identidades de Ángulos Múltiples Transformación de sumas y diferencias de senos y cosenos en producto Ejercicios Propuestos Actividades de aprendizaje No DIBUJO TÉCNICO DEFINICIONES BÁSICAS Actividades de Aprendizaje No BIBLIOGRAFIA iii

4 TRIGONOMETRIA iv

5 INTRODUCCION La Trigonometría, es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna. v

6 1.1 ÁNGULOS Definición.- Angulo es la región del plano que resulta de la rotación de rayos alrededor de un punto fijo llamado vértice. Si se toman dos rayos coincidentes, uno permanece fijo y el otro gira alrededor del punto fijo que llamado vértice. El rayo que permanece fijo recibe el nombre de lado inicial y el que rota el lado final. Se trabaja con ángulos generalizados, esto quiere decir que el rayo que gira lo puede hacer cualquier número de veces y en cualquier dirección. Si el rayo pasa más de una vez por su posición original, suele decirse que es de más de una vuelta. Si el ángulo gira en sentido contrario de las manecillas del reloj es positivo, y si lo hace en el mismo sentido de las manecillas del reloj es negativo. A Lado final Vértice O B Lado inicial Medida de Ángulos Para medir ángulos se utiliza dos unidades de medida: Sistema sexagesimal (Grado sexagesimal: ) Sistema Radial (radianes: rad) 1

7 Grado Sexagesimal ( ) Grado Sexagesimal ( ) es la amplitud resultado de dividir a la circunferencia en 360 partes iguales. Para medir un grado con mayor precisión también se utilizan los submúltiplos tales como: Minuto ('). Es el resultado de dividir 1 (un grado) en 60 partes iguales llamadas minuto: 1 = 60 Segundo (''). Es el resultado de dividir 1' (un minuto) en 60 partes iguales llamadas segundos: 1 = Radián (rad) Un Radián (rad) es la medida del ángulo central de una circunferencia cuya longitud de arco subtendido es igual a la longitud del radio del círculo Equivalencias GRADOS ( ) RADIANES (rad) REVOLUCIONES (GIRO) REV. 180 ½ REV. 90 /2 ¼ REV. 60 /3 2

8 45 /4 30 /6 0 0 Para cambiar radianes a grados y grados a radianes usamos las siguientes fórmulas de conversión: Radianes a grados sexagesimales Grados sexagesimales a radianes Ejercicios resueltos 1. De grados sexagesimales a radianes Transformar: 60, transformar a radianes rad De radianes a grados sexagesimales Transformar: /6 rad a grados sexagesimales 180 rad /6 rad 3

9 1.1.4 Actividades de Aprendizaje No Transformar a grados sexagesimales los siguientes ángulos: a) 3 rad b) 3 /10 rad c) 17 /10 rad - rad d) 5 /6 rad + /3 rad e) 6/5 rad 2. Transformar a radianes los siguientes ángulos: a) 10 b) 316 c) 245 d) e)

10 1.2 Razones Trigonométricas Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo B ELEMENTOS: Catetos: a y b c a Hipotenusa: c > a y c > b Ángulos agudos: A y B c A b C Ángulo recto: TEOREMA DE PITÁGORAS c 2 = a 2 + b 2 C Razones trigonométricas fundamentales Razones trigonométricas fundamentales con respecto al ángulo A: Razones trigonométricas recíprocas 5

11 1.2.4 Razones trigonométricas de ángulos complementarios Ángulo A Ángulo B Las razones trigonométricas de un ángulo agudo son iguales a las cofunciones del otro ángulo complementario: sen A = cos B cos A = sen B tan A = cot B csc A = sec B sec A = csc B cot A = tan B Ejemplos: a) sen 30 o = cos 60 o b) tan 80 o = cot 10 o c) sec 40 o = csc 50 o 6

12 1.3 Resolución de triángulos rectángulos Para resolver triángulos rectángulos se debe conocer por lo menos dos elementos del mismo: 1. La hipotenusa y un ángulo agudo A c Cateto opuesto: x = c sen Cateto adyacente: y = c cos y B x C 2. Un ángulo agudo y el lado opuesto A y Cateto adyacente: x = a/tan Hipotenusa: y = a/sen x B a C 3. Un ángulo agudo y el cateto adyacente A Cateto opuesto: x = b tan Hipotenusa: y = b/cos y b B x C Ejercicios Resueltos 1. sen 37 =? Si A y B son ángulos complementarios, por definición de cofunciones: en sen A = cos B sen 37 = cos Si, calcular B c a A b C Por definición de, de donde: a = 3 y b = 4, c =? 7

13 Aplicando el Teorema de Pitágoras calculamos la hipotenusa: y, reemplazando en la fórmula: 3. Simplificar: sen (3x 70 ) = cos (2x + 60 ) Por definición (3x 70 ) y (2x + 60 ) son ángulos complementarios, entonces: (3x 70 ) + (2x + 60 ) = 90 5x = 100 x = Resolver: tan (x 70 ) cot (50-2x) = 1 (x 70 ) = (50-2x) 3x = 120 x = Resolver el triángulo rectángulo si se conoce que: la hipotenusa c = 8 cm y = 30 Solución: Construimos un dibujo que se ajuste a los datos del problema: A c = 8 cm = 30 y B x C a) + B = 90 B = B = 60 b) sen 30 = x/8 cm x = (8 cm) sen 30 x = 4 cm c) cos 30 = y/8 cm y = (8 cm) cos 30 8

14 6. Calcular las razones trigonométricas seno, coseno y tangente en el triángulo rectángulo siguiente: Solución: A 2x + 1 2x B x - 1 C a) Por el teorema de Pitágoras, calculamos el valor de x (2x + 1) 2 = (x - 1) 2 + (2x) 2 = x 6x = 0 x = 6 Cateto opuesto = 5 Cateto adyacente = 12 Hipotenusa = 13 b) sen = (x 1)/(2x + 1) = 5/13 c) Cos = 2x/(2x + 1) = 12/13 d) Tan = (x 1)/2x = 5/12 7. Un campo de golf de forma rectangular ABCD mide 500 m de largo por 300 m de ancho, calcular la diagonal que forma desde el punto A hasta el punto C, y el área del triángulo formado ABC. C Por el teorema de Pitágoras, calculamos el valor de x A 500 m 300 m B ( ) 2 = (300) 2 + (500) 2 ( )( ) A = m 2 9

15 1.3.2 Actividades de Aprendizaje No El siguiente triángulo rectángulo, calcule las razones trigonométricas fundamentales del ángulo. B c 2 A 3 C 2. Si se conoce que, determinar las otras razones trigonométricas. 3. Dado el cos 135, hallar su cofunción 4. Si tan (x 70 ) = cot (20-2x), hallar el valor de x. Sol. x = Si sen (3x 70 ) csc (2x + 60 ) = 1, hallar el valor de x. Sol. x = Resolver el triángulo rectángulo si se conoce que: = 36,87 y la hipotenusa c = 10 cm. Calcular además su área. 7. Si, calcular Sol. 3 10

16 8. Dado el sistema: 1) sen (x + 15 ) = cos (y + 5 ), y 2) tan (50 + y) = tan x Calcular cos x + sen y 9. Un terreno está limitado como sigue: se parte de un ciprés que sirve como marca inicial se recorren 402m en dirección sur luego 464m en N30 o 10 E y de ahí siguiendo exactamente rumbo al Oeste hasta llegar al punto inicial. Calcular la longitud del lado y el área en m 2. Sol. y A = m 2 A C 402m 464m B 10. Dado el triángulo, determinar las razones trigonométricas del ángulo : B x A 4 cm C 11

17 1.4 Razones trigonométricas de ángulos especiales Razones trigonométricas de 30 y 60 Para determinar las razones trigonométricas de ángulos notables partimos de las definiciones de: Triángulo equilátero: es el que tienes sus lados y ángulos iguales, donde la mediana, mediatriz, bisectriz y altura corresponde a la misma línea. Si arbitrariamente asignamos valor de 2 a cada lado del triángulo: B De la gráfica anterior podemos establecer las razones trigonométricas de los ángulos de 30 y 60 A Aplicando el Teorema de Pitágoras Calculamos: B 1 C A Raz. Trigon. sen cos 60 C 30 Cat. Op. : 1 Cat. Ady. : Hipotenusa: 2 60 Cat. Op. : Cat. Ady.: 1 Hipotenusa: 2 tan Partiendo de estos valores establecemos los Valores de las razones trigonométricas de 30 y 60 en la siguiente tabla: cot sec 2 csc 2 12

18 1.4.2 Razones trigonométricas de 45 Si a un cuadrado ABCD (lados Iguales) le trazamos una diagonal, ésta divide al mismo en dos triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos miden 45. Si arbitrariamente asignamos valor de 1 a cada lado del cuadrado: Aplicando el Teorema de Pitágoras Calculamos la hipotenusa: A C 45 B 1 C 45 1 D Razones trigonométricas de 37 y 53 Para establecer las razones trigonométricas de los ángulos de 37 y 53, tomamos valores tanto para los catetos como para la hipotenusa como lo muestra la gráfica. A Partiendo de estos valores establecemos los Valores de las razones trigonométricas de 37 y 53 en la siguiente tabla: B 3 C Funciones Trigonométricas sen cos tan cot 37 Cat. Op. : 3 Cat. Ady. : 4 Hipotenusa: 5 53 Cat. Op. : 4 Cat. Ady.: 3 Hipotenusa: 5 sec csc 13

19 1.4.4 Resumen funciones trigonométricas de ángulos especiales Fuente: Ángulo de elevación y ángulo de depresión ÁNGULO DE ELVACIÓN ÁNGULO DE DEPRESIÓN Objeto Observador Horizontal Línea visual Ángulo de depresión Línea visual Observador Ángulo de elevación Horizontal Objeto 14

20 1.4.6 Ejercicios resueltos Calcular los valores de las siguientes expresiones: 1. Sen 45 + tan 37 - cos 45 = 2. Sen 45 cos 45 + tan 53 cos 37 = Resolver el sistema: 1) sen (x + y) = ½ 2) ( ) Solución: por definición sen 30 = ½ x + y = 30 Simplificando tenemos que: x = 45 e y = Desde un punto situado en una línea horizontal a 452m de la base de un edificio se encuentra que el ángulo de elevación a la parte más alta es de 32 o 10 calcular la altura del edificio. C A m B 15

21 1.4.7 Actividades de aprendizaje No. 03 Calcular los valores de las siguientes expresiones: 1. Sen 53 + tan 30 - cos 60 Sol. 2. Sen 45 cos 45 + tan 53 cos Sen 30 csc 45 + sec 45 tan 2 30 cot 45 Sol Resolver el sistema: Sol ) sen (x + y) = 2) ( ) Un avión parte de un aeropuerto A y viaja durante 3 horas a razón de 180Km/h en la dirección 125 o y aterriza en el aeropuerto B después sigue un rumbo de 270 o para aterrizar en C situado exactamente al sur de A. Calcular la distancia de B a C A Sol C B

22 8. Si desde un automóvil que va a una velocidad a 20 m/s en dirección norte se arroja a una pelota en dirección al este con una velocidad de 15 m/s. Determinar la velocidad de la pelota y la dirección de su trayectoria. Sol. 25m/s; N E B D 20m/s α A 15m/s C 9. Un avión se mantiene rumbo al norte con una velocidad de 184Km/h si el viento proviene del Este, tiene una velocidad de 27,3Km/h; determinar la dirección y la velocidad del avión. Sol. 185,7km/h; = B C α A 10. Desde un punto al nivel del suelo, a 211 m de la base de un edificio, se observa la parte más alta del mismo con un ángulo de 57º 20. Calcular la altura del edificio. Sol. 135 m 11. Un árbol de 50 m del alto, proyecta una sombra de 60 m de largo. Calcular el ángulo de elevación con respecto al sol en ese momento. 12. Un observador se encuentra en la parte más alta de un edificio de 100 pies de altura. Desde ese punto observa aproximarse un auto con un ángulo de depresión de 25º, luego de un instante vuelve a observar al auto más cerca pero con un ángulo de presión de 40º. Calcular la distancia entre el primer y segundo punto de observación. Sol. 95 pies 17

23 1.5 Sistema de coordenadas rectangulares Sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas es el que está formado por dos rectas perpendiculares, una horizontal y una vertical llamadas ejes de coordenadas. Su punto de corte, llamado origen del sistema es denotado por 0. La recta horizontal es el eje x o eje de las abscisas y la vertical es el eje y, eje de las ordenadas. La mitad positiva del eje x se extiende hacia la derecha y la mitad positiva del eje y se extiende hacia arriba. Los ejes dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes, usualmente señalados con I, II, III y IV. Par Ordenado P(a,b), es que está formado por dos compontes donde la primera componente a es una abscisa, mientras que la segunda componente y es una ordenada. Un par ordenado no tiene la propiedad conmutativa Los signos de las componentes dependerán del cuadrante donde se encuentren los puntos. (-, +) (+,+) r (-, -) (+,-) Ejemplos: Graficar los puntos A(4,3), B(-2,3), C(-3,-2), D(5,-2) y E(3,0) 18

24 1.5.1 Razones Trigonométricas en el círculo trigonométrico Si es un ángulo arbitrario en la posición normal en un sistema de coordenadas cartesianas y P(x,y) es un punto que se encuentra a r (radio vector) unidades del origen en el lado terminal de, entonces podemos establecer las siguientes razones trigonométricas: y Hipotenusa: r P(x,y) Cateto opuesto: y ELEMENTOS: Cateto opuesto (ordenada): x Cateto adyacente (abscisa): y Hipotenusa (radio vector): r = Cateto adyacente: x Funciones recíprocas 19

25 1.5.2 Signos de las Razones Trigonométricas en los Cuadrantes Razones trigonométricas positivas Sen Csc II y Todas II CUADRANTE I II Razones Positivas todas sen, csc Razones Negativas ninguna cos, sec, tan, cot III Tan Cot IV Cos Sec x III IV tan, cot cos, sec sen, csc, cos, sec sen, csc, tan, cot 1.6 Identidades Trigonométricas Fundamentales Recíprocas 1) sen Ѳ * csc Ѳ = 1 2) cos Ѳ sec Ѳ = 1 3) tan Ѳ. cot Ѳ = 1 20

26 1.6.2 Tangenciales Partiendo del cociente: 7) 8) Pitagóricas ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4) 5) 6) 21

27 1.6.4 Ejercicios Propuestos 1. Demostrar que: Tan x + cot x = sec x. csc x Solución: Transformamos la tan x, cot x, sec x y csc x en términos de sen x y cos x, así: 2. Dada la expresión,, comprobar si se cumple la igualdad Solución: ( ) ( ) 22

28 3. Simplificar la expresión: Solución: 4. Si: S, calcular S ( ) ( ) 5. izquierdo, en este caso trabajamos con el lado, pero, entonces 23

29 1.6.5 Actividades de Aprendizaje No. 04 Simplificar las siguientes expresiones: 1. Sol. Cos x 2. Sol. 2Csc x 3. Sol. Sen α 4. Si: tan 2 A + cot 2 A = 7, calcular Tan A Sol. 5. Si: Sec B + Tan B = 4, calcular 17 Cos B + 15 cot B Sol Si: Sen C + Sen 2 C = 1, calcular: Cos 2 C + Cos 4 C Sol. 1 Demostrar que: Sen 4 x Cos 4 x = Sen 2 x Cos 2 x 9. (Cot x. Sen x) 2 + (Tan x. Cos x) 2 =

30 (sen x + cos x) 2 + (sen x - cos x) 2 = (1 + sen 2x)(1 sen 2x) = cos 2 2x 14. (1 cos 2 y)(1 + cot 2 y) = cos (1 + tan ) = sen + cos 16. (cot A + csc A)(tan A sen A) = sec A cos A 17. (tan x + cot x) cot x = csc 2 x 18. sec 2 y csc 2 y = sec 2 y + csc 2 y 19. sec x = sen x(tan x cot x) ( ) 22. Sen 3 y cos y + cos 3 y sen y = sen y cos y

31 1.7 Identidades Trigonométricas de Ángulos Compuestos Suma y Diferencia de dos Ángulos SUMA DIFERENCIA sen (x + y) = sen x cos y + sen y cos x cos (x + y) = cos x cos y sen x sen y ( ) sen (x y) = sen x cos y sen y cos x cos (x y) = cos x cos y sen x sen y ( ) ( ) ( ) Identidades de Ángulos Múltiples ANGULOS DOBLES ANGULOS MITAD sen 2x = 2sen x cos x cos 2x = cos 2 x sen 2 x 26

32 1.7.3 Transformación de sumas y diferencias de senos y cosenos en producto FORMULAS DE PRODUCTO A SUMA Y DIFERENCIA FORMULAS DE SUMA Y DIFERENCIA A PRODUCTO sen x cos y = ½ [sen (x + y) + sen (x y)] ( ) ( ) cos x sen y = ½ [sen (x + y) - sen (x y)] ( ) ( ) cos x cos y = ½ [cos (x + y) + cos (x y)] ( ) ( ) sen x sen y = ½ [cos (x + y) - cos (x y)] ( ) ( ) Ejercicios Propuestos 1. Hallar el sen 15, sin usar la calculadora Solución: Podemos establecer que: 15 = 45-30, y son ángulos especiales estudiados anteriormente, por lo tanto podemos establecer directamente sus funciones trigonométricas, entonces: Sen 15 = sen (45-30 ) = sen 45 cos 30 - cos 45 sen 30 27

33 2. Hallar el cos 75 Si 75 = , entonces: cos 75 = cos ( ) = cos 30 cos 45 - sen 30 sen Hallar la tan 16 Si 16 = tan 16 = tan (53-37 ) = 4. Expresar sen 7x sen 5x como producto ( ) ( ) 5. Demostrar que: ( ) ( ) ( ) ( ) 6. Demostrar que: cos 60 + cos 30 = ( ) ( ) ( ) 28

34 1.7.5 Actividades de aprendizaje No. 05 Hallar el valor de: 1. cos sen sen 8 4. cot 16 Demostrar que: 5. sen 3x = 3 sen x 4 sen 3 x 6. cos 3x = 4 cos 3 x 3 cos x 7. ( ) 8. ( ) 9. Sen 32 + sen 28 = cos Sen 50 - sen 10 = sen Sen 40 - cos 70 = sen Cos 5x + cos 9x = 2 cos 7x cos 2x Tan (45 + A) - tan (45 - A) = 2 tan 2A 29

35 DIBUJO TÉCNICO 1 1 Lema P., Miguel A. Dibujo Técnico para bachillerato con orientación universitaria. 2a. ed. Quito: Ed. Códice, Unidad 2 y 9 30

36 INTRODUCCION Desde sus orígenes, el hombre ha tratado de comunicarse mediante grafismos o dibujos. La Evolución del Dibujo Técnico en la historia es como muchos de los cambios que ha sufrido nuestra sociedad y es, por la concepción de lo que es de ser la expresión comunicativa quizás más dilocuente ya que siempre nos va a dar a entender algo que por la diversidad ideológica para cada persona nunca va a ser lo mismo. En el campo arquitectónico o generacional de lo que se denomina técnico el dibujo tiene diversas formas de proyectar objetos reales y situaciones en las que se envuelve el hombre para la satisfacción plena de la necesidad de espacios que este tiene para el desenvolvimiento cotidiano de su vida. Dibujo es el lenguaje del que proyecta, con él se hace entender universalmente, ya con representaciones puramente geométricas destinadas a personas competentes, ya con perspectivas para los profanos. También se puede decir en otras palabras que es una representación gráfica de un objeto real de una idea o diseño propuesto para construcción posterior. En este capítulo, encontramos los procedimientos que se debe seguir para la construcción de las diferentes trazos de rectas paralelas, perpendiculares, ángulos, triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares, empalme de rectas, cónicas, etc. 31

37 2.1 DEFINICIONES BÁSICAS 32

38 33

39 34

40 35

41 36

42 Fig El mismo problema segundo procedimiento. Fig Trácense las paralelas AB y CD, de acuerdo con la Fig la intersección de estas paralelas forman un ángulo de vértice E. Proceder a trazar la bisectriz a dicho ángulo, la misma que será también bisectriz del ángulo sin vértice. 37

43 38

44 39

45 40

46 41

47 42

48 43

49 44

50 45

51 2.2 Actividades de Aprendizaje No

52 BIBLIOGRAFIA 1. Gran Ville. Trigonometría plana y esférica 2. Trigonometría. Col. Schaum 3. Trigonometría. Colección Mi Academia. Perú: Ed. San Marcos es.wikipedia.org/wiki/función_trigonométrica Lema p., Miguel A. Dibujo Técnico para bachillerato con orientación universitaria. 2a. ed. Quito: Ed. Códice, p. 47

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