CAPÍTULO 4 CARGAS ESTÁTICAS COMBI ADAS

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1 CPÍTULO 4 CRG ETÁTIC COMID 4.1 ITRODUCCIÓ En el capítulo anterior se estudió el diseño de elementos sometidos a cargas estáticas simples, como carga aial, fleión, torsión cortante directo. En este capítulo avanzaremos en nuestro estudio al considerar elementos sometidos a cargas estáticas combinadas. Cuando el punto crítico de un elemento tiene un estado de esfuerzo plano (biaial) o triaial, su diseño es un poco más complejo, a que los datos disponibles de resistencia de los materiales son aquellos de resistencia a estados de esfuerzo simple. e debe recurrir, entonces, a teorías que predigan la falla de los materiales bajo estados de esfuerzo combinado. En este capítulo estudiaremos algunas teorías de falla estática, propuestas para predecir la falla de los materiales sometidos a cargas estáticas. En los capítulos se estudiaron los estados de esfuerzo producidos por cargas simples. in embargo, en la resolución de los problemas no se necesitaron dichos estados de esfuerzo, a que el diseño se hace por comparación directa; es decir, el esfuerzo normal máimo producido por carga aial o fleión se compara con la resistencia del material a tracción o compresión; algo similar sucede con los esfuerzos cortantes. En este capítulo se estudiarán estados de esfuerzo triaiales, a que puede ser necesario trazar éstos para la aplicación de las teorías de falla. El orden del capítulo es el siguiente. Primero, en la sección 4., se revisan algunos conceptos sobre esfuerzos combinados, tales como estados de esfuerzo biaial triaial, esfuerzos principales círculos de Mohr. Después, en la sección 4., se discuten algunos conceptos referentes a la falla de los materiales. Estos conceptos sirven como una introducción al estudio de las teorías de falla. Finalmente, la sección 4.4 estudia las teorías de falla su aplicación, incluendo ejemplos, en el diseño de elementos sometidos a esfuerzos combinados estáticos. Cuando los esfuerzos son variables, el fenómeno de falla de los elementos de máquinas las ecuaciones de falla son diferentes; esto se estudiará en el capítulo EFUERZO COMIDO En la sección. (capítulo ) se repasaron los conceptos de esfuerzo, esfuerzo normal, esfuerzo cortante estado de esfuerzo en un punto. quí se resumen algunos conceptos estudiados allí, pero el estudiante puede releer dicha sección, si lo considera necesario (en especial, puede revisar las figuras.1.).

2 CONCEPTO ÁICO ORE DIEÑO DE MÁQUIN 4..1 Estados de esfuerzo esfuerzos principales Estado triaial de esfuerzo Considere el cuerpo de la figura 4.1.a, el cual está sometido a fuerzas eternas. l hacer un corte sobre el elemento aislar una de las partes (figura 4.1.b), puede determinarse la fuerza interna 1 que soporta dicha sección de corte; esta fuerza tendrá una componente tangencial otra normal a la sección, las cuales se distribuen de cierta manera sobre ésta. Los esfuerzos normal,, cortante, s, sobre un punto cualquiera de dicha sección dependerán de la forma en que se distribua la fuerza se muestran en la figura 4.1.c. F 1 F 4 F 6 F 1 F 4 F t F 1 F 4 F F 8 F F n F s F F 5 F 7 F F d F 5 F 5 F 5 (a) Cuerpo sometido a fuerzas eternas (b) Diagrama de cuerpo libre de una parte del cuerpo. ctúa una fuerza interna con componentes F t F n (c) Esfuerzos normal,, cortante, s, en un punto (área infinitesimal) de la sección de corte Figura 4.1 Un cuerpo soporta esfuerzos normales cortantes debido a la acción de fuerzas El par de esfuerzos mostrado en la figura 4.1.c es el que actúa en el punto indicado, con la orientación del plano de corte; sin embargo, si la orientación del plano cambia, también lo hacen los esfuerzos. Para conocer completamente el estado de esfuerzo en un punto, se deben conocer los pares de esfuerzos que actúan en tres planos ortogonales. La figura 4..a muestra el estado general de esfuerzo en un punto, donde XX, YY ZZ son los esfuerzos normales que actúan en las direcciones, z respectivamente sxy, syx, sxz, szx, syz szy son los esfuerzos cortantes que actúan en los diferentes planos. Los subíndices de los esfuerzos cortantes indican, en su orden, esfuerzo cortante (s), plano donde actúa el esfuerzo dirección en que actúa. YY z syz szy syx sxy XX szx 1 ZZ sxz (a) (b) Figura 4. Estados de esfuerzo. (a) Estado triaial de esfuerzo. (b) Esfuerzos principales Como el estado de esfuerzo de un punto depende de la orientación de los planos ortogonales analizados, se tiene un número infinito de estados de esfuerzo, a que dichos planos pueden tener infinitas 1 La fuerza interna estará ubicada en algún punto de la sección (o incluso fuera de ésta). Dicha fuerza puede llevarse al centroide de la sección de corte, con lo cual aparecen momentos internos.

3 CPÍTULO 4 CRG ETÁTIC COMIND orientaciones. l rotar un elemento infinitesimal sometido a esfuerzos, como el de la figura 4..a, eistirá siempre una orientación de los planos de dicho elemento en la cual sólo actúan esfuerzos normales, es decir, no ha esfuerzos cortantes. Los planos encontrados se denominan planos principales, los esfuerzos normales que actúan en ellos son los esfuerzos principales, 1,, los cuales se muestran en la figura 4..b. Por convención, 1 ; entonces, 1 es el esfuerzo principal máimo es el esfuerzo principal mínimo. Nótese que la única condición para que un esfuerzo normal sea esfuerzo principal, es que en el plano donde éste actúa, el esfuerzo cortante sea nulo. Para determinar los esfuerzos principales, partiendo de un estado de esfuerzo cualquiera, se puede aplicar el siguiente polinomio cúbico: ( ( XX XX YY ZZ YY ZZ sxy ) syz ( szx XX YY XX XX syz ZZ YY YY szx ZZ ZZ sxy sxy syz ) 0. szx ) (4.1) Las raíces de esta ecuación son siempre reales son los esfuerzos principales. En la ecuación 4.1, un esfuerzo cortante (actuando en un plano positivo) es positivo si actúa en la dirección positiva del eje o negativo si actúa en la dirección negativa del eje. Estado de esfuerzo plano El caso de esfuerzo plano es bastante común en el diseño de ingeniería; por lo tanto, estudiaremos este caso con cierta profundidad. El estado de esfuerzo biaial (o estado de esfuerzo plano) es aquel en el cual sólo actúan esfuerzos en un plano se muestra en la figura 4..a. YY XX syx sxy XX sxy syx YY (a) (b) Figura 4. Estados de esfuerzo. (a) Estado de esfuerzo plano. (b) Esfuerzos principales l rotar el elemento infinitesimal en el plano del papel, siempre se podrá encontrar una orientación en la cual sólo aparezcan esfuerzos normales; dichos esfuerzos son, entonces, los esfuerzos principales,, en ese plano, tal como se muestra en la figura 4..b. El tercer esfuerzo principal es el que actúa perpendicularmente al plano del papel (en z), en la cara mostrada en las figuras 4..a b, a que en dicho plano no actúa esfuerzo cortante; como tampoco actúa esfuerzo normal, dicho esfuerzo principal es nulo: C 0. e han cambiado los subíndices de los esfuerzos principales, 1,, por las letras, C, para conservar la convención 1, a que sólo se sabe el orden de los esfuerzos, C en cada caso particular; es decir, para el estado de esfuerzo de la figura 4..b, no se sabe cuál de los tres esfuerzos, o C es el máimo, el mínimo o el intermedio. Para simplificar algunas gráficas ecuaciones, se adopta la convención ; de acuerdo con ésta, las ecuaciones para encontrar los esfuerzos principales para el caso de esfuerzo plano son:

4 4 CONCEPTO ÁICO ORE DIEÑO DE MÁQUIN XX YY XX YY s, (4..a) XX YY XX YY s, (4..b) C 0, (4..c) donde s es el esfuerzo cortante que actúa en el plano ( s sxy syx ). Estas ecuaciones se deducen en el curso de Resistencia de materiales I. Nótese que, a que el radical nunca es negativo. 4.. Círculos de Mohr Estado de esfuerzo plano Cualquier estado de esfuerzo plano como el de la figura 4..a se puede representar mediante un par de puntos en un diagrama - τ. Como se muestra en la figura 4.4.a, las coordenadas de los puntos X Y equivalen a los pares de esfuerzos que actúan en los planos respectivamente. El signo del esfuerzo cortante en el diagrama - τ se puede obtener utilizando la siguiente convención: si el esfuerzo cortante tiende a rotar el elemento en dirección horaria, se toma positivo; en caso contrario, se toma negativo. τ τ τ ma syx Y C XX C YY sxy X (a) (b) Figura 4.4 Círculos de Mohr para un estado de esfuerzo plano Como se dijo anteriormente, al cambiar las orientaciones de los planos del elemento infinitesimal se obtienen infinitos estados de esfuerzo. El lugar geométrico de los pares de puntos que representan los estados de esfuerzo obtenidos es una circunferencia en el diagrama - τ, como la de la figura 4.4.a. El centro de dicha circunferencia (punto C) es el centro geométrico de la línea XY siempre está ubicado en el eje. Para determinar el estado de esfuerzo que se obtiene al rotar el elemento infinitesimal de la figura 4..a un ángulo θ, tal como se muestra en la figura 4.5.b, se debe rotar la línea XY, alrededor de C, un ángulo igual a θ (figura 4.5.a). Las coordenadas de los puntos obtenidos, X Y, representan las parejas de esfuerzos que actúan en los planos respectivamente.

5 CPÍTULO 4 CRG ETÁTIC COMIND 5 τ Y Y ( Y Y, sy X ) X X Y Y sy X C θ ( X X, sx Y ) X X θ sx Y sy X Y Y sx Y X X (a) (b) Figura 4.5 Estado de esfuerzo obtenido al rotar, un ángulo θ, el elemento infinitesimal de la figura 4..a La circunferencia de la figura 4.4.a representa los estados de esfuerzo que se obtienen al rotar el elemento infinitesimal de la figura 4..a alrededor de un eje perpendicular al plano del papel (eje z). i dicho elemento se rota alrededor del eje o del eje se obtienen otras dos circunferencias como las de la figura 4.4.b. Nótese que las tres circunferencias cruzan el eje por los tres esfuerzos principales, uno de ellos es C 0; es decir, las nuevas circunferencias se construen a partir de la primera, pasando por el origen del sistema de coordenadas. El área sombreada corresponde a todos los posibles estados de esfuerzo del elemento infinitesimal bajo cualquier plano de análisis. De acuerdo con la figura 4.4.b, > > C ; por lo tanto, 1, C ; se aclara que esto es válido sólo para el caso particular mostrado en dicha figura. Considere los ejemplos de la figura 4.6, en los cuales las equivalencias entre, C 1, son diferentes a las de la figura 4.4.b. τ τ ma τ τ ma C C (a) (b) Figura 4.6 Ejemplos de círculos de Mohr para estados de esfuerzo plano Para la figura 4.6.a 1, C, para la figura 4.6.b 1 C,. De las figuras 4.4.b 4.6 puede obtenerse el máimo esfuerzo cortante en el punto, llamado esfuerzo cortante máimo, τ ma. Nótese que τ ma es igual al radio de la circunferencia más grande, la cual tiene un diámetro igual a 1 ; por lo tanto: τ ma 1. (4.)

6 6 CONCEPTO ÁICO ORE DIEÑO DE MÁQUIN Estado triaial de esfuerzo Para el caso de esfuerzo triaial se tiene algo similar, pero no necesariamente dos circunferencias pasan por el origen del diagrama. La figura 4.7 muestra un ejemplo de los círculos de Mohr para este caso de esfuerzo, donde el área sombreada también representa todos los posibles estados de esfuerzo del punto de análisis. l igual que para el caso de esfuerzo plano, el máimo esfuerzo cortante se calcula con la ecuación 4.. τ τ ma Determinación de puntos críticos Figura 4.7 Círculos de Mohr para un estado triaial de esfuerzo Para determinar los puntos en los que podría comenzar la falla de un miembro de máquina o estructura sometida a esfuerzos combinados, se deben conocer, o por lo menos estimar, los mecanismos de falla de los materiales. Con respecto a la falla, los materiales dúctiles se comportan de una manera diferente a los materiales frágiles; por ejemplo, se estima que para el caso de tracción los esfuerzos cortantes son los que generan la falla en los materiales dúctiles, mientras que en los frágiles, los esfuerzos normales son los causantes de la falla. l igual que para carga simple, la determinación de los puntos críticos de elementos sometidos a esfuerzos combinados se basa en la ecuación de diseño, en la cual intervienen variables como los esfuerzos principales, esfuerzo cortante máimo, esfuerzo cortante octaédrico coeficientes de concentración de esfuerzos. En la sección 4.4 se estudian las teorías de falla las ecuaciones de diseño basadas en éstas. Podría pensarse que cuando se presentan esfuerzos combinados, se deben buscar puntos en los cuales se maimizan los esfuerzos debidos a las diferentes cargas; sin embargo, no necesariamente el punto más crítico es aquel en que se presentan algunos esfuerzos máimos, pero tal vez aquel en el se tiene una combinación crítica de esfuerzos no tan críticos. Ha que ser cauteloso en la selección de los puntos críticos.

7 CPÍTULO 4 CRG ETÁTIC COMIND 7 EJEMPLO 4.1 Dibujar los estados de esfuerzo los círculos de Mohr de los puntos críticos de los elementos mostrados en la figura 4.8. Calcular, además, los esfuerzos principales el esfuerzo cortante máimo de cada punto crítico. Para el elemento sometido a tracción, la carga F es uniformemente distribuida. La longitud de todos los elementos es de 50 cm. F 100 N T 100 N-m F 10 kn 10 cm ección: 5 cm d cm (a) (b) (c) Figura 4.8 Elementos sometidos a cargas simples. (a) Tracción, (b) fleión, (c) torsión olución: Como se verá en la solución del ejemplo, aquí se consideran estados de esfuerzo simples (en el ejemplo 4. se considerará un caso de esfuerzos combinados). En la solución del ejemplo se muestran los estados de esfuerzo de los puntos críticos de los elementos; si el estudiante tiene alguna dificultad para entender cómo se trazaron éstos, se recomienda que repase los conceptos estudiados en el capítulo sobre los diferentes tipos de solicitaciones de carga (véanse las secciones. a.5). a) Tracción: Con la ecuación de equilibrio, F 0, se obtiene que la reacción en el empotramiento es igual a la carga aplicada, pero en sentido contrario. Como la fuerza F es uniformemente distribuida, el esfuerzo se distribue también uniformemente en todos los puntos de cualquier sección; por lo tanto, todos los puntos soportan el mismo esfuerzo son igualmente críticos. El estado de esfuerzo resultante se ilustra en la figura 4.9.a; el esfuerzo XX actúa en la dirección de la fuerza (en ) en la cara perpendicular a ésta (cara ), la cual pertenece a la sección de corte. El esfuerzo es de tracción está dado por XX F/ (10000 N)/( m ) N/m 10 MPa. YY sxy 0. τ τ ma XX/ XX XX YY 0 C Y X XX (a) (b) Figura 4.9 Estado de esfuerzo círculo de Mohr de los puntos críticos del elemento a tracción Para dibujar el círculo de Mohr, ubicamos el punto X (figura 4.9.b) con coordenadas ( XX, 0), las cuales corresponden a los esfuerzos normal cortante en la cara. e dibuja el punto Y que tiene coordenadas (0, 0) correspondientes a los esfuerzos en la cara (no ha esfuerzos). El círculo de Mohr se obtiene al trazar una circunferencia con centro en el punto medio de la línea XY. Nótese

8 8 CONCEPTO ÁICO ORE DIEÑO DE MÁQUIN que sólo se ha dibujado un círculo de Mohr, a que en este caso especial de estado uniaial de esfuerzo, el segundo círculo de Mohr (obtenido al rotar el punto crítico alrededor del eje ) coincide con el mostrado, el tercero (obtenido al rotar el punto alrededor del eje ) es un círculo de radio nulo con centro en el origen del diagrama - τ. Con las ecuaciones 4. se obtienen los esfuerzos principales,, C, aunque por simplicidad se pueden deducir directamente del círculo de Mohr: 10 MPa 10 MPa 10 MPa 10 MPa 10 MPa, 0, C 0, de donde 1 10 MPa 0. El esfuerzo cortante máimo, τ ma, está dado por la ecuación 4.; entonces: τ ma 10 MPa 5 MPa. b) Fleión: Cuando se tiene una viga sometida a cargas transversales, ha tanto esfuerzos normales (por fleión) como cortantes. i la viga es lo suficientemente larga comparada con sus dimensiones transversales, los esfuerzos cortantes son relativamente pequeños, normalmente se omite el análisis de los puntos de maores esfuerzos cortantes (siempre que no eistan esfuerzos cortantes adicionales). Una viga se considera larga si su longitud es maor o igual a 10 veces la maor dimensión de la sección transversal. En nuestro caso, la longitud es 10 veces la maor dimensión de la sección; por lo tanto, no se considerará el punto más crítico por cortante, ni ningún punto interior donde se presenta combinación de esfuerzos. Para encontrar los puntos críticos se procede primero a determinar las reacciones en el empotramiento (sección ), denominadas V M, tal como se muestra en la figura V F 100 N M 0.5 m Figura 4.10 Reacciones en el empotramiento de la viga sometida a fleión Con las ecuaciones de equilibrio (de fuerzas verticales de momentos en el plano del papel con respecto a la sección ) se obtienen las reacciones en el empotramiento: F 0 ; V 100 N 0; entonces V 100 N. M ( ) 0; (100 N)(0.5 m) M 0; entonces M 50 N - m. En la figura 4.11 se muestran los diagramas de fuerza cortante momento flector de la viga, así como las distribuciones de esfuerzos normal cortante en el empotramiento (los esfuerzos cortantes

9 CPÍTULO 4 CRG ETÁTIC COMIND 9 en vigas están dados por la ecuación.9; la distribución de esfuerzos cortantes en una sección rectangular se mostró en figura.5, capítulo ). Nótese que la sección más crítica por esfuerzo normal es el empotramiento (a que soporta maor momento flector) que cualquier sección es igualmente crítica debido a la fuerza cortante (todo el elemento soporta la misma fuerza). Los puntos más críticos de la viga son (1), () () (figura 4.11.b); (1) () son los puntos más alejados del eje neutro, soportando los maores esfuerzos normales a tracción compresión respectivamente, () es el punto que soporta maor esfuerzo cortante. Como a se dijo, se supone que () no es crítico por soportar un esfuerzo pequeño,, por lo tanto, sólo se consideran los otros dos. V (N) 100 () s M (N-m) 0.5 m E.N. (1) t 50 () c (a) (b) Figura 4.11 (a) Diagramas de fuerza cortante momento flector de la viga de la figura (b) Distribuciones de esfuerzos De acuerdo con las distribuciones de esfuerzos de la figura 4.11.b, ambos puntos críticos, (1) (), están sometidos a un esfuerzo normal solamente; entonces, tienen estados de esfuerzo uniaial. Dichos estados de esfuerzo se muestran en la figura 4.1.a. l igual que en carga aial, los esfuerzos t c actúan en dirección aial, en caras pertenecientes a la sección transversal de la viga. Los círculos de Mohr se muestran en la figura 4.1.b c. Por las mismas razones epuestas en la solución de la parte (a), sólo ha un círculo de Mohr para cada punto crítico. τ τ t (1) t τ ma t/ C 0 Y X t c X τ ma c/ Y C 0 c () c (a) Estados de esfuerzo (b) Círculo de Mohr del punto (1) (c) Círculo de Mohr del punto () Figura 4.1 Estados de esfuerzo círculos de Mohr de los puntos críticos de la viga Para un elemento sometido a fleión, el esfuerzo se calcula mediante XX ±Mc/I, donde M 50 N-m, c 5/ cm 0.05 m (para los puntos (1) ()) e I (1/1)( cm)(5 cm) m 4, con lo que se obtiene que XX ±6 MPa. Entonces, t 6 MPa c -6 MPa, YY XY 0. Nótese que el momento flector se toma positivo, a que el signo del esfuerzo se toma positivo para (1) negativo para ().

10 10 CONCEPTO ÁICO ORE DIEÑO DE MÁQUIN Con las ecuaciones se obtienen los esfuerzos principales el esfuerzo cortante máimo respectivamente: Punto (1) Punto () 1 6 MPa, 0; τ ma MPa. 1 0, 6 MPa; τ ma MPa. c) Torsión: Con la ecuación de equilibrio, T 0, se obtiene que la reacción en el empotramiento es igual al par de torsión aplicado, T, pero en sentido contrario. Por la sencillez de carga no es necesario hacer un diagrama de par de torsión; todo el elemento soporta un par interno T; por lo tanto, cualquier sección es igualmente crítica. Para un elemento de sección circular sometido a torsión, los puntos más críticos son los de la periferia (los más alejados del eje neutro), cuos estados de esfuerzo resultantes son similares al mostrado en la figura 4.1.b, donde s Tc/J; T 100 N-m, c (0.0 m)/ J (π/)(0.0 m) m 4 ; entonces s MPa. XX YY 0. T 100 N-m s τ Y τ ma s cm (1) s s s s Punto en la superficie s X C 0 (a) (b) (c) Figura 4.1 Elemento sometido a torsión. (a) El punto (1) es uno de los críticos, a que está en la superficie. (b) Estado de esfuerzo del punto (1). (c) Círculos de Mohr de los puntos críticos diferencia de los casos anteriores, los puntos críticos del elemento a torsión tienen tres círculos de Mohr, tal como se muestra en la figura 4.1.c. De las ecuaciones se obtienen los esfuerzos principales el esfuerzo cortante máimo respectivamente: 0 0 (18.86 MPa) MPa, 0 0 (18.86 MPa) MPa, 0, de donde MPa, C MPa; entonces: C τ ma MPa ( MPa) MPa.

11 CPÍTULO 4 CRG ETÁTIC COMIND 11 EJEMPLO 4. El elemento en forma de L, mostrado en la figura 4.14, está empotrado en un etremo soporta dos fuerzas en el etremo libre. Dibujar los círculos de Mohr de los puntos críticos calcular los esfuerzos principales el esfuerzo cortante máimo de cada punto. Para evitar la concentración de esfuerzos en el etremo libre, las cargas se aplican uniformemente sobre la cara z 4 10 Todas las medidas en cm 40 6 kn 5 kn Figura 4.14 Elemento sometido a cargas combinadas olución: Debido a que el elemento no es recto, los estados de esfuerzo en ciertas partes no pueden determinarse por los métodos básicos de resistencia de materiales; además, se dificulta el proceso de selección de los puntos críticos debido a que los esfuerzos son combinados. En la parte (a) se mostrará una solución teórica analizando un conjunto de puntos clave, que no necesariamente contienen al punto más crítico; en la parte (b) se darán los resultados del análisis de elementos finitos, usando el programa computacional lgor. a) olución teórica: Para dar solución al ejemplo, se supone que la sección más crítica del elemento es el empotramiento; por lo tanto, allí estaría el punto más crítico. Las reacciones en el empotramiento se pueden determinar de las ecuaciones de equilibrio (sumatoria de fuerzas momentos en las tres direcciones cartesianas); sin embargo, es tal vez más conveniente llevar las fuerzas eternas al centroide del empotramiento encontrar el momento resultante, haciendo el producto cruz entre el vector que une el centroide el punto de aplicación de las fuerzas (figura 4.15) la fuerza resultante. z r 6 kn 5 kn Figura 4.15 Vector r para la determinación de los momentos internos en el empotramiento

12 1 CONCEPTO ÁICO ORE DIEÑO DE MÁQUIN Cargas en el empotramiento: De acuerdo con las dimensiones del elemento (figura 4.14) r ( 0.8i 0.4k) m, la fuerza total es F ( 5i 6j) kn. El momento resultante en el empotramiento está dado por: entonces: i 5 j 6 M r F ( 0.8i 0.4k) m ( 5i 6j) kn, k 0 [ 0 (0.4)( 6) ] i [ 0 (0.4)( 5) ] j [(0.8)( 6) 0], M k de donde: M (.4i j 4.8k) kn - m. Las componentes de este momento se ilustran en la figura z C H M z 4.8 kn-m G D F F 5 kn E F 6 kn M.4 kn-m M kn-m Figura 4.16 Cargas internas en el empotramiento (se muestran algunos puntos críticos) Distribuciones de esfuerzos: Las distribuciones de esfuerzos producidos por fuerzas aiales, momentos flectores, pares de torsión fuerzas cortantes se estudiaron en el capítulo (véanse las figuras.5,.11,.8.5). plicando estos conceptos a las fuerzas momentos que actúan en el empotramiento, se obtienen las distribuciones de esfuerzos mostradas en la figura La fuerza F produce un esfuerzo de compresión uniforme en toda la sección. Los momentos flectores M M z producen distribuciones lineales de esfuerzos normales; en ambos casos, el eje neutro pasa por el centroide de la sección es paralelo a la dirección del momento. La fuerza F genera esfuerzos cortantes actuando hacia abajo (en la dirección de la fuerza), la distribución de esfuerzos es parabólica (véanse la figura.5 la ecuación.9 del capítulo ). Finalmente, se presentan algunas distribuciones de los esfuerzos cortantes producidos por el par de torsión M. Nótese que los esfuerzos actúan de tal manera que tratan de retorcer la sección en la dirección de M.

13 CPÍTULO 4 CRG ETÁTIC COMIND 1 z C C C G G G D D D (a) Esfuerzo aial de compresión producido por F (b) Esfuerzos normales producidos por M (c) Esfuerzos normales producidos por M z z C C H F G G E D D (d) Esfuerzos cortantes producidos por F (e) Esfuerzos cortantes producidos por M Figura 4.17 Distribuciones de los esfuerzos producidos por las diferentes cargas internas en el empotramiento Puntos críticos: Para seleccionar los puntos críticos, se determinan los lugares donde actúan los esfuerzos máimos producidos por las diferentes cargas: la fuerza aial produce un esfuerzo uniformemente distribuido; por lo tanto, cualquier punto soporta el mismo esfuerzo; la fuerza cortante produce esfuerzos máimos en la línea GH; los momentos flectores producen esfuerzos máimos en los puntos más alejados del eje neutro; el momento de torsión produce esfuerzos máimos en los puntos medios de los lados de la sección rectangular. El conjunto de puntos {,,..., H} que se muestra en la figura 4.16 podría contener el más crítico del elemento, aunque no necesariamente, se ha escogido de tal manera que en esos puntos actúen por lo menos dos esfuerzos máimos producidos por algunas de las cargas (sin contar con la carga aial para la cual todos los puntos son críticos); sin embargo, cuando se tienen esfuerzos combinados, el punto más crítico es aquel en el que la combinación de esfuerzos es la más

14 14 CONCEPTO ÁICO ORE DIEÑO DE MÁQUIN desfavorable. La combinación más crítica de esfuerzos no necesariamente ocurre en un punto donde ocurra uno o más esfuerzos máimos producidos por una o más cargas. Cálculo de esfuerzos: continuación se presenta el cálculo de los esfuerzos producidos por las diferentes cargas en el empotramiento, utilizando las ecuaciones de resistencia de materiales (capítulo ). e indica en qué puntos son válidos los cálculos correspondientes. Nótese que el esfuerzo debido a la fuerza cortante F es máimo en la línea GH está dado por la ecuación.1 (capítulo ), válida para secciones rectangulares. Los esfuerzos debidos al par de torsión M se calculan con las ecuaciones (capítulo ); los valores de α γ se obtienen mediante interpolación rectilínea de los datos de la tabla.1 (capítulo ), para a/b.5. F F 5 kn (0.1)(0.04) m 1.5 MPa, Esfuerzo de compresión producido por la fuerza F en los puntos,, C, D, E, F, G H. M M c I z ( kn - m)(0.05 m) (1/1)(0.04)(0.1) m 4 0 MPa, Esfuerzo normal de tracción para los puntos C, H F, de compresión para los puntos, G D. M no produce esfuerzo en E. Mz M zc I zz (4.8 kn - m)(0.0 m) 4 (1/1)(0.1)(0.04) m 180 MPa, Esfuerzo normal de tracción para los puntos, C, de compresión para los puntos D, E F. M z no produce esfuerzo en G H. sf F ()(6 kn) ()(0.1)(0.04) m.5 MPa, Esfuerzo cortante (aproimado) producido por la fuerza F en los puntos G H. Para los demás puntos críticos el esfuerzo es nulo. M α ab (.4 kn - m) (0.565)(0.1)(0.04) sm1 m MPa, sm γ sm1 (0.775)(58.48 MPa) 45. MPa, sm1 : esfuerzo cortante producido por el par de torsión M en los puntos E. sm : esfuerzo cortante producido por el par de torsión M en los puntos G H. En los demás puntos críticos no ha esfuerzo. Estados de esfuerzo: La figura 4.18 presenta los estados de esfuerzo de los puntos críticos en función de los esfuerzos producidos por cada una de las cargas. Cada uno de estos estados de esfuerzo es biaial se representa mostrando sólo una de las caras del elemento infinitesimal e indicando su orientación. l reemplazar los valores numéricos de los esfuerzos de la figura 4.18, se obtienen los estados de esfuerzo de la figura Eliminación de puntos críticos: De los ocho estados de esfuerzo de la figura 4.19, podemos descartar algunos de ellos mediante comparaciones entre puntos cuos estados de esfuerzo sólo difieran en sus valores numéricos o en sus orientaciones. Los puntos, C, D F están sometidos a estados de esfuerzo uniaial. Entre C (puntos a tracción) es más crítico el punto C a que está sometido a un esfuerzo maor. Entre D F (puntos a compresión) es más crítico el punto D. Podemos descartar, entonces, los puntos F.

15 CPÍTULO 4 CRG ETÁTIC COMIND 15 F M Mz z F Mz sm1 C F M Mz z E F Mz sm1 D F M Mz G F M sf sm F F M Mz H F M sf sm Figura 4.18 Estados de esfuerzo de los puntos críticos en función de los esfuerzos individuales MPa z MPa MPa C MPa z E MPa MPa D 11.5 MPa G 1.5 MPa MPa F MPa H 8.75 MPa 4.07 MPa Figura 4.19 Estados de esfuerzo de los puntos críticos e puede comparar a con H, los cuales están sometidos a un esfuerzo cortante a uno de tracción. es mucho más crítico a que sus esfuerzos, el normal el cortante, son maores a los esfuerzos correspondientes del punto H. Entre E G (sometidos a un esfuerzo de compresión a uno cortante) es más crítico E, por las mismas razones. Podemos descartar, entonces, los puntos H G. e podría tratar de hacer comparaciones adicionales entre los puntos, C, D E, aunque con precaución, a que sus estados de esfuerzo no son similares. Teniendo en cuenta los valores numéricos el tipo de material (comportamiento a la tracción a la compresión) se podrían hacer descartes adicionales (como en el ejemplo 4.4).

16 16 CONCEPTO ÁICO ORE DIEÑO DE MÁQUIN Círculos de Mohr, esfuerzos principales esfuerzos cortantes máimos: La figura 4.0 muestra los círculos de Mohr de los puntos críticos, obtenidos de los estados de esfuerzo de la figura La tabla 4.1 muestra los esfuerzos principales, C, calculados con las ecuaciones 4., a que los estados de esfuerzo de los cuatro puntos críticos son planos; estos esfuerzos principales se ordenan de maor a menor para obtener los esfuerzos 1,. Los esfuerzos cortantes máimos se calculan con la ecuación 4. también se presentan en la tabla 4.1. τ (MPa) τ (MPa) Y X (MPa) 11.5 X Y 0 (MPa) (a) Círculo de Mohr del punto C (b) Círculo de Mohr del punto D τ (MPa) X (178.75, 58.48) (MPa) τ (MPa) Z (0, 58.48) (MPa) Z (0, 58.48) X ( 181.5, 58.48) (c) Círculos de Mohr del punto (d) Círculos de Mohr del punto E Figura 4.0 Círculos de Mohr de los puntos críticos Tabla 4.1 Esfuerzos principales esfuerzos cortantes máimos de los puntos críticos del elemento. Punto crítico (MPa) (MPa) C (MPa) 1 (MPa) (MPa) (MPa) τ ma (MPa) C D E b) olución computacional: El elemento se modeló en lgor, programa CD/CE (Diseño e Ingeniería sistidos por Computador). Este programa se basa en el método de elementos finitos (FEM - Finite Element Method), en el cual se divide la pieza en pequeños elementos que tienen forma sencilla, lo que se denomina mallado, con el fin de determinar las deformaciones los esfuerzos. La pieza se modeló con una malla de 0400 elementos. La tabla 4. muestra los esfuerzos principales, 1, los esfuerzos cortantes máimos de los puntos analizados en la parte (a); además, presenta estos valores para los puntos en los cuales el esfuerzo principal máimo, el mínimo el esfuerzo cortante máimo son críticos. La figura 4.1 muestra el elemento con unas zonas o franjas que indican la distribución de los esfuerzos principales máimos. En la sección del empotramiento se muestra la distribución de los esfuerzos

17 CPÍTULO 4 CRG ETÁTIC COMIND 17 cortantes máimos (obsérvese el mallado de la sección). En la figura se indica el punto, en el cual se presenta el valor máimo de 1. También se indica el punto D, en el cual se presenta el valor máimo de τ ma el mínimo de. Tabla 4. Esfuerzos principales esfuerzos cortantes máimos calculados usando lgor. Punto crítico 1 (MPa) (MPa) τ ma (MPa) C D E D C z G H D E F D : punto de maor esfuerzo cortante Figura 4.1 Elemento modelado en lgor. e muestra la distribución de esfuerzos principales máimos en el elemento la distribución de esfuerzos cortantes máimos en el empotramiento De la figura 4.1 de la tabla 4. se puede observar que los puntos de maores esfuerzos no necesariamente son los puntos seleccionados en la parte (a), lo cual es un indicativo de la complejidad de la determinación de los puntos críticos de un elemento sometido a esfuerzos combinados. l comparar los datos de las tablas , se encuentran diferencias significativas entre los esfuerzos calculados teóricamente los calculados por el programa. Las diferencias se deben principalmente a que el método de elementos finitos hace cálculos aproimados; en la medida en que se haga un mejor mallado, maor será la precisión del método (entre otras cosas, un maor número de elementos puede mejorar el mallado). Una maor precisión se puede obtener si se modela la pieza con un mallado mucho más fino.

18 18 CONCEPTO ÁICO ORE DIEÑO DE MÁQUIN Con el ejemplo anterior se culmina la revisión del tema de esfuerzos combinados. En el resto de este capítulo nos ocuparemos del estudio de las teorías de falla su aplicación en el diseño de elementos sometidos a cargas estáticas combinadas. En este momento el estudiante podría preguntarse cuál o cuáles son los esfuerzos que se deben tomar como base para el diseño? XX?, YY? ZZ?, sxy?, syz? sxz?, 1?,??, τ ma?, o bajo qué valores de esfuerzos fallará la pieza? e espera que las respuestas a estas preguntas las tenga al terminar de leer el resto del capítulo. 4. COCEPTO ORE FLL ETÁTIC De acuerdo con lo estudiado en el capítulo, el diseño de piezas sometidas a cargas estáticas simples (aial, fleión, torsión o cortante directo) consiste en comparar el esfuerzo máimo que soporta la pieza con el esfuerzo que produce la falla en dicha pieza; es decir, la resistencia de fluencia o el esfuerzo último, en tracción, compresión o cortante. Esta comparación es posible debido a que se dispone de tablas de propiedades de materiales catálogos de fabricantes, los cuales suministran valores típicos (mínimos, promedios, etc.) de las resistencias de los materiales, obtenidas al someter probetas normalizadas a pruebas de tracción, compresión torsión. Para determinar qué tanto resiste un determinado material sometido a esfuerzos combinados, podría adoptarse el mismo procedimiento; es decir, ejecutar ensaos de resistencia. Como puede pensarse en un infinito número de posibles estados de esfuerzo, se requerirían ensaos eperimentales para cada caso particular. Podría ser recomendable hacer ensaos cuando el elemento a diseñar es de suma importancia o cuando se va a fabricar en grandes cantidades que justifiquen el costo de los ensaos. lgunas máquinas, como las de la industria aeronáutica, deben diseñarse con altos índices de confiabilidad; por lo tanto, es práctica común efectuar ensaos eperimentales rigurosos aún después de diseños teóricos confiables. En otros casos podría no ser justificable efectuar ensaos eperimentales, por ejemplo por razones económicas. Para elementos que no requieran ensaos eperimentales o para los cuales éstos no se justifiquen, podría ser mejor diseñarlos con base en el conocimiento que se tenga de los fenómenos que producen la falla. través de la historia se han propuesto muchas teorías para describir los fenómenos de falla de materiales; algunas de éstas se estudiarán en la sección 4.4, pero antes, haremos algunas observaciones sobre la falla de materiales sometidos a tracción, eplicaremos el concepto de esfuerzo equivalente Falla bajo carga de tracción Cuando se somete un elemento a una carga de tracción simple, cualquier punto de éste queda sometido a un estado de esfuerzo uniaial como el mostrado en la figura 4..a. De acuerdo con el círculo de Mohr mostrado en la misma figura, el máimo esfuerzo normal actúa en la dirección de la fuerza el máimo esfuerzo cortante en planos inclinados 45 con esta dirección (figura 4..b). i se somete un material dúctil a una carga de tracción, su falla sería similar a la mostrada en la figura 4..c. Parece que el material falla debido a la acción de los esfuerzos cortantes, a que en la rotura se tiende a formar un cono cua generatriz forma aproimadamente 45 con la dirección aial. Entonces, serían los esfuerzos cortantes los culpables de los desplazamientos de los cristales cuando se alcanza el límite de fluencia; los cristales siguen deslizándose sobre la red hasta la rotura. i se somete un material frágil a una carga de tracción, su falla sería similar a la mostrada en la figura 4..d, formando planos perpendiculares a la dirección aial. Como el esfuerzo normal máimo actúa en dichos planos, el material parece fallar debido a la acción de los esfuerzos normales. medida que el Es de anotar que los ángulos formados en la fractura de la pieza no son eactamente 45 (pueden ser diferentes), que este ángulo depende del tipo de sección transversal. La falla de un material frágil a compresión se debe a alguna combinación del esfuerzo normal de compresión del esfuerzo cortante [1].

19 CPÍTULO 4 CRG ETÁTIC COMIND 19 esfuerzo normal aumenta, los cristales del material se van separando, hasta que éste vence las fuerzas de enlace se produce la separación de los cristales. τ τ ma / 0 θ 1 θ 90, entonces θ 45. τ ma 45 τ ma (a) Estado de esfuerzo círculo de Mohr para un punto sometido a tracción simple. El esfuerzo normal máimo actúa en la dirección aial (b) Esfuerzos en planos inclinados 45 con respecto a la dirección aial. En éstos ocurre el esfuerzo cortante máimo ~45 F F F F (c) Fractura de un material dúctil. Los esfuerzos cortantes serían los principales causantes de la falla del material dúctil (d) Fractura de un material frágil. Los esfuerzos normales serían los principales causantes de la falla del material frágil Figura 4. Rotura de materiales dúctiles frágiles bajo carga de tracción lgunas teorías de falla tienen en cuenta estos comportamientos se basan en ellos. lgunas teorías son adecuadas para materiales dúctiles, otras para materiales frágiles, mientras que otras no son adecuadas para ningún material. 4.. Esfuerzo equivalente ntes de proceder con el estudio de las teorías de falla, se discutirá también sobre el concepto de esfuerzo equivalente, útil en el manejo computacional de las diferentes teorías. Para proceder a diseñar un elemento cuo punto crítico tenga un estado general de esfuerzo como el de la figura 4..a, es necesario aplicar una teoría de falla. En algunos casos es conveniente encontrar un valor de esfuerzo, e, denominado esfuerzo equivalente, el cual es función de los esfuerzos de la figura 4..a que al ser aplicado a un punto de la manera mostrada en la figura 4..b produzca la falla si sólo si el estado real de esfuerzos produce la falla del elemento (de acuerdo con la teoría de falla). Es decir, al incrementar proporcionalmente todos los esfuerzos de la figura 4..a, el esfuerzo equivalente aumentará, cuando se produzca la falla en el punto, el estado de esfuerzo equivalente producirá también la falla. Como sabemos que un punto sometido a un esfuerzo normal de tracción falla si el esfuerzo alcanza la resistencia a la tracción, cuando el estado real de esfuerzos falle, el esfuerzo equivalente será igual a u o, es decir, e u, si la falla considerada es la rotura, o e, si la falla considerada es la deformación plástica. Para encontrar el esfuerzo equivalente de acuerdo con una teoría de falla particular, basta tomar la epresión matemática de dicha teoría despejar u o ; la epresión al otro lado del igual será el esfuerzo equivalente. Esto se aplicará más adelante.

20 0 CONCEPTO ÁICO ORE DIEÑO DE MÁQUIN YY e f (~ ) syx z syz szy szx sxy XX ZZ sxz (a) Estado real de esfuerzos (b) Estado de esfuerzo equivalente 4.4 TEORÍ DE FLL ETÁTIC Figura 4. Concepto de esfuerzo equivalente En esta sección se estudian algunas teorías de falla estática. lgunas de ellas son utilizadas en la práctica, a que representan satisfactoriamente algunos datos eperimentales, mientras que otras se presentan sólo por interés histórico o pedagógico a 4.4. Teorías de falla estática para materiales frágiles Para materiales frágiles se presentan la Teoría del Esfuerzo Principal Máimo (TEPM), la teoría de Coulomb-Mohr o teoría de la fricción interna la Teoría de Mohr Modificada (TMM), siendo esta última la preferida para materiales frágiles no uniformes sometidos a carga estática. Cualquier teoría de falla puede plantearse con base en la falla por rotura (falla total) o en la falla por fluencia (deformación plástica o permanente); las teorías para materiales frágiles se plantearán considerando falla por rotura, a que éstos no poseen puntos de fluencia, o al menos no están bien definidos Teoría del esfuerzo principal máimo La Teoría del Esfuerzo Principal Máimo (TEPM), o teoría del esfuerzo normal máimo, fue epuesta por W.J.M. Rankine data del año 1850 aproimadamente []. ólo se presenta por interés histórico a que no es adecuada para materiales frágiles ni dúctiles. Esta teoría establece que la falla suele ocurrir cuando uno de los tres esfuerzos principales, 1, o, es igual a la resistencia del material, que puede ser u o uc (o o c ), dependiendo de si el esfuerzo normal considerado es de tracción o de compresión. Por convención, tomamos 1 ; entonces, la TEPM puede epresarse como: u, ó 1 uc. (4.4) Las ecuaciones 4.4 se aplican así: la primera cuando 1 > 0 la segunda cuando < 0. i estas dos condiciones se cumplen simultáneamente, de acuerdo con la teoría ocurriría la falla si al menos una de las igualdades de la ecuación 4.4 es cierta. Estado de esfuerzo plano La ecuación 4.4 es válida para cualquier estado de esfuerzo; sin embargo, para comparar gráficamente las diferentes teorías, analizaremos primero el caso de esfuerzo plano.

21 CPÍTULO 4 CRG ETÁTIC COMIND 1 De acuerdo con lo estudiado en la sección 4..1 (ecuaciones 4.), los esfuerzos principales diferentes de cero en un estado de esfuerzo biaial son ; por lo tanto, la falla ocurriría si uno de estos dos alcanza la resistencia correspondiente. i utilizamos la convención, la falla ocurre si: u, ó uc. (4.5) in la convención anterior tendríamos dos ecuaciones adicionales (intercambiando en la ecuación 4.5). La ecuaciones 4.5 corresponden a líneas rectas en un diagrama -, las cuales se muestran como líneas continuas en la figura 4.4. i no se tiene en cuenta la convención, la gráfica inclue las líneas a trazos de dicha figura. Nótese que la línea diagonal, que tiene como ecuación, divide el plano en dos semiplanos; las dos líneas continuas cumplen la inecuación (a que están en el semiplano inferior-derecho), mientras que las dos líneas a trazos satisfacen (están en el semiplano superiorizquierdo). i al analizar el estado de esfuerzo de un punto crítico, el punto en el diagrama -, dado por las coordenadas (, ), está sobre el contorno del cuadrado de la figura 4.4 (o fuera de éste), el punto fallaría (punto 1, por ejemplo), a que se cumpliría al menos una de las dos epresiones de la ecuación 4.5. Por el contrario, si el punto (, ) está en el interior del cuadrado, no ocurriría la falla (punto, por ejemplo). u uc u Los puntos interiores representan estados de esfuerzo que no producen falla () (1) Los puntos sobre las líneas o eteriores representan estados de esfuerzo que producen la falla uc Figura 4.4 Diagrama - de la teoría del esfuerzo principal máimo para un estado de esfuerzo plano Estado de esfuerzo triaial Es práctica común al graficar las teorías de falla estática en el sistema de coordenadas 1 - -, hacer caso omiso de la convención 1 ; por lo tanto, la ecuación 4.4, que representa la teoría del esfuerzo principal máimo, debe ampliarse, a que cualquiera de los tres esfuerzos principales puede producir la falla. La falla ocurriría si se cumple cualquiera de las siguientes ecuaciones: u, 1 uc, u, uc, u, 1 uc. (4.6) La figura 4.5 muestra las superficies de falla en el diagrama de la teoría del esfuerzo principal máimo para el caso de esfuerzo triaial. Cada una de las epresiones de la ecuación 4.6 está representada por uno de los planos del cubo mostrado; por lo tanto, un punto crítico fallaría si sus

22 CONCEPTO ÁICO ORE DIEÑO DE MÁQUIN esfuerzos principales corresponden a un punto en la superficie del cubo o fuera de éste. Un punto interior del cubo representaría una condición de no falla. uc uc u u u uc 1 Figura 4.5 Diagrama 1- - de la teoría del esfuerzo principal máimo 4.4. Teoría de Coulomb-Mohr o teoría de la fricción interna ntes de plantear esta teoría estudiemos la teoría de Mohr. Teoría de Mohr La figura 4.6 muestra tres círculos de Mohr. El círculo de la izquierda representa un elemento que falla por compresión (a que la magnitud del esfuerzo normal es igual a la resistencia a la compresión uc ), el círculo de la derecha representa la falla por tracción el círculo con centro en el origen representa un elemento sometido a torsión en el momento de la falla. τ us C uc u E D F Figura 4.6 Círculos de Mohr para falla por compresión, tracción torsión

23 CPÍTULO 4 CRG ETÁTIC COMIND El área limitada por los círculos de compresión de tracción por las curvas C FED representa la zona segura. Este criterio de falla corresponde a la teoría de Mohr. La figura 4.7 muestra el diagrama - de la teoría de Mohr. Puntos sobre las líneas o fuera del contorno son puntos de falla, mientras que puntos en el interior son puntos de no falla. u uc u Punto interior. No se produce la falla (1) Punto sobre el contorno. e produce la falla () () Teoría de Mohr uc Figura 4.7 Diagrama - de la teoría de Mohr para un estado de esfuerzo plano i no se dispone de la prueba de torsión, las curvas C FED se reemplazan por las líneas rectas (a trazos) C FD (figura 4.6); esta variante corresponde a la teoría de Coulomb-Mohr o de la fricción interna []. Teoría de Coulomb-Mohr o de la fricción interna para un estado de esfuerzo plano La teoría de Coulomb-Mohr o teoría de la fricción interna es una variante de la teoría de Mohr [], aunque también puede verse como una modificación de la teoría del esfuerzo principal máimo [1]. Para el caso de esfuerzo plano, la teoría está representada por las líneas continuas de la figura 4.8. Nótese que las curvas del segundo cuatro cuadrantes de la figura 4.7 se han reemplazado por líneas rectas en la figura 4.8. u uc u Punto interior. No se produce la falla (1) Punto sobre el contorno. e produce la falla () uc () Teoría de Coulomb-Mohr TEPM Figura 4.8 Diagrama - de la teoría de Coulomb-Mohr para un estado de esfuerzo plano. e muestra también la teoría del esfuerzo principal máimo

24 4 CONCEPTO ÁICO ORE DIEÑO DE MÁQUIN Recuérdese que la teoría se puede representar solamente por las líneas del semiplano inferior-derecho, para el cual. En la figura 4.8 se muestra también el cuadrado (en líneas a trazos) que representa la teoría del esfuerzo principal máimo. Ha diferencia entre las dos teorías en los cuadrantes 4. Puede notarse además que la teoría de Coulomb-Mohr es más conservadora ; por ejemplo, el punto () es un punto de no falla para la TEPM, mientras que la primera predeciría la falla e induciría a tomar medidas como, por ejemplo, aumentar las dimensiones de la pieza Teoría de Mohr modificada (TMM) Estado de esfuerzo plano La Teoría de Mohr Modificada (TMM) es la preferida para diseñar elementos frágiles no uniformes sometidos a esfuerzos estáticos, a que es la que más se aproima a datos eperimentales obtenidos al someter piezas frágiles a esfuerzos combinados. Para el caso de esfuerzo plano, esta teoría está representada por el polígono de líneas continuas de la figura 4.9 (para un material frágil con uc > u ). e muestran también las líneas correspondientes a la TEPM la teoría de Coulomb-Mohr. u uc u u Punto sobre el contorno. e produce la falla Punto interior. No se produce la falla u Teoría de Coulomb-Mohr Teoría de Mohr modificada (TMM) uc TEPM Figura 4.9 Diagrama - de la Teoría de Mohr Modificada (TMM) para un estado de esfuerzo plano. e muestra también la teoría del esfuerzo principal máimo la de Coulomb-Mohr. Los círculos muestran la tendencia típica de los datos de ensao de una fundición de hierro gris (los datos originales provienen de R. C. Grassi e I. Cornet. Fracture of Gra Cast Iron Tubes under iaial tresses. J. pp. Mech., vol. 16, pág. 178, 1949) Las ecuaciones que representan la TMM pueden deducirse de la figura 4.9. cada una de las 6 líneas del polígono le corresponde una ecuación; sin embargo, si se adopta la convención, sólo se requieren tres ecuaciones, correspondientes a las tres líneas del semiplano inferior-derecho: u, si, (4.7.a) uc u uc u uc u u, si > 0 <, (4.7.b)

25 CPÍTULO 4 CRG ETÁTIC COMIND 5 uc, si 0. (4.7.c) Como la teoría de Mohr modificada es la preferida para materiales frágiles, podría pensarse en aplicar aquí el concepto de esfuerzo equivalente. Este concepto se aplicará para el caso de esfuerzo triaial; se le propone al estudiante determinar el esfuerzo equivalente para cada condición dada en las ecuaciones 4.7, despejando u de cada ecuación de falla. Estado de esfuerzo triaial Para el estado de esfuerzo triaial (o para cualquier estado de esfuerzo), la teoría de Mohr modificada está dada por [1] : e u, donde e es el máimo entre : C1, C, C, 1,, 0, 1 uc u C 1 1 ( 1 ), uc 1 uc u C ( ), uc 1 uc u C 1 ( 1). uc donde (4.8.a) (4.8.b) (4.8.c) (4.8.d) Ecuaciones de diseño para la Teoría de Mohr Modificada (TMM) Las ecuaciones representan la TMM para estados de esfuerzo plano para estados de esfuerzo triaial respectivamente. Para diseñar elementos frágiles, es necesario utilizar un factor de seguridad de tal manera que el elemento no falle. Los factores de seguridad para el diseño de elementos sometidos a cargas estáticas combinadas se escogen esencialmente de la misma manera que en el capítulo ; en este capítulo se utilizan los datos de la primera fila de la tabla.1, como base para la selección de factores de seguridad. La manera de introducir el factor de seguridad,, en las ecuaciones , es reemplazar u por u / uc por uc / cuantas veces sea necesario. De acuerdo con esto, de las ecuaciones se obtiene que: Para un estado de esfuerzo plano: u, si, (4.9.a) ( uc uc u ) u uc u u, si > 0 <, (4.9.b) uc, si 0 (4.9.c)

26 6 CONCEPTO ÁICO ORE DIEÑO DE MÁQUIN Para un estado de esfuerzo triaial: e u, donde e es el máimo entre : C1, C, C, 1,, 0, 1 uc u C 1 1 ( 1 ), uc 1 uc u C ( ), uc 1 uc u C 1 ( 1). uc donde (4.10.a) (4.10.b) (4.10.c) (4.10.d) EJEMPLO 4. Después de analizar un elemento de hierro fundido gris TM 40 ( u 9 MPa uc 965 MPa; tabla -.4) se localizan dos puntos críticos cuos estados de esfuerzo son los mostrados en la figura 4.0. Grafique los puntos en un diagrama - determine el factor de seguridad del elemento. 0 MPa 0 MPa 10 MPa 90 MPa 400 MPa Figura 4.0 Estados de esfuerzo de los puntos críticos de un elemento de hierro fundido gris TM 40 olución: Como el hierro fundido gris es un material frágil (elongación menor a 5%), la mejor teoría de falla para este material es la de Mohr-modificada. Los dos puntos críticos del elemento tienen estados de esfuerzo biaial; es decir, se pueden aplicar tanto las ecuaciones generales (ecuaciones 4.10) como las ecuaciones particulares para estados de esfuerzo biaial (ecuaciones 4.9). El ejemplo se resolverá con las ecuaciones 4.9. e propone al estudiante hacer uso de las ecuaciones 4.10 para verificar que conducen al mismo resultado. Esfuerzos principales: Los esfuerzos principales de los puntos críticos se calculan con las ecuaciones 4..