D iagramas deb ode, TutorialB á sico

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1 D iagramas deb ode, TutorialB á sico Juan IgnacioH uircá n DepartamentodeIngenieríaElectrica, UFRO July, 5 Abstract ElD iagrama deb odeindica la respuestaen frecuenciadeun sistema (red eléctrica). Se construye a partirde la función de transferencia representadaen formadefactores (formacanónica). Eldiagramaes logaritmico, porlotanto, sedibujacada factoren forma independiente y luego las curvas se suman paraformareldiagramacompleto. A través deesta herramientasedeterminaelanchodebanda, lagananciadelared. Contents Introducción Función de T ransferencia 3 D iagramas de M óduloy Fase(á ngulo) 3. MódulodeH(s) FasedeH(s) Factores 4 4. Elfactor K Elfactor(jT) p Elfactor(+jT) Elfactor µ ³j + j» + p Example 7 6 Eldiagramade B ode y lared eléctrica 9 7 Conclusiones Documentopreparadoen eldie, paralaasignatura Redes Eléctricas.

2 Introducción Eldiagrama de Bode permite obtenerinformación bá sica de un sistema lineal (redeléctrica), respectodesuganancia, anchodebanday/oretardos involucrados. H abitualmente, se conoce comodiagrama de respuesta en frecuencia y se dibuja en escala logaritmica o lineal(llamado también diagrama logaritmico). Constade dos elementos elmódulo y lafase, estodebidoa que es unafunción con variablecompleja. Función de Transferencia SealafuncióndetransferenciaH(s)= Vo(s) V i(s) ;haciendos=j;setiene H(j)=jH(j)je Á() () DondeV i yv o sonlaentradaysalidadeunaredrespectivamente. Noteque () es una función compleja expresada a través de su módulo y ángulo. H(s) puedeserescritaen base apolos yceros. H(s)= K(s+z )(s+z ):::(s+z n ) s(s+p )(s+p ):::(s+p m ) () P erotambién sepuedeexpresaren formacanónica H(s)= K (+T z s)(+t z s):::(+t zn s) s(+t s)(+t s):::(+t m s) (3) U nafunción típicaconstade distintos factores comolomuestra(4). H(s)= K(+T a s)(+t b s) ³ (4) s» s(+t s)µ + s+ En eldiagrama de B ode, elmódulo se expresa en db, y la frecuencia en escalalogaritmica(en décadas u octavas deherz). En la función dada en (), cadapolointroduceunapendientede[db=d ecada]ó[6db=octava]. L afase seexpresaengrados ylafrecuenciaenescalalogaritmica(endécadasuoctavas) yaseaen[rad=seg]ó Herz. D eacuerdoa(3) elmóduloseconstruyedibujando cadaunodelos factores que son sumados, éstodebidoalaescalalogaritmica. 3 D iagramas de M óduloyfase(á ngulo) Considerandolafunción dadapor(4), setiene quehaciendos = j

3 3. M ódulode H(s) Tomandoelmódulode(5) K(+T a j)(+t b j) H(j)= µ ³j (5)» j(+t j) + j+ jkjj+t a jjj+t b jj jh(j)j= µ ³j jjjj+t jj» + j+ (6) L uego, evaluandolos módulos A síen db se tiene K p +T jh(j)j= a p +Tb p r h i + h i (7) +T» n logk+log p +T jh(j)j db = a +log p +Tb log+log p r h i + +T +log 4» n n [db] (8) Lostérminosdelnumeradorsesumanentresíysonrestadosporlostérminos deldenominador. 3. FasedeH(s) Lafasede(5) está dadapor Luego 6 H(j)= 6 K6 (+T a j)6 (+T b j) ³ (9) 6 j6 (+T j)6 +» n j µ µ µ 6 H(j)[rad] = tan +tan Ta +tan Tb ³ tan K µ û tan T tan [rad] () n 3

4 El módulo se construye dibujando cada factor por separado, los que son sumados. D ebido a la contidad de factores que puede teneruna función de transferencia, se usa elconcepto de asintota, que consiste en aproximarcada curva poruna linea recta. Sin embargo, en los lugares donde se produce el cambio de pendiente, pueden existirerrores. Esto también se aplica para el grá code fase, elcualusalamismaescaladefrecuencia. 4 Factores Existen cuatrotipos defactores básicos deacuerdoalatablai. Factores Ganancia(factorconstante) K Polosoceros enelorigendeordenp (jt) p Polosoceros paras= T, deordenp (+jt) p P olos oceros conjugados deorden p 4. Elfactor K µ ³j + j» + p Elmódulocorrespondeaunaconstante paralelaalejedelafrecuencia. Kj db =logk [db] () Lafasetomadosvaloresdeacuerdo(), 8 ± si K < y ± si K >, así 6 G(j)=tan µ K µ = ± ó 6 G(j)=tan =8 ± () K G(j ) [db] 4 K= log() K= log() K= log(/) (a) φ(ω) [grados] 6 K(K>) -6 - K(K<) -8.. (b) Figure: (a) M óduloparadistintos K. (b) FaseparaK > y K <. 4

5 4. Elfactor(jT) p Esterepresentaunarectacon pendientepositivaonegativaquecruzaelejede lafrecuenciaen= T ysupendienteesde p [db=dec]o p 6 [db=oct:] Se le llamaceroen elorigen cuandot =. p log jt p =log T p = p logt [db] (3) Noteque cuando= T, se tiene [db]:la Fig., muestra la recta con pendientede [db=dec] G(j ) [db] 4 log jωt - log /jωt -4.. (a) [grados] 8 jωt 9 /jωt -9 (/jωt) -8.. (b) Figure: (a) Módulopara jt:(b) Fasepara jt y(jt) : Luegolafase 6 G(j)=tan µ T 4.3 Elfactor(+jT) µ =9 ± ó 6 G(j)=tan T = 9 ± Esterepresentaun poloocerosimple, seaestetérminog(j);en db setiene G(j)j db = log (+jt) =log p + T = log p + T [db=dec] (4) Usandolaaproximaciónporasíntotas, setienequepara<< T ;endb G(j)j db =log (+jt)» p =log = [db] (5) Porotrolado, para>> T 5

6 G(j)j db» = log p T = logt [db=dec] (6) Deestaformasetieneun rectacon gananciaunitariapara << T yuna rectaconpendientede [db=dec]para>> T : Si p 6=, setieneun polooceromúltiple. EnlaFig. 3a, seindicaelmódulo de G(j);tantolacurvarealcomolaasíntota. Determinandolafasesetiene 6 G(j)=tan µ T Dondelafasetiendea ± para<<ya9 ± para>>;comosemuestra en lafig. 3b. 4 G(jω ) [db] - c φ(ω) [grados] Figure 3: µ ³ j 4.4 Elfactor p + j» + Representapolosoceroscomplejosconjugados,supendienteserade4[dB=dec] parap=. Estefactortienedoselementosadicionales,, llamadafrecuencia natural, yeltérmino»;llamadocoe cientedeamortiguamiento,elcualesmenor que. Seaelmóduloen db dadopor(7 ). jg(j)j db à µj = log + j» + p v " u µ # = p log t» + (7) 6

7 Así, para <<;setieneque(7 ) seaproximaa jg(j)j» db = p log=[db] Si >>;entonces, setieneque µ µ jg(j)j» db = p log = p 4log [db] L as curvas delafig. 4, muestran elmóduloparadistintos valores de»: G(j ω ) [db] Figure4: Factorcuadrá ticocon distintos»: D eterminandolafasesetiene que» 6 G(j)=tan ³ Noteque para valores <<, setiene quela fasetiendea ± ;mientras quepara >>;tiendea 8 ± : 5 Example Sealasiguiente función detransferencia C A H(s)= H aciendos = j;setiene que (s+) (s+4)(s +4s+) (8) 7

8 φ(ω) [grados] Figure5: Faseparadistintos»: (j+) H(j)= (j+4)((j) +4j+) (9) L uegoen formacanónica H(j)= j + 4 j 4 + ( +j+)= 6 j j 4 + ( + () +j) DelcualsedesprendequeK=:5;T z =:5;T p =:5 y; =:77. Asíelmóduloserá jh(j)j = jh(j)j db q j:5j +j +j +j+ = :5 + q 4 + q +4 4 r r = 4:469+log + 4 log s µ + 6 log +4 () Y lafase µ Ã ³ ³ 6 H(j)=tan +tan tan tan 4 :5 4 8

9 6 Eldiagramade B ode ylared eléctrica SealareddelaFig. 6. ParadeterminareldiagramadeBodesedeterminael circuitoequivalenteen elplanos y luegosereemplazas = j: K uf + v in _ 4K + v x _ v x nf 5K + v out _ Figure 6: V o (s) = V µ x(s) 5[K ]j = V µ x(s) 5[K ] s[nf] s5[k ] [nf]+ 4[K ] V x (s) = V i (s) 4[K ]+ s[¹f] +[K ]=V i(s) s[¹f]4[k ] s[¹f]5[k ]+ Luego s[¹f][k ] V o (s)= V i (s) (s[¹f]5[k ]+ )(s5[k ] [nf]+ ) Así Haciendos=j: H(s)= V o(s) V i (s) = s s + s + Luegoelmóduloserá H(j)= jh(j)j db =log log Porotroladolafase j H(j)= j + j + q q ( ) + ( ) + r ³ ;expresadoen db r + log ³ + 9

10 µ 6 H(j) = tan ³ tan ³ = 9 ± tan 7 Conclusiones tan ³ ³ tan La respuesta en frecuencia se obtiene a prtir de H(S)haciendo s = j; esto permitirá obtenerun grá codemóduloyfase. A partirdelacurvs delmódulo es posible obtener la ganancia en todo el rango de frecuencias de la red, e información adicionaldelancho de banda, a través de las frecuencias de corte inferiorosuperior. References []Kuo, B AutomaticControlSystems. Prentice-H all. pp []Ballabanian, N ElectricalNetwork. McGraw-Hill. pp [3]Hayt, W., Kemmerly, J A ná lisis decircuitos en Ingeniería. McGraw- H ill. pp 46-43

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