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1 Matemáticas Empresariales I PREGUNTAS DE TIPO TEST DERIVADAS Y APLICACIONES si 0. La función f ( ) sen es continua en = 0 si: p si 0 a) p = ½. b) p = 0. Para que sea continua en = 0 debe cumplirse que lím f ( ) f (0) 0 lím sen L H L H sen 0 cos 0 lím lím lím 0 sen 0 sen 0 0 sen cos 0 sen lím 0 cos cos sen La respuesta es b). 0. a e, si 0. La función f ( ) es derivable en = 0 si:, si 0 a) Sólo si a =. b) Para cualquier valor de a. Los límites laterales coinciden con f(0) =, pues: a lím f ( ) lím e lím f ( ) lím ( ) Por tanto, la función es continua en = 0. 0 a ae, si 0 Salvo en = 0, su derivada es f ( ), si 0 Las derivadas laterales en = 0 valen: f (0 ) = a f (0 + ) = La función es derivable si a =. La respuesta es a).. La ecuación de la recta tangente a la curva y en el punto de abscisa = es: 5 a) y b) y c) y = y y y() = /; y () = /8 tangente: y ( ) 8 8 La respuesta es b).

2 Matemáticas Empresariales I 4. La función f ( ) sin tiene : a) Infinitos máimos. b) Una asíntota oblicua. b) No tiene ni máimo ni asíntotas. f ( ) cos > 0 siempre No hay máimos ni mínimos. Es obvio que no tiene asíntotas verticales; lo mismo para horizontales. Veamos oblicua (y = m + n): f ( ) sen m = lím lím ; n = lím ( f ( ) m) lím sen no eiste. Por tanto, tampoco hay asíntota oblicua. La respuesta es c). 5. Dada f ( ) ( ), los valores de f () y f () son, respectivamente: a) y 4 b) y 4 c) y / f ( ) f () = ; f ( ) f () = /4 4 ( 5 ) ( ) La respuesta es c). p 6. La función f ( ) e tiene un mínimo local en = 0: a) Cualquiera que sea el valor de p. b) Sólo si p < 0. p p f ( ) e = 0 es punto singular; f ( ) ( 4 ) e f (0) > 0. Mínimo. En ningún caso depende de p. La respuesta es a). 7. La recta tangente a la curva y = e p, en el punto de abscisa = pasa por el origen de coordenadas si: a) Si p > 0. b) Sólo si p =. y = e p y = pe p En = : y() = e p y () = pe p La tangente en ese punto es: p y e p pe ( ) Para que pase por (0, 0): P 0 e P p pe (0 ) ( p ) e 0 p =. La respuesta es b). 8. La función ( ) f e p tiene: a) Un mínimo si p >. b) Un punto de infleión si p =. f ( ) e p 0 e p = ln p (posible máimo o mínimo) f ( ) e f ( ln p) p, que es > 0 si p > Hay mínimo si p >. La respuesta es a).

3 Matemáticas Empresariales I sen( ) 9. El lím vale: a) b) Aplicando la regla de L Hôpital: sen( ) 0 cos( ) lím = 0 = lím La respuesta es b). a( ) si 0 0. La función g ( ) es derivable en todo R si: ( ) si 0 a) a = b) a = c) Dicha función puede ser continua, pero nunca puede ser derivable en = 0. Es continua en = 0, pues: si 0, g() 0; si 0 +, g() 0 Para que sea derivable: a a si 0 g ( ) 4 si 0 si 0, g () a; si 0 +, g () a = La respuesta es a) La función f ( ) tiene: 6 a) Una asíntota vertical y una discontinuidad evitable. b) Dos asíntotas verticales. La función es discontinua cuando 6 0 = o =. La discontinuidad puede evitarse si eiste límite. 5 8 En =, como lím, la función tiene una asíntota vertical: =. 6 0 En =, como ( L H ) lím lím 6 6 la discontinuidad puede evitarse, definiendo La respuesta es a). f ( ) a b si. La función f ( ) es derivable en = si: si a) b = a. b) Sólo si a = y b = 4.

4 Matemáticas Empresariales I 4 Continuidad. Si, f() 4 + a + b Si +, f() a + b = 4 a + b = 0 Derivabilidad. a si f ( ) si Si, f () 4 + a Si +, f () 4 + a = a = b = 4 sin. La función f ( ) tiene en el intervalo [0, ]. cos a) Un mínimo en = /. b) Un máimo en = /. cos Derivada: f ( ) Se anula en = / y en = 5/, entre 0 y. ( cos ) sin ( cos ) Derivada segunda: f ( ) ( cos ) Como f ( / ) 0, en = / se da un máimo. Como f ( 5 / ) 0, en = 5/ se da un mínimo. La respuesta es c). 4. La función f ( ) a tiene un punto de infleión en = si: a) a = /8. b) a = 8. c) Nunca tiene puntos de infleión. f ( ) a f ( ) a f ( ) a Para que se tenga un punto de infleión en = debe cumplirse que f ( ) a 0 4 a. 8 La respuesta es a). 5. La función f ( ) e corta al eje OX: a) Sólo una vez. b) Dos veces. c) No corta al eje OX. f ( ) e f ( ) e 0, luego es siempre creciente. Como f ( ) e 0 y f ( 0), la función corta una sola vez. La respuesta es a).

5 Matemáticas Empresariales I 5 6. La ecuación de la recta tangente a f ( ) en su punto de infleión es: a) y b) y a) Ninguna de las anteriores. f ( ) f ( ) 6 f ( ) = es PI. La tangente es: y f ( ) f ( ) y y La respuesta es b). sin si 0 7. La función f ( ) es derivable en toda la recta real: a si 0 a) Para cualquier valor de a. b) Sólo si a =. El único punto que presenta dificultades es = 0. Continuidad en = 0 (para que una función sea derivable es necesario que sea continua): Si 0, f ( ) sin 0 Si 0 +, f ( ) a 0 Como los límites laterales coinciden, la función es continua para cualquier valor de a. Derivabilidad. cos si 0 Salvo para = 0, la función derivada es f ( ) a si 0 Si 0, f ( ) cos Si 0 +, f ( ) a Como las derivadas laterales coinciden, independientemente del valor de a, la función dada es derivable siempre. La respuesta es a). 8. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f ( ), en el punto P de la curva de abscisa =, es: a) y 5 b) y 5 La ecuación de la recta tangente a f() en el punto (a, f(a)) es: y f ( a) f ( a)( a) ( ) ( ) 5 f ( ) f ( ) ( ) ( ) Se tiene: f() = 7, f () = 5. La recta tangente será: y 7 5 y 5 La respuesta es a).

6 Matemáticas Empresariales I 6 m 9. La función f ( ) tiene: a) Un mínimo relativo si m > 0. b) Dos puntos de infleión si m 0. m m m( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) La derivada primera se anula si = 0, independientemente del valor de m. Si m > 0, f (0) < 0 en = 0 se tendría un máimo. Si m < 0, f (0) > 0 en = 0 se tendría un mínimo. Si m 0, la derivada segunda se anula en y en. Por tanto, hay dos puntos de infleión. La respuesta es b). 0. La función f ( ) e, en el intervalo (0, ), cumple: a) Corta una vez al eje OX. b) Tiene un máimo. f ( ) e f ( ) e f ( ) e La derivada primera se anula en = ln (0, ). Como f (ln ) < 0, la función tendrá un máimo en = ln. La respuesta es b).. Los infinitésimos en = 0, f ( ) sin y g( ) cos son: a) Equivalentes. b) Del mismo orden. sin 0 sin cos 0 lím 0 cos 0 = (L Hôpital) = lím 0 sin 0 = (L Hôpital) = cos cos sin = lím Son del mismo orden. 0 cos La respuesta es b).. La función f ( ) e es cóncava () en el intervalo: a) (, ) b) (, ] c) [, +) f ( ) e f ( ) ( ) e f ( ) ( ) e f ( ) 0 si = en = hay P.I. Si <, f ( ) 0 la función es cóncava () Si >, f ( ) 0 la función es convea () La respuesta es a).

7 Matemáticas Empresariales I 7 5. La función f ( ) 5 tiene: a) Dos máimos relativos. b) Tres puntos de infleión. 5 4 f ( ) 5 f ( ) 5 5 f ( ) f ( ) 5 5 = 0 = 0; f ( ) 0 0 = 0 = 0; / Hay tres punto de infleión, pues f ( ) en esos tres puntos. Como: f ( ) 0, en se tiene un máimo; f ( ) 0, en se tiene un mínimo. La respuesta es b). si 0 4. La continuidad, en el punto = 0, de la función dada por f ( ) p cos si 0 se consigue cuando: a) p = b) p = ln Para que una función sea continua en = a es necesario que los límites laterales eistan y sean iguales. Por la izquierda: 0 ln ln lím f ( ) lím = (L Hôpital) = lím 0 0 p 0 0 p p Por la derecha: cos lím f ( ) lím 0 0 ln Será continua cuando p = ln. p La respuesta es b). 5. La ecuación de la recta tangente a f ( ) 4 en el punto (0, f(0)) es: a) y b) y c) Ninguna de las anteriores, su ecuación es: f ( ) 4 f ( ) 4 4 Se tiene: f(0) = 0, f (0) =. La recta tangente será: y f ( 0) f (0)( 0) y 0 ( 0) y La respuesta es c): y

8 Matemáticas Empresariales I 8 6. La función f ( ) corta al eje OX: a) Una sola vez. b) Eactamente dos veces. Como f ( 0) y f ( ), por el teorema de Bolzano se deduce que la función corta al eje OX en el intervalo (0, ) al menos corta una vez al eje OX. Como f ( ) > 0 para todo, la función será siempre creciente. En consecuencia, sólo corta una vez al eje OX. La respuesta es a). 7. La función f ( ) e verifica: a) Siempre es decreciente. b) Tiene un máimo y un mínimo. c) Tiene una asíntota vertical. Derivando: f 4 4 ( ) e f ( ) 4 e e e (4 ) La derivada se anula en = 0 y = 4, por tanto hay que estudiar lo que pasa en los intervalos: < 0; 0 < < 4; > 4. si < 0, f () < 0 f es decreciente; si 0 < < 4, f () > 0 f es creciente; si > 4, f () < 0 f es decreciente; Como la derivada se anula en = 0, es decreciente si < 0 y creciente cuando > 0, en = 0 la función tiene un mínimo. De manera análoga concluimos que en = 4 se da un máimo. La respuesta es b). 4

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