b) El cuadrado de un número es igual a ese número menos ¼. Qué número es?

Transcripción

1 Plan de clase (1/3) Escuela: Fecha: Profr(a).: Curso: Matemáticas 9 Eje temático: SNyPA Contenido: Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones. Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen la fórmula general para solucionar problemas que tengan asociadas ecuaciones cuadráticas de la forma 2 ax bx c 0. Consigna. Organizados parejas, encuentren las ecuaciones que modelan los siguientes problemas y resuélvanlas. a) Erick es dos años mayor que su hermano. Si la suma de los cuadrados de sus edades es 340, cuántos años tiene Erick? b) El cuadrado de un número es igual a ese número menos ¼. Qué número es? Consideraciones previas Es probable que los estudiantes traten de resolver las ecuaciones correspondientes a los problemas mediante técnicas como factorización o ensayo y error. Sin embargo, su aplicación se dificulta debido a los números que involucran. Antes de introducir la fórmula general, es importante dar tiempo suficiente para que los estudiantes planteen sus ecuaciones y traten de resolverlas. En la discusión grupal, verifique que las ecuaciones planteadas sean las adecuadas. Es probable que algunos alumnos necesiten ayuda para plantear la ecuación de primer problema. Primero hay que representar las edades, por ejemplo, x (edad del hermano) y x + 2 (edad de Erick). Después, hay que plantear como una ecuación las relaciones que se establecen en el texto del problema: x 2 + (x + 2) 2 = 340 Finalmente efectuar las operaciones y simplificar para llegar a la ecuación: 2x 2 4x o 2 x 2x Aunque es posible resolver esta ecuación por factorización (los factores son x 14 y x + 12), los números involucrados pueden complicar las factorización, pues hay que factorizar 168. Este momento se puede aprovechar para introducir el uso de la fórmula general. Para ello, es necesario explicar que la forma general de las ecuaciones cuadráticas es:

2 ax 2 + bx + c = 0, donde a 0 y a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática. Se recomienda dar nombres a los términos de la forma general de las ecuaciones cuadráticas, como se indica en la siguiente tabla: ax 2 bx c Término de primer grado o lineal Término de segundo grado o cuadrático Término independiente A continuación, hay que introducir la fórmula general y explicar su aplicación detalladamente: b x b 2 4ac 2a Se sugiere hacer una tabla como la anterior para identificar los términos, en el caso de la ecuación específica que se quiere resolver en este momento: 2 x 2x x 2 2x -168 Término de primer grado o lineal Término de segundo grado o cuadrático Término independiente a = 1 b = 2 c = -168 Explique detalladamente la aplicación de la fórmula paso a paso. Entre otras cosas, explique cuidadosamente el significado del ± de la fórmula y cómo se usa al calcular el valor de la x. Una vez encontradas las soluciones de la ecuación (14 y -12, en este caso) es muy importante descartar la que no sea adecuada de acuerdo al contexto y verificar que la solución cumpla con las condiciones del problema. Al segundo problema le corresponde la ecuación: x 2 = x ¼ Es conveniente que esta ecuación se pase a la forma general: x 2 x + ¼ = 0 Cuya solución es x = ½. Aproveche para señalar que en este caso el discriminante es cero. Para reafirmar lo anterior se puede dejar de tarea lo siguiente:

3 Determina los valores de a, b y c de las siguientes ecuaciones y resuélvelas usando la fórmula general. Ecuación a b c 3x 2 5x 2 = 0 5x 2 + 2x = x x 2 = -1 En la siguiente sesión conviene retomar el trabajo que hayan hecho los alumnos porque es muy probable que cometan errores en las sustituciones de los valores de a, b y c en la fórmula. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

4 Plan de clase (2/3) Escuela: Fecha: Profr(a).: Curso: Matemáticas 9 Eje temático: SNyPA Contenido: Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones. Intenciones didácticas: Que los alumnos usen el valor del discriminante de la fórmula general para determinar el número y el tipo de soluciones de una ecuación cuadrática. Consigna: Organizados en binas calculen el valor numérico de b² - 4ac (discriminante) y las soluciones de cada ecuación. ECUACIÓN 3x² - 7x + 2 = 0 4x² + 4x + 1 = 0 3x 2-7x +5 = 0 VALOR DEL DISCRIMINANTE b² - 4ac SOLUCION o SOLUCIONES Con base a las ecuaciones cuadráticas que han resuelto hasta el momento, contesten. Argumenten sus respuestas: Con formato: Español (México) a) Si el valor del discriminante es mayor que cero, cuántas soluciones consideran que tendrá la ecuación? b) Si el valor del discriminante es igual a cero, cuántas soluciones consideran que tendrá la ecuación? c) Si el valor del discriminante es menor que cero, cuántas soluciones consideran que tendrá la ecuación? Consideraciones Previas Entre los errores se puede presentar que algunos alumnos calculen la raíz cuadrada de un número negativo; en este caso, puede pedirse que hagan la comprobación con la calculadora, que marcará como error. Es conveniente

5 explicar entonces que la raíz cuadrada de un número negativo pertenece a otro campo de números llamados imaginarios. Es conveniente también que enfatice el caso en el que el discriminante es cero, cuando habrá una única solución. Señale que en este caso también se dice que la solución son dos raíces iguales. Para resumir, puede llenar una tabla como la siguiente: Discriminante Tipo de solución b 2-4ac 0 Dos raíces. Por ejemplo, 2 y -1/3. b 2-4ac =0 Solución única (dos raíces iguales). Por ejemplo, -1/2. b 2-4ac 0 Sin solución dentro del conjunto de los números reales; es decir, su solución es imaginaria. Es muy recomendable que se planteen otras ecuaciones para seguir ejercitando lo estudiado en esta sesión. Puede tomar ejercicios del libro de texto de los alumnos, como los siguientes: Determina cuántas soluciones tiene cada ecuación y encuéntralas: x 2 64 =0 x 2 6x + 10 =0 x(x + 3) = 5x + 3 Inventa una ecuación cuadrática de una incógnita que no tenga soluciones (reales), una con una solución única y una con dos soluciones. Se sugiere realizar la actividad complementaria Funciones Cuadráticas, en Hoja electrónica de cálculo. EMAT, México, SEP, 2000,pp Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?

6 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

7 Plan de clase (3/3) Escuela: Fecha: Profr(a).: Curso: Matemáticas 9 Eje temático: SNyPA Contenido: Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones. Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado para resolver problemas. Consigna: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema: Si el área de un terreno, como el indicado en la figura, mide 207 m 2, cuáles son sus dimensiones? X² X² X² Consideraciones previas Se espera que los alumnos encuentren la ecuación cuadrática que resuelve el problema: 3x 2 + 8x = 0 y utilicen la fórmula general para encontrar la solución a dicho problema. En la confrontación se deberá hacer la observación de que sólo una de las raíces de la ecuación cumple con las condiciones del problema. Con el fin de consolidar el uso de la fórmula general se pueden plantear las siguientes problemas: 1. Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya base mida 2 cm menos que la altura y su diagonal, mida 5 cm. 2. Se quiere encontrar dos números impares positivos y consecutivos, de tal manera que la suma de sus cuadrados sea 394. Existen esos números? Si existen, cuáles son? Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?

8 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre