GUIA N 4: FUNCIÓN EXPONENCIAL. La principal característica de una función exponencial es que la variable se encuentra en el exponente.

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1 GUIA N 4: FUNCIÓN EXPONENCIAL Definición: La principal característica de una función exponencial es que la variable se encuentra en el exponente. Su forma general es Donde es un número real positivo distinto de 1 llamado base y es el exponente. Propiedades de la función exponencial Gráfico de una función exponencial Podemos distinguir dos casos dependiendo el valor de la base. Escriba aquí la ecuación. En este caso se dice que la función exponencial es creciente En este caso se dice que la función exponencial es decreciente 1

2 I. Resuelva los siguientes ejercicios. 1. Las bacterias en un cultivo se contabilizan (en miles) según la formula B( r) 2 r 3, donde está medido en horas. De acuerdo con estos datos responda: a) Cuál es el número inicial de bacterias? b) Cuál es el número de bacterias después de 10 minutos? c) Cuál es el número de bacterias después de 1 hora? 2. La población de una pequeña aldea (en cientos de personas) se puede modelar, a partir del año 2000, mediante la fórmula P( t) 0,16t 300 1,5. a) Cuál es la población inicial de la aldea? b) Cuál es la población de la aldea en el año 2008? c) Cuál es la variación porcentual de la población de la aldea entre los años 2003 y 2013? 3. Carlos ha decidido depositar en una cuenta de ahorro una cantidad de dinero inicial, a una tasa del de interés mensual. t i La expresión C( t) C 1 permite calcular el monto final que Carlos 100 retirará luego de transcurridos meses luego del depósito. a) En el Banco Seguro le ofrecen una tasa de interés del 3,8% mensual si el depósito inicial es de $ i. Modele la función que permita calcular el monto que retira Carlos después de meses. ii. Calcule el monto que retira Carlos luego de 8 meses. iii. Calcule el monto que retira Carlos luego de 15 meses. b) En cambio en el Banco Cliente Feliz le ofrecen que sii el monto del depósito inicial es de $ el banco le paga a un interés de 3%. i. Modele la función que permita calcular el monto que retira Carlos después de meses ii. Calcule el monto que retira Carlos luego de 8 meses. iii. Calcule el monto que retira Carlos luego de 15 meses. c) Cuál de los dos bancos le conviene si el tiempo que tendrá el dinero es 20 meses? Argumente su respuesta. 4. Anita, estudiante de veterinaria, realiza un conteo inicial de un panal de abejas y resulta ser de 250. Posteriormente, hace otro conteo de la muestra y encuentra que la tasa relativa es de 20% por día. Esta situación se puede modelar por la función a) Cuál será el conteo luego de 5 días? 2

3 b) Cuál será el conteo luego de 10 días? II. Lea atentamente el enunciado de cada ejercicio y resuelva. 1. Algunos tipos de bacterias se reproducen triplicándose cada espacio de tiempo muy pequeño, en algunos casos cada 15 minutos. Si inicialmente hay una bacteria a) Cuántas bacterias hay luego de 30 minutos? b) Cuántas bacterias hay luego de dos horas? c) Establezca una función exponencial, que permita calcular el número de bacterias después de d) Grafique la función exponencial encontrada. intervalos de 15 minutos 2. El creador del ajedrez solicito como recompensa que se le diera un grano de arroz de cebada por la primera casilla, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, etc. a) Cuántos granos de arroz le deben dar por la casilla n 7? b) Cuántos granos de arroz le deben dar por la casilla n 25? c) Establezca una función exponencial, que permita calcular el número de granos de arroz que le corresponden en la casilla n. d) Grafique la función exponencial encontrada. 3. La tasa de crecimiento de una población es del 4% anual, y la población actual es de habitantes. a) Cuál es la población dentro de 2 años? b) Cuántos habitantes tendrá dentro de 3 años? c) Establezca una función exponencial,, que permita calcular la población luego de años. d) Utilizando la función que usted encontró, calcule la cantidad de habitantes aproximada que habrá dentro de 15 años. e) Grafique la función exponencial encontrada. 5. Manuel compro en una automotora un auto nuevo. El precio inicial del vehículo es de $ , además se sabe que luego de cada año de uso se desvaloriza en un 5% del valor que tenía al inicio de ese año. a) Cuál es el valor del vehículo luego de 1 año? b) Cuál es el valor del vehículo luego de 3 años? c) Establezca una función exponencial,, que permita calcular el precio del vehículo luego de de funcionamiento. d) Utilizando la función que usted encontró, calcule el valor aproximado que tendrá el vehículo luego de 10 años. e) Grafique la función exponencial encontrada. 3

4 6. Una población de hormigas, aumenta a razón constante cada día. Se sabe que al quinto día la población de hormigas es de 3200 y al octavo día es de a) Establezca una función exponencial,, que permita calcular la población de hormigas luego de días. b) Utilizando la función que usted encontró, calcule la población aproximada de hormigas que tendrá el vehículo luego de 10 días. c) Grafique la función exponencial encontrada. 7. Una empresa de retail ofrece para un puesto de trabajo un sueldo inicial, y un aumento en el sueldo en un porcentaje constante. Marcela encargada del pago de los sueldos le explica que el segundo año de haber ingresado su sueldo será de $ y al cuarto año es de $ a) Establezca una función exponencial,, que permita calcular el sueldo después de años de haber ingresado a la empresa. b) Utilizando la función que usted encontró, calcule el sueldo aproximado que tendrá Raúl luego de 10 años en la empresa. c) Grafique la función exponencial encontrada. 8. Cierto tipo de cucarachas se internó en un edificio en el año 2010 y se puede modelar mediante la función, donde es la cantidad inicial de bacterias, es la tasa relativa de crecimiento y es el tiempo transcurrido desde el a) Se estima que la población actual es de 380 cucarachas, con una tasa de crecimiento relativa del 10% anual. Cuál es la población inicial de cucarachas? b) Cuál es la función que modela la situación? c) Calcule la población de cucarachas en el año

5 III. Encuentre en cada caso la función modelada por la grafica 1. La siguiente grafica muestra el crecimiento de cierto tipo de bacteria, que está modelado por una función del tipo, donde es la cantidad de horas que han transcurrido. a) Encuentre la función que modela la situación. b) Calcule la cantidad inicial de bacterias. c) Calcule la cantidad de bacterias luego de 3 horas. 5

6 2. El precio (en cientos de pesos) de cierta consola de videojuegos luego de años de uso, se modela mediante la siguiente función. a) Encuentre una función de la forma que modele la situación. b) Calcule el valor de la consola luego de seis meses de uso. c) Calcule el valor luego de 4 años de uso. 6

7 RESPUESTAS I. 1. a) 3000 bacterias. b) 3367 bacterias. c) bacterias. 2. a) personas. b) personas. c) En el año 2003 hay personas, en el año 2013 hay personas, así la variación porcentual es del 57,48%. 3. a) i. b) i. ii. $ aprox. iii. $ aprox. ii. $ aprox. iii. $ aprox c) Le conviene el primer banco porque obtiene de ganancia aproximadamente $ a) 679 abejas. b) abejas. II. 1. a) 9 bacterias b) bacterias c) d) 7

8 2. a) 64 granos de arroz. b) granos de arroz. c) d) 3. a) habitantes. b) habitantes. c) d) habitantes. 5. a) $ b) $ c) d) $ aprox. 6. a) b) hormigas. 7. a) b) $ a) 282 cucarachas aproximadamente. b) c) 1035 cucarachas. III. 1. a) 8

9 b) bacterias. c) bacterias. 2. a) b) El precio será de $ aprox. c) El precio será de $