MA Tarea No 7. Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM. 19 de febrero de 2011

Transcripción

1 MA Tarea No 7 Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 19 de febrero de En un taller de servicio especializado en afinaciones se sabe que 45 % de todas se hacen a motores de 4 cilindros, 40 % en autos de 6 cilindros y 15 % a autos de 8 cilindros. Sea X la variable aleatoria que representa el número de cilindros de un auto llevado al taller. a) Determine p(x) la función masa de probabilidad de X. La respuesta es: p(x) = 0.45 si x = si x = si x = otro caso Alternativamente, la respuesta se puede expresar como la tabla x p(x) otro caso 0.00 b) Realice el histograma de probabilidad de la función masa de probabilidad de X. y x c) Calcule F (x) la función acumulada de p(x). En nuestro ejemplo D el conjunto de valores que dá X es D = {4, 6, 8} Para x < 4: El conjunto de los y D que cumplen y x es vacío. Para x < 4, F (x) = P ({}) = 0.0 Para 4 x < 6: El conjunto de los y D que cumplen y x es {4}. Para 4 x < 6, F (x) = P ({4}) = 0.45

2 Para 6 x < 8: El conjunto de los y D que cumplen y x es {4, 6}. Para 6 x < 8, F (x) = P ({4, 6}) = = 0.85 Para 8 x: El conjunto de los y D que cumplen y x es {4, 6, 8}. Para 8 x, F (x) = P ({4, 6, 8}) = = 1.0 la respuesta es: d) Realice la gráfica de F (x) 0.00 si x < si 4 x < 6 F (x) = 0.85 si 6 x < si 8 x y x e) Calcule E[X] y V (X). µ = 5.4, σ 2 X = 2.04 Apliquemos las fórmulas: µ X = E[X] = x D x p(x) = = 5.40 σ 2 X = V (X) = x D (x µ X) 2 p(x) = (4 5.4) (6 5.4) (8 5.4) = 2.04 f ) Suponga que el costo de cada afinación de cada auto y depende del número de cilindros y está dado por la tabla: Cilindros costo 1,100 1,350 1,500 Determine E[C(X)] y V (C(X)). µ C(X) = 1, 260, σc(x) 2 = 23, 400 Apliquemos directante las fórmulas: µ C(X) = E[C(X)] = x D C(x) p(x) = C(4) C(6) C(8) 0.15 = 1, , , = 1, 260 V (C(X)) = x D (C(x) µ C(X)) 2 p(x) = (C(4) µ C(X) ) (C(6) µ C(X) ) (C(8) µ C(x) ) = 23, 400 2

3 2. Las líneas aéreas en ocasiones venden boletos de más. Suponga que para un avión de 50 asiento, 55 pasajeros tienen boleto. Defina la variable aleatoria X como el número de pasajeros con boleto que realmente se presenta al vuelo. La función de probabilidad de X aparece en la siguiente tabla. x p(x) a) Cuál es la probabilidad de que el vuelo acomodará a todos los pasajeros? = 0.83 El evento A=el vuelo acomodará a todos sus pasajeros es A = (X = 45) (X = 46) (X = 47) (X = 48) (X = 48) (X = 50) P (A) = P (X = 45) + P (X = 46) + P (X = 47) + P (X = 48) + P (X = 48) + P (X = 50) = = 0.83 b) Cuál es la probabilidad de que no todos los pasajeros que aparecen puedan ser acomodados? = 0.17 Si usamos el evento A como arriba, el evento en este inciso es A. Por tanto P (A ) = 1 P (A) = = 0.17 c) Suponga que Ud. está en la línea de espera del vuelo (que a Ud. se le vendrá el primer boleto disponible en caso de que todos los pasajeros con boleto estén acomodados) Cuál es la probabilidad de que Ud. tome el vuelo? Misma pregunta pero suponiendo que Ud. es la tercera persona en la lista de espera. Caso1 : 0.66, Caso2 : 0.27 Si B es el evento siendo el primero en la lista de espera tengo un lugar, entonces Por tanto B = (X = 45) (X = 46) (X = 47) (X = 48) (X = 49) P (B) = P (X = 45) + P (X = 46) + P (X = 47) + P (X = 48) + P (X = 49) = = 0.66 Si C es el evento siendo el tercero en la lista de espera tengo un lugar, entonces C = (X = 45) (X = 46) (X = 47) Por tanto P (C) = P (X = 45) + P (X = 46) + P (X = 47) = = 0.27 d) Calcule F (X) la función acumulada de p(x). En nuestro ejemplo D el conjunto de valores que dá X es D = {45, 46,... 55} 3

4 Para x < 45: El conjunto de los y D que cumplen y x es vacío. Para x < 45, F (x) = P ({}) = 0.0 Para 45 x < 46: El conjunto de los y D que cumplen y x es {45}. Para 45 x < 46, F (x) = P ({45}) = 0.05 Para 46 x < 47: El conjunto de los y D que cumplen y x es {45, 46}. Para 46 x < 47, F (x) = P ({45, 46}) = 0.15 Para 47 x < 48: El conjunto de los y D que cumplen y x es {45, 46, 47}. Para 47 x < 48, F (x) = P ({45, 46, 47}) = 0.27 etcétera la respuesta es: F (x) = e) Calcule el valor esperado de X. µ X = Directamente de la fórmula:.00 si x < si 45 x < si 46 x < si 47 x < si 48 x < si 49 x < si 50 x < si 51 x < si 52 x < si 53 x < si 54 x < si 55 x µ X = E[X] = x=55 x=44 x p(x) = = f ) Suponga que la compañía siempre tiene personas en espera y que ellos están dispuestos a pagar 2,000 pesos por boleto mientras que a cada persona con boleto vendido y que no tiene asiento a la compañía se cuesta 8,000 pesos. Determine E[C(X)] y V (C(X)). µ C(X) = 40, σc(x) Observe que las ganancias de la companía se vuelve una función de la variable aleatoria X: X C(X) 5 2, , , , , ,000 2 ( 8, 000) 3 ( 8, 000) 4 ( 8, 000) 5 ( 8, 000) Directamente de la fórmula: µ C(X) = E[C(X)] = x=55 x=45 C(x) p(x) = C(44) C(45) C(55) 0.01 = 10, , ( 40, 000) 0.01 = 40.0 V (C(X)) = x D (C(x) µ C(X)) 2 p(x) = (C(45) µ C(X) ) (C(46) µ C(X) ) (C(55) µ C(x) ) = (10, ) (8, ) ( 40, )

5 3. Una empresa de ventas en línea dispone de 6 líneas telefónicas. Sea X el número de líneas en uso en un tiempo especificado. Suponga que la función masa de probabilidad de X está dada en la siguiente tabla. Calcule la probabilidad de los siguientes eventos. x p(x) a) A = Cuando mucho tres líneas están en uso. P (A) = 0.70 Note que el evento a describir es: A = (X = 0) (X = 1) (X = 2) (X = 3) P (A) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = = 0.70 b) B = Cuando menos tres líneas están en uso. P (B) = 0.55 Note que el evento a describir es: B = (X = 3) (X = 4) (X = 5) (X = 6) P (B) = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) = = 0.55 c) C = Por lo menos tres líneas están en uso. P (C) = 0.55 Note que este evento es justo el evento del problema anterior. P (C) = P (B) = 0.55 d) D = Entre dos y tres líneas, inclusive, están en uso. P (D) = 0.45 Note que el evento a describir es: D = (X = 2) (X = 3) P (D) = P (X = 2) + P (X = 3) = = 0.45 e) E = Entre dos y cuatro líneas, inclusive, no están en uso. P (E) = 0.65 Definimos la variable aleatoria Y que cuenta las líneas que no están en uso: X Y

6 Note que el evento a describir es: E = (Y = 2) (Y = 3) (Y = 4) = (X = 4) (X = 3) (X = 2) P (E) = P (X = 4) + P (X = 3) + P (X = 2) = = 0.65 f ) F = Por lo menos cuatro líneas, no están en uso. P (F ) = 0.45 Usamos la variable aleatoria Y del inciso anterior y así el evento a describir es: F = (Y = 4) (Y = 5) (Y = 6) = (X = 2) (X = 1) (X = 0) P (F ) = P (X = 2) + P (X = 1) + P (X = 0) = = Una organización de protección al consumidor que habitualmente evalúa autos nuevos reporta el número de defectos importantes encontrados em cada auto examinado. Sea X el número de defectos importantes en un carro seleccionado al azar de cierto tipo. Suponga que la función de distribución acumulada para X es la siguiente: 0.00 x < x < x < x < 3 F (x) = x < x < x < x Calcule lo siguiente: a) p(2) es decir P (X = 2) = P (X 2) P (X 1) = F (2) F (1) = = 0.20 b) P (X > 3) = 1 P (X 3) = 1 F (3) = =0.33 c) P (2 X 5) = P (X 5) P (X 1) = F (5) F (1) = = 0.78 d) P (2 < X < 5) = P (X 4) P (X 2) = F (4) F (2) = = 0.53 e) E[X] = 2.80 Note que p(x) = F (x) F (x 1), por tanto µ X = 6 x=0 x p(x) = 6 x=0 x (F (x) F (x 1)) = 0 (0.06 1) + 1 ( ) (1 0.97) =

7 f ) V (X) = 1.94 Con la observación anterior V (X) = 6 x=0 (x µ X) 2 p(x) = 6 x=0 (x µ2 ) (F (x) F (x 1)) = (0 2.8) 2 (0.06 1) + (1 2.8) 2 ( ) + + (6 2.8) 2 (1 0.97) = Se han hecho pruebas sobre un dado y se estima que las probabilidades de que salga cada número se obtienen de la siguiente tabla. x p(x) Sea X la variable aleatoria que indica el número que se obtiene al tirar el dado. Calcule a) P (X > 2) = 1 P (X 2) = 1 (P (X = 1) + P (X = 2)) = 1 ( ) = 0.76 b) P (2 X < 4) = P (X = 2) + P (X = 3) = = 0.24 c) E[X] = µ X = 6 x=1 x p(x) =4.05 d) V (X) = 6 x=1 (x µ X) 2 p(x) = e) Suponga que al número que sale del dado lo eleva al cuadrado y le suma 1. Cuál es el valor promedio de este cálculo? = Apliquemos la fórmula: 6 E[g(X)] = (x 2 + 1) p(x) = x=1 7