Programación Lineal. Introducción. Ejemplo 1:

Transcripción

1 Progrmció Liel. Itroducció. E los últimos 7 ños ls empress cd ve myores y complejs h origido u ciert clse de problems de optimició dode el iterés rdic e sutos tles como l mer más eficiete de mejr u ecoomí o cómo orgir los horrios de vuelo de ls fts e u compñí ére o l mecl de igredietes de u fertilite pr stisfcer ls especificcioes grícols u costo míimo etc. El estudio de cómo formulr y resolver tles problems h origido el desrrollo de uevs e importtes técics de optimició. Etre ésts ecotrmos l progrmció liel. El modelo de progrmció liel esto es l optimició de u fució liel sujet restriccioes lieles es secillo e su estructur mtemátic pero poderoso por su cpcidd de dptrse u mplio rgo de pliccioes problems de l vid rel. Los problems de progrmció liel se iteres e l sigció eficiete de recursos limitdos co el áimo de lcr objetivos desedos. Estos problems se crcteri por el gr úmero de solucioes que stisfce ls codicioes impuests por cd problem. L selecció de u solució cocret como l mejor u problem depederá de cierto objetivo implícito e el pltemieto del problem. U solució que stisfg tods ls codicioes del problem y demás lcce el objetivo desedo se deomi solució óptim. Pr poder eteder bie de qué estmos hbldo vmos emper propoiedo u serie de ejemplos e los que se pued precir como situcioes e prieci muy diferetes d lugr modelos mtemáticos que so idéticos e estructur y ce detro de lo que se etiede por problems de progrmció liel. Ates de emper co los ejemplos observemos que pr plter culquier problem de progrmció liel deberemos idetificr cutro compoetes básicos:. Los dtos del problem. Ls vribles que hbremos de defiir pr formulr el problem juto co sus domiios de defiició. Ls restriccioes que viee impuests por ls codicioes del problem.. L fució que represet el objetivo lcr y que hbitulmete debe ser optimid. Ejemplo : U problem de diet. Se dese ñdir l diet de ciertos imles de grj ctiddes etr de timi fósforo y hierro. Pr ello e el mercdo eiste dos preprdos e polvo diferetes: Fosftó y Ferroforo. Estos cotiee los utrietes e ls ctiddes que se idic cotiució. Cd o de Ferroforo cotiee. mg de timi.7 mg de fósforo y. mg de hierro. Cd o de Fosftó cotiee. mg de timi.7 mg de fósforo y. mg de hierro. Desemos que cd iml recib l dí l meos. mg de timi 7. mg de fósforo y. mg de hierro. El costo de cd o de Ferroforo es de. y el de Fosftó es de / de cétimo de euro por o. Determir ls ctiddes de Ferroforo y Fosftó que debemos sumiistrr cd iml de form que el costo de este suplemeto l diet se míimo.

2 Solució: Tl y como hemos idicdo teriormete emperemos idetificdo los cutro compoetes básicos del problem. E primer lugr epresmos los dtos del problem e form de tbl lo que os drá u mejor perspectiv de los mismos: Proporció de utriete por igrediete Nutrietes Igredietes Timi Fósforo Hierro Costo de los igredietes Ferroforo. mg/o.7 mg/o. mg/o cts/o Fosftó. mg/o.7 mg/o. mg/o / cts/o Defiició de ls vribles del problem: Se y ls ctiddes e os de Ferroforo y Fosftó respectivmete que debemos ñdir l diet de los imles dirimete. Restriccioes del problem: Al echr l diet os de Ferroforo y os de Fosftó estrímos proporciodo l mism el siguiete porte utriciol dirio:.. mg de Timi.7.7 mg de Fósforo.. mg de Hierro Como desemos que cd iml recib l dí l meos. mg de timi 7. mg de fósforo y. mg de hierro. Deberemos impoer ls siguietes restriccioes: Restriccioes de o egtividd: Tl y como hemos defiido ls vribles del problem o tiee igú setido que ésts tome vlores egtivos. De mer que tmbié impodremos ls restriccioes: Ests restriccioes se suele epresr de form cojut del siguiete modo: y se les llm ls restriccioes de o egtividd. Defiició de l fució que represet el objetivo que pretedemos lcr: Es lógico pesr que hbrá muchs pres de vlores ( ) que cumplirá tods ls restriccioes del problem. Cd uo de estos pres de vlores ( ) que sigific echr dirimete l diet de los imles os de Ferroforo y os de Fosftó tedrá u costo de / cétimos de euro.

3 Luego si llmmos / represet el costo e cétimos de euro socido l pr ( ) de vlores de ls vribles. Es evidete que uestro objetivo será determir el pr ( ) que cumpliedo tods ls restriccioes del problem hg míimo el vlor de l fució. Luego el problem que hemos de resolver lo podemos epresr del siguiete modo: mi sujeto... ( P) Ejemplo : U problem de mecls. U fábric de piturs mecl tres ditivos A A y A u bse e diferetes proporcioes pr obteer distitos colores de tit. L tit roj se obtiee mecldo A A y A e l proporció de :: l tit ul e l proporció de :: y l tit verde e l proporció ::. Después de meclr estos ditivos cd color de tit se le ñde u ctidd de bse igul l sum de dichos ditivos e los respectivos colores. L compñí ctulmete tiee gloes de A de A de A y de bse. Dedo que el beeficio obteido por gló de cd tipo de tit es el mismo desrrolle u modelo de progrmció liel pr determir cómo deberí usrse estos recursos pr obteer los máimos igresos supoiedo que tod l tit que se fbrique será vedid. Solució: Segú el eucido del ejemplo podemos ver que pr hcer cd tipo de tit debemos meclr los tres ditivos juto co l bse siguiedo ls proporcioes que se puede ver e el siguiete dibujo:

4 Emperemos lido los dtos del problem. Tit Roj: E u gló (litro cm ) de tit roj l relció de los ditivos y l bse es: A A A B : : : luego si el gló de tit roj lo prtimos e prtes igules hbrá: prtes de ditivo A prte de ditivo A prtes de ditivo A prtes de bse lo que idic que l proporció de ditivos y bse e dicho gló de tit roj serí l siguiete: ls prtes del gló de tit roj serí ditivo A ls prtes del gló de tit roj serí ditivo A ls prtes del gló de tit roj serí ditivo A y ls prtes del gló de tit roj serí bse. Es decir de cd gló de tit roj es ditivo A de cd gló de tit roj es ditivo A de cd gló de tit roj es ditivo A de cd gló de tit roj es bse. Tit Aul: E u gló (litro cm ) de tit ul l relció de los ditivos y l bse es: A A A B : : : 9 luego si el gló de tit ul lo prtimos e 8 prtes hbrá: prtes de ditivo A prte de ditivo A prtes de ditivo A 9 prtes de bse lo que idic que l proporció de ditivos y bse e dicho gló de tit roj serí: de cd gló de tit ul es ditivo A 8 de cd gló de tit ul es ditivo A 8

5 de cd gló de tit ul es ditivo A 8 9 de cd gló de tit ul es bse. 8 Tit Verde: E u gló (litro cm ) de tit verde l relció de los ditivos y l bse es: A A A B : : : luego si el gló de tit verde lo prtimos e prtes hbrá: prtes de ditivo A prte de ditivo A prtes de ditivo A prtes de bse lo que idic que l proporció de ditivos y bse e dicho gló de tit verde serí: de cd gló de tit verde es ditivo A de cd gló de tit verde es ditivo A de cd gló de tit verde es ditivo A de cd gló de tit verde es bse. Defiició de ls vribles de decisió: Deotmos medite R ctidd de gloes de tit roj producir. A ctidd de gloes de tit ul producir. V ctidd de gloes de tit verde producir. Restriccioes debids l dispoibilidd de los ditivos y bse: R 8 V A ctidd de uiddes de ditivo A gstds l fbricr R gloes de tit roj A gloes de tit ul y V gloes de tit verde.

6 R 8 V A ctidd de uiddes de ditivo A gstds l fbricr R gloes de tit roj A gloes de tit ul y V gloes de tit verde. R 8 V A ctidd de uiddes de ditivo A gstds l fbricr R gloes de tit roj A gloes de tit ul y V gloes de tit verde. 9 R 8 V A ctidd de uiddes de bse gstds l fbricr R gloes de tit roj A gloes de tit ul y V gloes de tit verde. Restriccioes de o egtividd. Tl y como se h defiido ls vribles de decisió o tiee igú setido que tome vlores egtivos luego: R A V odelo: De mer que quedrí el siguiete modelo: imir sujeto R R R R R A A A A A R V A V V V V V

7 Ejemplo : Plificció de l producció. U fbricte produce tres modelos (I II y III) de u cierto producto y us dos tipos de mteri prim (A y B) de ls cules se tiee dispoibles. y. uiddes respectivmete. Los requisitos de mteri prim por uidd de los tres modelos so: teri Requisitos por uidd de modelo ddo Prim I II III A B 7 El tiempo de mo de obr pr cd uidd del modelo I es dos veces el del modelo II y tres veces el del modelo III. L fuer lborl complet de l fábric puede producir el equivlete de 7 uiddes del modelo I. U ecuest de mercdo idic que l demd míim de los tres modelos es y uiddes respectivmete. Si embrgo ls relcioes del úmero de uiddes producids debe ser igul ::. Supog que los beeficios por uidd de los modelos I II y III so y uiddes moetris respectivmete. Formule u modelo de progrmció liel que determie el úmero de uiddes de cd producto que mimirá el beeficio. Solució: Supodremos que todo lo que se produce se vede. Defiició de ls vribles de decisió: Deotremos por uiddes del modelo I del producto que se v producir. uiddes del modelo I del producto que se v producir. uiddes del modelo I del producto que se v producir. Fució objetivo: Deotremos por que represet los beeficios obteidos por l fbricció y vet de uiddes del modelo I uiddes del modelo II y uiddes del modelo III. Restriccioes debids l dispoibilidd de ls mteris prims A y B: ctidd de uiddes de mteri prim A gstds l fbricr uiddes del modelo I uiddes del modelo II y uiddes del modelo III 7 ctidd de uiddes de mteri prim B gstds l fbricr uiddes del modelo I uiddes del modelo II y uiddes del modelo III

8 Restriccioes debids l demd míim segú u ecuest de mercdo de los tres modelos: Restriccioes debids que ls relcioes del úmero de uiddes producids debe ser igul : : pr los modelos I II y III respectivmete. Restricció debid : el tiempo de mo de obr pr cd uidd del modelo I es dos veces el del modelo II y tres veces el del modelo III y sbemos que l fuer lborl complet de l fábric puede producir el equivlete de 7 uiddes del modelo I. Pues bie este párrfo etrecomilldo se trduce e l siguiete restricció: 7 Epliquemos est últim restricció co más deteimieto. Si llmmos t l tiempo de mo de obr ecesrio pr fbricr u uidd del modelo I etoces t/ será el tiempo de mo de obr ecesrio pr fbricr u uidd del modelo II y t/ será el tiempo de mo de obr ecesrio pr fbricr u uidd del modelo III. Por otro ldo os dice que l fuer lborl complet de l fábric puede producir el equivlete de 7 uiddes del modelo I lo que quiere decir que se dispoe del tiempo de mo de obr ecesrio pr fbricr 7 uiddes del modelo I es decir l fábric dispoe de u tiempo de mo de obr de 7 t (pues cd uidd del modelo I ecesit u tiempo de mo de obr pr fbricrse igul t) Luego t t t 7 { t ( ) ( ) ( ) Es decir () El tiempo de mo de obr ecesrio pr producir de uiddes del modelo I uiddes del modelo II y uiddes del modelo III () No puede sobrepsr () El tiempo de mo de obr del que dispoe l fábric Por último dividiedo por t l restricció terior os quedrí 7

9 Restriccioes de o egtividd. Tl y como se h defiido ls vribles de decisió o tiee igú setido que tome vlores egtivos luego: De mer que quedrí el siguiete modelo: imir sujeto 7 ( P) 7 Ejemplo : Producció de cerve. Ciert fábric produce dos tipos de cerve: rubi y egr. El precio de vet de litro de cerve rubi es de mietrs que el de litro de egr es de. U estudio previo h demostrdo que pr producir litros de cerve rubi se requiere obreros e el proceso de producció mietrs que litros de egr requiere obreros. L fábric dispoe de obreros e totl. Además producir litros de rubi cuest mietrs que litros de egr sle por. El presupuesto de producció l sem es como mucho. Determir cómo debe hcerse l producció seml pr mimir el igreso e cocepto de vet seml. Solució: Se e y el úmero de litros de cerve rubi y egr producids l sem. El problem resolver serí:

10 imir s.. y ( ) ( ) y y y Si cmbimos el sigificdo de ls vribles de decisió y llmmos: º de miles de litros de cerve rubi producid l sem y y º de miles de litros de cerve egr producid l sem El problem quedrí sí: ( P ) Que ú serí equivlete : ( P ) imir y sujeto y y y imir y sujeto y y y Slvo e el vlor óptimo de l fució objetivo que e el cso de (P) es veces el de (P ). Después de ver como diferetes situcioes d lugr problems cuyos modelos tiee l mism estructur: miimir o mimir u fució liel e preseci de restriccioes lieles del tipo desiguldd iguldd o mbs prece lógico que estudiemos dich estructur de problem.

11 .- Elemetos que defie u problem de progrmció liel.. Defiició: U problem de progrmció liel es u problem de miimir o mimir u fució liel e preseci de restriccioes lieles del tipo desiguldd iguldd o mbs. Epresió geerl de u modelo de progrmció liel: ( ) ( ) ( ) ) ( sujeto optimir k b b b c c c k m m m m L L L L L Dode optimir puede ser mimir o miimir. c j b i y ij ( i m ; j ) so costtes determids por l tecologí del problem y j (j ) so ls vribles de decisió. Úicmete u sigo ( o ) ocurre pr cd restricció. Algus de ls vribles de decisió so declrds o egtivs más delte mostrremos que cd vrible irrestrict puede covertirse equivletemete e vribles o egtivs. L restricció de o egtividd pr tods ls vribles de decisió es esecil pr el desrrollo del método de solució de los problems de progrmció liel.. Defiicioes básics: Cosideremos el siguiete problem de progrmció liel: sujeto iimir m m m m b b b c c c L L L L L

12 L epresió c c L c recibe el ombre de fució objetivo debe c c L c de l fució miimirse y se suele deotr por. Los coeficietes objetivo so llmdos coeficietes de costo y L so ls vribles de decisió que debe determirse. Ls desigulddes se refereci hciedo uso del orde que ocup sí L b deot l i-ésim restricció. Los coeficietes ij i i i i ( i m ; j ) se llm los coeficietes tecológicos. Estos coeficietes form l siguiete mtri de restriccioes A. L L A ( ij ) O m m L m b El vector colum b l cul se le llm el vector del ldo derecho represet b m los requerimietos míimos que debe stisfcerse (es decir l limitció de los recursos reprtir etre ls ctividdes) por eso este vector tmbié se le llm vector de requerimietos. Ls restriccioes L so ls restriccioes de o egtividd. Culquier cocreció de vlores pr ls vribles de decisió ( ) solució (si importr si es u elecció deseble o icluso dmisible). L se llm U solució fctible es u solució pr l que se stisfce tods ls restriccioes. Al cojuto de tods ls solucioes fctibles se le llm regió fctible. U solució óptim es u solució fctible que tiee el vlor más fvorble de l fució objetivo (l solució óptim e cso de eistir puede ser úic o hber más de u)..- Forms cóic y estádr. U problem de progrmció liel se dice que está escrito e form estádr si tods ls restriccioes del problem so ecucioes lieles y tods ls vribles so o egtivs. Diremos que u problem de progrmció liel de miimició está escrito e form cóic si tods ls vribles so o egtivs y tods ls restriccioes so del tipo.

13 Diremos que u problem de progrmció liel de mimició está escrito e form cóic si tods ls vribles so o egtivs y tods ls restriccioes so del tipo. Observció: El método simple que es u método pr resolver problems de progrmció liel está diseñdo pr plicrse sólo después de que el problem se hy escrito e form estádr. E l siguiete tbl resumimos l form estádr y cóic: Form Estádr Form Cóic s.. Problem de iimició iimir j j ij iimir s.. ij j j j j j j c j b ; i L m i j ; j L c j b ; i L m i j ; j L s.. Problem de imició imir j j ij imir s.. ij j j j j c j b ; i L m i j ; j L j j c j b ; i L m i j ; j L.- Pso de us forms otrs (ipulció del problem). Culquier problem de progrmció liel se puede escribir e form cóic o form estádr siempre que se quier de l siguiete form: ) Desigulddes y ecucioes: U desiguldd se puede trsformr fácilmete e u ecució. Cosideremos u del tipo ( ). Este tipo de desiguldd es típic e ls restriccioes e ls que el ldo derecho represet l ctidd dispoible de u recurso limitdo y el ldo iquierdo el cosumo que de tl recurso hce ls vribles de decisió. L difereci etre el ldo derecho y el ldo iquierdo de l restricció ( ) represet pues l ctidd o usd u holgur del recurso. Pr covertir u desiguldd ( ) e u ecució se sum u vrible de holgur o egtiv l ldo iquierdo de l restricció. Por ejemplo e el modelo que se plteó e el ejemplo de l cerve l restricció socid l utilició de obreros viee dd por y

14 Si defiimos s como l holgur o ctidd o utilid de obreros tl restricció es equivlete l siguiete ecució y s juto co s. Es decir so equivletes: y s y s Por otro ldo u desiguldd del tipo ( ) suele drse e ls restriccioes e ls que el ldo derecho represet u límite iferior pr ls ctividdes del modelo. Pr covertir l desiguldd ( ) e iguldd ( ) se rest u vrible de holgur o egtiv l ldo iquierdo de l restricció. Por ejemplo e el modelo de l diet (ejemplo ) l restricció socid l ctidd míim de fósforo que cd iml debí recibir l dí viee dd por Si defiimos s como l ecedeci tl restricció es equivlete l siguiete ecució.7.7 s 7. juto co s. Es decir so equivletes:.7.7 s s Por otro ldo u ecució culquier por ejemplo se puede escribir de form equivlete como ls dos desigulddes siguietes simultáes: y. Es decir so equivletes: ls cules se puede escribir de form equivlete O bie O bie Segú os iterese. b) No egtividd de ls vribles: Como el método simple está diseñdo pr resolver problems de progrmció liel escritos e form estádr y dich form eige que tods ls vribles de decisió h de ser o egtivs debemos ser cpces de coseguir que esto ocurr. Así pues cturemos de l siguiete form: i) Si u vrible j o está restrigid e su sigo etoces se puede reemplr por co y j j j j j. Es decir so equivletes j j irrestrict j j j

15 E efecto bst tomr m{ } y m{ } j j j j ii) Si u vrible j o se tiee restrigid ser o egtiv y si embrgo se dispoe k dode k cte etoces l uev vrible de l siguiete restricció ( ) j j j j j k j es o egtiv y e este cso reemplrímos j modelo. iii) Aálogmete si u vrible por e el k j o se tiee restrigid ser o egtiv y si k dode k cte embrgo se dispoe de l siguiete restricció ( ) etoces l uev vrible reemplrímos j por k j j j j j k es o egtiv y e este cso e el modelo. j c) Problems de miimició y mimició: Otr mipulció del problem cosiste e covertir u problem de mimició e u problem de miimició y vicevers. Pr ello observmos que sobre culquier regió se verific que: áimo j c j j íimo j c De modo que u problem de mimició (miimició) se puede covertir e u problem de miimició (mimició) multiplicdo los coeficietes de l fució objetivo por. Después de resolver el uevo problem el vlor objetivo óptimo del problem origil es por el vlor objetivo óptimo del uevo problem. Ejemplo : Ddo el problem de progrmció liel: j j j j j j ( P) Escríbelo e formto estádr. iimir sujeto irrestrict Solució: Como l vrible es irrestrict hremos el cmbio juto co

16 Por otro ldo e ls restriccioes segud y tercer itroducimos ls vribles de holgur o egtivs y respectivmete. Queddo el modelo de l siguiete form: ( ) ) ( ) ( ) ( sujeto ) ( iimir P Es decir ( ) sujeto iimir P

17 .- Resolució gráfic de problems de progrmció liel. Los problems de progrmció liel co dos vribles de decisió se puede resolver fácilmete de form gráfic. El método cosiste e represetr gráficmete l regió fctible del problem pr después itroducir e dicho gráfico ls curvs de ivel de l fució objetivo del problem. Vemos esto resolviedo gráficmete el problem del ejemplo de l cerve. El problem que teemos que resolver es el siguiete: imir y sujeto ( P ) y y y L regió fctible de este problem F es el cojuto de todos los putos (y) de R que cumpl de form simultáe tods ls restriccioes del problem. Es decir el siguiete cojuto de R : F {( y) R / y y } y Pr represetr gráficmete este cojuto de R hcemos lo siguiete: Idetificmos el espcio R co u plo l hoj de ppel. E este plo dibujmos uos ejes crtesios (y). Pr ver los putos del plo que cumple l primer restricció y observmos que l ecució liel y es l ecució de u rect e el plo. Dich rect divide l plo e dos semiplos uo cd ldo de l rect. Como se puede observr e el siguiete dibujo:

18 U form muy cómod de verigur que desiguldd le correspode cd semiplo es l siguiete. Como todos los putos que está e u mismo semiplo debe cumplir l mism desiguldd cogemos u puto culquier de uo de los semiplos que o esté e l rect que delimit los mismos por ejemplo el orige (). Sustituimos sus coordeds e l ecució de l rect y lo que os drí. Pues bie y sbemos que el semiplo dode está el orige () tiee por ecució: y y por lo tto el otro semiplo tedrá por ecució: y. De form álog podemos represetr los putos del plo que cumple l segud restricció y. Por último ls restriccioes de o egtividd y que se trt como ls teriores lo que os idic es que sólo hemos de cosiderr los putos del primer cudrte. De mer que l regió fctible F será l itersecció de todos estos semiplos. Tl y como podemos precir e el siguiete dibujo. U ve que hemos represetdo l regió fctible el problem cosiste e ecotrr el puto o putos de l mism que hce máimo el vlor de l fució objetivo y. Pr verigur esto serí itereste que pudiérmos itroducir l fució objetivo detro de l represetció gráfic que estmos hciedo del problem. Esto lo podemos coseguir del siguiete modo. Observemos que si cogemos l epresió de l fució objetivo y y l igulmos u costte k obtedrímos l ecució de u rect e el plo y k ocurriedo que todos los putos del plo que está sobre es rect proporcio el mismo vlor e l fució objetivo del problem es decir e todos ellos ocurrirá que será igul k. Por otro ldo tods ls rects de ecució y k cudo k es u úmero culquier so prlels etre sí co vector perpediculr tods ells el vector (). Además dicho vector () proporcio l direcció e l cul si trsldmos l rects prlels e dich direcció ocurre que el vlor de k umet. Esto os idic u form de proceder. Podemos emper por dibujr l rect y e ir dibujdo rects prlels ell e l direcció idicd por el vector () l hcer esto vemos que llegrá u mometo e que tles rects dejrá de cortr l regió fctible y demás por pur observció

19 somos cpces de observr e qué puto (o putos) se despegrí ests rects de l regió fctible tl como se puede precir e el siguiete dibujo: Luego l vist del dibujo vemos que l solució óptim del problem será el puto de corte de ls rects y y y. Es decir el máimo de l fució objetivo sobre l regió fctible F se obtiee e el puto Q(/9/9) que es el puto de itersecció de tles rects. El vlor que tom l fució objetivo e l solució óptim del problem es: U ve que hemos visto cómo se resuelve gráficmete u problem de progrmció liel co dos vribles de decisió se os podrí ocurrir refleior sobre cuáles puede ser ls situcioes que se podrí presetr e u problem de progrmció liel de dos vribles. L respuest est pregut l teemos e el siguiete prtdo:

20 Csos posibles: Vmos ver co diversos ejemplos tods ls situcioes que puede presetrse respecto l regió fctible de u problem de progrmció liel; sí como respecto l lcce del vlor óptimo de l fució objetivo e uo iguo o ifiitos putos. Supoemos que los gráficos que viee cotiució represet l regió fctible F e el espcio de ls vribles de decisió supoiedo que hy dos vribles de decisió y que los problems so de mimir e form cóic. Cso ): Óptimo úico fiito. Se puede dr dos subcsos: Subcso ) Regió fctible F cotd Subcso ) Regió fctible F o cotd U vértice óptimo U vértice óptimo Cso b): Ifiitos putos de óptimo fiito: Se puede dr tres subcsos: Subcso b ) Regió fctible F cotd Subcso b ) Regió fctible F o cotd Ifiitos putos óptimos e u rist etre dos vértices óptimos. Ifiitos putos óptimos e u ryo ifiito que prte de u vértice óptimo.

21 Subcso b ) Regió fctible F o cotd Ifiitos putos óptimos e u rist fiit etre dos vértices óptimos Cso c): Vlor objetivo óptimo o cotdo. Este cso sólo puede drse si l regió fctible F es o cotd. Como se puede precir e el dibujo el vlor de l fució objetivo o está cotdo e l regió fctible. Es decir ddo culquier úmero rel positivo por grde que se se puede ecotrr solucioes fctibles del problem dode el vlor de l fució objetivo super l úmero ddo.

22 Cso d): Regió fctible F vcí. Se el siguiete problem de progrmció liel: imir y sujeto y ( P) y y y Represetmos l regió fctible. Como podemos observr l regió fctible es vcí. Es decir el problem o tiee solucioes fctibles. Observdo los csos que cbmos de ver precimos que cudo u problem de progrmció liel tiee solució óptim fiit uque hy ifiits de ells siempre hy l meos u vértice óptimo. Esto es u hecho geerl que se puede demostrr. De hecho el método simple que como y hemos dicho resuelve los problems de progrmció liel está diseñdo pr buscr l solució (o solucioes) óptim trvés de los vértices de l regió fctible del problem.

23 Por supuesto que problems de progrmció liel co tres vribles de decisió tmbié se puede resolver gráficmete el icoveiete rdic e que hcer tl represetció gráfic sobre u hoj de ppel result muy tedioso pues estrímos represetdo objetos tridimesioles sobre u plo. Por ejemplo supogmos el siguiete problem de progrmció liel: Ejemplo : imir sujeto ( P) c c c Aquí procederímos ectmete igul que e el cso de dos vribles. Es decir se trtrí de represetr gráficmete l regió fctible F del problem. Ahor bie el cojuto F estrí formdo por todos los putos ( ) R que cumpl simultáemete tods ls restriccioes. Observemos que tods ls restriccioes icluids ls de o egtividd so del tipo b c d Dode b c d so úmeros reles culesquier co l úic codició de que b y c o se cero l ve. Pues bie pr ver qué putos de R cumple l epresió b c d observmos que l ecució liel b c d es l ecució de u plo e el espcio siedo el vector ( b c) perpediculr dicho plo. Tl plo divide l espcio e dos prtes igules llmds semiespcios ls que qued mbos ldos del plo. Ls ecucioes de cd uo de esos semiespcios so: b c d y b c d Como y idicmos e el cso de dos vribles u form muy cómod de verigur que desiguldd le correspode cd semiespcio es l siguiete. Como todos los putos que está e u mismo semiespcio debe cumplir l mism desiguldd cogemos u puto culquier de uo de los semiespcios que o esté e el plo que hce de froter etre los mismos por ejemplo el orige () e el cso de que d. Etoces si por ejemplo fuer d < sucederí que todos los putos que estuvier e el mismo semiespcio que el orige () cumplirí l ecució: b c d. De mer que l regió fctible F del problem será l itersecció de los semiespcios determidos por tods ls restriccioes del problem. E este ejemplo cocreto l regió fctible del problem l podemos ver e el siguiete dibujo:

24 Evidetemete segú se l fució objetivo c c c que tegmos que mimir e el problem se podrá dr distits situcioes siedo tods ls posibles ls que prece cotiució:

25 Como se puede precir e culquier de ls situcioes siempre que el problem tiee solucioes óptims hy lgu solució óptim e u vértice de l regió fctible.

26 .- Solucioes básics de sistems de ecucioes lieles. U ecució liel es u epresió de l form: b dode los úmeros R se llm coeficietes y so coocidos ls letrs se llm icógits y so descoocids y el úmero b R que es coocido se llm térmio idepediete o ldo derecho (brevidmete l.d.). Ejemplos: ) L ecució y es u ecució liel. Co coeficietes : ; icógits: y; térmio idepediete:. b) L ecució y t es otr ecució liel co coeficiete: ; icógits: y t; térmio idepediete:. U cojuto de ecucioes del tipo terior se llm sistem de ecucioes lieles. Lo escribiremos e l form m m m m b b b K LLLLLLLLLLLL K K () y diremos que es u sistem de m ecucioes co icógits. Ejemplos: ) El sistem y y es u sistem de dos ecucioes co tres icógits. b) El sistem y y y y es u sistem de ecucioes co icógits. Ddo u sistem de ecucioes lieles: m m m m b b b K LLLLLLLLLLLL K K ()

27 ) U secueci orded de úmeros (s s ) se dice u solució del sistem si l sustituir e ls ecucioes cd icógit i por el correspodiete s i se verific tods ls igulddes resulttes. b) Si u sistem tiee lgu solució diremos que es comptible; si por el cotrrio o tiee igu solució diremos que es icomptible. c) Si u sistem es comptible diremos que es determido si l solució es úic e otro cso es decir si tiee más de u solució diremos que es idetermido. d) Diremos que dos sistems de ecucioes so equivletes si tiee ectmete ls misms solucioes. Ejemplos: ) Sistem icomptible: y y No tiee solució. b) Sistem comptible determido: y y Tiee solució úic (s s ) ( ) c) Sistem comptible idetermido: y y Tiee más de u solució por ejemplo (s s s ) ( ) y (s s s ) ( ). OBSERVACIÓ : A l hor de escribir u sistem usremos l otció mtricil. Est cosiste e escribir etre prétesis los coeficietes del sistem seprdos por espcios e blco y su derech los térmios idepedietes. Así el siguiete sistem: () m m m m b b b L L L L se escribe e form mtricil como: m m m m b b b L L L

28 L mtri terior se suele llmr l mtri mplid del sistem y es u mtri co m fils y () colums es decir tts fils como ecucioes y tts colums como (º de icógits). Hy tres modos de mipulr ls ecucioes de u sistem que o vrí ls solucioes. Es decir que proporcio u sistem equivlete.. Cmbir el orde de ls ecucioes.. ultiplicr u ecució por u úmero o ulo.. Sumr u ecució u múltiplo de otr. Ests tres opercioes se llm opercioes elemetles e ls ecucioes del sistem. Obvimete culquier de ests opercioes puede deshcerse. A cotiució veremos cómo doptdo u otció mtricil más fácil de mejr se ps de u sistem ddo otro equivlete utilido sólo opercioes elemetles. Así ddo el siguiete sistem de ecucioes lieles: L b L b () L m m L m bm costruimos l mtri mplid del sistem: L b L b m m L m bm result evidete que ls opercioes elemetles e ls ecucioes del sistem equivle hcer ls misms opercioes e ls fils de l mtri mplid tl como sigue:. Cmbir el orde de ls ecucioes del sistem Cmbir el orde de ls fils de l mtri mplid.. ultiplicr l i-ésim ecució del sistem por u úmero o ulo ultiplicr l i-ésim fil de l mtri mplid por dicho úmero.. Sumr l ecució i l ecució j multiplicd por λ Sumr l fil i l fil j multiplicd por λ. Defiició.: Diremos que u sistem de ecucioes está escrito e form básic si sucede que e cd ecució del sistem eiste l meos u icógit que prece sólo e dich ecució o preciedo tl icógit e el resto de ecucioes. Además cd u de ests icógits que prece e u sol ecució debe teer coeficiete igul. Observemos que u sistem escrito e form básic ecesrimete es comptible. Ejemplos: Los siguietes sistems está escritos e form básic.

29 ) y t Sistem escrito e form básic. E l ª ecució ecotrmos l icógit t que sólo prece e dich ecució y tiee u coeficiete igul y e l segud ecució está l icógit y que sólo prece e dich ecució y tiee u coeficiete igul. b) 7 Sistem escrito e form básic. E l ª ecució ecotrmos l icógit que sólo prece e dich ecució y tiee u coeficiete igul. E l ª y ª ecucioes está ls icógits y respectivmete cumpliedo l mism propiedd. c) Sistem escrito e form básic. E l ª ecució ecotrmos l icógit que sólo prece e dich ecució y tiee u coeficiete igul. E l ª ecució está ls icógits y que sólo prece e est ecució y que tiee coeficiete igul. E l ª ecució es l icógit l que tiee est propiedd. Si represetmos los sistems ) b) y c) e form mtricil medite sus mtrices mplids. ) l.d. t y b).. d l 7 c).. d l Vemos que lo que os idic que tles sistems está e form básic es que e el ldo iquierdo de l mtri mplid podemos idetificr l mtri idetidd posiblemete co ls colums desordeds de orde igul l úmero de ecucioes del sistem.

30 E efecto: ) y t tri mplid l.d. t y Idetidd (desorded) b) 7 tri mplid.. d l 7 Idetidd (desorded) c) tri mplid.. d l Aquí se puede idetificr dos idetiddes (mbs desordeds). Defiició: Cudo u sistem se ecuetr escrito e form básic ls vribles (icógits) dode está ubicd l idetidd (posiblemete desorded) cudo se

31 escribe l mtri mplid se les llm vribles básics y l resto de vribles vribles o básics. Ddo u sistem e form básic si se quiere idicr quiees so ls vribles básics se hce escribiédols etre llves seprds por coms y poiédols e el orde decudo pr que l idetidd estuvier bie escrit. Es decir se form co ells u cojuto. A este cojuto se le suele deotr por B y se le suele llmr bse. Co el resto de vribles se form otro cojuto el de ls vribles o básics l que se suele deotr por N. Así e los ejemplos teriores teemos que: ) y t Sistem escrito e form básic. Siedo B {t y} ls vribles básics y N { } ls vribles o básics. b) 7 Sistem escrito e form básic. Siedo { } ls vribles básics y { } ls vribles o básics. c) Sistem escrito e form básic. E este cso hy dos posibiliddes: Cosiderr { } vribles básics y { } vribles o básics. O bie cosiderr { } vribles básics y { } vribles o básics. Observció: Cudo u sistem está escrito e form básic l solució del mismo es imedit. E efecto bst co psr l ldo derecho de ls ecucioes ls vribles o básics y dr ésts libremete los vlores reles que quermos pr ecotrr los vlores de ls vribles básics correspodietes los vlores ddos ls o básics. ) E efecto ddo el sistem e form básic y t psmos l ldo derecho ls vribles o básics obteiedo y t o escrito e form vectoril y t. Ahor dmos ls vribles o básics culesquier vlores reles y obteemos ls ifiits solucioes del sistem.

32 b) ddo el sistem e form básic 7 psmos l ldo derecho ls vribles o básics obteiedo 7 o escrito e form vectoril 7. Ahor dmos ls vribles o básics y culesquier vlores reles y obteemos ls ifiits solucioes del sistem. c) se el sistem e form básic. Como este sistem tiee dos posibles cojutos de vribles básics (es decir dos posibles bses) sber B { } y B { } selecciomos u culquier de ells por ejemplo l bse B { } e cuyo cso serí o básics ls vribles { }. Psmos l ldo derecho ls vribles o básics obteiedo o escrito e form vectoril. Ahor dmos ls vribles o básics y culesquier vlores reles y obteemos ls ifiits solucioes del sistem. U ve que hemos visto todos estos ejemplos podemos eucir l siguiete propiedd geerl. Propiedd: Todo sistem de ecucioes lieles e form básic tiee l siguiete propiedd. Pr cd sigció de úmeros reles rbitrrios ls vribles o básics eiste u y sólo u solució del sistem e l cul ls vribles o básics tiee esos vlores que les hemos sigdo. E prticulr eiste u úic solució del sistem e l que cd vrible o básic tiee el vlor. El vlor de cd vrible básic e este cso es el ldo derecho de l úic ecució que cotiee tl vrible. Defiició: Ddo u sistem de ecucioes e form básic llmmos solució básic de dicho sistem l úic solució que se obtiee cudo le dmos el vlor tods ls vribles o básics.

33 Ahor prece lógico plterse l siguiete cuestió: ddo u sistem de ecucioes lieles eistirá otro sistem de ecucioes lieles e form básic que se equivlete l primero. L respuest es que sí. De hecho lo orml es que eist bsttes. Reducció de u sistem comptible otro equivlete e form básic: Vmos dr u procedimieto que os v permitir psr de u sistem de ecucioes lieles otro equivlete e form básic. El procedimieto lo vmos describir sobre u ejemplo cocreto. Se pues el siguiete sistem de ecucioes lieles: ( S ) Evidetemete podemos utilir el método de Guss pr psr de este sistem otro equivlete escrito e form esclod reducid que es u form básic. Pero lo que vmos hcer es utilido l mism ide ser u poco más libre l hor de elegir los pivotes. E primer lugr escribimos l mtri mplid del sistem: Sbemos que u sistem está e form básic si e el ldo iquierdo de su mtri mplid está l idetidd (posiblemete desorded). Pues bie se trt de ir hciedo opercioes elemetles sobre l mtri mplid hst coseguir esto. El proceder será seleccior culquier etrd distit de cero del ldo iquierdo como elemeto pivote. A cotiució dividimos l fil dode está el elemeto pivote por dicho úmero pr obteer u y co este hcemos cero medite opercioes elemetles el resto de los elemetos de l colum dode está el pivote. U ve hecho esto y teemos u vector uitrio e l posició de l colum dode estb el pivote. Ahor selecciorímos otr etrd e el ldo iquierdo de l mtri distit de cero siempre que o se ecuetre e l fil o fils de los uos eistetes e ls colums uitris y coseguids y procederímos como se h idicdo. Vemos esto sobre uestro ejemplo. Empemos selecciodo l de l tercer colum como elemeto pivote. Ahor pivotdo sobre este elemeto hcemos ceros e ls resttes etrds de l colum dode está el pivote. Pr ello y hciedo uso de l siguiete otció: αf i sigific que multiplicmos l fil i por el úmero o ulo α. F i ± βf j sigific que l fil i le summos/restmos l fil j multiplicd por β. hcemos lo siguiete

34 F F F F Ahor selecciomos el siguiete elemeto pivote y hcemos ls siguietes opercioes elemetles: F 7 / 9 / / / F F F F F F / / / 9 / / / 8 Ahor selecciomos el siguiete elemeto pivote y hcemos ls siguietes opercioes elemetles: / / / 9 / / / 8 F / / / 9/ / / 8 / 8F F F F / / / 9/ / / / Llegdos quí como l segud fil se h uldo se puede quitr Lo que os dejrí l siguiete mtri / / / 9 / / / /

35 Dode fácilmete se idetific e el ldo iquierdo u mtri idetidd (desorded). Luego el sistem cuy mtri mplid es l de rrib está e form básic como se puede comprobr: ( ) S 9 Sistem e form básic. Siedo { } ls vribles básics y { } ls vribles o básics. Observcioes l procedimieto: Recordemos que dos mtrices se dice que so equivletes por fils si se puede psr de u otr medite u sucesió de opercioes elemetles por fils. Así mtrices equivletes represet sistems equivletes. Como hemos psdo de l mtri l mtri hciedo opercioes elemetles de fils. Result que los sistems (S) y (S ) so equivletes. De mer que hemos psdo de u sistem (S) otro equivlete (S ) que está e form básic. Durte el procedimieto sólo hemos usdo dos de ls tres opercioes elemetles de fils multiplicr u fil por u úmero distito de cero y sumr u fil u múltiplo de otr; es decir uc hemos itercmbido fils de hecho o os hce flt est operció y que buscábmos l idetidd uque estuvier desorded. Como cosecueci si durte el método os ocurre que lgu fil se ul por completo es decir tiee tods sus etrds igules cero podemos firmr si equivocros que l ecució correspodiete tl fil e el sistem origil del que prtimos es combició liel del resto de ecucioes del sistem y por lo tto podemos elimirl del sistem origil. Como e uestro cso se uló l segud fil. Podemos segurr que los siguietes sistems so equivletes: ( ) S Y éstos su ve so equivletes l siguiete sistem e form básic:

36 ( ) S 9 Otr cosecueci del procedimieto es que de hor e delte cd ve que tegmos u sistem comptible supodremos que es de rgo completo es decir que si teemos el sistem de ecucioes lieles comptible m m m m b b b L L L L Sistem que se puede escribir mtricilmete como b A dode: m m m A L L L es l mtri del sistem b m b b es el vector del ldo derecho y es el vector de vribles icógits. Supodremos que m < y que rgo(a) m. A est suposició l llmremos hipótesis del rgo completo. Así cbmos de ver que como ddo el sistem ) ( S (hemos elimido l ecució redudte -hipótesis del rgo completo-) Podemos ecotrr otro equivlete (S ) e form básic ( ) S 9 Dode el cojuto de vribles básics es B { } (cojuto llmdo bse). Además observ que esto os permite coocer u solució básic del sistem (S). L úic que se obtiee cudo hcemos tods ls vribles o básics igules cero e el sistem equivlete e form básic (S ) es decir ( )

37 Ecotrdo uevos sistem e form básic equivletes l origil: Lo itereste es que u ve que teemos u sistem e form básic equivlete l origil es muy fácil ecotrr uevos sistems equivletes tmbié e form básic. Pr hcer esto lo mejor es seguir trbjdo co l mtri mplid del sistem: Observdo l mtri mplid del sistem (S ): Vemos que pr dr u uevo sistem equivlete e form básic bst co que l idetidd (uque sig desorded) cmbie u uev ubicció siempre e el ldo iquierdo d l mtri. Si coseguimos esto medite opercioes elemetles de fil el uevo sistem sigue siedo equivlete. Por lo tto si cogemos culquier elemeto distito de cero del ldo iquierdo de l mtri y que o esté e l idetidd y pivotmos sobre él cmbiremos l ubicció de l idetidd. Por ejemplo si tommos el siguiete elemeto elegido de form totlmete rbitrri y pivotmos sobre él. El vector uitrio psrí de estr debjo de l vrible estr debjo de l vrible. mietrs que los otros dos vectores uitrios bjo ls vribles y respectivmete. y seguirí queddo Es decir tes del pivoteo sobre el elemeto / l bse B estb formd por ls vribles básics B { } y trs el pivoteo l uev bse está formd por ls vribles básics { }. Esto se epres diciedo que l vrible etr e l bse y l vrible sle de l bse. Además e este mometo coocemos u uev solució básic del sistem (S) l que se obtiee si e el uevo sistem equivlete e form básic hcemos tods ls vribles o básics igules cero es decir si hcemos e el sistem correspodiete l mtri mplid que cbmos de obteer es decir el siguiete sistem:

38 9 9 De mer que obtedrímos: ( ) como u uev solució básic del sistem (S) l correspodiete l bse { }. Observemos que pr coocer ls solucioes básics que vmos ecotrdo o hce flt escribir eplícitmete los sistems básicos os sobr co trbjr directmete e ls mtrices. Este proceder se puede cotiur y si somos cuiddosos e l form de trbjr podemos relirlo de u mer muy compct medite ls siguietes tbls elds u cotiució de otr: Tbls: ª ª ª ª ª ª E primer lugr observemos como e l primer colum se idic quiees so ls vribles básics e cd u de ls tbls. Como se puede ver cd tbl idetific u solució básic del sistem origil (S). Así l ª tbl represet l solució básic

39 ( ) dode l bse está formd por ls vribles básics { } como se idic e l primer colum de ls tbls siedo el resto de vribles o básics. Observemos que l colum del ldo derecho (l.d.) proporcio el vlor de ls vribles básics cudo tods ls vribles o básics se igul cero. Co el resto de tbls ps lo mismo por ejemplo l ª tbl represet l solució básic ( ) dode l bse está formd por ls vribles { } siedo el resto de ls vribles o básics. Pr psr de u tbl otr os hemos limitdo escoger de form rbitrri lgú elemeto distito de cero y que o esté e ls colums de l idetidd (ls sombreds) como pivote (los elemetos cubiertos por u círculo). Cd ve que se reli u operció de pivoteo es decir cd ve que psmos de u tbl l siguiete ocurre que u vrible etr e l bse ( l uev bse l de l siguiete tbl) y otr vrible sle l bse. Luego dispoemos de ttos sistems e form básic equivletes l origil como tbls distits podmos ir costruyedo. E culquier cso el úmero de tles tbls es fiito y podemos dr u cot del mismo. Recordemos que hbímos prtido del siguiete sistem de ecucioes de rgo completo: 9 dode l mtri del sistem es ( S) A y l mtri mplid es 9 9 y que ecotrmos u sistem equivlete e form 7 básic cd ve que medite opercioes elemetles sobre ls fils de l mtri mplid ecotrmos l idetidd (posiblemete desorded) e l prte iquierd de l mtri mplid es decir e l mtri del sistem. Ahor bie si hciedo opercioes elemetles precier l idetidd de orde tres e ls colums ª ª y ª (e ese orde) esto idicrí que l submtri de A B formd por ls colums º ª y ª de l mtri A es u mtri ivertible. Luego hbrá tts forms de ubicr l idetidd (uque esté desorded) e l mtri A y por lo tto ttos sistems e form básic equivletes l sistem origil como submtrices de A formds por tres colums que se lielmete idepedietes. Evidetemete este úmero está cotdo por el úmero combitorio. Que so ls combicioes de

40 ls colums que form l mtri A tomds de tres e tres. Cd u de ests submtrices formds por tres colums lielmete idepedietes de l mtri A serí u bse del espcio vectoril R (pues ls colums de A se puede cosiderr vectores de R ). Este es el motivo por el que se llm vribles básics ls vribles básics porque ls colums de A socids ells form u bse de R (e geerl de R m ). A b E geerl ddo el sistem de ecucioes lieles escrito mtricilmete dode l (m )-mtri del sistem A co m < es de rgo completo el úmero de solucioes básics del sistem está cotdo por. m A b Ddo u sistem de ecucioes lieles escrito mtricilmete siedo A u (m )-mtri co m < y rgo(a) m. Como sbemos que culquier solució básic del mismo tedrá m vribles básics y m vribles o básics igules cero. Podrímos buscr solucioes básics del sistem selecciodo rbitrrimete m icógits como vribles o básics hciédols igules cero y resolviedo el sistem que quedrí de m ecucioes co m icógits. Si este sistem que qued tiee solució úic hbremos ecotrdo u solució básic del sistem.

41 .- El método simple. El método gráfico que hemos utilido pr resolver problems de progrmció liel os h mostrdo que cudo l regió fctible de u problem de progrmció liel o es vcí siempre tiee putos esqui (o vértices) y lo que es más importte que si el problem tiee solució óptim fiit siempre eiste l meos u e u puto vértice de l regió fctible. Este resultdo es clve e el desrrollo del método simple que resuelve los problems de progrmció liel. Como los problems co más de tres vribles de decisió o se puede visulir (vivimos e u espcio tridimesiol) o teemos más remedio que crcterir lgebricmete los putos vértice de l regió fctible. Esto se cosigue covirtiedo tods ls restriccioes de desiguldd del problem (ecepto ls de o egtividd) e ecucioes y ddo u propiedd lgebric que sólo l cumple los vértices de l regió fctible. El método simple resuelve el problem e itercioes. Prte de u vértice de l regió fctible y e cd iterció se trsld u uevo vértice co mejor vlor potecil de l fució objetivo. El proceso cb cudo lleg u vértice cuyo vlor objetivo o puede ser mejordo. Vmos presetr el método simple resolviedo u problem cocreto de progrmció liel co dos vribles de decisió pr poder visulir lo que hce el método. Se pues el siguiete problem de progrmció liel: Ejemplo 7: ( P) imir sujeto 8 Lo primero que hremos co el problem es escribirlo e form estádr co todos los coeficietes del ldo derecho e positivo. Es decir tods ls restriccioes ecepto ls de o egtividd se covierte e ecucioes y tods ls vribles h de estr restrigids ser myores o igules cero. Además coviee que todos los ldos derechos de ls ecucioes se o egtivos. Esto es imedito pues si lgu ecució tiee el ldo derecho egtivo multiplicmos tl ecució por y se cosigue lo que queremos. Pr escribir el problem e form estádr es decir pr trsformr ls desigulddes ( ) e ecucioes summos ls vribles de holgur y e el ldo iquierdo de ls restriccioes primer segud y tercer respectivmete juto co ls restriccioes y. De mer que el problem (P) escrito e form estádr serí:

42 Problem escrito e form estádr co todo el ldo derecho e positivo. ( P ) Represetció gráfic del problem: imir sujeto 8 A cotiució eucimos si demostrció dos resultdos eseciles pr desrrollr el método simple. Resultdo_: Ddo u problem de progrmció liel co regió fctible o vcí l colecció de putos vértice de l regió fctible se correspode co l colecció de solucioes básics fctibles del problem cudo éste se escribe e form estádr. Resultdo_: Si eiste u solució óptim del problem etoces tmbié eiste u vértice óptimo es decir u solució básic fctible óptim. Auque o demostremos los resultdos podemos comprobrlos e uestro ejemplo l ve que veremos cómo se reli l trsició de solució gráfic solució lgebric. Lo primero que se observ e el ejemplo es que uestro problem tiee ifiits solucioes fctibles todos los putos de l regió sombred. Esto tmbié qued reflejdo e el método lgebrico pues ls solucioes fctibles so tods ls solucioes

43 8 del sistem de ecucioes co tres ecucioes y cico vribles y restrigido que tods ls vribles tome vlores o egtivos. Al hber más icógits que ecucioes hbrá ifiits solucioes de cules tmbié hbrá ifiits e ls que tods ls icógits tome vlores o egtivos. El método gráfico idetific los putos fctibles de vértice de l regió fctible. Estos so cdidtos solució óptim y hy u úmero fiito de ellos. Por su prte el método lgebrico determi ls solucioes básics fctibles del sistem de ecucioes y como sbemos el úmero de solucioes básics de u sistem de ecucioes es fiito de mer que el úmero de cdidtos (solucioes básics fctibles) ser solució óptim es fiito. El método gráfico utili ls curvs de ivel de l fució objetivo pr determir el vértice óptimo. E el método lgebrico se utili l fució objetivo pr seleccior l solució básic fctible óptim etre tods ls cdidts. Vmos comprobr e uestro ejemplo como se correspode los vértices de l regió fctible co ls solucioes básics fctibles del sistem de ecucioes. El sistem de ecucioes del problem (P ) e form estádr es el siguiete: 8 Como el sistem tiee ecucioes y cico icógits pr buscr solucioes básics del mismo teemos que seleccior prejs de vribles e igulrls cero y ver si los sistems que qued tiee solució úic. Cudo tegmos u solució básic si todos sus vlores so o egtivos tmbié será fctible y etoces tedremos u solució básic fctible es decir u vértice. Vemos si tommos l prej de vribles { } y ls igulmos cero etoces el sistem quedrí: Que obvimete tiee solució úic. Luego ( ) ( ) es u solució básic del sistem como demás todos sus vlores so o egtivos es u solució básic fctible del problem (P ). Observ que est solució se correspode co el vértice A de l regió fctible. Tomemos hor l prej { } e igulemos mbs vribles cero etoces el sistem quedrí 8 Que tiee solució úic.

44 es u solució básic del sistem como demás todos sus vlores so o egtivos es u solució básic fctible del problem (P ). Observ que est solució se correspode co el vértice E de l regió fctible. Puto de corte de ls rects y 8 pudiédose est últim Luego ( ) idetificr co l epresió. E efecto l form de psr del problem (P) su equivlete e form estádr (P ) h sido utilir ls siguietes equivlecis: 8 8 Lo que hce que se equivletes: 8 De mer que cd u de ls rects que delimit l regió fctible del problem (P) se idetific co u epresió del tipo i i. Tl como se puede ver e el dibujo de l regió fctible. Si seguimos selecciodo prejs de vribles y tommos l prej { } e igulmos mbs vribles cero etoces el sistem quedrí 8 Que tiee solució úic. es u solució básic del sistem pero como Luego ( ) ( ) u de ls vribles tom u vlor egtivo o es u solució fctible del problem (P ). Es decir est solució o es u solució básic fctible del problem y por lo tto segú el resultdo_ est solució o se correspode co igú vértice de l regió fctible. Observ que est solució se correspode co el puto i de coordeds () e el plo ( ) dode se cort ls rects y (es decir ). Si hor selecciomos l prej l prej { } e igulmos mbs vribles cero etoces el sistem quedrí

45 8 Sistem icomptible. Esto se puede precir e el dibujo pues ls rects y (es decir ) so prlels y por lo tto o se cort e igú puto del plo ( ). Luego o hy solució básic socid tomr l prej de vribles { } como cdidt ser vribles o básics del sistem. Sigmos co uestr selecció de prejs: Se l prej { } e igulmos mbs vribles cero etoces el sistem quedrí Que tiee solució úic. es u solució básic del sistem pero o Luego ( ) ( ) es u solució fctible del problem (P ) pues hy vribles que so egtivs. Es decir est solució o es u solució básic fctible del problem y por lo tto o se correspode co igú vértice de l regió fctible. Observ que est solució se correspode co el puto g de coordeds () e el plo ( ) dode se cort ls rects y 8 (es decir ). Se l prej { } e igulmos mbs vribles cero etoces el sistem quedrí Que tiee solució úic. es u solució básic del sistem pero o es Luego ( ) ( ) u solució fctible del problem (P ) pues hy vribles que so egtivs. Es decir est solució o es u solució básic fctible del problem y por lo tto o se correspode co igú vértice de l regió fctible. Observ que est solució se correspode co el puto f de coordeds () e el plo ( ) dode se cort ls rects y (es decir ). Se l prej { } e igulmos mbs vribles cero etoces el sistem quedrí