Análisis en el Dominio del Tiempo para Sistemas Discretos

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1 OpeStax-CNX module: m Aálisis e el Domiio del Tiempo para Sistemas Discretos Do Johso Traslated By: Erika Jackso Fara Meza Based o Discrete-Time Systems i the Time-Domai by Do Johso This work is produced by OpeStax-CNX ad licesed uder the Creative Commos Attributio Licese 2.0 Abstract Los sistemas discretos permite los procesos matemáticos como lo es la ecuació diferecial. Ua señal discreta s () es retrasada por 0 muestras, cuado se escribe s ( 0 ), co 0 > 0. Optamos por que 0 tega avaces egativos sobre los úmeros eteros. Opuesto a los retrasos aálogos 1, los retrasos discretos e el tiempo solo puede teer el valor de úmeros eteros. E el domiio de la frecuecia, el retraso de la señal correspode a u desplazamieto liear e el águlo de la señal discreta de la Trasformada de Fourier s ( 0 ) e (i2πf0) S ( e ) i2πf. U sistema lieal discreto tiee propiedades de superposició: S (a 1 x 1 () + a 2 x 2 ()) = a 1 S (x 1 ()) + a 2 S (x 2 ()) (1) U sistema discreto es llamado ivariate al desplazamieto ( aálogo a los sistemas de tiempo ivariate 2 ) si el retraso e la etrada ocurre e la salida. Si S (x ()) = y (), etoces S (x ( 0 )) = y ( 0 ) (2) Nosotros usamos el térmio ivariate al desplazamieto para efatizar que el retraso puede ocurrir solo e los úmeros eteros del sistema discreto, mietras tato e las señales aálogas, los retrasos puede ser valores arbitrarios. Versio 1.6: Ju 5, :28 pm "Simple Systems": Sectio Delay < 2 "Simple Systems" <

2 OpeStax-CNX module: m Nosotros queremos cocetraros e sistemas que so lieales e ivariates al desplazamieto. Esto será lo que os permitirá teer todo el cotrol e el aálisis del domiio de la frecuecia y el cotrol de su implemetació. Por que o teemos ua coexió física e la costrucciódel sistema, ecesitamos solamete teer especicacioes matemáticas. E los sistemas aálogos, las ecuacioes difereciales especica la etrada y la salida del domiio del tiempo. La correspodiete especicació discreta esta dada e ua ecuació diferecial: y () = a 1 y ( 1) + + a p y ( p) + b 0 x () + b 1 x ( 1) + + b q x ( q) (3) La salida de la señal y () es relacioada a sus valores pasados por medio de y ( l), l = {1,..., p}, a los valores actuales y a los valores pasados de la etrada de la señal se represeta por medio de x (). Las características del sistema so determiadas por la elecció de cuatos úmeros tedra los coecietes p y q el valor de los coecietes {a 1,..., a p } y {b 0, b 1,..., b q }. Ademas: Hay ua asimetría e los coecietes: ¾Cuádo es a 0? Estos coecietes multiplicara el térmio y () e (3). Nosotros dividiremos la ecuació por ella, lo cual o cambiara la relació de salida-etrada. Hemos creado la siguiete coveció: a 0 es siempre uo. Al cotrario de ua ecuació diferecial que solo provee ua descripció implícita de u sistema (osotros debemos resolver la ecuació diferecial), las ecuacioes difereciales provee ua maera explicita de resolverlas; calculado las salidas para cada etrada. Nosotros simplemete expresaremos las ecuacioes difereciales co u programa que calcula cada salida usado valores previos, las corrietes del sistema y las etradas previas. Las ecuacioes difereciales so usualmete expresadas e el software co iteracioes de "for". El programa de MATLAB da iformació de los primeros 1000 valores formados por medio de las salidas. for =1:1000 y() = sum(a.*y(-1:-1:-p)) + sum(b.*x(:-1:-q)); ed U detalle importate emerge cuado osotros cosideramos hacer que este programa fucioe; de hecho, como esta escrito tiee (por lo meos) dos errores. ¾Qué valores de etrada y salida se puede usar para calcular y (1)? Nosotros ecesitamos valores para y (0), y ( 1),..., valores que o teemos au. Para calcular estos valores ecesitaremos valores previos. La maera de salir de este problema es especicar las codicioes iiciales : debemos proveer p los valores de la salida que ocurre ates que las etradas iiciales. Estos valores puede ser arbitrarios, la decisió impacta el como respode el sistema co las etradas. Ua decisió ocasioa u sistema lieal: Hacer la codició iicial cero. La razó se ecuetra e la deició de u sistema lieal 3 : La úica maera que las salidas de las suma pueda ser la suma de la salida idividual ocurre cuado la codició iicial e cada caso es cero. Exercise 1 (Solutio o p. 6.) La cuestió de la codició iicial se resuelve al eteder la ecuació diferecial para cada etrada que empieza e algú ídice. No obstate, el programa o trabaja por causa de la programació, o es coceptual y cotiee errores. ¾Qué es esto?, ¾Comó se puede "arreglar"? Example 1 Vamos a cosiderar u sistema simple co: p = 1 y q = 0. y () = ay ( 1) + bx () (4) 3 "Simple Systems": Sectio Liear Systems <

3 OpeStax-CNX module: m Para calcular la salida de algú ídice, esta ecuació diferecial idica que osotros ecesitamos la salida previa y ( 1) y que la señal de la etrada occura e ese mometo del tiempo. Si etrar a detalle, vamos a calcular la salida del sistema para u muestreo uitario como etrada: x () = δ (). Ya que la etrada es cero para u ídice egativo, osotros debemos empezar por tratar de calcular la salida e = 0. y (0) = ay ( 1) + b (5) ¾Cuál es el valor de y ( 1)? Ya que hemos usado la etrada de valor cero para todos los ídices egativos, es razoable asumir que la salida tambié tiee u valor de cero. Seguramete, la ecuació diferecial o describirá el sistema lieal 4 si la etrada, la cual es cero todo el tiempo o produjo cero e la salida. Co esto podemos asumir: y ( 1) = 0, dejado y (0) = b. Para > 0, la etrada de u muestrario uitario es cero, lo cual os deja co la ecuació diferecial, > 0 : (y () = ay ( 1)). Co esto osotros podemos preveer como el ltro respode a esta etrada para hacer ua tabla: y () = ay ( 1) + bδ () (6) x () y () b 1 0 ba 2 0 ba 2 : 0 : 0 ba Table 1 Los valores del coeciete determia el comportamieto de la salida. El parámetro b puede ser cualquier valor, y sirve como gaacia. El efecto del parámetro a es más complicado (Table 1). Si es igual a cero, la salida simplemete es igual a la etrada por la gaacia b. Para todos los valores que o so cero de a, la salida perdura por siempre; tales sistemas so coocidos como IRR (Respuesta al Impulso Iito). La razó para esta termiología es que el muestrario uitario tambié coocido como u impulso(especialmete e ua situació aaloga) y el sistema respode a u impulso que perdura por siempre. Si a es positivo y meor que uo, la salida es ua descomposició expoecial. Cuado a = 1, la salida es u escaló uitario. Si a es egativa y más grade que 1, la salida oscila mietras occurre ua descomposició expoecial. Cuado a = 1, la salida cambia su sigo para siempre, alterado etre b y b. Hay efectos más dramáticos cuado a > 1; si es positivo o egativo, la salida de la señal se hace más y más grade creciedo expoecialmete. 4 "Simple Systems": Sectio Liear Systems <

4 OpeStax-CNX module: m x() 1 y() a = 0.5, b = 1 1 y() a = 0.5, b = 1 4 y() a = 1.1, b = Figure 1: La etrada para el ejemplo de sistema simple, u muestreo uitario es mostrada arriba, co las salidas para varios valores de parametros de sistemas mostradas abajo. Valores positivos de a so usados e modelos de població para describir como el tamaño de ua població crece a través del tiempo. Aquí, puede correspoder a geeració. La ecuació diferecial idica que el úmero e la siguiete geeració es algú múltiplo de u valor previo. Si este múltiplo es meor que uo, la població se extigue; si es mayor que uo, la població se icremeta. La misma ecuació diferecial tambié describe el efectos del los iteres compuesto. Aquí marca el tiempo e el cual el iteres compuesto ocurre ( diario, mesual, etc.), a es igual a la taza de iterés compuesto, y b = 1 ( el baco o da igua gaacia). E la aplicació para procesar señales, osotros típicamete requerimos que la salida cotiué acotada para cualquier etrada. Para uestro ejemplo, eso sigica que podemos restrigir a = 1 y escoger valores para esto y la gaacia segú su aplicació. Exercise 2 (Solutio o p. 6.) Note que e la ecuació diferecial (3), y () = a 1 y ( 1) + + a p y ( p) + b 0 x () + b 1 x ( 1) + + b q x ( q) o tiee térmios como y ( + 1) o x ( + 1) e el lado derecho de la ecuació. térmios ser icluidos? ¾Por qué o por qué o? ¾Puede estos 1 5 y() Figure 2: La graca muestra la respuesta de u muestreo uitario co u ltro boxcar de logitud 5.

5 OpeStax-CNX module: m Example 2 U sistema u poco diferete que o cotiee los coecietes "a". Cosidere la ecuació diferecial: y () = 1 (x () + + x ( q + 1)) (7) q Ya que la salida del sistema ada mas depede de los valores actuales y previos de los valores de etrada, osotros o ecesitamos preocuparos por las codicioes iiciales. Cuado la etrada es u muestreo uitario, el resultado es igual a 1 q para = {0,..., q 1}, etoces es igual a cero después de eso. Estos sistemas so coocidos como FIR (Respuesta de Impulso Fiito o e igles Fiite Impulse Respose) por que su respuesta de muestreo uitario tiee ua duració ita. Al gracar esta respuesta se ve como (Figure 2)la respuesta de muestreo uitario es u pulso de acho q y altura 1 q. Esta señal es tambié coocida como boxcar, por eso a este sistema se le le da el ombre de ltro de boxcar. (E la proxima secció derivaremos su respuesta e frecuecia y desarrollaremos su iterpretació al ltrar.) Por ahora, observe que la ecuació diferecial dice que cada valor e la salida es igual al promedio de la corriete de las etradas de los valores ateriores. Así, el valor de la salida es igual al promedio actual de los valores de las etradas precias q. Por lo tato este sistema se puede usar para producir el promedio de las temperaturas semaales (q = 7) que se puede actualizar diariamete.

6 OpeStax-CNX module: m Solutios to Exercises i this Module Solutio to Exercise (p. 2) Los ídices puede ser egativos, y esta codició o es permitida e MATLAB. Para arreglar esto, debemos empezar la señal después de esta codició. Solutio to Exercise (p. 4) Estos térmios requiere que el sistema coozca el valor futuro de las etradas o de las salidas ates de que el valor actual haya sido calculado. Así que estos térmios puede causar problemas.