Semana de dieta (X) Peso en Kg (Y)

Transcripción

1 . Una persona se somete a una dieta de adelgazamiento durante cinco semanas. A continuación se detalla su peso al término de cada una de esas semanas: Semana de dieta X) Peso en Kg Y) a) Calcular el coeficiente de correlación lineal entre el peso y la duración de la dieta. b) A partir del valor del coeficiente de correlación lineal, resultaría adecuado utilizar la para hacer predicciones de la evaluación del peso a medida que se prolonga la dieta? c) Calcular la. d) Qué peso es de esperar que alcance esta persona si mantiene la dieta durante dos semanas más? Sol.: a): 0.99; c): y x 3); d): aproximadamente 74.8 Kg. Apartado a): Para calcular el coeficiente de correlación lineal entre el peso, X, y la duración de la dieta, Y, tenemos que calcular la media aritmética de ambas variables, x, y, la desviación típica, s X, s Y, y la covarianza,. Se observa que todos los pares de valores tienen frecuencias absolutas iguales a. Tenemos: Luego, x x i ) 3 y y i ) 84.2 ) /2 2) s X x i x) ) ) /2 2.4 ) /2 4.3 s Y y i y) ) 2 +.7) 2 +.2) 2 ) / x i x)y i y) ) +.7) + 2.2)) Apartado b): Resultaría muy aceptable utilizar la para hacer predicciones de la evaluación del peso a medida que se prolonga la dieta ya que el coeficiente de correlación lineal obtenido se aproxima bastante al valor. Se observa que como r < 0, la es decreciente, luego los valores del peso disminuyen a medida que aumenta el tiempo, por tanto realizar este tipo de dieta sería adecuado durante un corto periodo de tiempo, ya que pasados muchas semanas el peso decaería drásticamente, lo cual sería peligroso para la salud del individuo. Dpto. EDAN - 8 de septiembre de 203 Curso 203/4

2 Apartado c): La de Y respecto a X viene dada por: y y + x x) y x 3) Apartado d): El peso de espera que alcance una persona que mantenga la dieta dos semanas más, es decir, 7 semanas, es y ) 74.8 kg Peso en Kg Semana de dieta 2. El valor del coeficiente de correlación lineal entre las variables peso en kilos, X, y estatura en centímetros, Y, es Se sabe que la media aritmética y la desviación típica del peso son x 8 y s X respectivamente, y que la media aritmética y la desviación típica de la estatura son y 70 y s Y 0, respectivamente. a) Calcular la covarianza de la distribución X, Y ). b) Calcular el peso de un individuo que mide 7 cm. c) Determinar la estatura de un individuo de 8 kilos. Sol.: a): 42, b): 70kg.; c): 3 cm. Apartado a): Por definición, la covarianza de N pares de valores X, Y ) viene dada por N N x i x)y i y). En el problema nos faltan datos para poder usar dicha fórmula no conocemos ni los x i, ni y i ni el valor de N). Vamos a calcular la covarianza usando el coeficiente de correlación lineal, es decir, r Apartado b): Se observa que como el coeficiente de correlación lineal es aceptable r es próximo a ), la recta de regresión representa bien el comportamiento de los datos. Calculamos la de Y respecto de X: y y + x x) y x 8). 2 Si la altura y 7, usando la ecuación de la recta, podemos despejar la variable x correspondiente y obtener el peso que le corresponde: x 8) 2y x 8) x Entonces a una persona que mide 7cm. le correspondería aproximadamente 70 kg. Observación: Cuando r es aceptable es decir próximo a o -) se puede usar indistinatamente las rectas de regresión de Y sobre X o de X sobre Y. Para este problema, usando la de X respecto de Y tendríamos: Dpto. EDAN - 8 de septiembre de Curso 203/4

3 x x + s 2 Y y ȳ) x y 70). 00 Si y 7, entonces x ) 70.. Luego el peso es de aproximadamente 70 kg. 00 Apartado d): La de Y respecto de X calculada en el apartado anterior es: y x 8). 2 Luego, para un peso x 8, le correspondería la altura y ) 3.2. Luego la altura de un 2 individuo de 8 kg. es de aproximadamente 3 cm. 3. Para el diagnóstico de una cierta enfermedad es necesario saber la concentración de la sustancia A en líquido encefalo-raquídeo LCR), cuya extracción es más molesta y costosa que la extracción de suero. Para un grupo de individuos se midió la concentración de la sustancia A en LCR y en suero, obteniéndose: Concentración de A en suero X) Concentración de A en LCR Y ) a) Puede calcularse la concentración de A en LCR a partir de la concentración obtenida en suero mediante una relación lineal? b) Qué ecuación lineal permite hacerlo? c) Representa el diagrama de dispersión y la obtenida. Sol.: b): y x 8.83) Apartado a): Para saber si puede calcularse la concentración de A en LCR a partir de la obtenida en suero mediante una relación lineal, debemos saber si el coeficiente de correlación lineal se acerca a + ó, en tal caso sí será aceptable la aproximación por rectas de regresión; y si está cerca de 0 no será aceptable tal aproximación. Sea X a la concentración de A en suero, e Y a la concentración de A en LCR. Sabemos que el coeficiente de correlación lineal es Necesitamos pues calcular las medias aritméticas x e ȳ, las desviaciones típicas s X y s Y, y a covarianza entre las dos variables estadísticas X e Y. Tenemos x ) 8.83, y ) 3. s X s Y ) /2 x i x) ) ) ) ) ) ) 2 ) / ) /2 y i y) 2 3.) ) ) ) ) ) 2 ) / ) 2.) +.83).) ) 0.) Dpto. EDAN - 8 de septiembre de Curso 203/4

4 El coeficiente de correlación lineal es: que es un valor muy próximo a. Por tanto, se puede calcular la concentración de A en LCR a partir de la obtenida en suero mediante una relación lineal, ya que la dependencia de ambas variables es alta. Apartado b): La ecuación de regresión lineal de Y respecto de X es: y y + x x) y x 8.83) y x 8.83) Concentración de A en LCR Apartado c): Concentración de A en el suero 4. Se realiza un estudio sobre los efectos del ejercicio físico en pacientes con enfermedad coronaria, midiendo el oxígeno consumido en ml/kg) por cada paciente antes de comenzar un programa de entrenamiento de seis meses X) y después de este programa Y ), obteniéndose los siguientes datos: X a Y a) Calcular el valor de a para que la media de la variable X sea 40. b) Suponiendo que a 43, calcular el coeficiente de correlación lineal. c) Para a 43, hallar la de Y sobre X. Si un paciente antes de comenzar el entrenamiento consume 3 ml/kg de oxígeno, qué consumo se espera que tenga después de él? Sol.: a): a 43; b): 0.728;c): y x 40), consumo esperado ml/kg. Apartado a): La media aritmética de la variable X viene dada por la expresión: x a Si queremos que x 40, entonces se debe verificar que 97 + a 40 a a. Apartado b): El coeficiente de correlación lineal viene dado por Por tanto, necesitamos calcular y, s X, s Y y.. Dpto. EDAN - 8 de septiembre de Curso 203/4

5 y s X S Y ) ) ) ) ) ) 2 ) / [ ) ) ) ) ) ) 2 ]) / ) ) + ) ) ) En ese caso, Se observa que r no está muy próximo a, pero tampoco se encuentra cerca de cero, se podría decir que el ajuste lineal es aceptable. Apartado c): La de Y sobre X viene dada por la expresión: de donde y y + x x) y x 40) x 40) 4. Entonces, si antes de comenzar el tratamiento se consume x 3 ml/kg., usando la ecuación de la recta, podemos deducir que después del tratamiento se espera que se consuma Oxígeno después del ejercicio físico y ) 39.74, es decir, aproximadamente ml/kg Oxígeno antes del ejercicio físico. Los valores del metabolismo basal MB) en varones sanos y sus edades respectivas se muestran en la tabla: Edad en años X) MB Y ) a) Calcular el coeficiente de correlación lineal. Es razonable usar la para hacer predicciones del valor del metabolismo en función de la edad en varones sanos? b) Qué valor de MB se espera en un varón sano de 3 años? Sol.: a): 0.929; b): MB Apartado a): Denotamos por X la variable edad en años, y por Y la variable metabolismo basal MB). El coeficiente de correlación lineal viene dado por Dpto. EDAN - 8 de septiembre de 203 Curso 203/4

6 . Por tanto, necesitamos calcular x, y, s X, s Y y. Tenemos: x y s X s Y ) ) ) ) ) ) 2 ) /2.70 [ ) ) ) ) ) ) 2]) / ).27 + ).97 + ) 0.333) ) ) ) ) 49.0 En este caso, Como r está muy próximo a, entonces es razonable usar la lineal para hacer predicciones del valor del metabolismo en función de la edad en varones sanos. Apartado b): Calculamos la lineal de Y respecto a X, es decir: de donde y y + x x) y x 3).702 y x 3). Por tanto, si x 3, el valor de MB que se espera es y Metabolismo basal MB) Edad en años Dpto. EDAN - 8 de septiembre de 203 Curso 203/4