Análisis de Regresión y Correlación Lineal

Transcripción

1 Aálss de Regresó y Correlacó Leal Dr. Pastore, Jua Igaco Profesor Adjuto.

2 Aálss de Regresó y Correlacó Leal Hasta ahora hemos cetrado uestra atecó prcpalmete e ua sola varable de respuesta umérca o e seres de datos que coteía ua sola observacó de cada dvduo. Por ejemplo, duracó e tempo de certo proceso, logtud de ua peza, ressteca de certo materal a roturas, etc. E esta udad os ocuparemos de problemas que mplque dos varables umércas co el objetvo de estudar la relacó que exste etre ellas. Estudaremos s es posble que ua de las varables pueda expresarse matemátcamete e fucó de la otra. Nos va a teresar estudar la relacó que exste etre ellas y de qué forma se asoca. Para esto aalzaremos dos téccas: la de regresó y la de correlacó. Frecuetemete se os formula las sguetes pregutas: El peso de las persoas está relacoado co la estatura? El peso y la presó arteral se relacoa? La demada de u producto depederá de los precos? La presó de ua masa de gas depede de su volume y de su temperatura?, etc.

3 Tpos de relacó etre varables Dos varables puede estar relacoadas por ua depedeca fucoal, por ua depedeca estadístca o puede ser depedetes. Raramete se determa ua depedeca fucoal rgurosa ya que ambas varables o ua de ellas, está expuestas a factores aleatoros, surge etoces ua depedeca estadístca. La depedeca se llama estadístca cuado la varacó de ua de las varables da lugar a la alteracó de la dstrbucó de la otra. La depedeca estadístca se mafesta e que, al varar ua de las varables se altera el valor medo de la otra, e este caso se llama depedeca de correlacó. Estadístcamete os teresa aalzar la relacó etre dos o más varables, sempre que se tega u dco de que etre ellas exste por lo meos certo grado de depedeca o asocacó. Lo mportate es medr y expresar fucoalmete esta relacó medate ua fucó o modelo matemátco.

4 Resumedo: S se trata de predecr o explcar el comportameto de ua varable Y, a la que se deoma depedete o varable respuesta, e fucó de otra varable X deomada depedete o regresora, Y =f(x), estamos frete a u problema de aálss de regresó smple; pero s deseamos vestgar el grado de asocacó etre las varables X e Y estamos frete a u problema de aálss de correlacó. El objetvo es aalzar la relacó exstete etre dos varables, X e Y, de forma que podamos predecr o aproxmar el valor de la varable Y a partr del valor de la varable X. Observacó: E u problema de regresó el papel de las dos varables o es smétrco.

5 Aálss de regresó etre dos varables X e Y Cosderemos el problema de tratar de hallar la relacó fucoal exstete etre dos varables aleatoras X e Y. Supogamos que e expermetos las varables asumero pares de valores {(x,y):=1,,}, podemos calmete observar su comportameto grafcado dchos pares de valores sobre u sstema de coordeadas ortogoales. Dcho gráfco, llamado dagrama de dspersó a meudo permte dscerr s exste algua tedeca haca algú tpo de terrelacó etre ambas varables, y, s es posble, la aturaleza de dcho tpo de terrelacó.

6 Dagrama de Dspersó Correlacó postva Y Correlacó egatva Y x XY y 1 32 Y X Y X X No hay correlacó X Observacó: Solo os ocuparemos del caso leal e esta udad.

7 Ajuste de ua fucó de regresó: Método de mímos cuadrados Ajustar ua fucó de regresó sgfca ecotrar, la fucó que exprese co mayor precsó la relacó etre las varables X e Y. Gráfcamete será aquella fucó que mejor se adecue a la ube de putos. E este setdo, es recomedable como prmer paso costrur el dagrama de dspersó o dagrama de ube de putos para, luego de aalzar su forma, decdr por el tpo de fucó matemátca (modelo) o la ecuacó de regresó que exprese la relacó etre las varables X e Y. Luego, se estma los parámetros del modelo, para lo cual exste varos métodos, sedo el más usado el método de mímos cuadrados. D d d d d El problema queda ahora reducdo a ecotrar los coefcetes de u tpo de curva de la C que haga mímo el valor D. Ua vez determados estos valores, a la curva correspodete se la llamará curva de regresó de Y sobre X.

8 Aálss de regresó leal smple Es frecuete supoer que exste etre las varables observadas ua relacó proxmadamete leal: y ax b La recta y=ax+bxes ua recta de regresó. El parámetro a es la pedete de la recta e dca cómo camba la varable respuesta o depedete cuado el cremeto de x es ua udad. El parámetro b es el térmo depedete de la recta e dca el valor de Y cuado X = 0. Problema estadístco: Estmar los parámetros a y b a partr de los datos, de ua muestra.

9 Ecuacó muestral de regresó de Y e X dode Determacó de las rectas de regresó por el método e mímos cuadrados y ax b a yx * 2 D y y * yx 2 2 D y y x b y, D D 0 2 X b y x 0 y b x D D b b yx 1 2 x y x x yx X b y 1 Resolvedo el sstema obteemos: y x b x yx x y x y xy 2 2 x x 1 1 b y 1 1 x

10 INFERENCIA EN REGRESION La recta de regresó os permte, basádoos e los datos de la muestra, estmar u valor de la varable Y, correspodete a u valor dado x de la varable X. Para ello es sufcete reemplazar el valor de x e la recta de regresó y ecotrar el correspodete valor estmado. La obtecó de los coefcetes de la recta de regresó muestral puede cosderarse també como u proceso de estmacó putual de los coefcetes poblacoales.

11 Ejemplo: Determar la recta de regresó leal y x b x yx X: represeta el tempo de recaletameto Y: los espesores de óxdo de certa peza x y x y xy 2 2 x x 1 1 b 1 1 y x X (m) Y (Ag) ,5 7,4 7,1 15,6 11,1 14,9 23,5 27,1 22,1 32,9 xy x 860 y 165,2 x ,17 a 1,76 y 0,17 x 1,76 yx x

12 Coefcete de correlacó de Pearso LA COVARIANZA COMO MEDIDA DE ASOCIACIÓN LINEAL Defremos como covaraza de dos varables X e Y, y deotaremos por S XY, el estadístco que os permte aalzar la varacó cojuta de dos varables. Vee dado por la sguete expresó: Cov X, Y S XY x x y y Esto os lleva a utlzar la covaraza como ua medda de la asocacó leal etre las varables, de modo que s ésta es postva, os dca ua relacó drecta etre ellas y s es egatva, os dca ua relacó versa. S las varables so depedetes, etoces la covaraza es aproxmadamete 0.

13 EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL Alguas veces es deseable teer u dcador del grado de tesdad o fuerza de la relacó leal etre dos varables X e Y que sea depedete de sus respectvas escalas de medcó. A este dcador se le deoma coefcete de correlacó leal etre X e Y. El estadígrafo comúmete utlzado se llama coefcete de correlacó del producto mometo de Pearso. Defcó. Sea (X, Y) ua varable aleatora bdmesoal, defmos r el coefcete de correlacó muestral etre X e Y como sgue: r x x y y Cov X, Y x x y y XY r xy x y Notar que s σx=σy r xy

14 INTERPRETACIÓN El coefcete de correlacó lael de Pearso (r): -Está acotado etre -1 y 1. -U valor postvo se terpreta como dcador de ua relacó drecta: A medda que aumeta los valores de ua varable aumeta los valores de la otra. -U valor egatvo se terpreta como dcador de ua relacó versa : A medda que aumeta los valores de ua varable dsmuye los valores de la otra. -El valor absoluto se terpreta como el grado de relacó leal exstete etre las varables, que será mayor cuato más cercao sea a 1. -S el valor del coefcete de correlacó muestral, e valor absoluto, es mayor de 0,93 se cosdera buea la estmacó que se realza co la recta de regresó.

15 INTERPRETACIÓN