Análisis Estadístico de Datos Climáticos

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Soledad Revuelta Sáez
hace 8 años
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1 Aálss Estadístco d Datos Clmátcos Rgrsó lal smpl (Wlks, cap. 6.) Vo Storch ad Zwrs (Cap. 8) 05

2 Rgrsó La rgrsó, gral, s utlza habtualmt para stmar modlos paramétrcos d la rlacó tr varabls ua scala cotua, a sa para vcular varabls alatoras (j., acho d u allo d árbol co la tmpratura), o ua varabl alatora co uo o más factors xtros o alatoros (j. modlar ua tdca co u polomo). S pud utlzar para la prdccó cuado las varabls a rlacoar o so smultáas.

, acho d u allo d árbol co la tmpratura), o ua varabl alatora co uo o más factors

3 Rgrsó lal smpl Estmacó d los parámtros Dstrbucó d los rsduos Tabla ANOVA Bodad dl ajust Aálss d los rsduos Dstrbucó mustral d cofcts d la rgrsó Itrvalos d cofaza d la prdccó

4 Rgrsó lal smpl Dados los pars d valors: (x, ), (x, ).(x, ) s busca ajustar ua rcta d cuacó ŷ â bˆ x (El ajust pud sr más o mos buo, sgú l caso.) =58 Cor = 0.93 x

5 Rgrsó lal smpl x varabl dpdt o prdctor varabl dpdt o prdctado (Las palabras prdctor prdctado v dl lguaj d la stadístca su uso o s db cofudr co l qu l damos p. j., l proóstco mtorológco o clmátco, auqu pud dars s caso també.) No s db supor qu csaramt xst ua rlacó d causaldad tr ambas varabls. ŷ â bˆ x aˆ bˆ so parámtros a stmar

j., l proóstco mtorológco o clmátco, auqu pud dars s caso també.

6 Rgrsó lal smpl Es mportat aclarar qu, st cotxto, cuado dcmos qu ajustamos u modlo lal, os stamos rfrdo a laldad los parámtros (a b). El valor d la más alta potca d la varabl prdctora l modlo s llama ord dl modlo. ŷ â bˆ x El modlo s lal ( a b), d ord ŷ â bˆx ĉx El modlo s lal ( a, b c), d ord

El valor d la más alta potca d la varabl prdctora l modlo s llama ord dl

7 Estmacó d los parámtros El crtro más habtual para stmar los parámtros s l método d mímos cuadrados. ŷ (x ) â bˆx S busca mmzar ( aˆ bx ˆ Los so los rsduos o rrors ) SSE (suma d rrors cuadrátcos)

8 Estmacó d los parámtros S plata la aulacó d las drvadas parcals rspcto d aˆ bˆ obtédos las solucos: bˆ x x x x E l jmplo: bˆ aˆ aˆ bˆ x x so los promdos d los x La rcta d ajust pasa por l puto x, qu s l ctro d gravdad d la ub d putos

9 Estmacó d los parámtros S cumpl qu: sdo rˆx ˆ (x x)( b (x x ) ) rˆ x s / s x la corrlacó d Parso tr las srs x, s x s las rspctvas dsvacos stádar mustrals Como caso partcular, s las srs so stadarzadas, las s x s val bˆ rˆ x

10 E Matlab: A=[os(58,) 34st5007']; Y=34ov5007'; ab=a\y % rsulv l problma d mímos cuadrados (matrx lft dvso) ab = També s obt l msmo rsultado co: ab=polft(34st5007, 34ov5007,); qu ajusta u polomo d grado. ATENCIÓN: Exst asmtría tr x (s s vrt, o s obt la msma rcta!!)

563 També s obt l msmo rsultado co: ab=polft(34st5007, 34ov5007,);

11 Dstrbucó d los rsduos Supodrmos qu los rsduos (o rrors) so dpdts détcamt dstrbudos (d) co mda 0 varaza σ (gual para todos los ). Admás s sul supor qu los rsduos sgu ua dstrbucó gausaa. E gral, cuatas más hpótss s haga, más rcas srá las coclusos stadístcas qu podrmos xtrar, pro más lmtada srá la aplcabldad dl modlo. Cuato maor sa l tamaño d la mustra (), más s atúa la vtual o gausadad.

E gral, cuatas más hpótss s haga, más rcas srá las coclusos stadístcas qu podrmos xtrar, pro más

12 Dstrbucó d los rsduos Las suposcos atrors mplca qu la dstrbucó d rsduos codcoada a x costat, o dpd d x.

13 Dstrbucó d los rsduos Estmacó d la varaza d los rsduos ŝ - ( s - porqu s stma parámtros, a b.) E l jmplo: 0.8 ˆ s

14 Itrsa aalzar cuáto d la varacó los datos s xplcado por la rgrsó. Para so s df varas sumas d cuadrados: SST ( - ) suma d cuadrados total (o rspcto d la mda) SSR ˆ b x x suma d cuadrados dada por la rgrsó (s buo qu s acrqu a SST) SSE ( ˆ ) S cumpl: SST = SSR + SSE suma d cuadrados d los rsduos E l jmplo atror: SST = 7.47 (ºC) SSR = 6.49 (ºC) SSE = 9.98 (ºC)

mda) SSR ˆ b x x suma d cuadrados dada por la rgrsó (s buo qu s acrqu a SST) SSE ( ˆ ) S

15 Tabla ANOVA (ANOVA = Aálss d varaza) Grados d lbrtad Suma d cuadrados Mda cuadrátca Total - SST Rgrsó SSR MSR=SSR/ F=MSR/MSE Rsduos - SSE MSE=s E cada caso, los grados d lbrtad dca cuatos valors dpdts d los valors,,., so csaros para calcular la suma d cuadrados corrspodt. Esta tabla s válda sólo para l caso co parámtros.

caso, los grados d lbrtad dca cuatos valors dpdts d los valors,,.

16 Para l jmplo: Tabla ANOVA Grados d lbrtad Suma d cuadrados Mda cuadrátca Total 57 SST=7.47 Rgrsó SSR=6.49 MSR=SSR/= 6.49 F=MSR/MSE = 347. Rsduos 56 SSE=9.98 MSE=s =0.8

17 Bodad dl ajust Ha 3 dcadors usuals para la bodad d ajust: ˆ ) MSE s (da u valor promdo d la xacttud dl ajust; lo dal sría MSE=0) ) Cofct d dtrmacó: l por caso val 0, l mjor, val. R SSR SST SSE SST Sólo para l ajust d ua rcta, s cumpl qu R = r x ; l jmplo, R = ) El stadístco F=SSR/MSE (s maor cuato mjor s l ajust)

18 Bodad dl ajust E gral, cuato más crcao a 0 sté l cofct agular b, mos formacó aporta la rgrsó lal o, d otra forma, más débl s la rlacó tr x. bˆ rˆ s / s => b=0 s r x = 0, o s s =0 x x

19 Aálss d los rsduos Es mu covt hacr ua spccó vsual d los rsduos. Adcoalmt s pud hacr u tst para valuar la hpótss ula d qu los rsduos sgu ua dstrbucó gausaa

20 Aálss d los rsduos (para l jmplo) El ajust parc razoablmt buo U tst χ o rchaza la Hpótss d ormaldad al 5%

21 Dstrbucó mustral d cofcts d la rgrsó Los stmadors d a b so ssgados, las hpótss hchas, sus dstrbucos so gaussaas, sdo sus dsvacos stádar rspctvas: σ a σ ( x x - x) / σ b σ ( x - x) / S mbargo, como ŝ s ua stmacó, ha qu usar la dstrbucó t d Studt co - grados d lbrtad.

22 Dstrbucó mustral d cofcts d la rgrsó Por jmplo, para hacr ua pruba qu la hpótss ula sa H0: b = 0, cotra la hpótss H: b 0, s t qu l stadístco t ( sˆ / bˆ - 0 la hpótss ula sgu ua dstrbucó t d Studt co - grados d lbrtad ( x - x) ) E ustro jmplo, obtmos: t = 8.7, qu, co 56 grados d lbrtad, s mu sgfcatva (a mos dl 0.%), por lo qu s rchaza la hpótss ula. Es dcr qu u trvalo d cofaza,dl 99.9% o cot al valor b=0. No ha qu olvdar qu los datos pud o sr dpdts

23 Itrvalos d cofaza d la prdccó Pud trsar hallar trvalos d cofaza para ˆ( x sdo x 0 u valor cualqura, dpdt d los utlzados para costrur l modlo. 0 ) S obt: s ˆ s ( x 0 ( x - x) - x)

24 Itrvalos d cofaza d la prdccó No so rctas! ˆ x 0 ( x 0 - x) t( p ) sˆ ( x - x)

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