Geometría. Ángulos. Complementarios y suplementarios. Clasificación de los ángulos. Lados paralelos. Lados perpendiculares

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1 Geometrí Ánguos Un ánguo es región de pno imitd por dos semirrects con e origen común. Jesús Grcí de Jón de Fuente IES Rmiro de Meztu Mdrid Ldos Vértice Csificción de os ánguos Compementrios y supementrios CÓNCAVO CONVEXO Dos ánguos son compementrios si su sum es un ánguo recto (90º). x 90º x Agudo Recto x 180º x Dos ánguos son supementrios si su sum es un ánguo no (180º). Otuso Lno Ldos preos Ldos perpendicures Dos ánguos (convexos) de dos preos son igues o supementrios. Dos ánguos (convexos) de dos perpendicures son igues o supementrios.

2 Poígonos Csificción de os poígonos Un poígono es un íne cerrd formd por vrios segmentos. Triánguo Cudriátero Pentágono Ánguo Vértice Ldo Los eementos de un poígono son ánguos, dos y vértices. Hexágono Heptágono Octógono Según e número de ánguos y dos, os poígonos se csificn en triánguos, cudriáteros, pentágonos, exágonos, eptágonos, octógonos, etc. Poígonos regures Triánguos: csificción Equiátero Isóscees Esceno Se mn regures os poígonos que tienen todos sus dos y ánguos igues. Acutánguo Rectánguo Otusánguo Cudriáteros: csificción Meditrices. Circuncentro Ls meditrices son s perpendicures os dos por su punto medio. Preogrmo Trpecio Trpezoide Preogrmos Cudrdo Rectánguo Romo Romoide Ls tres meditrices se cortn en un punto que se m circuncentro. E circuncentro es e centro de circunferenci circunscrit.

3 isectrices. Incentro Medins. ricentro Ls isectrices son s rects que dividen os ánguos en dos prtes igues. Ls medins son os segmentos que unen un vértice con e punto medio de do opuesto. Ls tres isectrices se cortn en un punto que se m incentro. E incentro es e centro de circunferenci inscrit. Ls tres medins se cortn en un punto que se m ricentro. L distnci de ricentro sore medin es doe vértice que do. Aturs. Ortocentro Sum de os ánguos de un triánguo Ls turs son os segmentos perpendicures desde un vértice do opuesto. Ls tres turs se cortn en un punto que se m ortocentro. L sum de os ánguos de un triánguo es 180º. Sum de os ánguos de un cudriátero y un pentágono Sum de os ánguos de un poígono cuquier Trzndo digones desde un vértice cuquier en un poígono de n dos, éste se descompone en n - triánguos. L sum de os ánguos de un cudriátero es 360º. Los ánguos de un pentágono sumn 540º. L sum de os ánguos de un poígono de n dos es: S n =180º n

4 Propiedd de ánguo exterior Poígonos semejntes A' En un triánguo se m ánguo exterior e formdo por un do y proongción de otro. A E ' E' C D C' D' Un ánguo exterior un triánguo es igu sum de os dos interiores no dycentes é. Dos poígonos son semejntes si tienen sus ánguos igues y sus dos proporciones. Pr que dos triánguos sen semejntes st que tengn sus tres ánguos igues. Arco Circunferenci Rdio Ánguos inscritos L ongitud de circunferenci es igu diámetro mutipicdo por π: = r Cuerd Centro Diámetro L ongitud de un rco es proporcion su mpitud: rco = r 360 Un ánguo inscrito en un circunferenci mide mitd que e ánguo centr correspondiente (es mitd de rco). Ánguos inscritos Áre de preogrmo Todos os ánguos inscritos en e mismo rco son igues. Los ánguos inscritos en un semicircunferenci son rectos. E áre de un rectánguo o, en gener, de cuquier preogrmo es igu se por tur: S =

5 Áre de triánguo y e trpecio Áres y digones S = Si s digones de un cudriátero son perpendicures, su áre es igu producto de s digones dividido por dos: S = D d S = Áre de un poígono regur Teorem de Pitágors Un poígono regur de n dos, puede descomponerse en n triánguos isóscees. L tur de estos triánguos es potem de poígono. En un triánguo rectánguo ipotenus cudrdo es igu sum de os cudrdos de os ctetos: = c E áre de poígono se otiene sumndo s áres de estos triánguos: S = n 1 = p Donde p es e perímetro. c L escudr E crtón 1 L escudr es un triánguo rectánguo isóscees. Los ánguos gudos miden 45º. Puede considerrse como un de s dos mitdes en que un digon divide un cudrdo. Sus dos están en proporción: 3 E crtón es un triánguo rectánguo cuyos ánguos gudos miden 30º y 60º. Puede considerrse como un de s dos mitdes en que un tur divide un triánguo equiátero. Sus dos están en proporción: 1 : 1 : 1 : 3 : 1 1

6 Áre de un triánguo equiátero y de un exágono regur Teorem de cteto A 3 c n H m C = m c = n S = 3 4 S = 3 3 Los triánguos AC y AHC son semejntes. Por tnto: = m ² = m Teorem de tur A Demostrción de teorem de Pitágors A c = m n c = ² c² n H m C n H m C Los triánguos AH y AHC son semejntes. Por tnto: n = m ² = m n ² = m c² = n De teorem de cteto se deduce que: ² c² = m n = m n = ² E círcuo E sector y coron E áre de círcuo se ccu medinte: S = r² r R Segmento circur Sector circur E áre de sector es proporcion ánguo: S = r² 360 E áre de coron es diferenci de s áres de os dos círcuos: S = R² r²

7 Cr Poiedros Poiedros regures Un poiedro es un cuerpo de voumen finito imitdo por crs pns cuyo contorno es un poígono. Los eementos de un poiedro cumpen reción de Euer: crs vértices = rists Los poiedros regures son quéos cuys crs son poígonos regures igues. Hy cinco poiedros regures: tetredro, exedro o cuo, octedro, dodecedro e icosedro. Vértice Arist Prisms Prisms Los prisms son poiedros que tienen dos crs pres igues que se mn ses y crs teres que son preogrmos. Si s crs teres son rectánguos e prism es recto. Si son romoides e prism es oicuo. Según que s ses sen triánguos, cudriáteros, pentágonos, exágonos, etc, os prisms se csificn en tringures,cudrngures, pentgones, exgones, etc. Prisms Pirámides E áre ter de un prism recto es igu perímetro de se por tur de prism. Un pirámide está formd por un se y uns crs teres que son triánguos con un vértice común. p E áre tot es igu áre ter más e áre de s ses. E voumen de prism es igu áre de se por tur. Un pirámide es regur si se es un poígono regur y s crs teres son triánguos isóscees igues. En un pirámide regur, potem es perpendicur desde e vértice os dos de se.

8 Pirámides Pirámides E voumen de un pirámide es igu un tercio de áre de se por tur: V = 1 3 En un pirámide regur tur form un triánguo rectánguo con potem de se y potem de pirámide. E áre ter de un pirámide regur es igu mitd de perímetro de se por potem: S = p E áre tot es igu áre ter más e áre de se L tur tmién form un triánguo rectánguo con rist ter y e rdio de circunferenci circunscrit se. Ciindro Cono r r g = g g r r r V = r S = πr g S t = πr g + π r V = 1 3 r S = r g S t = r g r Esfer V = 4 3 r 3 S = 4 r

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