Resumen de técnicas para resolver problemas de programación entera Martes, 9 de abril. Enumeración. Un árbol de enumeración

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1 5053 Martes, 9 de abril Ramificación y acotamiento () Entregas: material de clase Resumen de técnicas para resolver problemas de programación entera Técnicas de enumeración Enumeración completa hace una lista de todas las soluciones y elige la mejor Busca implícitamente todas las soluciones, pero elimina selectivamente la gran mayoría antes incluso de buscarlas Enumeración implícita aplicado a variables binarias Técnicas de planos de corte Usa la PL para resolver programas enteros añadiendo restricciones para eliminar las soluciones fraccionadas Ejemplo de análisis de inversiones Presupuesto = $4000 Inversión Líquido necesario (miles) VAN añadido (miles) 5$ 7$ 4$ 3$ 4$ 6$ 6$ $ $ 8$ $ 9$ maximizar 6x + x + x 3 + 8x 4 +x 5 + 9x 6 sujeto a 5x + 7x + 4x 3 + 3x 4 +4x 5 + 6x 6 4 x j binario para j = a 6 3 Enumeración Considera sistemáticamente todos los posibles valores de las variables de decisión Si existen n variables binarias, hay n modos diferentes Idea usual: de forma iterativa divida el problema en dos En la primera iteración, consideramos por separado el caso x = 0 y x = 4 Un árbol de enumeración Problema original x = 0 x = x 3 = x 3 = x 3 = x 3 = Sobre la enumeración completa Supongamos que pudiésemos evaluar mil millones de soluciones por segundo n = número de variables binarias Tiempos de las soluciones n = 30, segundo n = 40, 7 minutos n = 50,6 días n = 60 3 años 5 6

2 Sobre la enumeración completa Supongamos que podemos evaluar billón de soluciones por segundo, y de forma instantánea eliminar el 99, % de todas las soluciones por no merecer consideración n = número de variables binarias Tiempos de las soluciones n = 70, segundo n = 80, 7 minutos n = 90,6 días n = 00 3 años 7 idea esencial: busque en el árbol de enumeración, pero en cada nodo Resuelva el problema PL en el nodo Elimine el subárbol (pódelo) si: es entera (no hay necesidad de ir más allá) o mejor en el subárbol no puede ser tan buena como la mejor disponible (la ) o 3 No existe factible 8 Solución en nodo : Nodo es la relajación PL original maximizar 6x + x + x 3 + 8x 4 +x 5 + 9x 6 sujeto a 5x + 7x + 4x 3 + 3x 4 +4x 5 + 6x x j para j = a 6 x = x = 3/7 x 3 = x 4 = x 5 = 0 x 6 = z = El programa entero no puede tener un valor superior a 9 x = 0 maximizar 6x + x + x 3 + 8x 4 +x 5 + 9x 6 sujeto a 5x + 7x + 4x 3 + 3x 4 +4x 5 + 6x x j para j = a 6, x = 0 Nodo es la relajación PL original más la restricción x = 0 Solución en nodo : x = 0 x = x 3 = /4 x 4 = x 5 = 0 x 6 = z = 0 x = 0 x = en el nodo era 3 Nodo 3 es la relajación PL original más la restricción x = x = x = 3/7 x 3 = x 4 = x 5 = 0 x 6 = z = Nota: era la mejor sin restricciones en x Por tanto, también es la para el nodo 3 (Si añade una restricción, y la antigua óptima es factible, entonces sigue siendo óptima) x = 0 x = 3 x = 0 Nodo 4 es la relajación PL original más las restricciones x = 0, x = 0 Solución en nodo 4: z = 4 Primera! A partir del nodo 4 no se busca más porque no puede existir una mejor entera

3 x = 0 x = x = 0 x = /3 7 6 /3 7 x 3 = x 3 = x 3 = A continuación resolvimos los problemas de PL asociados con con los nodos 5, 6, y 7 No se encontraron soluciones enteras 3 43, ,5 9 43,5 0 43,8,3 -Inf 3 A continuación resolvimos los problemas PL asociados con los nodos Resumen hasta ahora Hasta aquí hemos resuelto 3 problemas de programación lineal Una entera hallada Un subárbol podado porque la era entera (nodo 4) Un subárbol podado porque la no era factible (nodo 3) No hay subárboles podados por la cota 5 x = 0 x = 3 6 /3 7 x 3 = x 3 = 43, ,5 9 43,5 0 43,8,3 -Inf 3 43,75 4,66 x 3 = Luego resolvimos los problemas de PL asociados con los nodos siguientes Podemos podar el nodo con z = 4,66 Por qué? 6 Cómo obtener una mejor cota cota en cada nodo se obtiene resolviendo un problema de PL Pero sabemos que la mejor entera tiene un valor objetivo entero Si la mejor entera para un nodo es a lo sumo 4,66, entonces sabemos que la mejor cota es como máximo 4 Otras cotas también se pueden redondear x = 0 x = 3 6 /3 7 x 3 = x 3 = 43, ,5 9 43,5 0 43,8,3 Inf 3 43,75 4,66 x 3 = 7 8

4 x = 0 x = 3 x = 0 x = x 3 = x 3 = x 3 = x 3 = x 3 = x 3 = Inf Inf Hemos hallado una nueva x =, x =, x 4 =, x 5 = 0, x 6 = z = 43 0 x = 0 x = 3 nueva tiene valor x 3 = x 3 = x 3 = Inf 3 x = 0 x = 3 mieva tiene valor x 3 = x 3 = x 3 = Inf Hemos hallado una nueva x =, x =, x 4 =, x 5 = 0, x 6 = z = 43 Si hubiesemos encontrado antes este, habríamos buscado menos Finalización x = 0 x = 3 nueva tiene valor x 3 = x 3 = x 3 = Inf Inf Conclusiones puede acelerar la búsqueda Sólo se evaluaron 5 nodos (programación lineal) Otros nodos se podaron Obtener pronto un buen puede ser valioso sólo se habrían evaluado 9 nodos Resuelve problemas de PL más rápido, porque comenzamos con una excelente u óptima usa una técnica denominada el método simplex dual Obtener mejores cotas puede ser valioso A veces utilizamos propiedades que nos son obvias, como el hecho de que las soluciones enteras tienen valores de enteros 6 7 Inf Inf 3 4

5 Anotación: z* = entera óptima Subdivisión: un nodo del árbol B&B Incumbente: la mejor a mano z I : valor de la z PL : valor de la relajación PL del nodo actual LIST: la colección de nodos activos (no podados) Hijo de un nodo : los dos problemas creados para un nodo, p ej, diciendo x j = o x j = 0 Paso inicial: LIST = {problema original} Incumbente: = z I = - Algoritmo Si LIST =, la es óptima si existe, y el problema no tiene factible si no existe ; si no, supongamos que S sea una subdivisión de LIST Sea x PL la óptima de S CASO z PL = - (la PL no es factible) Quitar S de LIST (podarlo) 5 6 Algoritmo Si LIST =, la es óptima (si existe), y el problema no tiene factible si no existe ; si no, supongamos que S sea una subdivisión de LIST Sea x PL la óptima de S Algoritmo Si LIST =, la es óptima (si existe), y el problema no tiene factible si no existe ; si no, supongamos que S sea una subdivisión de LIST Sea x PL la óptima de S CASO - < z PL <= z I Esto es, la domina la PL Quitar S de LIST (podarlo) CASO - < z PL <= z I Esto es, la domina la PL Quitar S de LIST (podarlo) 7 8 Algoritmo Si LIST =, la es óptima (si existe), y el problema no tiene factible si no existe ; si no, supongamos que S sea una subdivisión de LIST Sea x PL la óptima de S Algoritmo Si LIST =, la es óptima (si existe), y el problema, no tiene factible si no existe ; si no, supongamos que S sea una subdivisión de LIST Sea x PL la óptima de S CASO 3 z I <z PL y x PL es entero Esto es, la PL es entera y domina la CASO 4 z I <z PL y x PL no es entero No hay suficiente información para podar S Quitar S de LIST Entonces la := x PL ; Añadir el hijo de S a LIST z I := z PL Eliminar S de LIST (podado por números enteros) 9 30

6 Hay varias reglas de selección Regla general : no deje que LIST crezca demasiado (las soluciones han de almacenarse) Por tanto, dé prioridad a los nodos que están más abajo en el árbol Regla general : escoja un dodo de LIST que tenga probabilidad de dar una mejorada A veces se utilizan heurísticas especiales para dar con una buena = 0 3 = 0 = 0 = Ramificación = 8 = 0 8 = 3 = 0 3 = 0 3 = 3 = 3 = 0 3= El árbol B&B no tiene por que ser simétrico, y no se seleccionan subárboles considerando las variables disponibles 3 = Saber cómo ramificar para reducir el tiempo de ejecución se basa en la experiencia 3 3 Se pueden dar diferentes reglas de ramificación Ramificación: determinar hijos para un nodo Existen muchas posibilidades Regal general : si resulta claro que x j = en una óptima, suele ser bueno ramificar en x j = 0 vs x j = esperanza es que una subdivision con x j = 0 se puede podar Regla general : ramificar en variables importantes merece la pena Pej, en el problema de localización, ramifique primero sobre las variables de localización de la fábrica 33 Existen diferentes técnicas de acotamiento Utilizamos la cota obtenida eliminando las restricciones enteras (relajación PL) Existen otras opciones Equilibrio clave en las cotas: tiempo necesario para obtener una cota contrapuesto a la calidad de la cota Si podemos obtener una cota más rápido, a veces no nos importaría obtener una cota que es peor A menudo merece la pena obtener una cota mejor con tal de que no nos lleve mucho tiempo (ver siguiente lección) 34 Qué ocurre si las variables son variables enteras generales? Se pueden elegir hijos del siguiente modo: hijo : x 3 (o x j k) hijo : x 4 (o x j k+) Cómo se elegiría la variable j y el valor k Lo usual sería tomar un valor fraccional de x PL p ej, si x 7 = 56, entonces es posible ramificar en x 7 5 y x 7 6 Otras opciones también son posibles 35 Resumen es el método estándar de alcanzar la optimidad en los problemas de PE Hacerlo funcionar en la práctica requiere algo de arte Gran parte del arte viene incorporado en modernos programas de software, tipo CPLE 36

7 Un mal ejemplo de enumeración implícita maximizar x + x + x x 00 sujeto a x + x + x x 00 0 x i {0,} para i = a 00 Por qué es un mal ejemplo? Qué pasaría si usásemos el método branch & bound, tal y como lo hemos descrito? 37