Curso Inferencia. Miguel Ángel Chong R. 3 de septiembre del 2013

Transcripción

1 Curso Estadística Miguel Ángel Chong R. 3 de septiembre del 013

2 Definamos más formalmente que entenderémos por una muestra. Definción Sea X la v.a. correspondiente a una población con función de distribución F (x). Si X 1, X,...,X n son v.a.s independientese identicamente distribuidas, F (x), en adelante denotado por v.a.i.i.d. Entonces a X 1, X,...,X n lo llamaremos muestra aleatoria simple o muestra aleatoria.

3 Estimación de parámetros Ahora una vez que suponemos que la población sigue cierto comportamiento distribucional F (x) (por ejemplo una normal), con base en la información contenida en una muestra aleatoria quisieramos saber cuáles son los parámetros adecuados (µ y/o, continuando con ejemplo de la normal). Un estimador es una fórmula que establece cómo calcular una estimación basada en las mediciones contenidas en una muestra. Entonces un estimador es una función de la muestra 1 yasuvezes una variable aleatoria. A continuación daremos un breve respaso de algunas funciones de distribución que nos serán de gran utilidad. 1 Que no depende del parámetro que deseamos estimar.

4 Recordemos que si X N(µ, es: ), entonces su función de densidad f X (x) = ( 1 p exp ) (x µ), para 1< x < 1 donde, µ = E (X ), 1 <µ<1, Var (X )= y > 0. Yapartirdecualquierv.a.X N(µ, ) con > 0, podemos llevarla a una v.a. normal estándar Z N(0, 1) haciendo la siguiente transformación Z = X µ, a este proceso se le llama estandación o estandarizar la v.a. X.

5 Como notación usaremos la letra, para la fución de distribución acumulada de una normal estandar y lo calcularemos usando R de la siguiente forma (z) =P (Z apple z) = pnorm(z, 0, 1).

6 Una v.a. se genera a partir de la suma de variables aleatorias independientes normales con media cero y varianza uno. Es decir, si Z 1, Z,...,Z k N (0, 1) y son independientes entonces si definimos la nueva v.a. W como: W = Z1 + + Z k, y diremos W se distribuye como una ji cuadrada con k grados de libertad, y lo denotaremos como W k. Observaciones 1 El número de términos en la suma son los grados de libertad. Se puede probar que la esperanza de W es k, esdecirque E (W )=k, y 3 La varianza de W es k, esdecirvar(w )=k. 4 Podemos calcular la función de distribución acumulada de una n como P (W apple w) =pchisq(w, n) y los cuantiles para un u [0, 1] como P W apple u,n = u de la siguiente manera u,n = qchisq(u, n).

7 k Si Z N(0, 1) y W donde Z y W son independiente. Si entonces la v.a. definida por la transformación Y = Z, diremos que Y se distribuye t de Student con k grados de libertad, y lo denotaremos por Y t k. Observaciones Los grados de libertad de t k son los mismos grados de la que la genera. Esta función de distribución es parecida a la normal centrada en cero p W k en el sentido de que también es simétrica alrededor del cero, pero la t k se diferencía de la normal en que tiene colas más pesadas. Cuando los grados de libertad k tienden a infinito, entonces t k tiende a una N (0, 1), y lo podemos escribir como t k! N (0, 1) cuando k!1. Podemos calcular la función de distribución acumulada de una t k usando R como sigue P (Y apple w) =pt(w, n) y los cuantiles para un u [0, 1] como P (Y apple t u,n )=u de la siguiente manera t u,n = qt(u, n).

8 Si d1 yd son números enteros positivos y definimos las siguentes v.a.s como V d1 y W d donde V y W son independiente. Entonces la v.a. definida por la transformación K = V /d1, se dice que K se W/d distribuye F de Snedecor con d1 y d grados de libertad, ylo denotaremos por K F d1,d. Observaciones Los grados de libertad d1 yd delaf d1,d los determinan los grados de la en el numerador y en el denominador respectivemete. Si K F d1,d entonces 1 K =K 1 F d,d1. Podemos calcular la función de distribución acumulada de una F d1,d usando R como sigue P (K apple w) =pf (w, d1, d) y los cuantiles para un u [0, 1] como P (K apple f u,d1,d )=u de la siguiente manera f u,d1,d = qt(u, d1, d).

9 Distribución de estadísticos muestrales Los estadísticos muestrales los usaremos para estimar los correspondientes parámetros poblacionales. Como los estadísticos muestrales son una función de una muestra aleatoria (X 1,...,X n ), estos estadísticos son también variables aleatorias en algunos casos no es difícil calcular su distribución de probabilidad. Es importante notar que la distribución exacta de los estadísticos dependerá del tamaño muestral n, y en algunos casos habrá que tomar una muestra grande y utilizar la distribución ĺımite apropiada. En concreto nos centraremos en saber la distribución de los estadísticos X y S que son muy útiles en diferentes aplicaciones estadísticas, pero antes de calcula la distribución de estos estadísticos veamos los siguientes resultados.

10 Teorema Si (X 1,...,X n )esunamuestraaleatoriadetamañon procedente de una población, descrita por la variable aleatoria X, con media E[X ]=µ yvarianzavar(x )=, entonces E X = µ Var X = n. El resultado anterior es valido cuando el muestreo se hace de una población infinita, o bien de una población finita, pero con reemplazo. A continuación nos centraremos primero en saber las distribuciones de algunos estadísticos para muestras procedentes distribuciones normales, cuyos parámetros pueden o no, ser conocidos.

11 La función generadora de momentos de la variable aleatoria X se define como M X (t) =E e Xt y tiene las propiedades: M X +Y (t) =M X (t) M Y (t) si solo si X y Y son v.a.s indepencientes M ax (t) =M X (at) donde a es una constante real. Además un resultado muy conocido es el siguiente: Si X N µ, entonces M X (t) =e µt+ t.

12 Teorema Si X 1,...,X n, son variables aleatorias independientes distribuidas según una N(µ i, i ), para i = {1,...,n} y si a 1,...,a n, son números reales, entonces la variable aleatoria Y = a 1X a nx n Demostración Y N a 1µ a nµ n, a an n. M Y (t) =M a1 X a nx n (t) = = ny M Xi (a i t)= ny ny M ai X i (t) i=1 i=1 i=1 =e P P ni=1 n i=1 µ i a i t+ i a i t. e µ i a i t+ i a i t Que es la función generadora de momentos de una normal con media P n i=1 µ ia i yvarianza P n i=1 i ai

13 Como consecuencia vamos a obtener la función del estadístico X bajo los siguientes supuestos. Sea (X 1,...,X n )unamuestraaleatoria simple de tamaño n, procedente de una población N µ,, donde es conocida y como consecuencia X N µ, n, Z = X µ q n N (0, 1).

14 Sea (X 1,...,X n )unamuestraaleatoriasimpledetamañon, procedente de una poblacioin N µ,. Entonces tenemos que cada elemento de la muestra lo podemos estandarizar Z i = X i µ N (0, 1), con i {1,,...,n} Usando la independencia tenemos que nx i=1 Z i n.

15 Encontramos la distribución de X bajo el supuesto de que la varianza de la población es conocida, pero en general este parámetro también es desconocido. Podemos estimar la varianza poblacional con la varianza muestral S = 1 P n n 1 i=1 X i X. Teorema Sea (X 1,...,X n )unamuestraaleatoriasimpledetamañon, procedente de una población N µ,. Entonces se verifica que: 1 Los estadísticos X y S son independientes. El estadístico W = (n 1) S n 1. 3 Y por lo tantos el estadístico X µ q n q W n 1 = X µ Sp n t n 1.

16 Distribución de la diferencia de medias muestrales cuando se conoce la varianza poblacional. En muchas situaciones surge la necesidad de comparar medias muestrales de dos poblaciones distintas. Supongamos que X N µ X, X,yquelavariablealeatoria Y N µ Y, Y. Se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n X de la primera población y una muestra aleatoria de tamaño n Y de la otra. Si X y Ȳ son las medias muestrales de ambas muestras y estamos interesados en conocer la distribución muestral de la diferencia X Ȳ para las muestras respectivas de tamaño n X y n Y

17 Teorema Sean (X 1,...,X nx )y(y 1,...,Y ny ) dos muestras aleatorias simples e independientes entre sí, de tamaños n X y n Y, procedentes de las poblaciones N µ X, X y N µ Y, Y respectivamente. Entonces la distribución muestral de la diferencia de medias X Ȳ, tendrá una distribución normal Entonces X Ȳ N µ X µ Y, X n X + Y. n Y Z = X Ȳ (µ X µ Y ) q X n X + Y n Y N (0, 1).

18 Distribución de la diferencia de medias muestrales cuando no se conoce la varianza poblacional Un caso más general es cuando las varianzas poblacionales no son conocidas. Si queremos obtener la distribución de la diferencia de medias muestrales X Ȳ cuando el muestro se realiza sobre dos poblaciones normales, independientes y con varianzas desconocidas. Es decir, consideramos dos poblaciones normales e independientes, N µ X, X y N µ Y, Y y seleccionamos una muestra aleatona simple de tamaño n X de la primera población y otra muestra aleatoria simple de tamaño n Y,independientedela anterior, y procedente de la segunda población, entonces pueden presentarse dos situaciones: Las varianzas poblacionales son iguales = X = Y, Las varianzas poblacionales son distintas X 6= Y.

19 Caso = X = Y Como las muestras son independientes, también serán independientes las varianzas muestrales SX y SY y por tanto los estadísticos (n X 1) S X n X 1 (n Y 1) S Y n Y 1, entoces al sumar las dos expresiones anteriores y usando la independencia tenemos que Por otro lado U = (n X 1) S X +(n Y 1) S Y n x +n Y. Yporlotanto Z = X Ȳ (µ X µ Y ) q N (0, 1). 1 n X + 1 n Y T = q Z U n X +n Y t nx +n Y

20 Desarrollando la igualdad de la lamina anterior tenemos que T = ( X Ȳ) (µ X µ Y ) q 1 nx + 1 n Y q 1 (n X 1)S X +(n Y 1)S Y n X +n Y = p n X + n Y q = X Ȳ (µ X µ Y ) p 1 n X + 1 (nx n Y 1) SX +(n Y 1) SY p nxn Y p nx + n Y p nx + n Y X Ȳ (µ X µ Y ) p (nx 1) S X +(n Y 1) S Y t nx +n Y

21 caso X 6= Y Si las varianzas poblacionales son distintas y desconocidas X 6= Y utilizamos las varianzas muestrales S X y S Y como sus estimadores. Cuando los tamaños muestrales de ambas muestras son mas grandes de 30, entonces usamos el estadístico X Ȳ (µ X µ Y )! t, + S Y n Y q S X n X donde es el entero más próximo a la siguiente cantidad S X + S Y n X ny S X! S! Y nx ny n X 1 + n Y 1

22 Distribución para el cociente de varianzas Sean dos poblaciones X y Y normales N µ X, X y N µ Y, Y independientes, de las cuales seleccionamos dos muestras aleatorias e independientes, de tamaños n X y n Y,(X 1,...,X nx )y(y 1,...,Y ny ), entonces pueden presentarse fundamentalmente dos situaciones: a) Sungamos que µ X y µ Y son conocidas. Si definimos a entonces S X = 1 n X nx i=1 (X i µ X ), S Y = 1 n Y n Y X i=1 (Y i µ Y ). Entonces U = n X SX X n X, V = n Y SY Y n Y. F = U /n X V/n Y = Y X S X SY F nx,n Y

23 b) y por otro lado, supongamos que µ X y µ Y son desconocidas. Si definimos a S X = entonces 1 n X 1 nx i=1 X i X, S Y = 1 n Y 1 n Y X i=1 Y i Ȳ. U = (n X 1)S X X n X 1, V = (n Y 1)S Y Y n Y 1. Entonces F = U /(n X 1) V/(n Y 1) = Y X S X S Y F nx 1,n Y 1

24 Teorema Central del Límite Sea X 1, X, X 3,... una sucesión de v.a.s independientes con función de probabilidades f X (x), con media µ X yvarianza X X.Sea = 1 n (X 1 + X X n )lamediaaritméticadelasprimerasn variables aleatorias que integran la sucesión. Cuando n!1, la distribución de la variable aleatoria X es aproximadamente normal con media µ X yvarianza X n,esdecir X! d N µ X,, cuando n!1, donde el símbolo d! debe leerse converge en distribución. Yporlotanto X n X µ X = px n p n( X µ X ) X d! N(0, 1).

25 El Teorema Central del Límite establece que para un tamaño de muestra grande la distribución de X es aproximadamente normal: 1 independientemente de que la v.a. X de la cual se está muestreando, el teorema funciona aún si la distribución es discreta, 3 sea simétrica o asimétrica la forma de la densidad de f X (x) 4 la expresión tamaño de muestra grande es ambigüa, por lo tanto el tamaño de muestra para el cual la aproximación es buena depende de la forma de f X (x). Siempre y cuanto tenga hasta segundo momento finito.

26 Distribución de la proporción muestral Sea (X 1,...,X n) una muestra aleatoria simple de tamaño n, deunapoblación nx Ber(p). Sea U = X i la v.a. que cuenta los éxitos y por lo tanto el i=1 estadístico proporción muestral que nos servirá para estimár p será la v.a. P x = U. n nx Una vez que tenemos una muestra observada (x 1,...,x n)yu = x i el valor del estadístico proporción muestral es el número ˆp = u n. en donde u representa el número de elementos de la muestra que poseen la característica que estamos investigando y la variable aleatoria U sigue una distribución binomial Bin(n, p). La distribución binomial se puede aproximar por una normal cuando n es grande (n 30), usando el Teorema Central del Límite. Entonces el estadístico muestral sigue una distribución normal i=1 U n d! N p, p(1 p) n

27 Distribución de la diferencia de proporciones Otro problema que se suele presentarse es comparar las proporciones p x y p y de dos poblaciones con distribución Ber(p x )yber(p y ), usando muestras aleatorias simples de tamaño n x y n y,respectivamente, extraídas de ambas poblaciones de forma indepenciente entre ellas. Sean n x n X X y U = X i y V = i=1 i=1 Y i Entonces la distribución muestral de la diferencia de proporciones ˆp x ˆp y = U n x V n y tendrá aproximadamente (para n x y n y grandes) una distribución normal con media y desviación típica µˆpx ˆp y =ˆp x ˆp y ˆpx ˆp y = p xq x n x ˆp x ˆp y d! N µˆpx ˆp y, ˆp x + p y q y n y ˆp y.

28 El problema de la estimación puntual La estimación de parámetros se divide en dos grandes grupos: 1 La estimación puntual se concentra en obtener un único valor, calculado a partir de las observaciones muestrales, y que es utilizado como estimación del valor del parámetro. En la estimación por intervalos se obtienen dos valores: un ĺımite inferior L i yunĺımitesuperiorl s que definen un intervalo en los reales, el cual contendrá con cierta confianza el valor del parámetro.

29 Como suponemos que la población está representada por su función de distribución F (x; ), donde es el parámetro poblacional desconocido. El estimador del parametro poblacional es una función de la muestra aleatoria ˆ = g(x 1,...,X n ) Cuando tenemos una muestra observada (x 1,...,x n ) se obtiene un valor específico del estimador que recibe el nombre de estimación del parámetro poblacional ˆ = g(x 1,...,x n ) El estimador es un estadístico y además v.a. y el valor de esta variable aleatoria para una muestra dada (x 1,...,x n )esuna estimación puntual. Como hemos visto, estimador ˆ tiene su distribución muestral y para diferentes realizaciones de una muestra de tamaño n se tendrá un valor.

30 Nuestro objetivo es seleccionar el estadístico que usaremos como estimador del parámetro poblacional. Por ejemplo, una propiedad deseable de un estadístico es que para diferentes realizaciones (x 1,...,x n ), el estadístico estén en promedio concentrado alrededor del verdadero valor del parámetro.