MATEMÁTICAS FINANCIERAS Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS JAIRO TARAZONA MANTILLA CONSULTOR ASESOR DOCENTE FINANCIERO Y PROYECTOS

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1 MATEMÁTICAS FINANCIERAS Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS JAIRO TARAZONA MANTILLA CONSULTOR ASESOR DOCENTE FINANCIERO Y PROYECTOS Bucaramaga, 2010

2 INTRODUCCIÓN El presete documeto es ua complacó de memoras de clase y lecturas de lbros varos de matemátcas faceras. La matemátcas faceras como herrameta cuattatva de aálss, es útl e el sector empresaral e la toma de decsoes del maejo de recursos faceros, co relacó a alteratvas de crédto o versó; evalúa y compara ecoómcamete alteratvas relatvas a sstemas, productos, servcos, equpos etre otros para lograr decsoes que relacoe la mejor o mejores posbldades etre las que debe seleccoar el versosta, así msmo para la evaluacó ecoómca y facera de proyectos de versó. El desarrollo de esta competeca proporcoara al profesoal herrametas para evaluar el valor del dero e el tempo, para lo cual podrá tomar decsoes e térmos ecoómcos sobre la mejor alteratva de préstamos o versoes, estado e capacdad de dagostcar e dagar uevas o actuales udades productvas para determar su vabldad ecoómca. El modulo se ca co el estudo de los elemetos fudametales de las matemátcas faceras, tales como el valor del dero e el tempo, pasado luego al cocepto de terés smple e terés compuesto, para luego troducr los coceptos de tasa de terés omal, efectva, atcpada y vecda y sus equvalecas. Luego, se trabajará el cocepto de aualdades, gradete artmétco, geométrco, y escaloado y se aalzará luego las amortzacoes y saldos, co base a lo ateror se troducrá los coceptos de los ídces devaluacó ecoómca de proyectos, para u proyecto y proyectos co gual y dferete vda útl.

3 1. INTERÉS 1.1 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO El valor de dero se debe defr o solo e térmos del cuáto, so que també del cuado, esto debdo a que o es lo msmo el recbr u pago hoy por u valor determado, que esa msma catdad al paso de certo tempo; lo ateror teedo e cueta que el dero perde poder adqustvo y al gual que ua trasaccó comercal, el uso del dero debe geerar uos gresos extras para el dueño del captal; es decr el propetaro recbe uos tereses por el captal. El cocepto de equvaleca tee relacó co la postergacó del uso del dero debdo a que el valor de este vara co el tempo; de acuerdo a ua tasa de terés, por lo cual se llega a la coclusó de que o se puede sumar udades moetaras e dferete tempo, por que o so guales. Para la represetacó del valor del dero e el tempo se utlza el flujo de caja, el cual cosste e la represetacó grafca de u problema facero. Su mportaca radca e que permte vsualzar el problema, facltado así su defcó y aálss correcto; este dagrama costa de lo sguete: Ua líea horzotal e la cual se represeta todos los perodos e los cuales se ha dvddo el tempo para efectos de la tasa de terés. Uas flechas haca arrba y otras haca abajo, co las cuales se represeta el flujo de caja (gresos egresos. S se elge las flechas haca arrba como

4 gresos, debe tomarse las flechas haca abajo como egresos o vceversa. Lo mportate es o mezclarlos. E el valor del dero e el tempo tervee tres varables el moto de dero o captal el cual puede correspoder a u valor presete, futuro, aualdad o gradete; tasa de terés y el tempo. Para determar la estructura o perodos del flujo de caja, cuado el moto de dero sea presete o futuro, puede ser defda de acuerdo al perodo de la tasa de terés o al tempo; por lo tato se puede realzar coversó de cualquera de estas dos varables, e dode la estructura del flujo de caja o perodos de la operacó facera debe cocdr co la tasa de terés INTERES. Es el valor recbdo o etregado por el uso del dero a través del tempo. Preco que se paga por el uso del dero que se tee e préstamo durate u perodo determado. Es la compesacó que recbe los dvduos, frmas o persoas aturales, por el sacrfco e que curre al ahorrar ua suma, o el beefco que se saca del dero prestado, este redmeto ecoómco que se paga o se recbe durate u determado tempo correspode al valor por la perdda del poder adqustvo. Compoetes de la tasa de terés Se puede cosderar que la magtud de la tasa de terés correte; es decr la que se ecuetra e el mercado tee tres compoetes o causas:

5 El efecto de la flacó, que correspode a ua medda del aumeto geeral de precos, su efecto se ota e la perdda del poder adqustvo de la moeda. El efecto del resgo que es trísco al egoco o versó e que se utlza el dero o captal; a mayor resgo, mayor tasa de terés. El terés real o la productvdad e su uso, que es u efecto trísco del captal, depedete de la exsteca de flacó o resgo. La relacó de estos compoetes, para determar la tasa de terés correte, o es adtva, so multplcatva producto de su combacó, se expresa así: c = ( 1+ R * (1+ f * (1+ TR Dode: c = Tasa correte o comercal R = Tasa de terés real f = Tasa de flacó TR = Tasa de resgo 1.3. Tasa de terés. Correspode al valor porcetual del terés lqudado = I P Dode: = tasa de terés I = Iterés P = Valor Presete TIPOS DE INTERESES Iterés Smple. El terés smple es cuado los tereses lqudados o se suma peródcamete al captal, es decr los tereses o devega tereses,

6 debdo a que o se reverte. Esto mplca que el captal cal o vara durate el tempo de la operacó facera, la tasa de terés sempre se aplcara sobre el captal cal y los tereses será sempre guales e cada perodo. El terés smple se detfca por que se deota como smple o pagadero al fal del perodo. Cuado se quera calcular el terés e $ coocedo el valor Presete, el tempo de la trasaccó y la tasa de terés se aplca la sguete formula: I = P * * Cuado se quera calcular el terés e $ coocedo el valor Futuro y Presete se aplca la sguete formula: I = F P Cuado se quera calcular la tasa terés coocedo el valor Presete, terés e $ y el tempo de la trasaccó se aplca la sguete formula: I = P * Cuado se quera calcular la tasa terés coocedo el valor Futuro, Presete y el tempo de la trasaccó se aplca la sguete formula: = F - P P * Cuado se quera calcular el tempo de la trasaccó coocedo el valor Presete, terés e $ y tasa terés se aplca la sguete formula: = I P * = Cuado se quera calcular el tempo de la trasaccó coocedo el valor Futuro, Presete y la tasa terés se aplca la sguete formula:

7 F - P = P * Cuado se quera calcular el valor Futuro coocedo el valor Presete y el terés e $ se aplca la sguete formula: F = P+ I Cuado se quera calcular el Valor Futuro coocedo el Valor Presete, la tasa de terés y el tempo de la trasaccó se aplca la sguete formula: F = P( 1+ * Cuado se quera calcular el Valor Presete coocedo el Valor Futuro, la tasa de terés y el tempo de la trasaccó se aplca la sguete formula: P= F ( 1+ Dode: I = Iterés P = Valor del captal F = Valor Futuro = perodos de tempo = tasa de terés Iterés Compuesto. Es aquel e el cual los tereses del perodo ateror, forma parte tegral del captal del perodo sguete, debdo a que se lquda terés sobre terés. Los tereses recbdos se reverte y pasa a covertrse e u uevo captal. Es la tasa de terés que al fal de cada perodo se aplca tato al

8 captal del perodo ateror como a los tereses devegados e ese perodo, es decr aquí se suma peródcamete los tereses más el captal; esto equvale a decr que es la operacó e la cual los tereses gaa tereses y por esto se llama sstema de captalzacó y el perodo utlzado para lqudar los tereses se llama perodo de captalzacó Iterés peródco o vecdo. Es aquel redmeto que cobra o paga su lqudacó al fal del perodo, correspodete a la tasa meor Iterés atcpado. Es aquel redmeto que cobra o paga su lqudacó al prcpo del perodo Iterés efectvo. Es la tasa de terés real aplcado durate perodos, correspodete a la tasa mayor Iterés omal. Es ua espece de terés smple que muestra el período de captalzacó del dero Valor futuro. Es el valor obtedo de la suma del valor presete y el valor obtedo por cocepto de tereses, localzada e el perodo Valor presete. Es el valor del dero a pesos hoy, localzada e el perodo cero. Cuado se quera calcular el terés e $ coocedo el valor Futuro y Presete se aplca la sguete formula: I = F P Cuado se quera calcular el terés e $ coocedo el valor Presete, el tempo de la trasaccó y la tasa de terés se aplca la sguete formula: I = P(( 1+ ^ 1

9 Cuado se quera calcular el Valor Futuro coocedo el Valor Presete, la tasa de terés y el tempo de la trasaccó se aplca la sguete formula: F = P *(1+ ^ Cuado se quera calcular el Valor Presete coocedo el Valor Futuro, la tasa de terés y el tempo de la trasaccó se aplca la sguete formula: p= F ( 1+ Cuado se quera calcular la tasa terés coocedo el valor Presete, terés e $ y el tempo de la trasaccó se aplca la sguete formula: = F P 1 1 Cuado se quera calcular el tempo de la trasaccó coocedo el valor Presete, Futuro y tasa terés se aplca la sguete formula: = Log(F/P Log(1+ Cuado se quera calcular el tempo de la trasaccó coocedo el valor presete del préstamo, valor Presete de los ahorros para cubrrlo e el futuro, y las tasas tereses respectvos, se aplca la sguete formula: = P 1 Log P 2 Log 1+ Log(1+ ( 2 1 Dode: F= Valor Futuro P = Valor presete = Tasa de terés (e decmales = úmero de perodos de tempo cocordates co la tasa de terés

10 1.5 EQUIVALENCIA DE TASAS INTERESES Se cosdera equvaletes aquellos tpos de Iterés que referdos a dstta udad de tempo, aplcados a u msmo captal durate u msmo perodo de tempo, produce gual captal fal Iterés Smple Para hacer la equvaleca para tasa terés smple, se debe teer e cueta el período y la catdad de subperíodos cotedos e el prmero y se debe hacer el aálss s la tasa del terés que teemos calmete es mayor o meor a la que queremos hallar. Para realzar coversoes e terés smple se utlza operacoes como la multplcacó o dvsó. Cuado se quera calcular el terés mayor smple se multplca el terés meor smple por el tempo de la trasaccó: > s = < s * Cuado se quera calcular el terés meor smple se dvde el terés meor smple por el tempo de la trasaccó: > s < s = Dode: < s = Tasa de terés meor smple > s = Tasa de terés mayor smple = Perodos de tempo

11 1.5.2 Iterés Compuesto. Los tereses compuestos puede ser: terés vecdo o peródco (p o v; terés atcpado (a, Iterés efectvo (E, terés omal ( y tasas múltples. E las tasas de terés se debe teer e cueta el terés (%, perodo de aplcacó, base de aplcacó ($ y la forma de aplcacó (vecdo o atcpado. Cuado me ombra el SOLO PERIODO,el terés puede ser p o E El terés peródco puede ser: Daro p o v Semaal Quceal Mesual p (terés meor o gual Bmestral Trmestral Cuatrmestral Semestral E (terés mayor Aual E Cuado se quere calcular u terés peródco coocedo u terés efectvo se procede a utlzar la sguete formula: = (1 + p E 1 1

12 Cuado se quere calcular u terés efectvo coocedo u terés peródco se procede a utlzar la sguete formula: E = ( 1+ p 1 a = 1 p + p Tasas de coversó de terés omal. El terés omal se puede presetar vecdo o atcpado, la palabra omal puede reemplazarse por térmos tales como captalzable, covertble, pagadero, lqudable, o compuesto. Cuado se trate de períodos atcpados debe llevar s falta la palabra atcpado. INTERÉS NOMINAL VENCIDO Aual COMPUESTO trmestral COMPUESTO semestral Aual CAPITALIZABLE... CAPITALIZABLE... Aual CONVERTIBLE... CONVERTIBLE... Aual PAGADERO... PAGADERO... Aual LIQUIDABLE... LIQUIDABLE... Aual POR... POR... Aual NOMINAL... Aual MES vecdo MES vecdo INTERÉS NOMINAL INTERÉS NOMINAL ANTICIPADO Aual COMPUESTO trmestral ANTICIPADO + LA PALABRA ANTICIPADO

13 1.6 TASAS MULTIPLES, COMPUESTAS, COMBINADAS O SUCESIVAS Es el resultado de la aplcacó smultáea dos o más tasas de terés compuesto, s estas opera e forma dferete. Cuado se requera calcular el terés efectvo e pesos Colombaos coocedo el terés e el exteror y la devaluacó, se aplcara la sguete formula: E $(% = (1+ dev(1+ ext 1 Cuado se requera calcular el terés efectvo e pesos Colombaos coocedo el terés e UVR S y la flacó, se aplcara la sguete formula: ( 1+ f( 1+ 1 E $(% = uvr Cuado se requera calcular el terés Neto e $ coocedo el terés e $ y la retecó e la fuete, se aplcara la sguete formula: IN = I( 1 RF Cuado se requera calcular el Futuro Neto coocedo el Presete y el terés Neto e $, se aplcara la sguete formula: FNeto = P+ INeto Cuado se requera calcular el terés Neto coocedo el Futuro Neto y el valor Presete, se aplcara la sguete formula: N = FNeto P 1 1 Cuado se requera calcular el terés real coocedo el terés Neto y la flacó, se aplcara la sguete formula:

14 N f R= 1 + f Cuado se requera calcular el terés Neto coocedo el terés real y la flacó, se aplcara la sguete formula: N = R( 1+ f + f Cuado se requera calcular el úmero de Dólares coocedo el valor de la trasaccó y la tasa de cambo, se aplcara la sguete formula: ValorTrasacco # Dolares = TRM Cuado se requera calcular el úmero de UVR S coocedo el valor de la trasaccó y el valor del UVR S, se aplcara la sguete formula: ValorTrasacco # UVR= UVR$ Dode: Dev.= devaluacó IE$(%= tasa % e $ Colombaos R= terés real RF= Retecó e la fuete UVR= Tasa de terés sobre UVR ext= tasa de terés e el exteror f= tasa de flacó N= tasa de terés Neto TRM= Tasa represetatva de mercado

15 2. SERIES UNIFORMES O ANUALIDADES Las aualdades so cuotas o pagos costates y peródcas que se etrega o se recbe al comezo, al fal o e forma dferda o e forma fta, el térmo pago hace refereca tato a greso como a egreso; de la msma maera, el termo aualdad se utlza para dcar que los pagos so peródcos y o ecesaramete cada año; esto quere decr que los perodos puede ser el día, la semaa, la qucea, el mes, etre otros. Las aualdades puede ser vecdas, atcpadas, dferdas o ftas. Cuado estamos trabajado aualdades defmos a como el úmero de cuotas o pagos. Como plazo se defe el tempo límte para el cumplmeto de la últma cuota o pago. Cuado se trabaja co aualdades es gual al umero de cuotas, por lo tato la estructura del flujo de caja lo defe los pagos, la cual determara el perodo del terés a utlzar; para estmar se utlza la sguete formula: = FIN INICIO +1 Dode: FIN: dode se ubca la ultma cuota INICIO: dode se ubca la prmera cuota

16 2.1 Aualdades vecdas. So aquellos pagos dode la prmera cuota se ubca al fal del prmer perodo. Para las aualdades vecdas el plazo cocde co el úmero de cuotas. El valor presete de ua aualdad vecda, se ubca u perodo ates del prmer pago y su valor futuro cocde co la últma cuota. Cuado se requera estmar el valor Presete coocedo la aualdad vecda, úmero de cuotas y el terés, se aplcara la sguete formula: P (1+ 1 A (1+ = Cuado se requera estmar el úmero de cuotas coocedo la aualdad vecda, valor Presete y el terés, se aplcara la sguete formula: p * Log(1- = A - Log(1+ Cuado se requera estmar la aualdad vecda coocedo el valor Presete, umero de cuotas y el terés, se aplcara la sguete formula: A (1+ = P (1+ 1 Cuado se requera estmar el valor Futuro úmero de cuotas y el terés, se aplcara la sguete formula: coocedo la aualdad vecda, F (1+ = A 1

17 Cuado se requera estmar el úmero de cuotas coocedo la aualdad vecda, valor Futuro y el terés, se aplcara la sguete formula: = F Log( * +1 A Log(1+ Cuado se requera estmar la aualdad vecda coocedo el valor Futuro, umero de cuotas y el terés, se aplcara la sguete formula: A = F (1+ 1 Cuado se requera estmar el terés coocedo umero de cuotas, valor Presete y la aualdad se utlzara el método de terpolacó aplcado las sguetes formulas: teo = (ta J = Dode: ValorPagos(Re tros - ValorCredto(Depostos < +(> -< * ValorCredto(Depostos VP(< - VP VP(< - VP( > P=Valor Presete F=Valor Futuro A= Aualdad = tasa de terés = # de cuotas <= terés meor >= terés mayor

18 j= terés de la trasaccó VP <=Valor presete calculado co el terés meor VP >= Valor presete calculado co el terés mayor F( 18 P( Aualdades atcpadas. Sucede cuado el prmer pago u ahorro se realza hoy, es decr al co del prmer período, el problema radca e que e la aualdad atcpada las cuotas se desplaza u período haca la zquerda, esto es, la prmera cuota está e el puto cero. Para las aualdades atcpadas el plazo o cocde co el úmero de cuotas, para calcularlo se aplca la sguete formula: PLAZO = FIN = INICIO+ 1 El valor presete de ua aualdad atcpada, cocde co el prmer pago ; para hallar su valor futuro reutlzaremos la msma formula de vecda, por lo cual esta se ubcara e la ultma cuota, así msmo para calcular el terés se aplcara la msma formula y procedmeto de la aualdad vecda. Cuado se requera estmar el valor Presete coocedo la aualdad atcpada, umero de cuotas y el terés, se aplcara la sguete formula: (1+ 1 P= A 1 (1+ ( + Cuado se requera estmar la aualdad atcpada coocedo el valor Presete, umero de cuotas y el terés, se aplcara la sguete formula:

19 A = P (1+ (1+ ( Aualdades dferdas. Se etede por aualdad dferda aquella que ca su proceso de pago o recbo después de trascurrr uo o varos perodos de pago. Estos perodos cales se cooce co el ombre de perodo de graca o tempo muerto. Es decr el prmer pago se realza después del prmer perodo. E el perodo de graca o se paga aboo a captal, pero se puede geerar tereses. E las aualdades dferdas el plazo o cocde co el úmero de cuotas, para calcularlo se aplca la sguete formula: PLAZO = FIN = INICIO+ 1 Para el maejo de aualdades dferdas, se reutlzara las formulas de aualdades vecdas o atcpadas segú covega de acuerdo co el puto focal que se va a utlzar y ua vez hallado el presete e ese puto focal, hallamos el presete e cero. 2.4 Aualdades ftas o perpetuas. Se deoma aualdad fta dode cuado o exsta la últma cuota, por lo tato o exste valor futuro. Cuado se requera estmar el valor Presete coocedo la aualdad vecda y el terés, se aplcara la sguete formula: P = A Cuado se requera estmar la aualdad vecda coocedo el valor Presete y el terés, se aplcara la sguete formula: A = P *

20 Cuado se requera estmar el valor Presete coocedo la aualdad atcpada y el terés, se aplcara la sguete formula: A P = * 1+ Cuado se requera estmar la aualdad atcpada coocedo el valor Presete y el terés, se aplcara la sguete formula: P * A = 1 ( + ((

21 3. SERIES VARIABLES O GRADIENTES Es ua forma de aboos o pagos peródcos, que se va cremetado o dsmuyedo perodo a perodo e u valor costate o varable. Los gradetes puede ser artmétcos o geométrcos. El valor presete de u gradete vecdo esta u perodo ates del prmer pago y el valor futuro cocde co el ultmo pago. El valor presete de u gradete atcpado cocde co el prmer pago y para hallar el valor futuro se utlza las formulas de gradetes vecdos. Para los gradetes dferdos se utlza las formulas de gradetes vecdos cuado la tasa de terés es costate o las formulas de gradetes vecdo o atcpado segú correspoda cuado la tasa de terés sea varable Gradetes artmétcos. Es ua sere de pagos peródcos e la cual cada pago es gual al del perodo medatamete ateror, cremetado o dsmuyedo e ua catdad de dero costate. Al gual que las aualdades, los gradetes puede presetarse: vecdos, es decr cuado el prmer pago cocde co el fal del prmer perodo; Atcpados cuado se realza hoy y el prmer pago cocde co el valor presete. Los gradetes dferdos so aquellos, que el prmer pago se efectúa pasados dos o más perodos. Gradetes ftos so aquellos que o tee u límte defdo para el últmo pago, por lo tato o tee valor Futuro.

22 Cuado se requera estmar el valor de la Aualdad vecda coocedo el prmer pago, úmero de cuotas, gradete y el terés, se aplcara la sguete formula: + ± = 1 (1 1 " G A A Cuado se requera estmar el valor Presete de u gradete vecdo coocedo el prmer pago, úmero de cuotas, gradete y el terés, se aplcara la sguete formula: ± + + = G A P (1 (1 1 (1 (1 1 (1 " Cuado se requera estmar el valor Futuro de u gradete vecdo coocedo el prmer pago, úmero de cuotas, gradete y el terés, se aplcara la sguete formula: + ± + = G A F 1 (1 1 (1 " Cuado se requera estmar el valor Presete de u gradete atcpado coocedo el prmer pago, úmero de cuotas, gradete y el terés, se aplcara la sguete formula: *(1 (1 (1 1 (1 (1 1 (1 " G A P ± + + = Cuado se requera calcular cualquer umero de cuota coocedo la prmera cuota, el umero de la cuota a estmar y el gradete artmétco, se aplcara la sguete formula:

23 A = A ± ( 1 * G 1 crecete ( + decrecete( Cuado se requera estmar el valor Presete de u gradete vecdo fto coocedo el prmer pago, gradete y el terés, se aplcara la sguete formula: A" G crecete( - VP = ± 2 decrecete( + Cuado se requera estmar el valor Presete de u gradete atcpado fto coocedo el prmer pago, gradete y el terés, se aplcara la sguete formula: A" G VP = ± 1+ 2 ( crecete( - decrecete( Gradete geométrco. Es ua sere de pagos peródcos e los cuales, cada pago es gual al del período medatamete ateror cremetado o dsmudo e u msmo porcetaje, es decr aumeta o dsmuye e u valor varable, pero coservado el msmo porcetaje. Los gradetes geométrcos puede presetarse crecetes (cuado el valor se cremeta e gual porcetaje perodo a perodo y decrecetes (cuado dsmuye, e gual porcetaje, el valor a pagar, a medda que se avaza e los períodos. Los gradetes geométrcos gual que las aualdades y gradetes artmétcos puede ser: vecdos, atcpados o dferdos y su tratameto es muy smlar al de los casos aterores. Cuado se trabaja co aualdades es gual al úmero de cuotas, por lo tato la estructura del flujo de caja lo defe los pagos, la cual determara el perodo del terés a utlzar; para estmar se utlza la sguete formula:

24 = FIN INICIO+1 Dode: FIN: dode se ubca la ultma cuota INICIO: dode se ubca la prmera cuota Para el calculo de los respectvos gradetes hay que defr e prmer lugar s este es crecete o decrecete y luego la relacó etre el terés y el gradete( = o Gradete geométrco crecete. Cuado se requera estmar el valor Presete de u gradete geométrco crecete vecdo coocedo el prmer pago, umero de cuotas, gradete y el terés, se aplcara la sguete formula: K A" 1+ P= 1 K 1+ A" P= 1 + = K K Cuado se requera estmar el valor Futuro de u gradete geométrco crecete vecdo coocedo el prmer pago, umero de cuotas, gradete y el terés, se aplcara la sguete formula: K {(1 + (1+ K } A" F = K = K F = A"(1+ 1

25 Cuado se requera estmar el valor Presete de u gradete crecete atcpado coocedo el prmer pago, umero de cuotas, gradete y el terés, se aplcara la respectva formula multplcada por el factor ( Gradete geométrco decrecete. Cuado se requera estmar el valor Presete de u gradete geométrco decrecete vecdo coocedo el prmer pago, úmero de cuotas, gradete y el terés, se aplcara la sguete formula: K A" 1 P= 1 + K 1+ = K K P= A" Cuado se requera estmar el valor Futuro de u gradete geométrco decrecete vecdo coocedo el prmer pago, úmero de cuotas, gradete y el terés, se aplcara la sguete formula: K {(1 + (1 K } A" F = + K = K {(1 + (1 } A" F = 2 Cuado se requera calcular cualquer umero de cuota coocedo la prmera cuota, el umero de la cuota a estmar y el gradete geométrco, se aplcara la sguete formula:

26 A = A"*(1± k 1 crecete ( + decrecete( Cuado se requera estmar el valor Presete de u gradete geométrco vecdo fto coocedo el prmer pago, gradete y el terés, se aplcara la sguete formula: A" VP= ± K Cuado se requera estmar el valor Presete de u gradete geométrco atcpado fto coocedo el prmer pago, gradete y el terés, se aplcara la sguete formula: A" VP = VP= 1+ ± K ( crecete( - decrecete( GRADIENTE ESCALONADO So valores costates durate los perodos de u año, pero que aumeta o dsmuye e cada escaló e ua catdad fja de dero o e ua tasa costate. Para calcular el valor presete del gradete escaloado cuado los cremetos etre los escaloes so costates; prmeros se halla el valor futuro de la prmera aualdad, covrtédose esta e el prmer pago del gradete artmétco; s se calculara el valor futuro del segudo escaló y se restara del prmero; este valor será gual al gradete artmétco.

27 Para calcular el valor presete del gradete escaloado cuado los cremetos etre los escaloes so varables; prmeros se halla el valor futuro de la prmera aualdad, covrtédose esta e el prmer pago del gradete geométrco; s se calculara el valor futuro del segudo escaló y se restara del prmero; este valor será gual al gradete geométrco. 3.4 AMORTIZACIÓN Y SALDOS La amortzacó es s la forma como se paga ua oblgacó o deuda e ua sere de cuotas, coformadas por captal y tereses, durate u determado tempo, esté pagos co cuotas vecdas, atcpadas y dferdas, de valor costate o varable segú el pacto del egoco.

28 4. EVALUACIÓN ECONÓMICA DE PROYECTOS 4.1. Evaluacó de u proyecto. Los ídces para evaluar u proyecto so: Valor presete eto (V.P.N Costo aual uforme (C.A.U.E Tasa tera de retoro (TIR Tasa verdadera de retabldad (TVR TIR modfcado Perodo de pago Relacó beefco costo (RBC Para la evaluacó ecoómca de proyectos se debe teer e cueta la tasa de terés de oportudad (tasa atractva de retoro TAR, tasa de terés de oportudad TIO, tasa míma de retabldad, costo de oportudad, tasa de descueto equvalete al mímo redmeto que espera el versosta e u proyecto de versó. El valor de la propedad plata y equpo del proyecto al fal de la vda útl se deoma Valor de Salvameto (Valor resdual, valor de recuperacó, valor de rescate

29 4.1.1 Valor presete eto. Es la gaaca o pérdda geerada por u proyecto por ecma del costo de oportudad. Cosste e deflactar tato gresos como egresos, proyectados, a pesos hoy; teedo e cueta la tasa de terés de oportudad TIO, co el f de determar la vabldad del proyecto. Para hallar el VPN debemos teer e cueta: a el tempo de duracó del proyecto o alteratva coocdo como la vda útl b El flujo de caja, es decr los gresos y egresos e el tempo. c La tasa de descueto (tasa o costo de oportudad, tasa de terés de oportudad, tasa atractva de retoro, tasa míma de redmeto del versosta, que puede ser costate o varable. d E alguos casos el valor de rescate, que correspode al valor comercal de la propedad plata y equpo. Crteros de Decsó VPN mayor a la T.I.O VPN meor a la T.I.O VPN gual a la T.I.O RENTABLE NO RENTABLE INDIFERENTE PERO SIN TENER EN CUENTA EL RIESGO Tasa tera de retoro. Es la tasa que guala el valor presete de los gresos por el valor presete de los egresos, equvalete al redmeto del proyecto sobre la versó o recuperada durate la vda útl del proyecto. Para hallar la TIR, se guala a cero el valor presete de los gresos meos el valor presete de los egresos:

30 VPN = VPI VPE= 0 Para hallar u valor aproxmado utlzamos la sguete fórmula Igr. etos Iver. Ical TIR Iver. Ical (ta teo = *100 Calculo de la TIR por el método del tateo VPN 50 X =? Y El VPN dsmuye cuado la tasa aumeta, es decr so versamete proporcoales. Se terpola el valor de la TIR calculado u valor por ecma de 0 y otro por debajo. TIR j = <+ VPN< VPN VPN( < VPN( > ( > < * Crteros de Decsó TIR mayor a la T.I.O TIR meor a la T.I.O TIR gual a la T.I.O RENTABLE NO RENTABLE INDIFERENTE PERO SIN TENER EN CUENTA EL RIESGO

31 Costo aual uforme equvalete. Es la gaaca o pérdda promedo por perodo geerada por u proyecto por ecma del costo de oportudad. CAUE = VPN ( 1+ ( 1+ 1 Crteros de decsó CAUE mayor a la T.I.O CAUE meor a la T.I.O CAUE gual a la T.I.O RENTABLE NO RENTABLE INDIFERENTE PERO SIN TENER EN CUENTA EL RIESGO Tasa verdadera de retabldad (TVR. Es la verdadera retabldad geerada por el proyecto, el cual cosste e llevar el flujo de caja eto de los gresos al fal de la vda útl, utlzado la tasa de terés de oportudad y relacoádola co la versó cal, es equvalete a la TIR modfcada. Crteros de decsó TVR mayor a la T.I.O TVR meor a la T.I.O TVR gual a la T.I.O RENTABLE NO RENTABLE INDIFERENTE PERO SIN TENER EN CUENTA EL RIESGO

32 F = P( 1+ verso Utlzamos la fórmula y e ella utlzamos el valor futuro de la versó T. V. R. = V. F. FC IversoIcal Perodo de pago. Mde el tempo e el cual se recupera la versó del proyecto. Es decr que a partr de ese mometo, las utldades que se geera so valor agregado, es decr es el puto de equlbro facero Relacó beefco costo. Es la Relacó etre gresos y egresos. V. P. I R. B. C= V. P. E Crteros de decsó R.B.C mayor 1 R.B.C meor a 1 R.B.C gual a 1 RENTABLE NO RENTABLE INDIFERENTE PERO SIN TENER EN CUENTA EL RIESGO 4.2 Evaluacó de dos o más proyecto. Para evaluar dos o más alteratvas de versó, se debe teer e cueta la vda útl del proyecto.

33 4.2.1 Proyectos co vda útl gual. Cuado la vda útl de cada proyecto es gual se utlza como ídce de evaluacó el valor presete eto VPN y del Costo Aual Uforme Equvalete CAUE Proyectos co vda útl dferete. E el caso de proyectos tega vda útl es dferete, se puede utlzar el CAUE y el valor presete eto, e cuyo caso se debe buscar u horzote de comparacó, e estos casos se halla el mímo comú múltplo.

34 BIBLIOGRAFÍAS Matemátcas Facera Aplcada. Jhoy de Jesús Meza Orozco. Ecoe Edcoes Matemátcas Facera. Jame A. García. Pearso, Pretce Hall. Matemátcas Faceras báscas aplcadas. Felpe Jaramllo Vallejo, Alfaomega. Fazas co Excel Soba Hayat, Atoo Sa MIIá. Mc Graw Hll Matemátcas Facera. Alberto Álvarez. Mc Graw Hll Igeería Ecoómca. Gullermo Baca Currea. Educatva WEBGRAFIA