Teoría de la tonalidad: Un enfoque lógico-formal Pedro Morales, Universidad de Castilla-La Mancha noviembre 2014

Transcripción

1 Teoría de la tonalidad: Un enfoque lógico-formal Pedro Morales, Universidad de Castilla-La Mancha noviembre

2 Tonalidad. Definición La tonalidad es un tipo de relaciones entre sonidos. Las relaciones tonales entre sonidos proporcionan recursos para establecer gramáticas que permiten estructurar el discurso musical. 2

3 Fundamento de las relaciones tonales Las relaciones tonales se establecen entre sonidos cuyo espectro está formado por una componente fundamental y una serie de armónicos. Los sonidos tonales son periódicos o cuasi-periódicos. Los sonidos con forma de onda periódica se pueden descomponer mediante una serie de Fourier. 3

4 Estructura de los sonidos tonales Los sonidos tonales están formados por componentes espectrales de frecuencias múltiplo de la fundamental. fund. arm 2 arm 3 arm F 2F 3F 4F... Los armónicos se pueden distinguir auditivamente. Estos sonidos se producen mediante instrumentos de cuerdas o columnas de aire vibrantes. Las relaciones tonales entre sonidos se basan en la comparación de sus secuencias de armónicos. 4

5 Axiomas de la tonalidad Las relaciones tonales entre sonidos están basadas en dos axiomas. 1. Equivalencia de octava. Los sonidos cuyas frecuencias fundamentales están relacionadas por un intervalo de octava forman una clase de equivalencia y tienen la misma función tonal. Octava es el intervalo entre la fundamental y el primer armónico (frecuencia 2f) 2. Relación de quinta. Es la relación tonal más simple entre sonidos. El intervalo de quinta es el que se produce entre la frecuencia fundamental y el armónico de frecuencia 3f. 5

6 Generación de un conjunto tonal de sonidos Para generar un conjunto de sonidos que tengan relaciones tonales entre sí, se parte de un sonido original, que se puede denominar SO. Al sonido original se le añade su quinta, que se denomina S1=quinta(S0). De la misma manera, se añade la quinta de la quinta, S2=quinta(S1)=quinta(quinta(S0)) Así se construye una serie infinita de sonidos ordenados por intervalos de quinta: {Sn} = {S0 S1 S2 S3 S4...} 6

7 Generación de un conjunto tonal de sonidos De forma análoga, la serie de quintas se puede extender en sentido inverso. El sonido S-1 está relacionado con S0 por la relación de quinta: S0 = quinta(s-1) Así se construye una serie infinita de sonidos ordenados por intervalos de quinta: {Sn} = {... S-4 S-3 S-2 S-1 S0 S1 S2 S3 S4... } 7

8 El rango de audición humana El rango de audición humana abarca desde los 20 Hz a 20 khz. La superposición de intervalos de quinta excede el rango tanto por el ĺımite agudo como por el grave. Teniendo en cuenta el axioma de equivalencia tonal de la octava, los sonidos pueden ser transportados en intervalos de octava hasta que se encuentren dentro del rango audible, sin que el transporte modifique su función tonal. Por ejemplo, la relaciónes tonales entre sonidos Sn: quinta(sn); octava(quinta(sn)); octava(octava(quinta(sn))); quinta(octava(sn));... son equivalentes ya que todos los sonidos relacionados por intervalos de octava forman una clase de equivalencia. 8

9 Representación tonal de los sonidos La serie de quintas puede ser representada mediante los números enteros: S n donde n Z Por ejemplo, mediante esta representación, se puede especificar una escala diatónica en modo mayor como una serie de 7 quintas consecutivas, donde la tónica sería la segunda quinta de la serie: Sonido: Sn-1 Sn Sn+1 Grado: IV(subdom) I(Tonica) V(dominante) Sn+2 Sn+3 Sn+4 Sn+6 II(superton) VI(submed) III(mediante) VII(sens) 9

10 Representación tonal de los sonidos Resulta ventajoso denominar los sonidos mediante una notación relacionada con la práctica musical. En la práctica musical se utilizan siete símbolos para denominar los sonidos. Una vez ordenados en serie de quintas, los símbolos son: f, c, g, d, a, e, b, es decir: c = quinta(f), g = quinta(c), etc. 10

11 Representación tonal de los sonidos Para denominar a la quinta del último sonido de la serie se utiliza otra vez el primer símbolo, aunque afectado por un sufijo, porque es un sonido que no pertenece a la clase de equivalencia de f. quinta(b) = fs; quinta(fs) = cs; quinta(cs) = gs; etc. En la práctica musical, el sufijo s significa sostenido en español y sharp en inglés. 11

12 Representación tonal de los sonidos La serie de quintas que sigue a la serie de un sostenido es la serie de doble sostenido: quinta(bs) = fss; quinta(fss) = css; etc. Mediante este procedimiento, la serie se extiende indefinidamente. Del mismo modo, la serie se extiende mediante gamas en sentido contrario. La gama previa a la original se denomina con los mismos símbolos a los que se añade el sufijo f, que significa bemol en español, y flat en inglés:... ff cf gf df af ef bf f c g r a e b fs cs... quinta(bf) = f; quinta(ef) = bf;... 12

13 Representación tonal de los sonidos Con objeto de manipular fácilmente los símbolos de los sonidos en un lenguaje de programación, los representaremos como una lista de dos elementos: [Nombre,Sufijo] Nombre es uno de {c, d, e, f, g, a, b} Sufijo es un numero entero (Sufijo pertenece a Z) Sufijo = 0: 0 sostenidos, 0 bemoles Sufijo = 1: 1 sostenido; Sufijo = 2: 2 sostenidos Sufijo =-1: 1 bemol; Sufijo =-2: 2 bemoles; etc. Los símbolos designan una clase de equivalencia. no incluyen indicación de octava. Por tanto, 13

14 Representación lógico formal de la tonalidad La tonalidad está determinada por un conjunto de sonidos y sus relaciones. Se puede representar mediante un formalismo lógico-matemático. 14

15 Representación lógico formal de la tonalidad En el lenguaje de programación PROLOG, la tonalidad se puede expresar formalmente de la siguiente manera: quinta([c,a],[g,a]). quinta([d,a],[a,a]). quinta([e,a],[b,a]). quinta([f,a],[c,a]). quinta([g,a],[d,a]). quinta([a,a],[e,a]). quinta([b,a],[f,a1]) :- var(a1), A1 is A+1,!. quinta([b,a],[f,a1]) :- var(a), A is A1-1,!. quinta([b,a],[f,a1]) :- A1 is A+1,!. 15

16 Representación lógico formal de la tonalidad Los demás intervalos se pueden definir en función de la relación básica de quinta. Por ejemplo: cuarta(a,b) :- quinta(b,a),!. segunda_maj(a,b) :- quinta(a,x), quinta(x,b),!. sexta_maj(a,b) :- segunda_maj(a,x), quinta(x,b),!. etc. 16

17 Subconjuntos de sonidos La secuencia de quintas da lugar a un conjunto infinito de sonidos, con infinitas posibilidades de relacionarse. El compositor tiene que realizar una selección para dejar un número finito de sonidos, con un número finito de posibilidades de relación. El número de sonidos seleccionados está relacionado con sus posibilidades de formar una gramática cuyos elementos sintácticos puedan ser comprendidos auditivamente. Un número pequeño de sonidos dejará pocas posibildades expresivas, mientras que un número demasiado grande puede dar lugar a mensajes excesivamente complejos que no podrían ser comprendidos auditivamente. 17

18 Subconjuntos de sonidos El subconjunto de sonidos seleccionados depende del uso que se vaya a hacer en la composición. Si los sonidos se van a utilizar secuencialmente, como en una melodía, el compositor puede decidir utilizar un conjunto de sonidos fuertemente acoplados, sin que importe que haya una colisión de armónicos (puesto que los sonidos se presentarán en secuencia). Para sonidos que se vayan a presentar simultáneamente, el compositor puede elegir un conjunto en el que no haya una colisión demasiado fuerte de armónicos, porque dificultaría su identificación auditiva y, por tanto, se difuminaría su función tonal. 18

19 Subconjuntos de sonidos en la música tradicional Escalas diatónicas. En la música tradicional se utilizan para presentaciones secuenciales de sonidos (melodías) las escalas diatónicas, que se obtienen como una secuencia de 7 quintas. Tónica. De los 7 sonidos de la escala diatónica, uno de ellos (llamado tónica) es seleccionado como centro de referencia, de forma que todos los demás se caracterizan por el intervalo que forman con la referencia. La tónica se determina en el discurso musical mediante varios procedimientos. Por ejemplo, es la primera y la última nota, o se hace que aparezca en los momentos más importantes, o se destaca mediante otro tipo de recursos retóricos. Modo. En un conjunto de 7 notas, hay 7 posibilidades para elegir la tónica. A cada nota le corresponde un modo. 19

20 Nombre de los modos Quinta: f c g d a e b Nombre del modo Tonica: 1 f Lidio 2 c Jonico (mayor) 3 g Mixolidio 4 d Dorico 5 a Eolico 6 e Frigio 7 b Hipofrigio 20

21 Modulación El discurso musical se puede planificar de manera que haya un desplazamiento del centro tonal o del propio conjunto de sonidos (escala). En la música tradicional se acostumbra a añadir en el modo menor (eólico) la séptima mayor (sensible) y la sexta mayor (sexto grado alterado); mientras que el el modo mayor (jónico) se añade la seéptima menor (subtónica) y la sexta menor (sexta alterada). Esto no significa que se hayan añadido notas a la gama, sino que se ha cambiado la gama. 21

22 Sonidos simultáneos (Acordes) Los acordes son conjuntos de sonidos que se eligen para sonar simultáneamente. La elección está condicionada por la necesidad de que se produzca la menor cantidad de colisiones de armónicos, ya que los batimientos generados tienden a oscurecer la percepción de los sonidos. Las agrupaciones de sonidos en acordes constan generalmente de tres sonidos (triadas) o cuatro (cuatriadas). 22

23 Formación de acordes triadas En la música tradicional los acordes se forman con los mismos sonidos de las escalas. Así se pretende trabar la relación entre las estructuras secuenciales (melodías) y las simultáneas (acordes). Consonancia y disonancia. Un conjunto de sonidos simultáneos es tanto más consonante cuanto menor sea el número de colisiones de armónicos. disonante significa lo contrario. Los intervalos más consonantes son los más bajos en la serie de armónicos: octava, quinta, cuarta, tercera mayor, etc. Puesto que el sistema de sonidos está construido mediante una serie de quintas, la mayor parte de los acordes se construyen tomando como base una quinta. El tercer sonido para completar una triada se elige entre la serie de quintas de tal manera que presente el máximo de consonancia con los dos sonidos básicos que forman la quinta. 23

24 Formación de acordes triadas Dada una quinta formada por los grados I y V del modo Jónico, consideramos las siguientes posibilidades para completar el acorde triada: combinaciones mas disonantes grado II -> forma una disonancia fuerte con el grado I grado VI -> forma una disonancia fuerte con el grado V grado VII -> forma una disonancia fuerte con el grado I grado IV -> forma una disonancia fuerte con el grado V combinaciones mas consonantes grado III -> forma tercera mayor con I y tercera menor con V 24

25 Formación de acordes triadas De manera análoga, si se elige como quinta de base la formada entre los grados II y VI, se llega a la conclusión de que el sonido añadido más consonante es el grado IV: grado IV forma tercera menor con II grado IV forma tercera mayor con VI 25

26 Acordes triadas mayores, menores, disminuidos y aumentados Con los grados de las escalas diatónicas y con grados modificados se pueden formar entre otras, las siguientes simultaneidades sonoras: acorde mayor: fund, 3a mayor, quinta acorde menor: fund, 3a menor, quinta acorde dism: fund, 3a menor, quinta dism acorde aum: fund, 3a mayor, quinta aum La construcción de acordes con disonancias (quinta disminuida o quinta aumentada), da lugar a sonoridades especiales que tienen que ser tratadas por procedimientos especiales. 26

27 Acordes triadas mayores, menores, disminuidos y aumentados Importante: Tanto las triadas mayores como las menores tienen la misma justificación teórica. Es un error pensar que las triadas mayores están justificadas por la naturaleza, y las menores no. (Ver Enharmonía más adelante). 27

28 Enharmonía La enharmonía es una aproximación práctica de dos sonidos cuyas frecuencias están muy próximas. Desde el punto de vista práctico se consideran equivalentes dos sonidos cuyas frecuencias sean suficientemente próximas. La enharmonía considera como unísonos sonidos que funcionalmente no lo son. Por ejemplo, el quinto armónico de la serie es el que tiene la frecuencia 5f. La relación de este armónico con la fundamental S0 se puede expresar como una relación lógica: arm5(s0) 28

29 Enharmonía La frecuencia de esta armónico es muy próxima (aunque no igual) a la quinta número 4 de la secuencia de quintas a partir de S0: arm5(s0) aprox. quinta(quinta(quinta(quinta(s0)))) 29

30 Enharmonía Por tanto, usando la equivalencia enharmónica, el acorde mayor se puede expresar de dos formas distintas: fundamental S0 quinta(s0) quinta(quinta(quinta(quinta(s0)))) ; sistema de quintas fundamental S0 quinta(s0) arm5(s0) ; sistema de quintas y tercera mayor (armonico 5) Utilizando la enharmonía queda clara la consonancia del acorde mayor. Esto se utiliza como argumento para proclamar que el acorde mayor está basado en la naturaleza. 30

31 La naturaleza del acorde menor Si c=quinta(f) tenemos una relación natural : c es la quinta de f. La expresión también significa que f es el sonido cuya quinta es c. Por tanto, tanto la relación de quinta como su inversa (que son relaciones lógico-matemáticas) están reflejadas en el mismo fenómeno fídico. El acorde c-e-g es un acorde mayor y está reflejado en un fenómeno físico. La inversión lógico-matemática de c-e-g es c-ef-g, un acorde menor que está reflejado en el mismo fenómeno físico. 31

32 CONCLUSIONES La teoría logico-formal de la tonalidad proporciona: Una forma de denominar todos los sonidos tonales. Criterios para seleccionar un subconjunto de sonidos con propósitos composicionales. Definiciones precisas de tonalidad, modalidad y modulación. Recursos para formar escalas (estructuras secuenciales). Recursos para formar acordes (estructuras simultáneas). Recursos para definir gramáticas basadas en la tonalidad. Introduce la enharmonía como concepto lógico formal. Es presentada como un recurso sintáctico. Proporciona una base para manejar sonidos de forma simbólica en un contexto lógico-formal. 32