Definición: Se llama pendiente de una recta a la tangente de un ángulo de inclinación formado por el eje X y la

Transcripción

1 Geometría Analítica Preliminares Identidades Trigonométricas Definición: Se llama pendiente de una recta a la tangente de un ángulo de inclinación formado por el eje X y la recta, tal que, esto es Recta que pasa por dos puntos Dada una recta que pasa por dos puntos y, tales que y, la pendiente de la recta viene dada por, Si la recta interseca al eje Y en, entonces, la ecuación de la recta tiene la forma, Para determinar el valor de se evalúa la ecuación anterior en uno de los puntos dados. O, efchaves 1

2 Y la forma general viene dada por, Recta paralelas y perpendiculares a una recta dada Dadas dos rectas y con pendientes y respectivamente, entonces si y solo si. Entonces, Dadas dos rectas y con pendientes y respectivamente, entonces si y solo si Distancia entre dos puntos en coordenadas rectangulares Dados dos puntos y, tales que y la distancia viene dada por Punto medio del segmento que une dos puntos Dados dos puntos y, tales que y la distancia viene dada por Distancia mínima de un punto a la recta Dada una recta, y un punto que no está en la recta, entonces la distancia mínima del punto a la recta viene dado por el segmento, perpendicular desde a la recta, esto es, Sea y tal que y O, efchaves 2

3 Geometría Analítica Traslación de Ejes Dado un punto en un sistema con origen en, al trasladar el origen a las nuevas coordenadas de vienen dadas por, Rotación de Ejes Dado un punto en un sistema con origen en vienen dadas por,, al rotar los ejes un ángulo, las nuevas coordenadas de Simplificación de Ecuaciones por medio de Traslación o Rotación Dada una ecuación en la forma general, Si la ecuación carece del término se puede aplicar una traslación para eliminar los términos y. Si la ecuación tiene el término, entonces, se puede aplicar una rotación para eliminar este término, y luego una traslación para eliminar los términos y. Si los términos forman un cuadrado perfecto entonces, se es preferible realizar una rotación primero, y luego una traslación. Identificación de cónicas Elipse Hiperbola efchaves 3

4 Ecuación de Segundo Grado La ecuación general de segundo grado viene dada en la forma Y tiene Discriminante, tal que la ecuación es del género Elipse si Parábola si Hipérbola si Rotación de los ejes un ángulo necesario para eliminar el término Dada una ecuación en la forma general, Tal que Siempre se puede hacer girar los ejes un ángulo con tal de eliminar el término, Si, entonces Si, entonces Coordenadas Polares Transformación de Coordenadas Rectangulares a Polares efchaves 4

5 Distancia entre dos puntos en coordenadas polares Dados dos puntos y, en coordenadas polares, tales que y la distancia viene dada por Intersección entre dos curvas en coordenadas polares Dadas dos curvas en coordenadas polares, en la forma, entonces, i. Primero se igualan ambas curvas para determinar si el polo es una intersección ii. Se aplica la siguiente formula a cada una de las funciones, Se realiza este procedimiento hasta que al evaluar se obtenga la función original iii. Se agrupan en sistemas de ecuaciones para determinar el valor de. Ecuación de una recta en coordenadas polares Dada una recta en coordenadas polares y un punto de la recta, y además, dado punto al extremo de la normal desde el polo a la recta, con la distancia desde el polo a, entonces, i. Para Oblicua a los ejes, ii. Para perpendicular al eje polar, iii. Para paralela al eje polar, iv. Si pasa por el polo, Ecuación de la Circunferencia en Coordenadas Polares Sea el lugar geométrico de los puntos que equidistan a un punto, y sea la distancia desde a, entonces la ecuación de la circunferencia de centro y un punto que pertenece a esta, viene dada por, 5

6 Ecuación General de las Cónicas en Coordenadas Polares Dado un punto fijo, llamado foco, y una recta directriz; el lugar geométrico de los puntos que están ubicados de tal manera que la razón entre la distancia de cualquier punto al punto fijo y la distancia a la recta, es igual a una constante, la excéntrica se llama cónica. Para el caso que uno de los focos este en el eje polar, la ecuación de la cónica en coordenadas polares viene dada por, Dada una recta directriz, un punto que pertenece a la curva, y la distancia de la recta al foco ubicado en el polo, entonces, i. Si está a la izquierda del foco, sobre el eje polar ii. Si está a la derecha del foco, sobre el eje polar iii. Si está arriba del foco, sobre el eje de iv. Si está abajo del foco, sobre el eje de La excentricidad también determina el género de gráfica que representa la cónica, Para, i., la gráfica representa la ecuación del género elipse. ii., la gráfica representa la ecuación del género parábola. iii., la gráfica representa la ecuación del género hipérbola. 6

7 Derivada de una curva en coordenadas polares Para una función en la forma Tal que, Se tiene que, Así, Y la pendiente en un punto viene dada por, Rectas tangentes horizontales y verticales Dada una curva en la forma Tal que, 7

8 i. La curva tiene rectas tangentes horizontales en los puntos que hacen el numerador igual a cero. ii. La curva tiene rectas tangentes verticales en los puntos que hacen el denominador igual a cero. Recta tangente a partir del ángulo Dada una recta tangente a una curva en un punto, y un segmento desde el polo al punto, entonces, Con, ; si ; si Para un ángulo con lado terminal sobre el eje de, Longitud de arco en una curva descrita en coordenadas polares En coordenadas rectangulares tenemos, Sin embargo, para la curva tenemos, en coordenadas polares Para 8

9 Simetría de una curva Simetría con respecto Si la ecuación no se altera cuando cambiamos, Eje Polar por ó ( por y por ) Eje por ó ( por y por ) Área de una región plana en coordenadas polares Dada una curva en la forma, El área delimitada por la curva viene dada por, Área entre dos curvas Dadas dos curvas tales que, Entonces, para determinar segmentos de área comprendidos entre curvas, realizamos lo siguiente, i. Determinar los puntos de intersección ii. Determina la simetría de la curva iii. Identificar el intervalo del área solicitada iv. Aplicar la fórmula del área para determinar el sector que se solicita 9

10 Ecuaciones Paramétricas Dados dos puntos que pertenecen a una recta, su ecuación escalar viene dada por, Donde es un punto que pertenece a la recta, y es un vector director paralelo a la recta; por lo tanto, Y, de lo anterior obtenemos que, La expresión anterior corresponde a la ecuación escala de la recta Ecuación Paramétrica Dados dos puntos se puede obtener la ecuación escalar de la forma, Y la ecuación paramétricas vienen dadas por, Y, Con, tal que Ecuaciones Paramétricas de las cónicas Cónica Ecuación Rectangular Ecuaciones Paramétricas Parábola Elipse 10

11 Circunferencia Hipérbola 11

12 Derivadas de Ecuaciones Paramétricas La segunda derivada viene dada por, Longitud de Arco de una Ecuación Paramétrica Dada una ecuación paramétrica de la forma, Con,, Área de una Región Plana Descrita en Ecuaciones Paramétricas Dada una ecuación en la forma, Con, El área delimitado por la curva viene dada por, 12

13 Geometría Analítica en el Espacio Intersección con los Ejes Sea una ecuación en el espacio que representa una superficie, entonces su intersección con los ejes se determinan al hacer en cada caso a las otras dos variables iguales a cero. i. Intersección con en ii. Intersección con en iii. Intersección con en Trazos sobre los Planos Coordenados La traza de una superficie corresponde a la curva que describe sobre uno de los planos coordenados, se. Para i. Traza sobre es en ii. Traza sobre es en iii. Traza sobre es en Simetría con respecto a los Ejes Coordenados o a los Planos Si la ecuación de la superficie no se altera cuando La superficie es simétrica con las variables son reemplazadas por respecto al Plano Plano Plano Eje Eje Eje Origen Secciones por Planos Paralelos a los Planos Coordenados Dada una ecuación de la forma, 13

14 Para determinar lo los planos paralelos a los ejes coordenados en un punto, i. Planos paralelos a, hacemos, ii. Planos paralelos a, hacemos, iii. Planos paralelos a, hacemos, Extensión de una superficie Dada una ecuación de la forma Al despejar una de las variables, en este caso en función de las otras dos tenemos, Y a partir de la ecuación explícita anterior se puede determinar los intervalos de variación. Ecuación de la Superficie esférica Se define la esfera como el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia entre el centro y cualquier punto de superficie se llama radio. La ecuación de la esfera viene dada por, O, Ecuación Cuadrática de Segundo Grado con tres Variables Dada una ecuación de la forma Cuadráticas con centro Tienen forma, Caso : Forma canónica 14

15 Elipsoide: Esfera: Hiperbolóide de una hoja: i. Uno de los coeficientes negativos y los otros dos positivos. ii. No tiene intersección con el eje de la variable negativa. Hiperbolóide de dos hojas: i. Dos de los coeficientes son negativos, y uno positivo. ii. No tiene intersección con los ejes de las variables que tienen coeficiente negativo. Cilindro: i. Tiene uno de los coeficientes nulos. ii. Se extiende a lo largo del eje de la variable que no aparece. Planos Paralelos Caso Punto para Cono elíptico: i. Uno de los coeficientes negativos y los otros dos positivos. ii. Interseca al plano en un punto. iii. No es cerrado, se extiende a lo largo del eje que tiene la variable con coeficiente negativo. Cono circular i. Una recta sobre el eje 15

16 Planos que se cortan i. y tienen signos diferentes. Plano Cuadrática sin Centro Dada una ecuación de la forma i. Planos de simetría. ii. Eje de simetría. iii. No tiene ningún centro de simetría. Paraboloide Elíptico i. Con y del mismo signo. ii. Intersección con en el origen. Paraboloide Hiperbólico i. Con y del diferente signo. ii. Intersección con los ejes coordenados únicamente en el origen. Cilindro Parabólico i. Uno de los coeficientes de los términos de segundo grado es nulo. 16

17 Coeficientes Tipo I: Todos positivos Lugar Geométrico Elipsoide Todos negativos No representa ningún lugar geométrico Dos positivos, uno negativo Hiperboloide de una hoja Uno positivo, dos negativos Hiperboloide de dos hojas Uno cero, dos positivos diferentes Cilindro elípticos Uno cero, dos positivos iguales Cilindro circular Uno cero, dos negativos No representa ningún lugar geométrico Uno cero, los demás de diferente signo Cilindro hiperbólico recto Dos cero, uno positivo Dos planos paralelos diferentes Dos cero, uno negativo No representa ningún lugar geométrico Tipo II: Todos del mismo signo Un solo punto, el origen Dos positivos diferentes, uno negativo Cono elíptico recto Dos positivos iguales, uno negativo Cono circular recto Uno cero, dos del mismo signo Todos los puntos sobre un eje coordenado Uno cero, los demás de signo diferente Dos planos que se cortan Dos cero Un plano coordenado Tipo III: igual signo Paraboloide elíptico diferente signo Paraboloide hiperbólico o nulo Cilindro parabólico recto igual signo Todos los puntos sobre un eje coordenado Diferente signo Dos planos que se cortan nulos Un plano coordenado 17

18 Coordenadas Esféricas Dadas las coordenadas rectangulares de la forma punto, aplicando la siguiente relación,, podemos transformar estas coordenadas en un P Donde corresponde a la distancia del origen a punto, es un ángulo entre y con lado inicial en el eje positivo, sobre el plano ; y es un ángulo entre y, con lado inicial en el eje positivo. Coordenadas Rectangulares 18