Tema 5: PROBLEMAS EN LA ESTIMACIÓN DEL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

Transcripción

1 Introduccón a la Econometría Tema 5: PROBLEMAS E LA ESTIMACIÓ DEL MODELO Tema 5: PROBLEMAS E LA ESTIMACIÓ DEL MODELO DE REGRESIÓ LIEAL SIMPLE. Problemas en la especfcacón del modelo. La prmera etapa de un trabajo econométrco, como se expuso ya en el TEMA, es la especfcacón del modelo econométrco que, habtualmente, se basa en una determnada teoría económca. La especfcacón del modelo comprende: la seleccón de las varables exógenas más adecuadas para la explcacón de la varable endógena, la eleccón de la forma funconal del modelo y el enuncado de un conjunto de supuestos o hpótess sobre las característcas matemátcas y estocástcas de las varables exógenas y de las perturbacones aleatoras. En el caso del modelo de regresón lneal smple se decde que tan solo una varable exógena es sufcente y que la forma del modelo ha de ser lneal respecto a los parámetros, asumendo que la varable exógena no es aleatora y que las perturbacones aleatoras se dstrbuyen según un modelo normal con meda nula y varanza constante, sendo entre sí ndependentes. A partr de esta especfcacón se han obtendo los estmadores de M.C.O. que concden con los de M.V. y son nsesgados consstentes y efcentes, se han elaborado ntervalos de confanza y dversos contrastes de sgnfcacón para termnar aplcando la estmacón del modelo en la predccón puntual y por ntervalo de la varable endógena. Todo esto no se podría haber consegudo, y alguno de estos resultados no sería váldo, s los supuestos enuncados en la especfcacón del modelo econométrco no fueran certos, debéndose comprobar, por tanto, empírcamente la donedad de los msmos. Podremos dstngur los sguentes problemas en la especfcacón del modelo: - Al selecconar las varables exógenas los errores más mportantes que se pueden cometer son, por un lado, la nclusón de varables rrelevantes en la explcacón del comportamento de la varable endógena y, por otro lado, la omsón de varables que deberían haberse ncorporado a la estructura del modelo y cuya ausenca suele provocar una sere de problemas más mportantes que los dervados por el prmer error ctado. - Al elegr la forma funconal del modelo puede que no sea la correcta, ben porque la forma no sea la lneal respecto a los parámetros, ben por que las transformacones que se hayan poddo realzar sobre las varables orgnales no sean las adecuadas. Tambén un tpo de error que podríamos ctar aquí es el producdo al no cumplrse el mantenmento constante, para todas las observacones muestrales, del valor de los parámetros ncludos en la estructura del modelo, lo que se denomna cambo de estructura. - Respecto al ncumplmento de alguna de las hpótess báscas descrtas en el Tema se podría estudar el caso de regresores estocástcos, es decr, cuando las observacones de la varable exógena son aleatoras, sobre todo s se detecta que exste correlacón entre la varable exógena y el térmno de error. Pero los ncumplmentos más mportantes son los que atañen a los supuestos establecdos sobre las perturbacones aleatoras. Concretamente el análss de los problemas dervados de la heterocedastcdad (varanza no constante de las perturbacones) y de la autocorrelacón (dependenca entre perturbacones) que son los que a contnuacón se van a exponer. Quedando el tratamento de los demás problemas de especfcacón ctados fuera del ámbto del programa establecdo en este curso. 73

2 Departamento de Estadístca e Investgacón Operatva II (Métodos de Decsón). Heterocedastcdad: Concepto, consecuencas, deteccón y posbles solucones. Concepto En el modelo de regresón lneal smple: Y = β + β X + u =,...,, vamos a suponer que se verfca: E[u ] = 0, E[u.u j ] = 0 j y u ~ ormal. Se da heterocedastcdad cuando las varanzas de las perturbacones aleatoras u no son guales entre sí, es decr cuando: V[u ] = σ para =,..., y, por tanto, u ~ [0, σ ] e ndependentes. Como se observa la heterocedastcdad mplca que el número total de parámetros a estmar se eleva a + ( parámetros estructurales más varanzas de las perturbacones aleatoras), sendo, por tanto, mposble su estmacón. Sólo se podrá abordar la estmacón del modelo s se mponen determnadas restrccones a la forma de heterocedastcdad que consgan reducr el número de parámetros. Los casos de heterocedastcdad más estudados son aquéllos en los que los valores de las varanzas σ dependen de los valores de una de las varables exógenas, que en nuestro caso sólo puede ser la varable X, o de una funcón de ella, resultando que: σ = K X V[u ] = σ = f(x ), pudendo ser, por ejemplo σ = K X σ = K X y S representamos K por σ (sn representar, por ahora, nngún concepto de varanza) X, X ó X por, la expresón anteror quedará de forma general como: V[u ] = σ = σ [5.] Expuesto de esta forma, el caso de homocedastcdad se puede consderar un caso partcular en el que = para todo =,...,. S los valores de σ dependen de los valores X de forma crecente, la gráfca de la nube de puntos correspondente al conjunto de pares observados podría ser como la que se representa en el sguente gráfco: Y β + β X X 74

3 Introduccón a la Econometría Tema 5: PROBLEMAS E LA ESTIMACIÓ DEL MODELO La exstenca de heterocedastcdad puede deberse a múltples causas. Entre ellas pueden ctarse: - El propo crecmento de la varable exógena puede suponer una mayor varabldad en los valores que vaya tomando la varable endógena, como sucede en el ejemplo propuesto en el TEMA del modelo que explca las varacones del gasto famlar en benes de consumo según el nvel del ngreso correspondente. Es evdente que a mayor cfra de ngresos exste mayor posbldad de varar la correspondente cfra de gastos, lo que provoca heterocedastcdad. - Una mala especfcacón del modelo. S se hubera omtdo alguna varable mportante en la estructura del modelo, sus valores pasarían a formar parte del térmno de error, pudendo causar, debdo a su dstnta varabldad, heterocedastcdad. - La posble exstenca de heterocedastcdad se estuda más en modelos con datos de corte transversal que en modelos con seres temporales. Consecuencas ) Al no cumplrse el supuesto de varanza constante, las expresones de las varanzas de los estmadores, obtendas en el TEMA 3, no son váldas y, por tanto, los estadístcos utlzados para la elaboracón de los ntervalos de confanza y la resolucón de los contrastes de sgnfcacón tampoco lo son, n las conclusones que se hayan obtendo por medo de esos ntervalos y contrastes se pueden, ahora, mantener. En cada caso de heterocedastcdad se deberían generar los estadístcos adecuados para elaborar los ntervalos y contrastes correctos. ) Se puede comprobar que los estmadores de M.C.O. sguen sendo nsesgados y consstentes, pero no son los de mínma varanza entre los lneales e nsesgados. Estos estmadores serían los que se obtuveran por el método denomnado de Mínmos Cuadrados Generalzados (M.C.G.), que en nuestro caso consstría en mnmzar, en lugar de la suma de los cuadrados de los resduos, la sguente funcón: e SG (b, b, σ ) = σ Con lo que se deduce que para poder estmar el modelo es necesaro especfcar alguna forma de heterocedastcdad que reduzca el número de parámetros a estmar. 3) La funcón de verosmltud, en el caso de dstrbucón normal de las perturbacones, no es, ahora, la msma que se utlzó en el TEMA 3, sno otra con la que se obtendrían unos estmadores dstntos de los de M.C.O.(b y b ) que ya no serían los efcentes. Se puede comprobar que, en este caso, los estmadores de M.V. concden con los estmadores M.C.G.(b, b ) y son efcentes. = 75

4 Departamento de Estadístca e Investgacón Operatva II (Métodos de Decsón) Deteccón - Método gráfco: Vamos a suponer que s exste heterocedastcdad las varanzas de las perturbacones aleatoras dependen de los valores X por medo de una funcón unformemente crecente, de forma que s los valores de X crecen las varanzas aumentarán de valor. S así fuera es evdente que los resduos, tomados en valor absoluto o elevados al cuadrado, crecerán al r consderando valores crecentes para X, dado que su meda es cero. Llevando dchos valores a un sstema de ejes cartesanos quedaría una gráfca como la sguente: e ó e Detectándose, por el comportamento de los resduos, que exste heterocedastcdad del tpo anterormente defndo. El defecto de este método es que no sempre el gráfco refleja de forma clara y evdente s se da o no heterocedastcdad, no habendo tampoco nnguna medda o característca que delmte cuando se tene que aceptar o rechazar que la varanza es constante. En este sentdo se han propuesto dversos contrastes paramétrcos para probar la hpótess de homocedastcdad, sendo uno de ellos el denomnado contraste de Goldfeld-Quandt, por ser estos los autores que lo formularon en 965. X - Contraste de Goldfeld-Quandt Es un contraste paramétrco que se basa en el supuesto de dstrbucón normal de las perturbacones aleatoras y se aplca para probar que se cumple la hpótess de homocedastcdad frente a la exstenca de heterocedastcdad según una funcón crecente respecto a los valores X de la varable exógena (o respecto a cualquer otra varable con observacones conocdas y que se haya dentfcado como causante de la dspersón crecente de los valores de la varable endógena respecto a la estructura del modelo). Hpótess: H o : Homocedastcdad σ = σ H : Heterocedastcdad σ = f(x ) [ s X σ ] 76

5 Introduccón a la Econometría Tema 5: PROBLEMAS E LA ESTIMACIÓ DEL MODELO Para la realzacón del contraste se sguen los sguentes pasos: ) Se ordena el conjunto de las observacones muestrales según los valores crecentes de los datos X. ) Se retran las C observacones centrales (C /3), dejando los dos grupos extremos con el msmo número de observacones cada uno: C Grupo I: contene a las prmeras = m observacones C Grupo II: contene a las últmas = m observacones S exste heterocedastcdad, según se ha formulado la hpótess alternatva, en el grupo I se darían las cfras más pequeñas de σ y en el grupo II las cfras más grandes de las correspondentes varanzas. 3) Se estma el modelo por M.C.O. con los datos del grupo I, obtenendo los prmeros m resduos que representamos por e ( =,...,m) y se vuelve a estmar el modelo por M.C.O., ahora utlzando los datos del grupo II, obtenendo los últmos m resduos representados por e j (j =,...,m). 4) Se construye el estadístco F GQ : F GQ m m m e j j= j= = = m m e m = = e e j Este estadístco compara por cocente el estmador nsesgado de σ con los datos del grupo II, con la msma estmacón nsesgada de la varanza pero utlzando los datos del grupo I. S la hpótess nula es certa ( Homocedastcdad) se puede demostrar que este estadístco se dstrbuye según el modelo de la varable F m-; m-. 5) Regón crítca, al nvel de sgnfcacón α: Dado que, s es certo que exste heterocedastcdad, la expresón del numerador del estadístco F GQ estmaría un valor mayor que el que obtendría la expresón del denomnador, la regón crítca quedará de la sguente forma: S F GQ F α se rechaza la H o y se acepta la exstenca de heterocedastcdad Sendo F α el valor numérco que verfca en la dstrbucón de F m-; m- que: P[F m-;m- F α ] = α Algunos autores recomendan otras cfras: C = 4 s = 30 y C = 0 s =

6 Departamento de Estadístca e Investgacón Operatva II (Métodos de Decsón) Posble solucón: Mínmos Cuadrados Ponderados Sea el modelo: Y = β + β X + u para =,...,, en el que se detecta que exste heterocedastcdad con V(u ) = σ = σ, donde σ es un valor constante desconocdo y es una funcón de los valores X o de cualquer otra varable conocda causante de la heterocedastcdad. Una forma de estmar efcentemente los parámetros del modelo y que, en este caso, resulta equvalente a la estmacón por M.C.G., consste en estmar por M.C.O. un modelo transformado del ncal pero con varanza constante. La transformacón adecuada consste en multplcar en los dos membros del modelo por el nverso de, quedando: Y = β β + + para =,..., X u Ahora, la varanza de las perturbacones transformadas es: V u = ( ) = σ = σ = σ V u Por tanto, el modelo transformado tene perturbacones aleatoras con varanza constante, cuyo valor es la cantdad desconocda σ, y es posble estmarlo por M.C.O.. Los parámetros son los msmos que en el modelo ncal, pero las varables son transformacones de las orgnales y, en general, contene dos varables exógenas: la transformada de X y, nueva varable que acompaña al parámetro β, desaparecendo del modelo la ordenada en el orgen. Sólo habrá un caso partcular en el que el modelo transformado contendrá ordenada en el orgen ( cuál?). Se pueden hacer las sguentes consderacones: - Las estmacones de los parámetros β y β en el modelo transformado son efcentes y los ntervalos y contrastes serán váldos con las nuevas estmacones de las varanzas de los estmadores y estmando con los nuevos resduos el valor de σ. - σ es la varanza de las nuevas perturbacones, luego es la varanza constante Y de las observacones en el modelo transformado. - El coefcente de determnacón no se debe calcular, ya que lo habtual es que el nuevo modelo no contenga ordenada en el orgen, y s la tuvera y se pudera calcular R, este nos ndcaría la proporcón de varanza de las Y explcada por la varable exógena resultante en la transformacón. 78

7 Introduccón a la Econometría Tema 5: PROBLEMAS E LA ESTIMACIÓ DEL MODELO 3. Autocorrelacón: Concepto, consecuencas, deteccón y posbles solucones. Concepto Sea el modelo de regresón lneal smple: Y t = β + β X t + u t para t =,...,. S se cumple que algún par de perturbacones aleatoras están correlaconadas, se dce que exste autocorrelacón. Es decr, s cov(u t,u s ) = E(u t u s ) = σ ts 0, al menos para algún (t,s) con t s y, por tanto, exste dependenca lneal entre algunos térmnos de error. Los casos de autocorrelacón que más se estudan son aquellos defndos por algún tpo de relacón lneal entre las perturbacones. El más mportante y sencllo de todos ellos, pero no el únco aunque en este Tema no expongamos otro, es el denomnado proceso autorregresvo de prmer orden [AR()] que se defne cuando las perturbacones u t verfcan la relacón: AR(): u t = ρu t- + ε t con ρ < y ε t [0;σ ε ] e ndependentes [5.] En este caso se pueden demostrar los sguentes resultados: ) u t = ε t + ρε t- + ρ ε t- + ρ 3 ε t ) E(u t ) = 0 σε Vu t = (constante) ρ 3) ( ) h 4) cov(u t,u t-h ) = ρ σε ρ De donde se deduce que en el modelo se verfcan las hpótess de meda nula y de homocedastcdad. y que las autocovaranzas (cov(u t,u t-h )) decrecen según aumenta la separacón entre observacones en la muestra, ndcada dcha separacón por el retardo h que aparece como exponente de ρ, una cantdad nferor, en valor absoluto, a. ρ es el denomnado coefcente de autocorrelacón de prmer orden y representa el grado de dependenca entre u t y u t-. Es, tambén, el coefcente de regresón del modelo [5.] que refleja la nfluenca de u t- sobre u t. Su estmador será: $ρ = t= t= ee t t- e t- = ee t t- t= - e t t= [5.3] S 0 < ρ < se dce que exste autocorrelacón postva S - < ρ < 0 se dce que exste autocorrelacón negatva En este epígrafe vamos a utlzar t como subíndce, dado que este problema se estuda prncpalmente en modelo que utlzan seres temporales. 79

8 Departamento de Estadístca e Investgacón Operatva II (Métodos de Decsón) La exstenca de autocorrelacón se puede deber a muchas causas, entre las que destacan: - El mantenmento de certos efectos, no captados por la estructura del modelo y producdos en perodos anterores, durante varos perodos y que son recogdos por las perturbacones aleatoras. - Una mala especfcacón del modelo, consstente en varables explcatvas omtdas o en la eleccón ncorrecta de la forma funconal, puede provocar que las perturbacones recojan esas omsones y defectos y resulten dependentes entre sí. Consecuencas Las consecuencas de la exstenca de autocorrelacón sobre la estmacón del modelo son análogas a las expuestas en el apartado anteror de heterocedastcdad: ) Al no cumplrse el supuesto de covaranza nula entre las perturbacones, las expresones de las varanzas de los estmadores no son váldas y, por tanto, los estadístcos utlzados para la elaboracón de los ntervalos de confanza y la resolucón de los contrastes de sgnfcacón tampoco lo son, n las conclusones que se hayan obtendo por medo de esos ntervalos y contrastes se pueden, ahora, mantener. En cada caso concreto de autocorrelacón se deberían generar los estadístcos adecuados para elaborar los ntervalos y contrastes correctos. ) Se puede comprobar que los estmadores de los parámetros β y β por M.C.O. sguen sendo nsesgados y consstentes, pero no son los de mínma varanza entre los lneales e nsesgados, que serían, ahora, los que se obtuveran por el método de Mínmos Cuadrados Generalzados (M.C.G.). Estos estmadores son, tambén, los que se obtendrían por M.V., bajo el supuesto de dstrbucón normal de las perturbacones, y que son los efcentes. El problema, como en el epígrafe anteror, es que, en general, aumenta enormemente el número de parámetros, hacendo mposble la estmacón estadístca del modelo. Solo una especfcacón determnada de la forma en que se puede concretar la autocorrelacón nos permtrá reducr el número de parámetros y poder estmar el modelo, sempre bajo la restrccón de que la forma elegda de la autocorrelacón sea la correcta. En este Tema el únco modelo de autocorrelacón que se consdera es el defndo por un proceso AR() cuyas característcas más mportantes se han expuesto anterormente y, por tanto, el contraste para detectar la presenca de autocorrelacón y la forma de estmar el modelo s esa presenca se confrma, se referrán exclusvamente a esa forma concreta de autocorrelacón. 80

9 Introduccón a la Econometría Tema 5: PROBLEMAS E LA ESTIMACIÓ DEL MODELO Deteccón - Contraste de Durbn-Watson Esta es una prueba estadístca que úncamente se utlza para probar la presenca de autocorrelacón según un proceso AR(). Para su aplcacón es necesaro que se cumplan los sguentes requstos: - El modelo no debe contener regresores estocástcos. En nuestro caso, que la varable exógena X no sea aleatora. - El modelo debe tener ordenada en el orgen - La varable endógena no debe aparecer con retardos, como varable explcatva. Con estas condcones se defne nuestro modelo: Y t = β + β X t + u t t =,..., sendo u t = ρu t- + ε t con ρ < y ε t [0;σ ε ] e ndependentes Las hpótess que se plantean para el contraste son: Ho : o exste autocorrelacón ρ = 0 Hpótess HA : ρ > 0 H : Autocorrelacón 0 ρ HB : ρ < 0 El estadístco de Durbn-Watson se defne como: d = ( e t et-) t= t= e t [5.4] sendo e t los resduos de la estmacón por M.C.O. del modelo. Se puede comprobar que: d ( ρˆ ) sendo $ρ el estmador del coefcente de autocorrelacón de prmer orden, defndo en [5.3]. Luego, el estadístco d está drectamente relaconado con el grado de autocorrelacón, deducéndose que: - S exste autocorrelacón postva 0< $ρ < 0 < d < - S exste autocorrelacón negatva < $ ρ < 0 < d < 4 El defecto de este estadístco es que, s la hpótess nula es certa [ρ = 0], no tene una únca dstrbucón de probabldad, sno que la forma de ésta depende de los valores X que se observen para la varable exógena, solo pudéndose determnar que, bajo la hpótess nula [ρ = 0] : E[d] + /(-), es decr, para muestras grandes práctcamente. 8

10 Departamento de Estadístca e Investgacón Operatva II (Métodos de Decsón) El trabajo de Durbn y Watson consstó en determnar dos estadístcos d L y d U que sempre verfcan que: d L < d < d U. Es decr, d L es una varable que acota nferormente a d, mentras que d U lo acota superormente. Durbn y Watson obtuveron que s ρ es gual a cero, estos estadístcos tenen, cada uno de ellos, una únca dstrbucón de probabldad. Por tanto, aunque no se pueda determnar el valor crítco d α en la dstrbucón de d, s será posble encontrar dos valores d Lα y d Uα que verfquen que: d Lα < d α < d Uα [5.5] De tal manera que la resolucón del contraste tendrá las sguentes partculardades: - S 0 < d <, entonces se plantea como hpótess alternatva H A : ρ > 0 (autocorrelacón postva) y la regón crítca, al nvel de sgnfcacón α, se formaría por los valores más pequeños, más alejados del, del estadístco d : d < d α. Pero el valor crítco d α no es posble determnarlo, en su lugar se obtenen los valores d Lα y d Uα que cumplen [5.5] y, por tanto, sólo estaremos seguros de rechazar la hpótess nula s d < d Lα, y sólo estaremos seguros de aceptar la hpótess nula cuando se cumpla que d > d Uα, quedando un caso de duda s d Lα < d < d Uα. - S < d < 4, entonces se plantea como hpótess alternatva H B : ρ < 0 (autocorrelacón negatva) y la regón crítca, al nvel de sgnfcacón α, se formaría por los valores más grandes, más próxmos al 4, del estadístco d : d > d -α. El valor crítco d -α, en este caso y dada la smetría en la dstrbucón de d, se puede susttur por 4 - d α, quedando la regón crítca : d > 4 - d α 4 - d < d α pero con el msmo problema de ndetermnacón que antes, de tal forma que solo estaremos seguros de rechazar la hpótess nula s 4 - d < d Lα, y solo estaremos seguros de aceptar la hpótess nula cuando 4 - d > d Uα, quedando un caso de duda s se dera que d Lα < 4 - d < d Uα. La resolucón del contraste se puede resumr en el sguente cuadro: Caso I S 0 < d < H o: ρ = 0 H : ρ > 0 A En tablas de D-W, al nvel de sgnfcacón α, se obtenen valores: d Lα y d Uα s d < d Lα se rechaza H o s d > d Uα se acepta H o s d Lα < d < d Uα se duda Caso II S < d < 4 H o: ρ = 0 H : ρ < 0 B Con los msmos valores crítcos del caso I: d Lα y d Uα s 4 - d < d Lα se rechaza H o s 4 - d > d Uα se acepta H o s d Lα < 4 - d < d Uα se duda 8

11 Introduccón a la Econometría Tema 5: PROBLEMAS E LA ESTIMACIÓ DEL MODELO Posble solucón: transformacón del modelo S se detectase la presenca de autocorrelacón según un proceso AR(), al aplcar el contraste de Durbn-Watson, la especfcacón correcta del modelo sería: Y t = β + β X t + u t t =,..., [5.6] con u t = ρu t- + ε t ρ < y ε t [0;σ ε ] e ndependentes S expresamos el modelo [5.6] para un perodo anteror, en t -, quedaría: Y t- = β + β X t- + u t- t =,...,+ [5.7] Multplcando [5.7] por ρ y restando el resultado a [5.6], se obtene: Y t - ρy t- = β ( - ρ) + β (X t - ρx t- ) + u t - ρu t- t =,..., [5.8] Resultando un modelo transformado del ncal, con las sguentes característcas: - Es un modelo de regresón lneal smple. - Las nuevas perturbacones aleatoras son: u t - ρu t- = ε t [0;σ ε ] e ndependentes, no exstendo problema de autocorrelacón. - La ordenada en el orgen es β T = β ( - ρ). - Las observacones muestrales de la nuevas varables, endógena y exógena, son respectvamente: Y t T = Y t - ρy t- y X t T = X t - ρx t- - El modelo transformado tene una observacón menos. Se recomenda ncorporar la sguente: para t = Y T = ρ Y y X T = ρ X S se conocera el valor de ρ se podrían estmar de forma efcente los parámetros β y β, estmando por M.C.O. el modelo: Y T t = β T + β X T t + ε t con t =,..., sendo ε t [0;σ ε ] e ndependentes [5.9] $ T con las transformacones menconadas, deducéndose que: β$ β = - ρ Al no conocerse el valor de ρ se deberá estmar prevamente. Una estmacón posble es la expresada en [5.3] con los resduos de una prmera estmacón por M.C.O., que son los que se habrían utlzado en el estadístco d del contraste de Durbn-Watson. Se han desarrollado dversos métodos que mejoran esta estmacón, como el de Cochrane- Orcutt o el de Hldret-Lu, pero su estudo queda fuera de los objetvos de este curso. $ρ = t= t= ee t t- e t- = ee t t- t= - e t t= 83

12 Departamento de Estadístca e Investgacón Operatva II (Métodos de Decsón) Una vez estmado ρ se calcularían las transformacones de las varables y se procedería a estmar el modelo [5.9] por M.C.O., tomando las debdas precaucones, análogas a las consderadas en el caso de la heterocedastcdad: - Las estmacones de los parámetros β T y β en el modelo trasformado, s la estmacón de ρ ha sdo la correcta, son efcentes y los ntervalos y contrastes aplcados con los nuevos resduos y las nuevas estmacones de las varanzas de los estmadores son váldos. El parámetro β se estmará con: β$ $ T β = - $ ρ - Con los nuevos resduos estmaremos σ ε y no σ, pero recordando que en este caso se cumple que: Vu ( σε t ) =, es fácl obtener una estmacón para σ : ρ $ σ ε $ σ = $ ρ - El coefcente de determnacón en la estmacón del modelo transformado, ndcaría la proporcón que de la varanza de las Y T explcan las varacones de las X T, y no representaría nnguna medda de ajuste en el modelo orgnal En los dos casos que se ha estudado, heterocedastcdad y autocorrelacón, el ncumplmento de la correspondente hpótess mplca un aumento del número de parámetros a estmar (dstntas varanzas o dstntas covaranzas) que se puede reducr, sólo, s se especfcan determnadas formas de heterocedastcdad o autocorrelacón, que deberemos confrmar empírcamente. En el prmer caso consstrá en localzar la varable que provoca la dstnta varabldad en cada observacón y rechazar la hpótess de homocedastcdad, ordenando la muestra según los valores de esa varable, al aplcar el contraste de Golfeld-Quandt, para, posterormente, selecconar la forma en que esa varable se relacona con las dstntas varanzas [ej.: σ = σ f(x )] y, así, poder transformar el modelo para estmarlo efcentemente por M.C.O.. Una comprobacón de que la forma elegda es correcta consstría en volver a aplcar el contraste G-Q en la estmacón del modelo transformado y aceptar, esta vez, la presenca de homocedastcdad. En el problema de la autocorrelacón úncamente hemos expuesto el caso AR(). S se aceptara la hpótess de no autocorrelacón (ρ = 0) es posble que exsta autocorrelacón a través de otro modelo dstnto del AR(), y se debería estudar s los resduos de M.C.O. se ajustan a algún otro modelo de proceso. S en el contraste de D-W se rechazara la hpótess nula, es posble que el modelo AR() esté ocultando otro modelo de dependenca que comprenda a la relacón de prmer orden que representa el modelo AR(). Esto se podría comprobar analzando los resduos calculados en el modelo transformado con las nuevas estmacones de los parámetros, y s se puede aceptar que no hay dependenca entre ellos, las estmacones realzadas serían váldas. 84

13 Introduccón a la Econometría Tema 5: PROBLEMAS E LA ESTIMACIÓ DEL MODELO EJERCICIOS PROPUESTOS 5.. Al estmar un modelo de regresón lneal smple, con datos de 4 empresas, se sospecha que pueda haber un problema de heterocedastcdad, quzás provocada por los valores crecentes de la varable exógena. Al estmar por MCO el modelo con los 4 prmeros datos se obtene que: 4 = e = 456,50 Y al estmarlo con los 4 últmos, el resultado es: 4 j= e j = 665,96 Plantee y resuelva el contraste de homocedastcdad, al 5% de nvel de sgnfcacón. 5. Sea el modelo Y = β + β X + u =,...,30 en el que las observacones se han ordenado según el orden ascendente de la varable X. S al estmar el modelo, por M.C.O., con las 0 prmeras observacones se obtene que: R = 0,7044 ΣY = 65 ΣY = 595 y al estmarlo con las 0 últmas se obtene: R = 0, ΣY = 60 ΣY = º: Verfque, por medo del contraste de Goldfeld-Quandt, la exstenca de heterocedastcdad, exponendo los supuestos necesaros para la aplcacón de este contraste. º: De qué forma se podrán obtener estmacones efcentes de los parámetros?. 5.3 En la estmacón del modelo Y t = β + β X t + u t t =,..., 4 se han obtendo los sguentes resduos : t : e t : -0,5 0-0,5 0, ,5-0, ,5 º: Elabore el contraste adecuado para aceptar o rechazar la hpótess de no exstenca de autocorrelacón en las perturbacones del modelo. º: Enumere las lmtacones más mportantes del test estadístco aplcado. 5.4 En la estmacón de un modelo de regresón de la funcón de consumo keynesana se han obtendo los sguentes resduos: e : 0,3-0,0-0,6-0,66-0,86-0,78-0,3 0,9-0, 0, 0,3 0, 0,0 0,9 0,9 0,6 0, 0,96 0,4,0 0,4-0,40 0,33-0,84 0,00-0,57 6 = calculándose que ( e e ) = 6, 868 º: Contraste la exstenca de autocorrelacón, al 5% de nvel de sgnfcacón. º: Exponga el procedmento de estmacón adecuado para corregr la exstenca de autocorrelacón. 85

14 Departamento de Estadístca e Investgacón Operatva II (Métodos de Decsón) 5.5 Al estmar un modelo de regresón lneal smple, con datos de 60 personas encuestadas, se sospecha que pueda haber un problema de heterocedastcdad, quzás provocada por los valores de la únca varable exógena en el modelo que es la edad de las personas. Es decr, se sospecha que a valores más pequeños de la varable edad de la persona las varanzas de las perturbacones serán mayores. Al estmar el modelo, 0 por M.C.O. con las 0 personas más jóvenes, se obtene que: e = 0849, 935 = 0 Y al estmarlo con las 0 personas de más edad, el resultado es: e 359,3045. Plantee y resuelva el contraste de homocedastcdad, al 5% de nvel de sgnfcacón. j= j = 5.6 Se ha estmado el modelo de regresón lneal smple: Y t = β + β X t + u t para t =,..., 30 Y se ha calculado el valor del estadístco de Durbn-Watson: d = 0,93. º: Qué conclusón se obtene en la resolucón del contraste de Durbn-Watson? º: Qué consecuencas traería, para la estmacón del modelo por M.C.O., la exstenca de autocorrelacón en las perturbacones aleatoras del modelo? 86