EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II CURSO

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1 EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II CURSO Ejercicio 1º.- Considera las matrices A B 1 0 a) (1,2 puntos) Encuentra las matrices X e Y tales que X Y = A T 2X Y = B. b) (1,2 puntos) Calcula la matriz Z que cumple A.Z = B.Z + A. SOLUC: a) 0 1 X Y b) 1 Z ( A B ).A 1 2 Ejercicio 2º.- (2, puntos) Sean la matrices Halla la matriz X que verifica A -1 X A = B - A A B SOLULC: 1 X A.( B A ).A Ejercicio º.- Considera el sistema de ecuaciones lineales siguiente: x (m 1) 2z 1 mx z m ( 1m)x 2 z m1 a) (1,7 puntos) Discute, clasifica e interpreta el sistema según los valores del parámetro m. b) (0,7 puntos) Resuelve el sistema para m = 2. SOLUC: a) Si m 1/2 m 2 rango A = rango A = = nº de incógnitas SCD Se trata de tres planos que se cortan en un mismo punto. Si m = 2 rango A = rango A = 2 < nº de incógnitas SCI Se trata de tres planos que se cortan en una recta. Si m = 1/2 rango A = 2 rango A = SI No ha ningún punto en común a los tres planos. b) x z = λ Ejercicio 4º.- Se sabe que el determinante de la matriz a a a A a a a a a a Calcula indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: a) (1 punto) det (- 2A) det (A -1 ) b) (1, puntos) a a a a 7a 7a a 2a 2a 1 2 a a 2a a a a 2a a a a 2a a 1 2 es.

2 SOLUC: a) 2 A A b) a a a a 7a 7a a 2a 2a 1 2 a a 2a a a a 2a a a a 2a a 1 2 Ejercicio º.- Un estudiante gastó 7 euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora el estuche juntos. a) (1,2 puntos) Es posible determinar de forma única el precio del libro? Y el de la calculadora? Razona las respuestas. b) (1,2 puntos) Si el precio del libro, la calculadora el estuche hubieran sufrido un 0 %, un 20% un 2% de descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 4 euros. Calcula el precio de cada artículo. SOLUC: a) Si llamamos x,, z al precio del libro, de la calculadora del estuche, respectivamente, el sistema de ecuaciones lineales x z 7 es un SCI. Al resolver el sistema obtenemos como soluciones (8, 19 λ, λ). Por x 2( z ) tanto si es posible determinar el precio del libro, pero no el de la calculadora. b) 8 euros el libro, 1 euros la calculadora 4 euros el estuche. Ejercicio 6º.- Considera el sistema de ecuaciones lineales siguiente: ax 2 z 1 x 2a z 2 x 2 az 1 a) (1,7 puntos) Discute, clasifica e interpreta el sistema según los valores del parámetro a. b) (0,7 puntos) Si es posible, resuelve el sistema para a = - 2. SOLUC: a) Si a - 2 a 1 rango A = rango A = = nº de incógnitas SCD Se trata de tres planos que se cortan en un mismo punto. Si a = - 2 rango A = rango A = 2 < nº de incógnitas SCI Se trata de tres planos que se cortan en una recta. Si a = 1 rango A = 1 rango A = 2 SI No ha ningún punto en común a los tres planos. En realidad el primero tercer0 son el mismo plano (coincidentes) paralelos al segundo. b) x z = λ Ejercicio 7º.- Considera las matrices 1 m 1 A 1 1 m 1 1 B 1 0 a) (0,7 puntos) Para qué valores de m se verifica que A 2 = 2A + I 2 (I 2 es la matriz identidad de dimensión 2x2) b) (0, puntos) Para qué valores de m la matriz A tiene inversa? c) (1,2 puntos) Para m = 1 resuelve la ecuación AX B = AB. SOLUC: a) Si m = 1 ó m = - 1 b) Si m 0 A 0 la matriz A tiene inversa. c) X A.( AB B ) 0 1 Ejercicio 8º.- (2, puntos) Una empresa envasadora ha comprado un total de 100 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 0, euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de 4000 euros. Calcular cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el 0% de las cajas. SOLUC: 100 euros en el primer mercado, 1000 euros en el segundo mercado en el tercero.

3 a b c Ejercicio 9º.- Sabiendo que el determinante de la matriz A b d e vale, halla el valor de los c e f siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices a) (1 punto) det(a ) det(a -1 ) det(a + A T ) a b c b) (0,7 puntos) c e f c) (0,7 puntos) 2b 2d 2e a b 4a c b d 4b e c e 4c f SOLUC: a) A T A A A 2 4 b) a b c c e f 6 2b 2d 2e c) 4 a b a c b d 4b e c e 4c f Ejercicio 10º.- Considera las matrices: A B a) (0,7 puntos) Halla, si existe, A -1 b) (1,2 puntos) Calcula la matriz X que satisface A.X = B T.C. c) (0, puntos) Halla el determinante de A 201.B T.B.(A -1 ) 201 C SOLUC: a) A 0 A A b) 1 T X A.B.C c) 201 T T A.B.B.( A ) A. B.B. ( A ) A. 0. ( A ) 0 Ejercicio 11º.- Considera el sistema de ecuaciones homogéneo siguiente: x 0 2x (t 1) (t 1)z 0 ( 2 t 1)x (t )z 0 a) (1, puntos) Existe algún valor de t para el que el sistema anterior tenga soluciones distinta de la trivial? b) (1 punto) Resuelve el sistema para t = 2. SOLUC: a) Si t = 1 ó t = 2 A = 0 rango A = rango A < = nº de incógnitas SCI infinitas soluciones además de la trivial. b) x z = λ

4 0 Ejercicio 12º.- Sea la matriz A 0 d) (1 punto) Ha algún valor (o valores) de λ para el que la matriz A 2I tiene inversa, siendo I la matriz identidad de orden? e) (1, puntos) Para λ = -2 resuelve la ecuación matricial AX = 2X + I SOLUC: a) Si λ 1 λ -1 λ b) 1 1 X ( A 2I ) A 2I 0 La matriz A 2I tiene inversa Ejercicio 1º.- Considera los vectores u ( 1, 1, 0 ), v ( 0, 1, 2 ) w ( 1 a, 2a, 2 a ). Halla los valores de a para cada uno de los siguientes casos: c) (1 punto) u, v w están en el mismo plano. d) (0, puntos) w es perpendicular a u v. e) (1 punto) El volumen del tetraedro que tiene por aristas (lados) a los vectores u, v w es 1/6 u. SOLULC: a) a = 0 b) a = 1 c) a = ± 1/9 Ejercicio 14º.- (2, puntos) Dados los puntos A = (2, 1. 1) B = (0, 0, 1), halla los puntos C del eje OX tales que el área del triángulo de vértices ABC vale 2 u 2. SOLULC: Ha dos puntos: C ( 11, 0, 0 ) C ( 11, 0, 0 ) 1 1 Ejercicio 1º.- (2, puntos) Calcula el área del triángulo cuos vértices son los puntos de intersección del plano 6 x 2 z 6 con los ejes de coordenadas. SOLUC: 7/2 u 2 Ejercicio 16º.- Sea el punto P = (2,, -1) la recta r definida por: x 2z 1 x 2 4z 1 a) (1,2 puntos) Halla la ecuación del plano que pasa por P contiene a r. b) (1,2 puntos) Halla el punto de r que está más cerca de P. SOLULC: a) x - 2z - 1 = 0 b) (1, 14/, -7/)

5 Ejercicio 17º.- Sean A, B, C X matrices cualesquiera que verifican A.X.B = C a) (1,2 puntos) Si las matrices son cuadradas de orden, se sabe que el determinante de A es, el de B es -1, el de C es 6, calcula razonadamente el determinante de X 2X. b) (1,2 puntos) Si A SOLULC: a) X = - 2 b) X A.C.B B 2 C calcula la matriz X x 1 1 Ejercicio 18º.- Considera la recta r dada por z 2 2 c) (1,2 puntos) Halla la ecuación implícita del plano π que pasa por el origen de coordenadas contiene a r. d) (1,2 puntos) Halla el punto simétrico de A = (0, 1, -1) respecto del plano π. SOLULC: a) -7x + + z = 0 b) A' (,, ) Ejercicio 19º.- Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 0 euros. En total ha 10 billetes con un importe de 000 euros. a) (1,2 puntos) Es posible que en el cajero haa el triple número de billetes de 10 que de 0? Justifica la respuesta. b) (1,2 puntos) Suponiendo que el nº de billetes de 10 es el doble que el nº de billetes de 0, calcula cuántos billetes ha de cada clase. SOLUC: a) No, no es posible porque aunque el sistema de ecuaciones planteado es un SI b) 80 billetes de 10, 10 billetes de billetes de 0. a b Ejercicio 20º.- De la matriz: A c d se sabe que det (A) = 4 2b 2a c) (1 punto) Halla razonadamente det (-A T ) det d c d) (0,7 puntos) Calcula det (A -1.A T ). e) (0,7 puntos) Si B es una matriz cuadrada tal que B = I, siendo I la matriz identidad. Halla det (B). SOLUC: a) -A T = 6 2b 2a det 24 d c b) A -1.A T = 1 c) B = 1 Ejercicio 21º.- Considera los puntos A=(-1,k,) B=(k+1,0,2) C=(1,2,0) D=(2,0,1). a) (1 punto) Comprueba si ha algún valor del parámetro k para los que los vectores AB, BC CD son LD. b) (1 punto) Para k = 1 calcula el volumen del tetraedro de vértices A, B, C D. c) (0, puntos) Para k=1, calcula un vector perpendicular a los vectores AB AC que sea unitario. SOLULC: a) No ha ningún valor de K b) V = /6 u

6 c) 4 10, 7 10, , 0, 10 6 x 1 Ejercicio 22º.- Sea r la recta dada por 1 z sea s la recta dada por a) (2 punto) Halla la ecuación de la recta t que corta perpendicularmente a r a s. b) (0, puntos) Halla la distancia entre r s. x 1 z x SOLULC: a) Si tomo el punto de intersección de r t unas ecuaciones paramétricas de s serían: z 22 x 1 Si tomo el punto de intersección de s t unas ecuaciones paramétricas de s serían: z 1 b) 26 d( r,s ) u Ejercicio 2º.- (2, puntos) Considera los puntos A = (2, 1, -1) B = (-2,, 1) la recta r dada por x z 1 x 2z Halla el punto o los puntos de la recta r que equidisten de los puntos A B. SOLULC: Sólo ha un punto es (-1, -1, 1) Ejercicio 24º.- Considera el sistema de ecuaciones siguiente: x z 2 x z 7 x 2 ( 2 )z a) (1, puntos) Discute, clasifica e interpreta el sistema según los valores del parámetro λ. b) (1 punto) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. SOLUC: a) Si λ -1 λ -2 rango A = rango A = = nº de incógnitas SCD Se trata de tres planos que se cortan en un mismo punto. Si λ = -2 rango A = rango A = 2 < nº de incógnitas SCI Se trata de tres planos que se cortan en una recta. Si λ = -1 rango A = 2 rango A = SI No ha ningún punto en común a los tres planos. b) Si λ = -2 SCI (1-2µ, - + µ, µ)

7 Ejercicio 2º.- Sean las matrices A, B C f) (1 punto) Tiene A inversa? En caso afirmativo, calcúlala. g) (1, puntos) Determina la matriz X que A.X + C.B T = B.B T SOLUC: a) Como A = -7 0 A tiene inversa vale 4 6 b) 1 T T 7 7 X A ( B.B C.B ) A Ejercicio 26º.- Considera los vectores u ( 0, 1, 0 ), v ( 2, 1, 1) w ( 2,, 1) f) (0,7 puntos) Son los vectores u, v w linealmente dependientes? g) (0,7 puntos) Para qué valores de a el vector t=(4,a +,-2) puede expresarse como combinación lineal de de los vectores u, v w. h) (1 punto) Calcula un vector unitario perpendicular a u v.. SOLULC: a) SI b) Sirve cualquier valor de a c) 1,0, 2,0, 2 o 1,0, 2 2,0, x 2 6 Ejercicio 27º.- Considera el punto P = (2, 0, 1) la recta r : z 2 a) (1 punto) Halla la ecuación implícita del plano que contiene a P a r. b) (1, puntos) Calcula el punto simétrico de P respecto a la recta r. SOLULC: a) x + 2-4z + 2 = 0 b) P ' (,, ) Ejercicio 28º.- (2, puntos) Calcula la distancia entre las rectas x 6 2x 1 0 r : 1 2 s : x 2 0 z 7 SOLULC: Las rectas se cruzan la d(r, s) = 2 u

8 x z Ejercicio 29º.- Considera el sistema de ecuaciones homogéneo siguiente: mx 2z 0 m z m a) (1 punto) Determina los valores de m para los que el sistema tiene una única solución. Calcula dicha solución para m = 1. b) (1 punto) Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. Calcula dichas soluciones. c) (0, puntos) Ha algún valor de m para el que el sistema no tiene solución? SOLUC: a) Si m 0 m -1 rango A = rango A = = nº de incógnitas SCD Se trata de tres planos que se cortan en un mismo punto. Si m = 1 SCD El punto de corte de los tres planos o solución del sistema es: (-2, 2, 1) b) Si m = 0 rango A = rango A = 2 < nº de incógnitas SCI Se trata de tres planos que se cortan en una recta cuas ecuaciones paramétricas son: ( - λ, λ, 0) c) Si m = -1 rango A = 2 rango A = SI No ha ningún punto en común a los tres planos Ejercicio 0º.- Sea la matriz A e I la matriz identidad de orden. 1 0 b f) (1,2 puntos) Determina el valor de b para que el que se cumple que A 2 2A + I = 0 g) (1,2 puntos) Para b = 2 halla la matriz X que cumple que A.X 2.A T = SOLUC: a) b = 2 b) 1 T X A. 2 A Ejercicio 1º.- Se sabe que los puntos A = (m, 0, 1) B = (0, 1, 2) C = (1, 2, ) D = (7, 2, 1) están en un mismo plano. a) (1, puntos) Halla m calcula la ecuación implícita de dicho plano. b) (1 punto) Están los puntos B, C D alineados? SOLULC: a) m = -1 -x z + 2 = 0 b) N0, pues las coordenadas de los vectores BC BD no son proporcionales. Ejercicio 2º.- Los puntos P = (2, 0, 0), Q = (-1, 12, 4) S son los tres vértices de un triángulo. El punto S 4 x z pertenece a la recta r de ecuación r : 0 a) (1, puntos) Calcula las coordenadas del punto S sabiendo que r es perpendicular a la recta que pasa por P S. b) (1 punto) Comprueba que el triángulo es rectángulo. SOLULC: a) S = (6, 0, ) b) El triángulo de vértices PQS es rectángulo en el vértice P.

9 Ejercicio º.- se sabe que las rectas r s son paralelas x z ax r : s: x x 2z 2 0 a) (1, puntos) Calcula el valor de a. b) (1 punto) Halla la ecuación implícita del plano que contiene a r s. SOLULC: a) a = b) x z + 2 = 0 Ejercicio 4º.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x 2 z 0 z mz m 2 mx z m 2 a) (1,7 puntos) Discute, clasifica e interpreta el sistema según los valores del parámetro m. b) (0,7 puntos) Resuélvelo, si es posible, para m = 2. SOLUC: a) Si m ±2 rango A = rango A = = nº de incógnitas SCD Se trata de tres planos que se cortan en un mismo punto. recta Si m = 1 Si m = 2 SCD rango A = rango A = 2 < nº de incógnitas SCI Se trata de tres planos que se cortan en una Si m = - 2 rango A = 2 rango A = SI No ha ningún punto en común a los tres planos. b) Si m = 2 rango A = rango A = 2 < nº de incógnitas SCI Se trata de tres planos que se cortan en una recta cuas ecuaciones paramétricas son: (- λ /, λ/, λ ) Ejercicio º.- (2, puntos) Considera los puntos P = (2,, 1) Q = (0, 1, 1). a) (1,7 puntos) Halla la ecuación del plano π respecto del cual P Q son simétricos. b) (0,7 puntos) Calcula la distancia de P a π. SOLULC: a) x + - = 0 b) d( P, ) 2 u a b c Ejercicio 6º.- Sabiendo que el determinante de la matriz A d e f p q r determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilizas. a b c a) (1 punto) det (-2A) det (A -1 ) b) (1, puntos) 2d 2e 2 f p q r es 4, calcula los siguientes d e f a b c p q r SOLULC: a) -2A = - 2 A -1 = 1/4 b) a b c 2d 2e 2 f 8 p q r d e f a b c p q r 12

10 Ejercicio 7º.- Sea r la recta que pasa por el punto (1, 0, 0) tiene como vector dirección (a, 2a, 1) sea s 2x 2 la recta dada por ax z 0 a) (1 punto) Calcula los valores de a para los que r s son paralelas. b) (1, puntos) Calcula, para a = 1, la distancia entre r s. SOLULC: a) a = ±1 b) 0 6 u Ejercicio 8º.- (2, puntos) Dadas las matrices: A B Calcula la matriz P que verifica A.P B = C T 0 SOLUC: a) 1 T P A ( C B ) C Ejercicio 9º.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x az 2 2x a a 4 x ( a 4 )z 7 h) (1,7 puntos) Discute, clasifica e interpreta el sistema según los valores del parámetro a. i) (0,7 puntos) Resuélvelo, si es posible, para a = 2. SOLUC: a) Si a 0 a rango A = rango A = = nº de incógnitas SCD Se trata de tres planos que se cortan en un mismo punto. Si a = 0 rango A = rango A = 2 < nº de incógnitas SCI Se trata de tres planos que se cortan en una recta. Si a = rango A = rango A = 2 < nº de incógnitas SCI Se trata de tres planos que se cortan en una recta. b) Si a = 2 SCD (2, 1, 0) Ejercicio 40º.- Los puntos A = (0, 1, 1) B = (2, 1, ) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice es un punto de la recta r dada por: c) (1 punto) Calcula las coordenadas de los posibles puntos C de r para que el triángulo ABC tenga un ángulo recto en el vértice A. d) (1, puntos) Calcula las coordenadas de los posibles puntos D de r para que el triángulo ABD tenga un área igual a 2 2 u SOLULC: a) Un solo punto C = (1, -2, 0) b) Dos puntos posibles: D 1 = (-1/9, 2/9, 0) D 2 = (-1, 2, 0)

11 Ejercicio 41º.- Considera las siguientes matrices: A 2 1 B C b) (1, puntos) Determina la matriz X que verifica la igualdad A t.x.b -1 = C c) (1 punto) Calcula el determinante de B -1.(C.C t ).B 10 SOLUC: a) 7 0 T 1 X ( A ).C.B 0 b) 1 T B.( C.C ).B 2 Ejercicio 42º.- Considera el punto P = (1, 0, -1) r la recta dada por x z i) (1, puntos) Halla la distancia de P a r. j) (1 punto) Determina la ecuación general del plano que pasa por P contiene a r. SOLULC: a) 2 d( P,r ) u b) 2x z - 1 = 0 2