Álgebra lineal. Noviembre 2018

Transcripción

1 Álgebra lineal. Noviembre 08 Opción A Ejercicio. (Puntuación máxima:,5 puntos) Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 4ax + 4ay + z = a ax + y az = a, se pide: 4ax + 4ay + az = 4 (,5 puntos) Discútase el sistema según los distintos valores del parámetro real a. (0,75 puntos) Resuélvase el sistema en el caso a =. (0,5 puntos) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. 4ax + 4ay + z = a ax + ay + z = a equivalente al sistema ax + y az = a ax + y az = a 4ax 4ay az = 4ax + 4ay + az = 4 a a a a a La matriz asociada al sistema es A = a a A = a a = a a = a ( a + 6a 4) 4a 4a a 4a 4a a 4 4a a A a a a ( a + 6a 4) a = a a + a = si a 0, a y a Rang A = Si a 0 en A encontramos el menor 0 Rang ( A) = La matriz ampliada es A 0 0 ; en A tenemos 0 0 = 4 0 Rang ( A) = Si a = en A encontramos el menor 0 Rang ( A) = La matriz ampliada es A = ; en A tenemos = 5 0 Rang ( A) = 4 4 Si a = en A encontramos el menor 0 Rang ( A) = La matriz ampliada es A = ; en A tenemos F = F Rang ( A) = [] Matemáticas II

2 Álgebra lineal. Noviembre 08 Discusión : o ( infinitas soluciones ) Si a 0, a y a, Rang A = = Rang A = nº de incógnitas Sistema compatible determinado Si a o a =, Rang A = < Rang A = Sistema incompatible Si a =, Rang A = = Rang A Sistema compatible indeterminad Resolvemos para a = y + z = x + y + z = ; A = = ; 4x 4y z solución única resolvemos por la regla de Cramer : x = = = y = = = z = = = A 4 A 4 A Resolvemos para a = 4 El menor de orden distinto de cero era 0 esto nos indica que debemos quedarnos con las dos primeras ecuaciones y considerar la incógnita x como parámetro : 4x + 4y + z = 6 0x x = λ y = 4y + z = 4x 9 6 0λ x + y z = solución : y = y z = x 6 + 4x 9 8x + 8y + z = 4 z = λ z = 9 Ejercicio. (Puntuación máxima: puntos) x x + x + Resuelve la ecuación x x + x + x x x x 0 F = F F F = F F F4 = F4 F x x ( x ) ( x )( x ) ( x ) ( x )( x ) x x + x + 0 x x x = = + + = x x + x + x x x x + x x x x 0 x x x ( x )( x + x + ) ( x ) ( x )( x + ) 0 0 x x = ( x ) ( x + ) ( x + ) = ( x ) x x = ( x ) ( ) = ( x )( x + ) ( x ) x + x x ( x + x + ) ( x + ) C = C C C = C C = ( x ) = ( x ) ( x) = ( x ) ( x ) x = x + [] Matemáticas II

3 Álgebra lineal. Noviembre 08 Ejercicio. (Puntuación máxima: puntos) a Dada la matriz A 0, 0 a (0,5 puntos) Determina los valores de a para los que la matriz A admite inversa. (,5 punto) Calcula la matriz A en función del parámetro a. a x 0 (0,75 puntos) Para a =, resuelve el sistema 0 0 y = 0 a z A tiene inversa A 0 a A 0 = a Si a 0, la matriz A tiene inversa. 0 a Ahora calculemos A para a 0 0 a a A = = a A = = a A = = a a 0 a 0 0 A 0, A = a A = A = = a A = 0 a 0 a a 0 a a A = A = = A = = A a a a =0 0 0 a a a a 0 0 a 0 A = a a x 0 x 0 x Para resolver el sistema 0 0 y = para a = A y = y = A 0 a z z z 5 x x 0 x 5 = y 0 y = y = z 0 z z = 0 [] Matemáticas II

4 Álgebra lineal. Noviembre 08 Ejercicio 4. (Puntuación máxima: puntos) Dadas las matrices de la forma a A =, se pide: b c ( punto) Encuentra todas las matrices A que satisfacen 5 (0,75 puntos) Calcula la matriz ( A ). (0,75 puntos) Halla la matriz 8 A. A = A I. Siendo I 0 = 0 b a c A = verifica que A = A I a a 4 + ab a + ac a 0 a = = = = b c b c b + bc ab + c b c 0 b c A ; A I 4 + ab = 4 + ab a + ac a a + ac = a b bc ab c = b c + + b + bc = b ab + c = c a Entonces, las matrices pedidas son de la forma A = a ab = b = a a ( + c) = a + c = c = b( + c) = b + c = c = ab + c = c + ( ) = ( ). ; ( ) = = = = = 5 Ahora calculemos A A A I A A A I A A A I A I Como A = I A = I A A = I A es la matriz inversa de A A = A 5 ( ) ; ( A ) a = a ( ) = = = = = = = ; = A A A A A A I A A A A I A A A A 8 a = a [4] Matemáticas II

5 Álgebra lineal. Noviembre 08 Opción B Ejercicio. (Puntuación máxima:,5 puntos) m x m Se considera el sistema de ecuaciones: y = m z m (,5 puntos) Discutirlo según los valores del parámetro real m. (,5 puntos) Resolverlo en los casos de compatibilidad. Como el sistema tiene 4 ecuaciones y incógnitas, empezamos analizando el rango de la matriz ampliada. m m m m m 0 0 m m A = A = = m m 0 m 0 m m m m 0 0 m F = F F F = F F C4 = C4 + C + C + C F4 = F4 F m m 0 = = 0 m 0 0 m m = = ( m ) ( m + ) ; A ( m ) ( m + ) m = si m y m, Rang A = 4 Si m = A =, todas las filas son iguales Rang A = Rang A = Si m = A Rang A < 4 A = en A encontramos el menor = 6 Rang A = Discusión : erminado ( infinitas soluciones) º de incógnitas Sistema compatible determinado Si m y m, Rang A = < Rang A = 4 Sistema incompatible Si m =, Rang A = = Rang A Sistema compatible indet Si m =, Rang A = = Rang A = n Resolvemos para m = Todas las ecuaciones son iguales el sistema se reduce a : x + y + z = x = y z = λ µ y = λ z = µ [5] Matemáticas II

6 Álgebra lineal. Noviembre 08 Resolvemos para m = En A teníamos el menor = 6 las tres primeras ecuaciones son linealmente independientes y podemos prescindir de la cuarta por ser combinación lineal de las otras tres. + y + z = x + y z = A = = 6 y aplicamos la regla de Cramer. x y z x = y = = = = = z = = = A A 6 A 6 Ejercicio. (Puntuación máxima:,5 puntos) (0,75 puntos) Encuentra los valores de a para que los vectores, e = ( a, a,0), e = ( 0, a, a), e = ( a, 0, a + ) sean una base de R. (0,75 puntos) Para uno de esos valores de a, calcula las coordenadas del vector v = (,, ) en la base formada por { e, e, e } ( punto) Para algún valor de a 0, busca una relación de dependencia lineal entre los vectores e, e, e. Para que tres vectores formen una base der, basta con que sean linealmente independientes puesto que, si en un espacio vectorial tenemos el mismo número de vectores linealmente independientes que la dimensión del espacio, automáticamente son base. Veamos para qué valores de a, los vectores e, e y e, son linealmente independientes. (,,0), ( 0,, ), (,0, ) e = a a e = a a e = a a + F = F + F a 0 a a 0 a a a a a 0 a a = a = a a a + a = a a a a + 0 a a + 0 a a + ( )( ) ( ) a a 0 0 a a a 0 a ( a ) a = a a + e, e y e forman base der para todo valor de a tal que a 0 y a. ( ) Supongamos ahora que a = e =,, 0, e,,, e =, 0, v = (,, ) es un vector der cuyas coordenadas están expresadas en la base canónica. En la base { e, e, e} tendrá coordenadas v = ( x, y, z) v = x e + y e + z e (,,) x (,,0) y ( 0,, ) z (,0,) (,, ) ( x, x,0) ( 0, y, y) ( z,0, z) = + + = [6] Matemáticas II

7 Álgebra lineal. Noviembre 08 z = y = 4,, = z, x y, y + z x y = y y ª + ª = = ª + ª x y = y + z = x = 4 = ; z = = v =,, en la base { e, e, e}. ( ) ( x ) Para que e, e, e sean linealmente dependientes, a o a =. Como a 0, entonces debe ser a = ( ) e =,,0, e,,, e =,0,4 y la combinación lineal λ e + λ e + λ e tendrá valores de λ no todos cero. Como e i y e son linealmente independientes al no ser proporcionales (,,0) ( 0,, ) (,0, 4) lineal de ellos e = λ e + µ e = λ + µ e se podrá poner como combinación µ = µ =,, 0 = µ, λ, λ + 4µ λ = e = e e e e + e λ + 4µ + 4 ( ) Ejercicio. (Puntuación máxima:,5 puntos) Discute y resuelve según los valores del parámetro real λ el siguiente sistema de ecuaciones. ( λ 4) x + y + z x + λ y + z 5x + y + ( λ + ) z ( λ 4) x + y + z x + λ y + z ; Es un sistema homogéneo y en todos los casos será compatible. 5x + y + ( λ + ) z 0 Rang A = Rang A puesto que A = A 0 y la última columna siempre será linealmente dependiente del resto. 0 λ 4 λ 4 la matriz asociada al sistema es A = λ ; A = λ = λ λ λ + 5 λ + 5 λ + λ = A λ λ λ + ( λ ) ( λ + ) λ = Si λ y λ, Rang A = = Rang A = nº de incógnitas Sistema compatible determinado. { x, y, z = } En estos casos, como 0 es solución y debe ser única, ya está resuelto. Si λ = A = y Rang A = puesto que 0 Sistema compatible indeterminado = µ x + y + z x + y = z = z Nos quedamos con las ecuaciones ª y ª solución : y = µ 5x + y + 4z 5x + y = 4z y = z z = µ [7] Matemáticas II

8 Álgebra lineal. Noviembre 08 5 Si λ = A = y Rang A = puesto que 0 Sistema compatible indeterminado. 5 = µ y + z y + z = x y = x Nos quedamos con las ecuaciones ª y ª solución : y = µ 5x + y + z y + z = 5x z = x z = µ Ejercicio 4. (Puntuación máxima:,5 puntos) Dadas las matrices 5 A = 0, B = encuentra una matriz X tal que A X A T = B ( ) T T T T T X M ; como A X A = B A A X A A = A B A X = A B A 0 A = = A = = A = = A = 0 A = ; A = = A = = A = = A = = A = = A = = 0 A = A = T T T T Podemos calcular ( A ) como la inversa de la matriz A = 0 o mejor así : ( A ) = ( A ) = T = ( ) = 0 4 = X A B A X 0 = [8] Matemáticas II