RECULL DE PROBLEMES DE VECTORS QUE HAN SORTIR A LES PAU DE MATEMÀTIQUES B =,

Transcripción

1 RECULL DE PROBLEMES DE VECTORS QUE HAN SORTIR A LES PAU DE MATEMÀTIQUES PAU LOGSE 999 Sèrie Problema : (Incomplet Donats els punts de l'espai A (,,0, B ( 0,,0, C (,0,0 i D ( 0,,0 a Són coplanaris? Formen un paral lelogram? b Calculeu l'àrea del polígon ABCD PAU LOGSE 000 Sèrie 5 Qüestió : Siguin u i v els dos vectors del pla: u (, v ( +, Calculeu l angle que formen u i v PAU LOGSE 000 Sèrie Problema : (Incomplet Un quadrat de l'espai té tres dels seus vèrtexs consecutius situats en els punts de coordenades enteres P (,, 4, Q ( a,, a + i (,, 0 Tenint en compte que els vectors QP calculeu el valor del nombre enter a i QR R han de ser perpendiculars, 4 PAU LOGSE 000 Sèrie Qüestió : Donats els vectors u (,, 4 v (,, i w (, 0, 0 a Determineu si són vectors linealment dependents o independents b Calculeu la relació que hi ha d'haver entre els valors de a i b per tal que el vector (,, a b sigui combinació lineal de u i v, 5 PAU LOGSE 00 Sèrie Qüestió 4: Considereu els punts de l espai A ( 0, a, 4a, (,, 4 C (, 5, B, a Comproveu que el triangle de vèrtexs A, B i C és rectangle en B per a qualsevol valor de a b Calculeu els valors de a que fan que aquest triangle sigui isòsceles 6 PAU LOGSE 004 Sèrie Qüestió : (Incompleta Considereu els punts de l espai A ( 0,0,, B (,, i C ( 0,, Si D és el punt de coordenades ( k,0,0, quant ha de valer k per tal que els quatre punts A, B, C i D siguin coplanaris? 7 PAU LOGSE 004 Sèrie Qüestió 4: Els punts A( k,, 4, B ( 0, k +, i C (, 6, k tres dels vèrtexs d un rombe ABCD (vegeu la figura a Calculeu el valor de k b Demostreu que el rombe és un quadrat + són 8 PAU LOGSE 004 Sèrie Qüestió 4: Considerem els punts de l espai A (,, 0, B ( 0,, i C (,, Ens diuen que aquests tres punts formen part del conjunt de solucions d un sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites Es demana: Exercicis sobre vectors en l espai de les PAU Catalunya

2 a aquests punts, estan alineats? b podem saber el rang de la matriu del sistema d equacions? 9 PAU LOGSE 004 Sèrie Problema : (Incomplet Tenim quatre punts a l espai: A ( 0, 0, 0 ; B ( 0, 0, ; C ( 0,, 0 i D (, 0, 0 demana: a representeu gràficament els quatre punts; b calculeu el volum del tetràedre (piràmide de base triangular ABCD; Es 0 PAU LOGSE 004 Sèrie 4 Qüestió : (Incompleta Considereu els punts de l espai A(,,, B(0,, i C(k,, 5 b Per a quins valors de k els punts A, B i C formen un triangle? PAU LOGSE 004 Sèrie 5 Qüestió 4: Donats els vectors u (, i v (, a comproveu que i formen una base de l espai vectorial dels vectors del pla; b trobeu els components del vector w (, 5 en la base { u, v} PAU 005 Sèrie Qüestió : Considereu els vectors de,, 4 R : v (,,,,, v ( i v ( k + k + a Trobeu l únic valor de k per al qual aquests vectors no són una base de R b Per a un valor de k diferent del que heu trobat en l apartat a, quins són els w v + v + v components del vector PAU 005 Sèrie Qüestió 4: en la base { v, v, v } Un segment d origen en el punt (, 4, A i extrem en el punt B està dividit en cinc parts iguals mitjançant els punts de divisió A, A, A i A 4 (vegeu la figura Si sabem que A (, 0,, quines són les coordenades de B?? 4 PAU 005 Sèrie 4 Problema : (Incomplet Una piràmide de base quadrada té el vèrtex en el pla d equació z Tres dels vèrtexs de la base són els punts del pla OXY: A (, 0, 0, (,, 0 C ( 0,, 0 B i a Feu un gràfic dels elements del problema Quines són les coordenades del quart vèrtex de la base, D? b Quin és el volum de la piràmide? Volum Àrea base 5 PAU 007 Sèrie Qüestió : (Incompleta altura Considereu els punts de l espai P (, a,, Q ( 0, a, a R (,, 6 6a i a Trobeu el valor de a per al qual els tres punts estan alineats Exercicis sobre vectors en l espai de les PAU Catalunya

3 6 PAU 009 Sèrie Problema : (Incomplet Siguin P ( a, b, 4, Q ( a, + b, 0 i (,, R tres punts de l espai R a Calculeu el valor dels paràmetres a i b per als quals aquests tres punts estiguin alineats c Quan b 0, trobeu els valors del paràmetre a perquè la distància entre els punts P i Q sigui la mateixa que la distància entre els punts P i R d Si b 0, calculeu el valor del paràmetre a perquè els punts P, Q i R determinin un triangle equilàter 7 PAU 00 Sèrie 4 Qüestió 6: Siguin u (,,, u (,,4,,4 i u ( a + a a + vectorial R a Trobeu el valor del paràmetre a per al qual el vector dels vectors u i u b Comproveu que per a 0 a el conjunt { u, u, u } tres vectors de l espai u és combinació lineal és linealment independent 8 PAU 0 Sèrie Qüestió : { } Sigui V (,,, (,,0, (,, a un conjunt de vectors de R a Trobeu el valor o els valors de a perquè V sigui linealment dependent b Quan 4 com a combinació lineal dels vectors de V a, expresseu el vector v (,9,4 9 PAU 04 Sèrie 5 Qüestió 5: Donats els vectors u (,,0, v (,,4 i w ( 0,a,4a a Calculeu els valors del paràmetre a perquè els vectors u, v i w siguin linealment dependents b Calculeu els valors del paràmetre a perquè un tetraedre d arestes u, v i w tingui un volum de / d unitats cúbiques, Exercicis sobre vectors en l espai de les PAU Catalunya

4 SOLUCIONARI: PAU LOGSE 999 Sèrie Problema : (Incomplet Donats els punts de l'espai A (,,0, B ( 0,,0, C (,0,0 i D ( 0,,0 a Són coplanaris? Formen un paral lelogram? A, B, C i D coplanaris AB, AC AB, AC, AD 0 AB B A ( 0,,0 (,,0 (,,0 AC C A (, 0, 0 (,,0 ( 5,,0 AD D A 0,,0,, 0,, 0 ( ( ( 5 AB, AC, AD 0 A, B, C i D coplanaris i AD linealment dependents NOTA: Era evident que els punts A, B, C i D eren coplanaris perquè tots quatre tenen la tercera component igual a zero Per tant, a la vista d això no solament podem dir que són coplanaris sinó també que el pla que els conté és π : z 0 Una altra forma de resoldre aquest problema, tot i que més lenta seria calcular el D π π que passa pels punts A, B i C i desprès comprovar que ABC pla ABC Quedaria així: AB B A AC C A π ABC ( 0,,0 (,,0 (,,0 (, 0, 0 (,,0 ( 5,,0 x 5 ( ( : y 0 z z 0 0 7z 0 π : z 0 z ( D 0,, 0 π ABC? Dons si perquè compleix l equació z 0 ABC Per tant, a partir d aquest raonament també podem assegurar que els punts A, B, C i D són coplanaris Vegem ara si els 4 punts formen un paral lelogram: Com tots 4 punts tenen la tercera component igual a zero i per tant, tots 4 es troben en el pla z 0 podem fer-nos una representació gràfica de la situació dels punts obviant la seva tercera component (que sempre serà zero i representant només les altres dues En aquest cas tindrem: Exercicis sobre vectors en l espai de les PAU Catalunya 4

5 Per tant, és evident que no formen un paral lelogram donat que aquest polígon no té els costats paral lels dos a dos NOTA: També podríem comprovar que els punts A, B, C i D no formen un paral lelogram mirant que no hi ha parells de vectors iguals o que no hi ha parells de vectors amb el mateix mòdul És a dir, com podem comprovar en la figura adjunta pel fet de ser un paral lelogram sabem que hi haurà parells de vectors iguals En la figura AB DC i BC AD b Calculeu l'àrea del polígon ABCD Finalment, per calcular l àrea del polígon ABCD el dividim amb dos triangles, ABD i CDB de base i altura i base i altura respectivament Així: AABCD AABD + ACDB + + PAU LOGSE 000 Sèrie 5 Qüestió : Siguin u i v els dos vectors del pla: u (, v ( +, Calculeu l angle que formen u i v cos u v u v ( u, v cos ( u, v u v u v (, (, ( ( ( ( u v ( u u, + ( ( (, v + v u v cos ( u, v α ( u, v ar cos 60º u v Exercicis sobre vectors en l espai de les PAU Catalunya 5

6 PAU LOGSE 000 Sèrie Problema : (Incomplet Un quadrat de l'espai té tres dels seus vèrtexs consecutius situats en els punts de coordenades enteres P (,, 4, Q ( a,, a + i (,, 0 Tenint en compte que els vectors QP calculeu el valor del nombre enter a Primer calculem els vectors QP i QR: i QR R han de ser perpendiculars, (,, 4 (,, (,, (,, 0 (,, (,, QP P Q a a + a a QR R Q a a + a a Dos vectors són perpendiculars sii el seu producte escalar dóna zero, en el nostre cas: 0 QP QR QP QR QP QR a a a a a a + a a (,, (,, ( ( ( ( ( a 6 a a + a + a + a + a a 7a a Per tant, hi ha dos possibles valors del paràmetre a que satisfan les condicions del problema Són a i 5 a 4 PAU LOGSE 000 Sèrie Qüestió : Donats els vectors u (,, 4 v (,, i w (, 0, 0 a Determineu si són vectors linealment dependents o independents Per demostrar que tres vectors u, v i w són linealment independents hi ha dos mètodes Aplicar la definició de vectors linealment independents, és a dir, que si plantegem una combinació lineal nul la dels vectors u, v i w la única solució és la trivial És a dir, αu + β v + γ w 0 α β γ 0 o també podem calcular el rang de la matriu que formen els tres vectors Si aquest rang és aleshores els vectors són linealment independents i si aquest rang és menor que aleshores són dependents Evidentment aquest últim procediment és més ràpid Així: A Rang ( A u, v i w LI 4 4 0, NOTA: Si ho haguéssim fet plantejant una combinació lineal nul la el procediment hagués estat el següent: α + β + γ 0 αu + β v + γ w 0 α (,,4 + β (,, + γ (,0,0 ( 0,0,0 α + β 0 4α + β 0 Exercicis sobre vectors en l espai de les PAU Catalunya 6

7 0 0 0 F F + F F F + 4F A' F F 4F α β γ 0 u, v, w LI D on es dedueix que { } b Calculeu la relació que hi ha d'haver entre els valors de a i b per tal que el a,, b sigui combinació lineal de u i v vector ( El vector ( a,, b és combinació lineal de u (,, 4 i v (,, dos nombres reals α i β de manera que ( a,, b α (,, 4 + β (,, ( ( ( si existeixen α + β a a a,, b α,, 4 + β,, α β A' + 4α + β b 4 b a,, b es pugui ficar com a CL dels altres dos s ha de Per a que el vector ( complir que el sistema d equacions anterior sigui compatible determinat, per tant, Rang A Rang A' nº incògnites, per tant, el Rang de la s ha de complir que ( ( matriu A no pot ser i per tant, A ' 0 Així: A' 0 0 b a + 8 4a + b 0 7a + b a b NOTA: També es pot raonar de la manera següent Si el vector w ( a,, b ser combinació lineal dels vectors u (,, 4 i v (,, ha de, aleshores, aquests vectors han de ser linealment dependents i per tant el determinant de la matriu formada per tots ha de ser zero 5 PAU LOGSE 00 Sèrie Qüestió 4: Considereu els punts de l espai A ( 0, a, 4a, (,, 4 C (, 5, B, a Comproveu que el triangle de vèrtexs A, B i C és rectangle en B per a qualsevol valor de a Per comprovar que el triangle de vèrtexs A, B i C és rectangle en B comprovarem que els vectors BA i BC són perpendiculars Per demostrar aquesta perpendicularitat és suficient demostrar que el seu producte escalar és zero Així hem de comprovar que BA BC 0 BA A B a a a + a ( 0,, 4 (,, 4 (,, 4 6 Exercicis sobre vectors en l espai de les PAU Catalunya 7

8 BC C B BA BC a + a + a + + a (, 5, (,, 4 (,, (,, 4 6 (,, ( ( ( 4 6 ( + 4a 4 4a i BC sempre dóna 0 Hem vist que el producte escalar dels vectors BA independentment del valor que prengui el paràmetre a, per tant, aquests dos vectors sempre són perpendiculars b Calculeu els valors de a que fan que aquest triangle sigui isòsceles Sabem per l apartat anterior, que el triangle de vèrtex A, B i C és rectangle en B Per a que aquest triangle sigui isòsceles s ha de complir que els costats BA i BC mesurin el mateix És a d B, A d B, C o el que és el mateix, que BA BC dir, que ( ( BA BC a + a (,, 4 6 (,, ( ( a ( 4a 6 ( ( que elevant al quadrat ( ( a ( 4a 6 ( ( a 8a a 48a a 56a a a a + a 4a a 5 6 PAU LOGSE 004 Sèrie Qüestió : (Incompleta Considereu els punts de l espai A ( 0,0,, B (,, i C ( 0,, Si D és el punt de coordenades ( k,0,0, quant ha de valer k per tal que els quatre punts A, B, C i D siguin coplanaris? Els 4 punts A, B, C i D seran coplanaris si ho són els vectors que formen AB, AC i AD Els vectors AB, AC i AD seran coplanaris si el Rang de la matriu que formen no és Així: Calculem els vectors AB, AC i AD AB B A (,, ( 0,0, (,, AC C A ( 0,, ( 0,0, ( 0,, AD D A ( k,0,0 ( 0,0, ( k,0, Obliguem a que els vectors AB, AC i AD siguin coplanaris forçant que la matriu que formen no tingui rang 0 k AB, AC, AD 0 k k 0 0 k + 0 k Exercicis sobre vectors en l espai de les PAU Catalunya 8

9 7 PAU LOGSE 004 Sèrie Qüestió 4: Els punts A( k,, 4, B ( 0, k +, i C (, 6, k rombe ABCD (vegeu la figura a Calculeu el valor de k + són tres dels vèrtexs d un Un rombe té els 4 costats iguals i els angles desiguals Per tant, si els punts A, B i C són tres vèrtex consecutius d un rombe d A, B d B, C ( ( NOTA: En la figura que ens donen en l examen podem observar que A, B i C són vèrtex consecutius Si A, B i C no fossin consecutius no podríem afirmar que d ( A, B d ( B, C Aleshores: AB B A ( 0, k +, ( k,, 4 ( k +, k, BC C B (, 6, k + ( 0, k +, (, 4 k, k d A, B AB k +, k, k + + k + ( ( ( ( k k + + k + k k d B, C BC, 4 k, k + 4 k + k ( ( ( ( ( + k + k + k k + k k ( ( d A, B d B, C k 6k + k 0k k 6k k 0k 4k 8 0 4k 8 k b Demostreu que el rombe és un quadrat Donat que un rombe ja té els 4 costats iguals, per demostrar que un rombe és un quadrat l únic que s ha de fer és demostrar que els seus angles són de 90º Per fer-ho és suficient demostrar que un angle és de 90º perquè aleshores, per construcció els altres angles també seran de 90º Així, demostrem que l angle en B és de 90º demostrant que els vectors AB són perpendiculars i BC Recordem que dos vectors són perpendiculars sii el seu producte escalar és zero Com en l apartat anterior hem obtingut que k aleshores tenim que: AB k + k (,, (,, ( ( i BC (, 4 k, k (,, AB BC,,,, AB BC Exercicis sobre vectors en l espai de les PAU Catalunya 9

10 8 PAU LOGSE 004 Sèrie Qüestió 4: Considerem els punts de l espai A (,, 0, B ( 0,, i C (,, Ens diuen que aquests tres punts formen part del conjunt de solucions d un sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites Es demana: a aquests punts, estan alineats? Tres punts estan alineats sii els vectors que formen són proporcionals i AC proporcionals De manera analítica: A, B i C alineats sii AB AB B A ( 0,, (,,0 (,0, AC C A (,, (,,0 (,, 0 AB i AC no proporcionals A, B i C no alineats b podem saber el rang de la matriu del sistema d equacions? Si, A B i C formen part del conjunt de solucions d un sistema lineal i no estan alineats vol dir que el sistema d equacions té com a mínim tot un pla de solucions (el pla que passa pels punts A, B i C per tant el sistema és un sistema compatible indeterminat amb graus de llibertat per tant: Rang ( A Rang ( A' 9 PAU LOGSE 004 Sèrie Problema : (Incomplet Tenim quatre punts a l espai: A ( 0, 0, 0 ; B ( 0, 0, ; C ( 0,, 0 i D (, 0, 0 demana: a representeu gràficament els quatre punts; Es b calculeu el volum del tetràedre (piràmide de base triangular ABCD; El volum del tetràedre és la sisena part del volum del paral lelepípede Aquest últim volum el podem calcular mitjançant el producte mixt dels vectors AB, AC i AD AB B A 0,0, 0,0,0 0,0, AC C A 0,,0 0,0,0 0,,0 AD D A,0,0 0,0,0,0,0 ( ( ( ( ( ( ( ( ( Exercicis sobre vectors en l espai de les PAU Catalunya 0

11 0 0 AB, AC, AD Sabem que el valor absolut del producte mixt de vectors és el volum del paral lelepípede que formen Per tant: El volum del paral lelepípede format pels vectors AB, AC, AD és AB, AC, AD 8 8 Donat que el volum del tetraedre és la sisena part del volum del paral lelepípede, 8 4 tenim que: V PAU LOGSE 004 Sèrie 4 Qüestió : (Incompleta Considereu els punts de l espai A(,,, B(0,, i C(k,, 5 b Per a quins valors de k els punts A, B i C formen un triangle? Tres punts formen triangle si no estan alineats Tres punts estan alineats si els vectors que formen són proporcionals Així: AB B A ( 0,, (,, (,0, AC C A ( k,,5 (,, ( k,0, 0 AB i AC proporcionals sii k 0 k k k k 4 ( Aleshores A, B i C formaran triangle sempre que no estiguin alineats, per tant sempre que k sigui diferent de 4 PAU LOGSE 004 Sèrie 5 Qüestió 4: Donats els vectors u (, i v (, a comproveu que i formen una base de l espai vectorial dels vectors del pla; Dos vectors del pla formen una base de V si són linealment independents, és a dir, si la matriu que formen té rang A A Rang ( A b trobeu els components del vector w (, 5 en la base { u, v} α β w α u + β v (, 5 α (, + β (, 5 α + β F F F 7β 7 β A' y α β α α Així: (, 5 (, + (, Exercicis sobre vectors en l espai de les PAU Catalunya

12 PAU 005 Sèrie Qüestió : Considereu els vectors de,, 4 R : v (,,,,, v ( i v ( k + k + a Trobeu l únic valor de k per al qual aquests vectors no són una base de v, v i v no són una base de R R si són linealment dependents, és a Els vectors dir, si la matriu que formen no té rang o el que és el mateix, si la matriu que formen té determinant nul Per tant: A k + A ( k ( k ( k + 6( k + 4 k + k k k 6k 8 5k 5 0 5k 5 k b Per a un valor de k diferent del que heu trobat en l apartat a, quins són els w v + v + v components del vector Si B { v, v, v } en la base { v, v, v } és una base de R, el vector w v + v + v és w v + v + v, per tant, les components del vector w respecte de la base {,, } són (,, B v v v? PAU 005 Sèrie Qüestió 4: Un segment d origen en el punt (, 4, A i extrem en el punt B està dividit en cinc parts iguals mitjançant els punts de divisió A, A, A i A 4 (vegeu la figura Si sabem que A (, 0,, quines són les coordenades de B? Primer calculem el vector AA A A (, 0, (, 4, (, 4, 4, 4, 4,, B A + 5AA, 4, + 5,,, 4, + 5, 0, 0 4, 6, 8 AA AA ( ( ( ( ( ( ( 4 PAU 005 Sèrie 4 Problema : (Incomplet Una piràmide de base quadrada té el vèrtex en el pla d equació z Tres dels vèrtexs de la base són els punts del pla OXY: A (, 0, 0, (,, 0 C ( 0,, 0 B i a Feu un gràfic dels elements del problema Quines són les coordenades del quart vèrtex de la base, D? Exercicis sobre vectors en l espai de les PAU Catalunya

13 Evidentment, si tal com ens diuen en l enunciat i es pot apreciar en el dibuix, la base de la piràmide és quadrada, el 4t vèrtex de la base és l origen de coordenades, és a dir, D ( 0,0,0 (Pintat de color vermell b Quin és el volum de la piràmide? Volum Àrea base altura La base és un quadrat de costat, per tant, l àrea de la base és A quadrat L altura de la piràmide és la distància que hi ha entre el pla que conté la base, és a dir, el pla z 0 i el pla z Evidentment la distància entre aquests plans és Finalment, el volum de la piràmide serà 5 PAU 007 Sèrie Qüestió : (Incompleta Àrea base altura V Considereu els punts de l espai P (, a,, Q ( 0, a, a R (,, 6 6a i a Trobeu el valor de a per al qual els tres punts estan alineats Tres punts P, Q i R estan alineats sii els vectors que formen són proporcionals Per tant, hem d obligar a que per exemple, els vectors PQ i PR siguin proporcionals PQ Q P ( 0, a, a (, a, (,, a PR R P (,, 6 6a (, a, (, a, 6a PQ a i PR proporcionals sii a 6a a a a a a 6a 6a 6 a 9 a a Exercicis sobre vectors en l espai de les PAU Catalunya

14 6 PAU 009 Sèrie Problema : (Incomplet Siguin P ( a, b, 4, Q ( a, + b, 0 i (,, R tres punts de l espai R a Calculeu el valor dels paràmetres a i b per als quals aquests tres punts estiguin alineats Tres punts P, Q i R estan alineats si dos dels vectors que determinen són proporcionals Així P, Q i R alineats si els vectors PQ i PR alineats PQ Q P ( a, + b, 0 ( a, b, 4 ( a 4,, 4 PR R P (,, ( a, b, 4 ( a, b, PQ i PR proporcionals sii a 4 4 a b a 4 4 a 4 a a a 4 4a a 4 4 b b b b c Quan b 0, trobeu els valors del paràmetre a perquè la distància entre els punts P i Q sigui la mateixa que la distància entre els punts P i R b, aleshores, P ( a, 0, 4, Q ( a,, 0 i R (,, (,, 0 (, 0, 4 ( 4,, 4 (,, (, 0, 4 (,, Si 0 PQ Q P a a a PR R P a a d P, Q PQ a 4,, 4 a d P, R PR a,, a + + ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( d P, Q d P, R a a + + a a + + 9a 4a a a 4a a a 4 5 d Si b 0, calculeu el valor del paràmetre a perquè els punts P, Q i R determinin un triangle equilàter En l apartat anterior hem calculat que si b 0 aleshores: ( a, 0, 4, Q ( a,, 0 i R (,, (,, 0 (, 0, 4 ( 4,, 4 (,, (, 0, 4 (,, P PQ Q P a a a PR R P a a Exercicis sobre vectors en l espai de les PAU Catalunya 4

15 d P Q PQ a a d P, R PR a,, a + + ( ( (, 4,, ( ( ( ( Per a que el triangle de vèrtexs P, Q i R sigui equilàter cal que (, (, (, d P Q d P R d Q R Però ja sabem que per a que es compleixi la a d aquestes igualtats el paràmetre a ha de valer o bé o bé 4 5 Per tant, el que ens quedarà és comprovar quin d aquests dos valors fa que d ( P, Q d ( Q, R ( ( ( d P, Q PQ a 4,, 4 a QR R Q (,, ( a,, 0 ( 4 a, 4, d Q, R QR 4 a, 4, 4 a ( ( ( ( ( (, (, ( 4 4 ( 4 ( 4 ( d P Q d Q R a + + a + + ( a 4 4 ( 4 a ( 4 ( a 4a a + a a 6a 0 8a 0 a 0 8a ( a 0 a 0 a d P, Q d Q, R el paràmetre a ha de Acabem de comprovar que per a que ( ( prendre els valors a 0 o a, però en l apartat anterior hem comprovat que per a o a que d ( P, Q d ( P, R el paràmetre a ha de prendre els valors a Per tant, el valor de a que satisfarà les dues igualtats és el que es repeteix en ambdós casos, és a dir, a 4 5 NOTA: Aquest apartat es pot resoldre també substituint a cada un dels punts els valors del paràmetre a trobats a l apartat anterior, comprovant quin dels dos fa que les tres distàncies siguin iguals 7 PAU 00 Sèrie 4 Qüestió 6: Siguin u (,,, u (,,4,, 4 i u ( a + a a + vectorial R a Trobeu el valor del paràmetre a per al qual el vector dels vectors u i u tres vectors de l espai u és combinació lineal El vector u serà combinació lineal dels altres dos si la matriu formada per tots té un rang inferior a, és a dir si el seu determinant és nul Així: a + A a 4 4a + Exercicis sobre vectors en l espai de les PAU Catalunya 5

16 4 ( 4( ( 4( 6( 4 Factors Comuns ( a ( a ( a a a a a A a + + a + + a + a + + a a A 0 a 4 0 a 4 a b Comproveu que per a 0 a el conjunt { u, u, u } és linealment independent u u (,,, u (,,4 i u ( a +, a, 4a + (,,, u (,,4 i u ( El conjunt { u, u, u },,, si a 0, aleshores: és linealment independent sii la matriu formada per aquests vectors té rang, o el que és el mateix, determinant no nul Així: A A Rang ( A 4 NOTA: Al solucionari que proposen a les PAU resolen aquest apartat maneres diferents, la que proposo jo, utilitzant que el determinant de l apartat anterior és a 4 i per tant, quan a 0 el determinant donarà 4 i per tant serà no nul i finalment per la definició de vectors linealment independents, que és que qualsevol combinació lineal nul la de tots vectors fa que els coeficients siguin zero 8 PAU 0 Sèrie Qüestió : { } Sigui V (,,, (,,0, (,, a un conjunt de vectors de R a Trobeu el valor o els valors de a perquè V sigui linealment dependent Els tres vectors seran linealment dependents si el determinant de tots tres és zero, així: 0 0 a a 0 a 0 a a a b Quan 4 vectors de V a, expresseu el vector v (,9,4 com a combinació lineal dels En aquest cas es tracta d expressar el vector v (,9,4 de V (,,, (,,0, (,,4 Aleshores: { } α β + γ,9,4 α,, + β,,0 + γ,, 4 9 α β + γ 4 α + 4γ ( ( ( ( com a combinació lineal Exercicis sobre vectors en l espai de les PAU Catalunya 6

17 F F + F F F + F F F F F F F F F γ 9 γ β + γ 4 β + 4 β β α β + γ α + + α α Per tant: (,9,4 (,, (,,0 + (,, 4 9 PAU 04 Sèrie 5 Qüestió 5: Donats els vectors u (,,0, v (,,4 i w ( 0,a,4a a Calculeu els valors del paràmetre a perquè els vectors u, v i w siguin linealment dependents Els vectors u, v i w seran linealment dependents sii la matriu quadrada d ordre que formen té rang menor que, és a dir, si el seu determinant és zero Per tant, 0 ( a 4a a 4a 4a 4a + 8 4a 8 4a a 4a 8 a b Calculeu els valors del paràmetre a perquè un tetraedre d arestes u, v i w tingui un volum de / d unitats cúbiques El volum del tetraedre d arestes u, v i w és la sisena part del volum del paral lelepípede d arestes u, v i w que a la vegada és el valor absolut del producte mixt dels vectors Així: a V [ u, v, w] [ u, v, w] 6 [ u, v, w] 4 8 4a a 4 4a 4 a 8 4a 4 8 4a 4 4a a Per tant, l apartat té dues solucions a i a, Exercicis sobre vectors en l espai de les PAU Catalunya 7