APLICACIONES DE LOS SISTEMAS LINEALES 1. MODELACION DE POLINOMIOS CONOCIENDO UN NUMERO DETERMINADO DE PUNTOS DEL PLANO.

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Marina Maidana Franco
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1 APLICACIONES DE LOS SISTEMAS LINEALES 1. MODELACION DE POLINOMIOS CONOCIENDO UN NUMERO DETERMINADO DE PUNTOS DEL PLANO. Dado un numero n de puntos del plano ( a, b ) es posble encontrar una funcón polnómca de grado n-1, ( ) que los contenga a todos, para ellos s f(x) es la funcón polnomca entonces cada punto del plano dado lo nterpretamos como f(x)= b, con lo cual obtenemos un sstema lneal cuyas varables son los coefcentes del polnomo. En general ; Numero de puntos del plano conocdos Obtenemos una funcón polnomca de grado 2 1 ( ) 3 2 ( ) 4 3 ( ) n+1 n ( ) Cuya forma general es: Por ejemplo. Determne la funcón polnomca que contene los puntos ( 1, 3 ) ; ( 2, 12 ) ; ( -1, -3 ) Como se conocen tres puntos, se debe encontrar una funcón polnomca de segundo grado, es decr de la forma: ( ) Para determnar los valores de los coefcentes, tenemos en cuanta que: puntos del plano conocdos Se nterpreta como Con lo que obtenemos ( 1, 3 ) f(1)=3 ( ) ( ) ( ) ( 2, 12 ) f(2)=12 ( ) ( ) ( ) (-1, -3 ) f(-1)=-3 ( ) ( ) ( ) [Escrba texto] Págna 1

2 16 y x Al desarrollar las potencas y reemplazar el valor de la funcón en cada valor de x, se tene el sstema lneal: Resolvendo, el sstema lneal obtenemos como coefcentes del polnomo: Y la funcón polnomca buscada es: ( ) [Escrba texto] Págna 2

3 16 y x ACTIVIDAD. 1.) Determne la funcón polnomca que contene los puntos del plano: a) ( -2, -28 ) ; ( 1, 2 ) ; ( 2, 0 ) ; ( -1, -6 ) b) ( -2, 37) ; ( -1,3), (3, 7) ; ( 1, 1 ) ; (2, -3) c) ( -2, -1/3) ; ( -1, -1/6 ) ; ( 3, 13/3) ; (3, 41/2) [Escrba texto] Págna 3

2. DETERMINACION DE CORRIENTES EN CIRCUITOS ELECTRICOS Las leyes de Krchhoff son dos gualdades que se basan en la conservacón de la energía y la carga en los crcutos eléctrcos.

En cualquer nodo, la suma de la corrente que entra en ese nodo es gual a la suma de la corrente que sale.

4 2. DETERMINACION DE CORRIENTES EN CIRCUITOS ELECTRICOS Las leyes de Krchhoff son dos gualdades que se basan en la conservacón de la energía y la carga en los crcutos eléctrcos. Fueron descrtas por prmera vez en 1845 por Gustav Krchhoff. Son amplamente usadas en ngenería eléctrca. LEY DE LOS NODOS. En cualquer nodo, la suma de la corrente que entra en ese nodo es gual a la suma de la corrente que sale. De gual forma, La suma algebraca de todas las correntes que pasan por el nodo es gual a cero LEY DE LAS MALLAS: En toda malla la suma de todas las caídas de tensón es gual a la tensón total sumnstrada. De forma equvalente, En toda malla la suma algebraca de las dferencas de potencal eléctrco es gual a 0. Regla de sgnos: A. Al pasar a través de una fuente de poder del termnal postvo al negatvo se consdera postvo la f.e.m B. Al pasar a través de una fuente de poder del termnal negatvo al postvo se consdera negatva la f.e.m C. Al pasar a través de un resstor en la dreccón del recorrdo de la malla, el voltaje en ese resstor es postvo D. Al pasar a través de un resstor en sentdo contraro ala dreccón de recorrdo de la malla, el voltaje en ese resstor es negatvo. Ejemplo. Determne las correntes en el sguente crcuto. [Escrba texto] Págna 4

5 a R1=8Ω ; R2=10Ω ; R3=6Ω ; R4=12Ω M1 M2 V1=12Volt V2= 10Volt Aplcando la ley de los nodos, en el punto a, observamos que entra la corrente 1 y salen las correntes 2 y 3, es decr Aplcamos ahora la ley de las mallas. Partmos del punto a en el sentdo que se ndca. Malla 1) Partendo de a, atravesamos la resstenca R1 en el sentdo de la corrente, luego el voltaje a través de ella es postvo; luego la resstenca dos en el msmo sentdo de la corrente, la fuente la recorremos del polo negatvo al postvo y por ultmo la resstenca 1 en el msmo sentdo de la corrente. Luego 10 [Escrba texto] Págna 5

6 Malla 2) Partendo de a, atravesamos la resstenca R4 en el sentdo de la corrente, la fuente la recorremos del polo postvo al negatvo y por ultmo la resstenca R2 en el sentdo contraro al de la corrente. Luego 12 Luego tenemos el sstema lneal, en el cual las varables son las correntes: [Escrba texto] Págna 6

7 ACTIVIDAD. ENCONTRAR LA CORRIENTE EN LOS SIGUIENTES CIRCUITOS. A) Ejemplo. Determne las correntes en el sguente crcuto. a M1 M2 R1=10Ω ; R2=15Ω ; R3=16Ω ; R4=14Ω V1=20Volt V2= 16Volt R1=8Ω ; R2=14Ω ; R3=10Ω ; R4=12Ω ; R5=9Ω V1=12Volt V3= 16Volt V2= 10Volt E. [Escrba texto] Págna 7

8 3. BALANCEO DE ECUACIONES QUIMICAS. Las ecuacones químcas permten conocer cuales son las sustancas que se combnan para formar productos, esto quere decr las que se forman. La representacón de una ecuacón es por medo de la ecuacón químca, la cual esta consttuda por reactvos y productos separados por una flecha. En la ecuacón químca el número de reactvos que se obtene debe de ser la msma cantdad que de productos. Balancear una ecuacón es buscar que el número de átomos en el prmer membro con los del segundo se obtenga una gualdad por lo que es mportante el uso de coefcentes, pero nunca se deberá alterar los subíndces. La ecuacón químca balanceada es una ecuacón algebraca con todos los reacconantes en el prmer membro y todos los productos en el segundo membro por esta razón el sgno gual algunas veces se remplaza por un flecha que muestra el sentdo haca la derecha de la ecuacón, s tene lugar tambén la reaccón nversa, se utlza la doble flecha de las ecuacones en equlbro. EJEMPLO. Balancear por el método algebraco la ecuacón químca. Se deben buscar coefcentes x, y z, w de tal manera que las cantdades de entrada de cada elemento sea gual a la cantdad de salda, para ello tenemos en cuenta la ecuacón escrta en la forma: Multplcando los coefcentes con los subíndces, se tene: Resolvendo el sstema se llega a que: z= 8x ; w=9x ; y= 25x/2, como se necestan números enteros hacemos x=2 con el fn de elmnar el denomnador de y, sendo la solucón x=2 ; y = 25 ; z= 16 ; w = 18, de donde la ecuacón balanceada es: [Escrba texto] Págna 8

9 Balancear la ecuacón químca Se deben buscar coefcentes x, y z, w de tal manera que las cantdades de entrada de cada elemento sea gual a la cantdad de salda, para ello tenemos en cuenta la ecuacón escrta en la forma: Multplcando los coefcentes con los subíndces, se tene: Resolvendo el sstema se tene, x = 6z ; y= 6z ; w= w=6z, tenendo en cuenta que se debe emplear la menor cantdad, hacendo z= 1, se llega a x= 6, y = 6, w = 6 sendo la ecuacón balanceada: ACTIVIDAD. Balancear algebracamente las ecuacones químcas ( ) ( ) [Escrba texto] Págna 9

10 4 APLICACIONES A MANUFACTURA Una ndustra fabrca tres modelos de computadoras personales: A, B y C. Para armar una computadora modelo A se necestan 12 horas de ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 más para nstalar sus programas. Para Un modelo B se requeren 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para nstalar programas. Y para Modelo C requere 6 para ensamblado, 1.5 para probarla, y 1.5 para nstalar programas. S la fábrca dspone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103 horas para nstalacón de programas, cuántas computadoras se pueden producr por mes? Solucón las ncógntas son el número de cada tpo de computadora a producr: A = número de computadoras A B = número de computadoras B C = número de computadoras C Para determnar las ecuacones debemos utlzar los tempos de ensamblado, pruebas, e nstalacón de programas. Ensamblado Pruebas Instalacón de programas Luego el sstema lneal a resolver es Resolvendo el sstema lneal, se obtene que con el tempo que dspone la ndustra se pueden fabrcar 34 computadores MODELO A, 4 DEL MODELO B Y 18 DEL MODELO C. [Escrba texto] Págna 10

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