SESIÓN: PROPORCIONES Y POLINOMIOS. Proporciones

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1 SESIÓN: PROPORCIONES Y POLINOMIOS Proporcioes Objetivo geerl Resolver situcioes problemátics e cotetos diversos y sigifictivos que ivolucre proporcioes y poliomios y l plicció práctic de sus propieddes, eftizdo el álisis crítico. No olvidr Epresioes umérics recoocids y socids sistems como Números Eteros y Rcioles Qué es u rzó, e mtemátic? Es u comprció, que se hce de dos ctiddes, por medio de divisió o cuociete. Así por ejemplo, l rzó etre los úmeros simbolizdos por y b dode b es u úmero distito de cero, es 7 E l rzó b b o bie :b y se lee, el úmero sigdo por es b sí l rzó de 7 es se escribe se llm tecedete e cmbio el úmero sigdo por b se llm cosecuete y debe ser distito de cero. Cosideremos el ejemplo que señl que Pedro tiee 000 pesos y Cludio tiee 0000 pesos, Por lo tto, se deduce que l rzó que se obtiee es que es equivlete lo que podemos 0000 deducir que : Ejercicio: Pedro tiee l curt prte de lo que tiee Cludio o bie decir que Cludio tiee veces más que l ctidd que tiee Pedro Esto es 0000 que es equivlete 000 Se tiee u tmbor que cotiee litros de gu y otro tmbor que cotiee litros de gu, los tiempos de lledo del tmbor de litros, se hizo e 0 segudos y el de litros e 0 segudos

2 Ls rzoes que se puede determir prtir de l lectur so: Rzó de los coteidos o 1 b Rzó de los tiempos Qué es u proporció? 0 0 o 1 Correspode l iguldd de dos rzoes, esto es si cosidermos ls epresioes umérics, b, c, d tl que c b d co b 0, d 0 se tiee l proporció Si cosidermos el ejemplo terior l proporció que se form es l iguldd de ls rzoes de los coteidos y los tiempos: 0 y su lectur es es como 0 es 0 0 De cá se deduce que l rzó de l proporció es 1 E u proporció como c se debe cumplir d b c b d Por ejemplo: b A prtir de u proporció se puede estblecer diverss ecucioes, cuy solució se determi por l iguldd que l defie Cosideremos, l proporció pr clculr el vlor socido bstrá, relizr 8 u despeje simple como 8 de este modo se determi l proporció 8 Pr l siguiete proporció 8 8 1

3 Alicemos lguos problems que requiere de u proporció, pr su solució Pr tejer chlecos de iño se utilizrá 0 grmos de l. Si queremos tejer chlecos, cuátos grmos de l ecesitremos? Primero debemos distiguir ls vribles: grmos de l y úmero de chlecos. Luego debemos pregutros: Si umetmos los grmos de l, umetrá los chlecos que podremos tejer? L respuest es sí. Como l umetr u vrible, tmbié umetrá l otr, etoces se dice que l proporció es direct. L proporció serí l siguiete: 0 Grmos de l 0 ( Grmos de l 0 Grmos de l 00 b Dos trbjdores costruye u murll e 9 hors. Si se cotrt trbjdores más e cuts hors podrá termir l murll? E este cso, ls vribles so: úmero de trbjdores y hors. Si umetmos el úmero de trbjdores, dismiuirá ls hors que demorremos e costruir l cerc. Como l umetr u vrible, l otr dismiuyó, etoces l proporció es ivers. L proporció serí l siguiete: hors 9 hors 9 es lo que demor los seis trbjdores Porcetje El porcetje es u proporciolidd direct e que el totl se cosider como 100% Así si se dice que u rtículo sube % es que se h icremetdo prtes de térmios frcciorios es decir h subido l prte. 100 Por ejemplo, si luego de u ecuest se cocluye que uo de cd lumos tiee otebook, teemos l rzó 1, esto sigific que por cd lumos de u totl de 100 tiee otebook 1 1 L eplicció se iterpret sí cocluyedo que el porcetje es % 100

4 Ls siguietes rzoes epresds e porcetjes: b c es el 80% es el 1% , es el,% cá sucede que 0.% pro Qué sigific etrer u porcetje de u cifr? Por ejemplo, se quiere determir el % de 0 e efecto: 0 % luego 0 87, Ejercicios propuestos: U rtículo cuyo precio origil es 70 pesos se rebj u 0% e cuáto qued? b U perso pgb por el rriedo de u deprtmeto 0 mil pesos, l tiempo se le icremet e u,9% cuál es su precio ctul? c Los hbittes de u pobldo so 10, luego de u tiempo umetó el,% y mucho más trde el umeto fue proimdo de u 1,% cuál fue el icremeto totl? Poliomios No olvidr es u poliomio e el cojuto de los úmeros reles si y sólo si P es u fució de úmeros reles que, e, dmite u represetció de l form: P 1 1 P( P(= Dode:, 1,..., 0 so úmeros reles llmdos coeficietes. es u úmero turl {1,,, }.

5 Por ejemplo, so poliomios e, ls siguietes epresioes: Qué debo sber pr relizr opercioes co poliomios? Opertori co úmeros eteros (sum, rest, multiplicció y divisió. Reducció de térmios semejtes. Fctorizció de epresioes lgebrics. Opertori e poliomios i.evlur u poliomio Evlur u poliomio, cosiste e determir qué vlor tom el poliomio cudo se sustituye por u úmero rel. Si l evlur e el poliomio d como resultdo cero ( P(=0, se dice que es u ríz o cero del poliomio. Ejemplo: Evlur el poliomio e Solució: Sustituyedo e teemos: Etoces, el vlor que tom, cudo es -9. ii. Sum de poliomios Cosiste e sumr quellos térmios lgebricos que so semejtes, esto es, mismo epoete y mismo fctor literl. Ejemplo: Se tiee y. Obteer Solució:

6 iii. Rest de poliomios Cosiste e restr quellos térmios lgebricos que so semejtes, pero debemos cosiderr que, si eiste u sigo egtivo delte de u prétesis, éste cmbi el sigo de los elemetos l iterior. Ejemplo: Se los poliomios y. Obteer Solució: iv. Producto de poliomios El producto de dos poliomios se obtiee plicdo l propiedd distributiv del producto respecto de l sum e form reiterd. E cso de ser ecesrio se debe reducir térmios semejtes. Ejemplo: Se los poliomios y. Clculr P( Q( Solució:

7 SESIÓN: POTENCIAS, RAÍCES Y LOGARITMOS Potecis Objetivo geerl Resolver situcioes problemátics e cotetos diversos y sigifictivos que ivolucre potecis, ríces y logritmos y l plicció práctic de sus propieddes, eftizdo el álisis crítico. No olvidr U poteci es u epresió del lgebr que represet el producto sucesivo de úmeros y epresioes y es utilizds e cotetos diversos U poteci es u epresió de l form b Dode es u úmero etero El úmero, es el resultdo de l epresió (, veces (el producto de, b, que pr veces Z, correspode Por ejemplo: ( producto de, veces, es decir, Pr l poteci 1 81 Del mismo modo pr ( ( ( ( ( producto de (, veces es decir, ( 1 Algus propieddes de ls potecis so Propiedd Ejemplo b b siempre que b 0 1 ( b b

8 m m 8 m m m m ( 09 ( 1 1 co 0 Z Epresioes Algebrics y ls potecis Cudo ls bses so epresioes literles, se puede coformr otrs que, por propieddes de potecis puede ser reducids u míim epresió y ser equivlete, vemos uos ejemplos: I Solucior y y y y = Aplicmos, propiedd, poteci de u cociete ( ( ( ( y y Aplicmos, poteci de u poteci 8 1 y y = Aplicmos ordemieto de potecis co bse igul Aplicmos reducció por cuociete de potecis igul bse y y y

9 7 II Solucior b 7 b b b = Aplicmos propiedd de poteci de u producto b ( b Aplicmos socició de epresioes e el producto ( b b b Aplicmos propiedd potecis de igul bse III ( m (1m (8 7 ( m (1m (8 7 Aplicmos poteci de u producto l deomidor (1m ( m (8 7 Aplicmos poteci de u producto (1 ( m ( m 8 ( 7 Aplicmos uevmete poteci u producto y trsformció de costtes potecis de bse comú 8 ( m m 1 Aplicmos ordemieto de potecis de bse comú ( m Aplicmos reducció por cuociete de potecis igul bse

10 Potecis bse 10 U de ls potecis de vitl importci e el desrrollo de ls Ciecis, es l poteci cuy bse es 10, esto es: ( por coveció Potecis co epoete positivo, e cmbio l teer epoete egtivo se obtiee epresioes decimles que se detll cotiució: Por ejemplo: I , , , , Aplicmos reducció potecis bse ((10 Aplicmos poteci de u poteci 10 (( Aplicmos poteci de u cuociete

11 1 ( 10 (10 Aplicmos poteci de u poteci , Ejemplo II (1000 (0, ,001 (1000 (0, ,001 ((10 = (( Aplicmos poteci de u poteci Aplicmos poteci de u cuociete (10 10 U de ls pliccioes que tiee ests potecis, es l Notció Cietífic, dode se puede represetr u epresió deciml (E.D.e otr, dode u costte A qued e producto co u poteci bse 10, esto es : E. D. A10 dode 1 A 9, Z Por ejemplo: i,0,010 ii 0,7 7,10 1 iii 1,89 1,8910 Ejercicios Propuestos I Pr cd u de ls siguietes potecis, reduzc por plicció de propieddes:

12 7 9 y y b ( b c (1( b c c m p d ( m p y y e ( ( y 10 II Eprese e otció cietífic: 0,0000 b 87,7 c d Ríces No olvidr U ríz correspode u úmero que, l multiplicrse por sí mismo l ctidd de veces que idique el ídice, se obtiee l ctidd subrdicl. Elemetos de u ríz: U ríz está formd por dos elemetos: u ídice represetdo por y u ctidd subrdicl represetd por. Se lee ríz -ésim de, y represet el vlor de u úmero que si se multiplic veces por sí mismo, se obtiee l ctidd subrdicl. Restriccioes: Ídice Ctidd subrdicl Ríz

13 N / 1 Codicioes: Rdicdo myor que cero Sí etoces eiste siempre 0 Si pr: Dos solucioes. Ejemplo: Si impr: U solució positiv. Ejemplo: Rdicdo meor que cero Sí 0, se cumple que: Si pr: No eiste e R. Ejemplo: Si 81 R 1 impr: Tiee u solució, y es egtiv. Ejemplo: 7 Algus propieddes de ls ríces Ejemplos Cudo l ctidd subrdicl es l uidd ; 1 1 ; 1 1 Cudo l ctidd subrdicl es cero ; ; 0 0 Multiplicció de ríces de igul ídice b b 8 Divisió de ríces de igul ídice dode b b b Ríz de u ríz m m. Ríz como poteci co epoete rciol 1 m m Icorporció de u elemeto u ríz b b Álgebr de rdicles: Desrrollr ls siguietes opercioes 8 Se idetific ríces igules: (Dos ríces so igules si tiee el mismo ídice y l mism ctidd subrdicl ( 1 Se sum los coeficietes y se coserv l ríz semejte. Se clcul l ríz de y se resuelve l multiplicció.

14 Se idetific ríces igules: ( 8 10 Se sum o rest los coeficietes, segú se el cso, y se coserv l ríz igul Multiplicció de ríces Como los ídices so igules, se coserv l ríz co el mismo ídice y se multiplic ls ctiddes subrdicles. m. c. m etre y Se clcul el míimo comú múltiplo etre todos los ídices El se covierte e el uevo ídice de ls ríces; luego este ídice se divide etre cd uo de los ídices de ls ríces y su resultdo se multiplic por el epoete de l ctidd subrdicl. Se plic propiedd de multiplicció de poteci de igul bse Se resuelve l poteci. m. c. m 1 Divisió de ríces 1 Como ls ríces tiee el mismo ídice, se coserv l ríz y se divide ls ctiddes subrdicles. m. c. m etre y Se clcul el míimo comú múltiplo etre todos los ídices El uevo ídice se divide etre cd uo de los ídices de ls ríces y su resultdo se multiplic por el epoete de l ctidd subrdicl. 7 Se resuelve l poteci. 9 Se resuelve l divisió.

15 1 Se descompoe 9. Se plic propieddes pr scr el de l ríz. Rciolizció de ríces: Rciolizció de ríces: Cosiste e elimir ls ríces que se ecuetr e el deomido de u frcció. Pr ello, se multiplic tto el umerdor como el deomido de l frcció por ríz que se ecuetr e el deomidor ( ( ( 10 ( Cso 1: Cso e que el deomidor coteg u ríz cudrd, si dicioes i sustrccioes. Se multiplic tto el umerdor como el deomidor por l ríz del deomidor de l frcció. Se resuelve los productos tto del umerdor como del deomidor. Se plic propieddes de potecis de igul bse y luego se simplific el epoete co el ídice de l ríz. Se simplific los vlores correspodietes. Cso : Cso e que el deomidor coteg u ríz cudrd, co dicioes o sustrccioes. Se multiplic tto el umerdor como el deomidor, por el deomidor de l frcció, pero e este cso, el sigo que sepr los térmios del deomidor cmbi de pr formr e el deomidor u sum por su difereci. ( ( Se reliz ls opercioes idicds tto e el umerdor como e el deomidor. ( Se simplific los vlores correspodietes. Cso : Como hy u ríz cúbic e el deomidor, si dicioes o sustrccioes, se multiplic tto el umerdor como el deomidor por el deomidor de l frcció, pero e este cso, el epoete de l ctidd subrdicl será l difereci etre el ídice de l ríz y el epoete iicil de dich ctidd subrdicl.

16 ( ( Se plic propieddes de ríces e el deomidor. Se plic propieddes de ríces e el deomidor y se simplific los vlores correspodietes Ejercicios resueltos: Clculr Se plic l propiedd que permite trsformr u bse co epoete frcciorio e ríz. Se descompoe l ctidd subrdicl e y se plic l propiedd de poteci de u poteci. 1 Se simplific el epoete de l ctidd subrdicl co el ídice de l ríz y se plic opertori básic. b Se descompoe ls ctiddes subrdicles de tl mer que los epoetes se múltiplos de (ídice de l ríz. ( (1 ( Se resuelve ls potecis y se plte resultdo. c U hbitció tiee de lrgo 1 metros y de cho 9 metros. Costruirse otr hbitció, pero cudrd de igul áre. Cuáto mide el ldo de l uev hbitció? Lrgo: 1 m Se idetific y soci dtos Acho: 9 m Áre iicil: Rectgulr Áre clculr: Cudrd Áre iicil: Rectgulr A b h Se relcio los dtos A (9 (1 A 1 Áre clculr: Cudrdo A l l A l 1 1 Se relcio los dtos Se clcul el ldo de l hbitció

17 Resultdo: El ldo de l hbitció cudrd es de 1 metros. Se etreg l respuest d L sum de dos úmeros es 0, y l ríz cudrd de uo de ellos es igul l ríz cudrd del otro umetd e Cuáles so los úmeros? 1er úmero: Se idetific los dtos del problem do úmero y 0 y 0 y y (0 Se model l epresió del problem cosiderdo que l ríz cudrd de uo de los úmeros es igul l ríz 7 cudrd del otro, umetd e ( ( (7 Se elev ls igulddes l cudrdo pr elimir ls ríces. 7 Se despej pr coocer el vlor del 1er úmero y 0 Se reemplz vlor de e l epresió y 0 y 0 88 pr coocer el segudo úmero.. Los úmeros buscdos so 88 y. Se etreg l respuest Ejercicios propuestos: 1. Resolver y reducir plicdo ls propieddes de rdicció. 1. L hipoteus de u trigulo rectágulo mide ( 1 cm. Cuál es l medid del otro cteto? 9 cm y uo de sus ctetos mide. U colegio tiee 9 estudites. Se sbe que hy ttos estudites por uls, como uls tiee el colegio. Cuáts uls hy e el colegio?. El áre de u terreo rectgulr es de 1m. Sí se sbe que e l terreo es cudrdo, determie el perímetro del terreo.. Sbiedo que el volume de u cubo es dicho cubo. 1m, determie ls dimesioes de. U cj e form cúbic tiee u volume de 1000cm. Si se cort l mitd superior. Cuáles será ls dimesioes del recipiete resultte?

18 Ecució Epoecil y Logrítmic No olvidr Cómo se defie u ecució epoecil? Ests epresioes so potecis, e ls cules, l icógit se ecuetr e el epoete de est, cuy form es b U ejemplo de estos es l siguiete pregut: Tres elevdo qué úmero es igul ueve? El pltemieto de est ecució es: 9 Ests ecucioes tiee direct relció co ls potecis, ddo que coserv ls misms propieddes, vése lguos ejemplos: ( 1 1 ( 1 Cotiudo co l ecució terior, pr poder ecotrr el vlor de, es posible soluciorl medite ituició, de tl mer que recoocemos visulmete, o co u ejercicio metl que ls respuest es, y que 9. Si embrgo, eiste ecucioes dode es muy poco posible ecotrr el vlor de l icógit medite ituició. Pr poder resolver ecucioes de ese estilo, se hce uso de l herrmiet mtemátic llmd logritmo. Qué es u epresió logrítmic? Está epresió ce de l ecesidd de respoder de solucior ecucioes epoeciles, ddo respuest l pregut co que se iició. L form de u epresió logrítmic es Sus elemetos so: es l bse del logritmo. log b c

19 b es el rgumeto del logritmo. c es el vlor del logritmo. Respodiedo l iterrogte: elevdo qué úmero es igul b?, el resultdo de est pregut es c. Por lo tto, cd ecució logrítmic tiee socid u ecució epoecil. E los siguietes ejemplos, se muestr u ecució logrítmic, su form rrd, y l ecució epoecil socid. Codicioes de u logritmo L epresió logrítmic, debe cumplir cierts codicioes pr poder ser clculd o plicd, etre ells está: bse 0 y distito de 1. 1 L bse del logritmo debe ser estrictmete myor cero ( El rgumeto del logritmo debe ser estrictmete myor cero. Se debe teer e cosiderció que cudo se escribe u logritmo, que o llev u úmero e l bse, se sume que dicho rgumeto es de vlor 10, ejemplo: log 10 1 log1. Ejemplos Epresió logrítmic 1 log 10 log 7 Form rrd Ecució epoecil correspodiete Cutro elevdo qué úmero es igul 1? 1 Siete elevdo qué úmero es igul 10? 7 10 Ls epresioes logrítmics tmbié posee propieddes de operció, so ls siguietes: c 1 log b c log b Ejemplo: log log log ( b c log b log c Ejemplo: log ( 7 log log 7 b log log b log c, co c 0 c

20 Ejemplo: log log log log b b log81 Ejemplo: 8 1 log b b Ejemplo: log 1 1 log b log c b, co log c log c 0 (logritmo cmbio de bse Est propiedd, es más complej que ls teriores, uque, solo bst visulizr que si ls bses de los logritmos que se está dividiedo so igules, etoces se puede grupr, tl como se muestr cotiució. log Ejemplo: log log 7 El vlor de u logritmo es ulo, si solo si, el rgumeto es igul 1 Ejemplo: log 1 0, log 1 0 Relció de ls epresioes epoecil y logrítmic e u ecució Se dese resolver l siguiete ecució epoecil:. Est ecució o es posible resolver por ituició, pr ello usremos l operció logrítmic de l siguiete mer. Aplicmos logritmo de bse 10 mbos ldos de l ecució (ormlmete por l comodidd l trbjr, se elige el logritmo e bse 10, si embrgo, qued criterio persol, que bse es más decud e cd cso log log Utilizdo l propiedd 1 de logritmos y despejdo se tiee: log log Dividiedo por log (de vlor o ulo mbos ldos de l ecució log log log log

21 Simplificdo log log Filmete utilizdo l propiedd de logritmos (cmbio de bse Ejercicios Resueltos log 1 Ecotrr el vlor de e ls siguietes ecucioes. Solució: 1 log 1 log Se plic l operció de logritmo mbos ldos de l ecució. ( 1 log log Se plic l propiedd de 1 de logritmos, l cules el epoete del rgumeto, este se trsld como fctor frete l logritmo. log log log Se distribuye bjo multiplicció respecto l sum, e el ldo izquierdo de l ecució. log log log Se grup térmios semejtes. (log log log Se fctoriz por el térmio comú izquierdo de l ecució. e el ldo log log l propiedd de logritmos, e l epresió log log, idetificdo que log 0 log log Se divide mbos ldos de l ecució por, log cuyo vlor es o ulo.

22 log Se utiliz l propiedd de cmbio de bse e el ldo derecho de l ecució. b. log( Solució: log log 1 1 log log Ejercicios Propuestos Se plic l propiedd 1 e el ldo izquierdo de l ecució, el epoete del rgumeto, se trsld como fctor frete l logritmo. Se divide por mbos ldos de l ecució. Se plic l propiedd e el ldo derecho de l ecució, eligiedo l mism bse del logritmo correspodiete l ldo izquierdo de l ecució. Se ccel el operdor de logritmo mbos ldos de l ecució (sólo es posible, si fuer del logritmo o hy otrs opercioes. 1 Reducir ls siguietes epresioes utilizdo ls propieddes tes meciods. Epresió ( 1 :1 log 10 log 9 log log log 7 log log 1 log Reducció

23 Resolver ls siguietes ecucioes. b. c. 1 log 1 d. Resolver ls siguietes ecucioes. b c. 7 1 d. log log1 log log Resolver los siguietes problems. L mgitud de u terremoto se relcio co cuát eergí liber. Istrumetos llmdos sismógrfos detect el movimieto de l tierr; el movimieto más pequeño que puede detectrse e u sismógrfo se deomi A 0. L letr pr lizr l mplitud de u od del terremoto es A. L medid e escl de Richter de l mgitud de u terremoto, llev l siguiete fórmul: A R log A 0 Etoces, si u terremoto se mide co u mplitud 9 veces más grde que Cuál es l mgitud de este terremoto usdo l escl Richter? b. L medid de cidez de u líquido se llm ph A 0 del líquido. Está bsd e l cocetrció de ioes de hidrógeo (H+ e el líquido. L fórmul del ph es: ph log[ H El ph tiee u escl de 0 1, dode el 0 sigific u ácido fuerte y el 1 u bse fuerte, mietrs que u vlor igul 7 represet u cidez eutr, es decir i ácido i bse. Etoces, si el jugo de limó tiee u ph de 1.7, cuál es l cocetrció de ioes de hidrógeo e el jugo de limó, e cetésims? ]

24 c. El soido se mide e u escl logrítmic usdo u uidd que se llm decibel ( d. d 10 log P P 0 Dode P humo. es l poteci del soido y P 0 es el soido más débil que puede cptr el Etoces, si u bomb de gu cliete tiee u ídice de ruido de 0 decibeles. U lvdor de pltos, tiee u ídice de ruido de decibeles. Qué t iteso es el ruido de l lvdor comprdo co el ruido de l bomb?

25 Sesió: Algebr Objetivo: Resolver problems e cotetos diversos y sigifictivos que ivolucr l reducció de epresioes lgebrics, productos otbles y fctorizció de epresioes lgebrics eftizdo e el álisis crítico de los procedimietos de resolució y de los resultdos obteidos. Epresioes lgebrics Se deomi térmio lgebrico quell epresió que está coformd por: Fctor literl y/o Coeficiete umérico. Fctor literl: so epresioes que está coformds por letrs y potecis de ésts. Coeficiete umérico: so epresioes que está coformds por úmeros. Ejemplos: y 11 rst z, quí, quí 11 Fctor Literl 1 k 1 k Coef. umérico es el coeficiete umérico y z y es el fctor literl. es el coeficiete umérico y NO posee fctor literl., quí el coeficiete umérico es 1 y el fctor literl es Se deomi epresió lgebric quell combició de térmios lgebricos que puede estr coectdos medite ls opercioes ritmétics de l dició y l sustrcció. Ejemplos: y 7 bc b c c Clsificció de Epresioes Algebrics Ls epresioes lgebrics se puede clsificr de cuerdo l ctidd de térmios lgebricos que teg. 11

26 Moomios: so epresioes lgebrics que posee u térmio lgebrico. Poliomios: so epresioes lgebrics que posee dos o más térmios lgebricos. Detro de los poliomios se puede distiguir dos csos prticulres: Biomios: so epresioes lgebrics que posee dos térmios lgebricos Triomios: so epresioes lgebrics que posee tres térmios lgebricos Moomios Biomios Triomios Poliomios y bc y y gh l s e l bc 10 7 c p p q r st zy m v p Productos otbles No olvidr Los productos otbles correspode multipliccioes de epresioes lgebrics recoocibles, y que pr determir su desrrollo es ecesrio plicr lgus fórmuls. Se emple e l mtemátic pr ombrr determids epresioes lgebrics que puede fctorizrse de mer direct, si recurrir u proceso de vrios psos. Productos otbles más coocidos Cudrdo de u biomio ( b b b ( b b b Sum por su difereci ( b ( b b Productos de biomios co u térmio comú Ejemplos E sum o rest: Es igul l cudrdo del primer térmio, más o meos segú se el cso, el doble producto del primero por el segudo, más el cudrdo segudo térmio. ( ( ( ( U sum por difereci es igul l cudrdo del primero meos el cudrdo del segudo. ( ( ( ( 9 El producto de dos biomios co u térmio comú es igul l cudrdo del primer térmio, más el producto de l sum de los dos segudos térmios por el primer térmio, más el producto de los segudos térmios.

27 ( ( b ( b b Cubo de u biomio ( b b b b ( b b b b ( ( ( ( Cubo de u biomio (sum es igul l cubo del primer térmio, más el triple del cudrdo del primero por el segudo, más el triple del primero por el cudrdo del segudo, más el cubo del segudo térmio. ( 1 8 Cubo de u biomio (rest es igul l cubo del primer térmio, meos el triple del cudrdo del primero por el segudo, más el triple del primero por el cudrdo del segudo, meos el cubo del segudo térmio. ( 1 8 Ejercicios Resueltos: 1. Resolver ls siguietes epresioes plicdo productos otbles b ( Se idetific el producto otble: ( b Se plic el desrrollo del producto otble ( 10 Se resuelve ls opercioes idicds ( Se idetific el producto otble: ( ( ( ( b Se plic el desrrollo del producto otble ( Se plic l propiedd de poteci de u poteci 8 Se resuelve l potecició y se obtiee resultdo c ( Se idetific el producto otble: ( ( ( b Se plic el desrrollo del producto otble 8 8 ( (9 7 7 Se resuelve ls opercioes idicds y se obtiee l respuest. Reduzc y rciolice l siguiete epresió ( ( Multiplicmos tto el umerdor como el deomidor de l frcció, por el deomidor ( ( cmbido el sigo etre sus térmios (cojugdo, fi de geerr u epresió que permit reducirse co productos otbles

28 ( Se epres el umerdor como el cudrdo de u biomio ( ( Se epres el deomidor l sum por su difereci ( ( ( ( Se resuelve el umerdor como cudrdo de u biomio (9 ( Se resuelve ls potecis del deomidor ( 9 1 ( Se desrroll ls opercioes idicds Se reduce térmios Se fctoriz el umerdor Se simplific epresió. Sbiedo que b y que b. Clculr el vlor de b ( b b b Teer e cuet el producto otble cudrdo de u biomio, y que e él prece todos los térmios ivolucrdos e el problem ( b Se reemplz los dtos idetificdos e el problem. b Se desrrollrls opercioes idicds b b b 19 Se obtiee vlor buscdo Se despej. Supog que se tiee u regió de form cudrd cuyo ldo mide 7 uiddes. Determie el áre de l regió. Se represet l regió cudrd pr idetificr sus 7 dimesioes. 7 A l ( 7 Cosiderdo que, pr clculr el áre de u cudrdo, se debe elevr su ldo l cudrdo. ( 7 ( 7 7 Se plic el producto otble de cudrdo de u biomio. A 1 9 Se epres el áre de l regió cudrd.

29 Ejercicios propuestos: Solucioe cd uo de los siguietes ejercicios ( y y 1 ( 1 ( b 10. Rciolice 11. E u club se dese crer u cch pr l práctic idividul de teis y se dispoe de u pred cudrd de ldo metros. Los especilists e ese deporte solicit que se más grde, por lo que se le ñdiero m cd ldo. Cuál es el áre de l uev pred? 1. Se tiee u regió de form rectgulr como se muestr e l siguiete imge. Determie el áre el perímetro de l regió. De cuerdo co l epresió obteid, liz y respode: Qué restriccioes tiee el problem terior? Qué vlores puede tomr pr que teg solució el problem terior? 1. Hllr l sum de: El doble del cudrdo de l difereci etre del producto de l sum de y 1 por su difereci. y, co el triple 1. Diel tiee u terreo cudrdo de ldos y ple costruir u cs utilizdo el terreo de ldos b, como se muestr e l siguiete figur. Cuál es l epresió lgebric que deot el áre del terreo sobrte? b b b b

30 Fctorizció No olvidr Fctorizr: Cosiste e escribir u sum de térmios lgebricos como u producto de fctores. Sum de térmios (poliomio FACTORIZACIÓN Producto de Fctores L fctorizció es el proceso iverso del producto otble, es decir, permite epresr u poliomio como u producto de fctores simples de tl mer que, l multiplicrlos etre sí, se obteg el mismo poliomio. L fctorizció se bs e el Aiom distributivo. b c b c b c Pr todo úmero,, b c R; b c b c b c b y c b c represet el mismo úmero que l epresió que perteece los úmeros reles; l epresió b c b c Alguos tipos de fctorizció: Fctor comú: es el fctor que está presete e cd térmio de l sum de térmios lgebricos. Difereci de cudrdos: sólo se plic e el cso que prezc dos térmios cudráticos seprdos por l operció difereci. Triomio cudrdo perfecto: solo se plic e el cso que prezc térmios de l form Triomio de l form se plic l siguiete fórmul p q dode: b, p b y b c b c b b b b b b b b p q : E est fctorizció q b Sum y difereci de cubos: L fctorizció sum o difereci de cubos solo se plic e el cso que prezc térmios de l form: b o b b b b b b b b b b b b

31 Respode: Cuál es l relció que eiste etre los productos otbles y l fctorizció? Ls epresioes lgebrics solo se puede fctorizr si correspode u producto otble? U triomio se podrí fctorizr como u sum por difereci? U biomio se podrí fctorizr como u cudrdo de biomio? Qué posibles fctorizcioes podrí correspoder u triomio? Y u biomio? Por qué es posible fctorizr u sum de cubos y o es posible fctorizr u sum de cudrdos? Ejercicios 1. Fctoriz l epresió Desrrollo Recoocer que l epresió correspode l form de fctor comú: b c b c MCD etre y = MCD etre y Ecotrr el coeficiete umérico y literl comú Descompoer e fctores el térmio Reemplzr estos fctores e l epresió origil y determir el fctor comú. ( 1 L epresió origil se epres e térmio del fctor comú.. Fctoriz l epresió 1 Desrrollo Recoocer que l epresió correspode u triomio cudrdo perfecto ( b b, y que y tiee rices cudrds ects Ecotrr ls ríces de y 1 Multiplicr por ls ríces ecotrds pr obteer el segudo térmio de l epresió. 1 Sums mbs ríces co el sigo del segudo térmio de l epresió origil y elevs l cudrdo el biomio resultte.

32 . Fctoriz l epresió 0 Desrrollo Recoocer que l epresió o correspode u triomio cudrdo perfecto, y que el tercer térmio o tiee ríz ect. Se debe usr l form p q b, dode p b y q 0 b Descompoer e dos fctores. El sigo + del primer biomio correspode l sigo del segudo térmio de l epresió origil y el sigo - del segudo biomio, es el que result de multiplicr los sigos del segudo y tercer térmio de l epresió origil. 1 0 ( ( ( Idetificr los úmeros que sumdos de por resultdo el coeficiete del segudo térmio del triomio, y que l multiplicrse su resultdo se igul l tercer térmio del triomio. Completr los biomios co los úmeros idetificdos. 0 L epresió origil es igul l producto de dos biomios.. Simplific l siguiete epresió: : Desrrollo :, 0,, ; Fctorizr ( y determir sus restriccioes. Multiplicr por el iverso multiplictivo del divisor y determir sus restriccioes. Se simplific ( detro del prétesis y se multiplic los demás fctores. Se simplific ( y se obtiee el resultdo ; ; 0; fil. Epresr el resultdo fil co sus respectivs restriccioes.

33 . Nuestro grupo de trbjo ecesit u mrco pr colocr u foto de l fiest de vidd. Est foto tiee form rectgulr, u áre de y u cho de. Cómo podemos ecotrr l medid de l ltur? Desrrollo Áre lgo cho A l A l l l l l Recordr fórmul del áre de u rectágulo Despejr el lrgo, y que se cooce el áre y el cho. Reemplzr l medid del áre y cho Fctorizr l epresió Simplificr por el térmio comú El lrgo de l foto mide 1. Si l ltur y l bse de u triágulo mide cm y 1 cm respectivmete, Cuál es su áre? tur bse Áre 1 1 Áre 1 1 Áre Áre 1 Áre 1 Recordr fórmul del áre de u triágulo Reemplzr l medid de l ltur y bse Fctorizr ls epresioes lgebrics que se posibles y simplificr. Relizr l divisió e el deomidor y simplificr. El áre del triágulo es 1

34 Respode: Qué restriccioes tiee el problem terior? Qué diferecis y similitudes eiste etre l multiplicció y divisió de frccioes umérics y lgebrics? Qué dificultdes observs e l multiplicció y divisió de frccioes lgebrics? Ejercicios Propuestos 1. Fctoriz ls siguietes epresioes: 1 z y y 8 by 9z 9bz y 8b 1. Resuelv ls siguietes opercioes: y : y y y y y : y y y y y b b. Si se defie b, Cuál es el resultdo de b b cm. Clculr el áre de u cudrdo de ldo?. Si los ldos de u rectágulo so + y, y si el vlor de su áre es 8cm, cuáto mide sus ldos?. El cudrdo ABCD, de ldo 8 cm, tiee e sus esquis cutro cudrdos de ldo cm cd uo. Cuál es el vlor del áre sombred? D C A B

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