Técnicas De Conteo. En este caso si k es grande, no es tan sencillo hacer un conteo exhaustivo de los puntos o resultados de S.

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1 Técnicas De Conteo Si en el experimento de lanzar la moneda no cargada, se lanzan 5 monedas y definimos el evento A: se obtienen 3 caras, cómo calcular la probabilidad del evento A?, si todos los resultados son igualmente probables, entonces: Observe que esta formulación requiere conocer solamente el número de resultados tanto en el numerador como en el denominador; es decir, no es necesario enumerar todos y cada uno de los elementos del evento A y del espacio muestral S, solamente se requiere conocer cuántos elementos tiene cada uno de estos conjuntos Cuántos resultados posibles tiene el espacio muestral en este caso? Cuántos son favorables al evento A?, y si se lanzan k monedas, Cuál es la probabilidad de A? [1] En este caso si k es grande, no es tan sencillo hacer un conteo exhaustivo de los puntos o resultados de S. Si el experimento consiste en seleccionar al azar un carro para anotar su placa, Cuantas posibles placas se pueden tener? Cuál sería la probabilidad de que la placa tenga las iniciales de su nombre? Se requiere entonces de técnicas que permitan contar rápidamente los elementos o resultados de un experimento Módulo: Fudaetos de Iferecia Estadística Docete: Gustavo Valecia Z

2 Por ejemplo, suponga que se quiere comprar un coche nuevo. Para ello le ofrecen cuatro modelos distintos (Ford, Honda, Chevrolet y Mazda), cada uno con 5 opciones de potencia (120, 150, 180, 200 y 220 HP), 3 cilindrajes distintos (1.3, 1.8 Y 2.0 litros) y seis colores exteriores distintos (Blanco, Crema, Azul, Gris, Negro y Verde). Cuántas selecciones distintas se pueden hacer? En este caso se tienen Si los elementos de un espacio muestral S se pueden considerar equipobrables, basta con conocer el número de elementos de S para hallar probabilidades. Algunas veces representar por extensión a S puede ser un trabajo sumamente laborioso. Las técnicas de conteo permiten determinar rápidamente el número de elementos del espacio muestral. A continuación se presentan algunas de las técnicas de conteo más comunes y de mayor uso en estadística La regla del producto Con m elementos y n elementos es posible formar m.n pares que contiene un elemento en cada grupo. Esta regla se puede extender a cualquier número de conjuntos, es decir, si una operación puede realizarse de formas y para cada una de estas puede efectuarse una segunda en formas y así sucesivamente entonces una secuencia de k operaciones puede hacerse de formas. Módulo: Fudaetos de Iferecia Estadística Docete: Gustavo Valecia Z

3 (Problemática de tránsito) Usando la regla del producto evalué cuantas placas automóvil es posible determinar en Colombia teniendo en cuenta las siguientes condiciones: a. Qué tanto las primeras tres letras como los tres últimos números se pueden repetir b. Que las tres primeras letras no se puedan repetir c. Considere únicamente una ciudad y evalué cuantas placas se pueden definir asumiendo que la primera letra es fija. a. Se asumirá que hay 26 letras que se pueden usar, que hay 32 ciudades autorizadas para emitir placas y que se pueden usar cualquiera de los nueve dígitos. Una placa típica en Colombia tendrá la apariencia que se ilustra a continuación. Letra 1 Letra 2 Letra 3 Dig 1 Dig 2 Dig 3 Ciudad La primera letra (letra 1) se puede seleccionar de 26 formas, la segunda de 26 formas y la tercera de 26 formas; el primer dígito se puede seleccionar de 10 formas, el segundo de 10 formas y el tercero de 10 formas; el campo correspondiente a la ciudad se puede seleccionar de 32 formas; así el número total de placas estará dado por Módulo: Fudaetos de Iferecia Estadística Docete: Gustavo Valecia Z

4 b. La primera letra se puede seleccionar de 26 formas, la segunda se puede seleccionar de 25 formas (pues no se pueden repetir)la tercera puede seleccionar de 24 formas; el primer dígito se puede seleccionar de 10 formas, el segundo de 10 formas y el tercero de 10 formas; el campo correspondiente a la ciudad se puede seleccionar de 32 formas; así el número total de placas estará dado por. c. La primera letra se puede seleccionar únicamente de 1 forma, la segunda y tercera de 26 formas cada una; el primer dígito se puede seleccionar de 10 formas, el segundo de 10 formas y el tercero de 10 formas; el campo correspondiente a la ciudad se puede seleccionar de 1 forma; así el número total de placas estará dado por Permutaciones Una permutación es el arreglo ordenado de n objetos distintos. El número de permutaciones distintas que se pueden formar con n objetos distintos está dado por n! Cuántas y cuales permutaciones pueden formarse con los números 1, 2 y 3? Como n = 3 el número de permutaciones está dado por 3! = 6; las permutaciones son. Nota: Cono en las permutaciones importa el orden, la permutación Módulo: Fudaetos de Iferecia Estadística Docete: Gustavo Valecia Z

5 De especial interés en estadística es determinar el número de permutaciones que pueden formarse con n objetos tomando grupos de a r elementos a la vez teniendo en cuenta el orden. Definición: El número de permutaciones que pueden formarse con n elementos tomando grupos de a r está dado por: Encuentre el número de formas en las que puede asignarse 6 profesores a 4 grupos si ninguno puede ocupar más de un grupo. El problema es equivalente a encontrar el número de permutaciones distintas que pueden formarse con 6 elementos tomados de a 4, entonces Observe que este problema también se puede resolver razonando como se ilustra a continuación: Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo Módulo: Fudaetos de Iferecia Estadística Docete: Gustavo Valecia Z

6 Así, el número de formas distintas estará dado por Otro problema de interés en estadística es determinar el número de subconjuntos que pueden formarse con n objetos tomando grupos de a r elementos a la vez sin tener en cuenta el orden. Definición (Número combinatorio): El número de subconjuntos que puede formarse con n elementos tomando a r está dado por Se lee n tomados de a r Se quiere seleccionar 3 candidatos de un total de 8 De cuantas formas se puede hacer tal selección? Este es un problema donde no importa el orden en que se haga la selección: porlo tanto, el número deformas estará dado por: Probabilidad de ganarse el baloto. El baloto consiste en acertar a 6 números entre 1 al 45, no importando el orden, es decir, si la combinación ganadora es (1, 2, 3, 4, 5, 6), un apostador que selecciono por ejemplo (6, 5, 4, 3, 2, 1) se ganaría el premio mayor. Módulo: Fudaetos de Iferecia Estadística Docete: Gustavo Valecia Z

7 La probabilidad de que una persona que juega el baloto (una vez, seleccionando 6 números). Es decir, ó Digamos que el acumulado (premio mayor) del baloto es de $ de pesos. Si una persona quiere tener el 50% de la probabilidad de ganárselo tendría que jugar diferentes combinaciones ( tiquetes de baloto) Si cada tiquete vale $ pesos y decide comprar tiquetes, su inversión sería de $ de pesos, ahora bien, si se quiere tener el 100% de la probabilidad, entonces la inversión económica (2 x = $ de pesos). El que tenga ese dinero puede realizar este ejercicio y ganarse $ pesos, aunque hay que compartir con el estado el 35% y no cuestionarse si hay el suficiente tiempo de comprar los tiquetes, es decir: Inversión: $ pesos Ganancia aproximada: $ pesos Quién tiene de pesos para empezar a jugar ya? También hay que rezar que otra u otras personas no se lo ganen. Módulo: Fudaetos de Iferecia Estadística Docete: Gustavo Valecia Z

8 Diferencia entre n permutaciones de a r y n tomados de a r La diferencia entre y se puede ilustrar así: Suponga que en el ejemplo anterior, los candidatos se numeran del 1 al 8; si por ejemplo se toman los candidatos (1, 3, 5) es lo mismo que si se toman en este otro orden: (3, 1, 5) pues son los mismos candidatos; pero las permutaciones (1, 3, 5) (3, 1, 5) pues aquí si importa el orden (Geométricamente ambas permutaciones representan dos vectores distintos en el espacio mientras que desde el punto de vista de los números combinatorios ambas ternas representan el mismo subconjunto). Una lotería consiste en acertar 6 de 36 números. Calcule la probabilidad que tiene una persona de acertar el resultado ganador bajo las siguientes condiciones de juego: a. Teniendo en cuenta el orden en que aparezca el número ganador. b. Sin tener en cuenta el orden en que aparezca el número ganador. a. En este caso, si por ejemplo el número ganador fue (3, 31, 33, 27, 5, 12) y el apostador tenía el (31, 3, 33, 27, 5, 12) no se gana la lotería ya que importa el orden. Sea A: El evento de acertar el número ganador. La ya que todos los números se pueden considerar posible es caso favorable, entonces, solamente hay un Módulo: Fudaetos de Iferecia Estadística Docete: Gustavo Valecia Z

9 b. En este caso, si por ejemplo el número ganador fue (3, 31, 33, 27, 5, 12) y el apostador tenía el (31, 3, 33, 27, 5, 12) si se gana la lotería ya que no importa el orden. Sea A: El evento de acertar el número ganador. La ya que todos los números se pueden considerar igualmente factibles; ahora, el número de resultados posibles está dado por: Solamente hay un caso favorable, entonces, Módulo: Fudaetos de Iferecia Estadística Docete: Gustavo Valecia Z