Teoría de Sistemas y Señales

Transcripción

1 Teoría de Sistemas y Señales Trasparecias: Aálisis de Sistemas LE e TD e el Domiio Trasformado Z Autor: Dr. Jua Carlos Góme Aálisis de Sistemas LE e TD e el Domiio Trasformado Z. Trasformada Z Bilateral X() : variable compleja (): señal e tiempo discreto ( ) Z[ ( ) ] La trasformada Z (serie ifiita) eiste para los valores de la variable dode la serie coverge. La regió se deomia Regió de Covergecia (RDC). Las señales de duració fiita tiee como RDC a todo el plao complejo (eceptuado posiblemete y/o ) TeSyS

2 Ejemplo: () µ ( ) Vemos que () posee duració ifiita La trasformada Z resulta: X() [ ( )] Z que es ua serie geométrica. La serie coverge para: < > La serie coverge al valor: TeSyS 3 Es decir, que la Trasformada Z de () es: X() RDC : > X() es ua represetació alterativa, compacta, de la señal () Gráficamete, la RDC es: Im() / Re() TeSyS 4

3 Regió de Covergecia Epresado la variable e forma polar, teemos: r.e jφ dode: r φ etoces: X() X() ( ) E la regió de covergecia de X() es: X() TeSyS 5 - jφ ( ) r.e < Es decir: X() j φ ( ) r.e ( ) ( ) r TeSyS 6 r.e < Hallar la RDC es hallar el rago de valores de r para el cuál la secuecia () r - es absolutamete sumable La RDC es usualmete ua regió aular c( ) r < < r r j φ Si la señal es causal RDC: Eterior de u círculo Si la señal es aticausal RDC: Iterior de u círculo

4 . Trasformada Z iversa X ( ) X ( ) ( ) ( ) Cosiderado la siguiete RDC: Im() RDC C Re() TeSyS 7 Itegrado ambos miembros de la epresió aterior sobre el cotoro C C X() ( ) d ( ) d d C Como la serie coverge e el cotoro C (C está detro de la RDC) Recordado el Teorema de Cauchy resulta: d π j C y por lo tato: ( ) X() d Trasformada π j Z Iversa C TeSyS 8 C

5 3. Propiedades de la Trasformada Z Liealidad [ a ( ) b ( ) ] a Z[ ( ) ] b Z[ ( ) ] Z Corrimieto e tiempo Z Escalado e el Domiio Z dode [ ( ) ] Z[ ( ) ] [ a ( ) ] X( a ) () Z[ () ] X Z TeSyS 9 Reversió de Tiempo [ ( ) ] X( ) co X() Z[ () ] Z Derivada e el Domiio Z () dx Z [ ( ) ] d co X Covolució de secuecias [ ( ) ( ) ] Z[ ( ) ].Z[ ( ) ] Z Teorema del Valor Iicial Si () es causal (es decir () <) ( ) lim X( ) () Z[ () ] TeSyS

6 4. Trasformadas Z Racioales () ( ) - X poliomios e (o ) D() b b b K b X() a a K a a ceros de X(): valores de tal que X() polos de X(): valores de tal que X() () X b b a a b a TeSyS () ceros fiitos polos fiitos ( ),,, p, p,, p - ceros e el orige si > - polos e el orige si > i i X K a ( p j) j co K b TeSyS

7 5. Ubicació de polos y Comportamieto Temporal Señal causal Plao Plao a ( ) a µ ( ) X( ) RDC : > a () () Plao Plao () () Plao () Plao () TeSyS 3 a Señal causal ( ) a µ ( ) X( ) RDC : > ( a ) a Plao () Plao () Plao () Plao () Plao () Plao () TeSyS 4

8 6. Fució Trasferecia Z u() h() y() () Z[ h() ] H ( ) y ( ) h( ) u( ) () H().U( ) Y H () h Fució Trasferecia Z () Y U Z C.I. ulas () TeSyS 5 Para u sistema descripto por ua ecuació e diferecias: y() Y() Y() ( ) b u( ) a y Z (C.I. ulas) b Y() Trasferecia H() U() Z Racioal a TeSyS 6 a Y () b U() [ a ] U()[ b ]

9 Casos especiales a, H() b b ceros determiados por los coeficietes b polo de orde e El sistema es FIR(Fiite Impulse Respose) b, para b b H() co a a a TeSyS 7 polos determiados por los coeficietes a cero de orde e Casos especiales (cotiuació) El sistema aterior es IIR. Para ver esto calculemos h() Luego: () H b a ( p ) b Epasió e fraccioes simples ( p ) H ( ) ( ) p Z - h ( ) p µ ( ) Está defiida para ifiitos valores de IIR TeSyS 8

10 7. Cálculo de la Trasformada Z iversa π j ( ) X() d C C: cotoro cerrado que ecierra al orige y está detro de la RDC de X() étodos de Resolució Evaluació directa de la itegral de cotoro Epasió e serie de potecias e y - Epasió e Fraccioes Simples Tabla de pares Trasf. - Trasf. Iversa TeSyS 9 Evaluació directa de la itegral de Cotoro Por el Teorema de los Residuos de Cauchy ( ) ( ) f f si iterior a C d π j si a C C eterior f() derivable sobre y e el iterior del cotoro C y si polos e E su forma más geeral: π j f g ( ) ( ) C i d Ai ( ) co A ( ) ( ) i f() o tiee polos e el iterior de C g() es u poliomio co raíces distitas,,., detro de C TeSyS i i f g ( ) ( )

11 {A i ( i )} Residuos correspodietes a los polos,,., Aplicado al cálculo de la trasformada Z iversa se tiee: [ e i ] ( ) X() d residuo de X() π j C todos los polos i iteriores a C Ejemplo: (Hacerlo) a () RDC : > a X TeSyS Epasió e Serie de Potecias Epadimos X() como: X() que coverge e la RDC de X(). Por la uicidad de la Trasformada Z () c c TeSyS

12 Epasió e Fraccioes Simples Epresamos X() como la combiació lieal X() dode los X i () tiee trasformada iversa coocida i () Etoces por liealidad: () K i K i i i X i i () ( ) TeSyS 3 8. Trasformada Z Uilateral X () ( ) X () : o cotiee iformació de () para < X () : Es úica sólo para señales causales Ejemplo: Z Z µ Como ()µ() es causal, la RDC de X () es el eterior de u círculo ( ) { },,5,7,, X () ( ) { } 3,4,5,7,, X () 5 7 Z Z TeSyS 4 [ ( )] [ ( ) ( )] 5 7 3

13 Propiedades de la X () Posee las mismas propiedades de la X(), eceptuado la propiedad de corrimieto e el tiempo Caso : Retardo de Tiempo ( ) X ( ) ( ) [ X ( ) ( ) ], > E el caso e que () sea causal, etoces X Caso : Avace de Tiempo X ( ) ( ) ( ) ( ) X, > TeSyS 5 ( ) [ ( ) ( ) ] Teorema del Valor Fial Si etoces: ( ) X ( ) lim ( ) lim ( ) X ( ) El límite eiste si la RDC de ( - ) X () icluye al circulo uitario Ejemplo: La respuesta al impulso de u SLE relajado es: h() ( ) Determie el valor de la respuesta al escaló cuado µ TeSyS 6

14 Teemos: y( ) h() u( ) dode: u () µ ( ) Por la propiedad de la covolució ( ) H() U( ) Y (como las señales h(), y() y u() so señales causales, la trasformada Z uilateral y bilateral so idéticas) Y() RDC : > ( )( ) Luego: ( ) Y( ) RDC : > ( ) TeSyS 7 Como <, la RDC ( - ) Y() icluye a la circuferecia uitaria. Luego: lim y( ) lim ( ) Y( ) lim Uso de la Trasformada Z uilateral para la solució de las Ecuacioes e Diferecias co codicioes iiciales o ulas Ejemplo: ( ) y( ) y( ) u( ), < Calcular la respuesta del sistema a u escaló uitario, co codició iicial y(-) TeSyS 8

15 Solució: Tomado la Trasformada Z e ambos miembros de la ecuació (), teemos: Y Para: Y () [ ] U () Y () Y ( ) y( ) ()( ) y( ) U ( ) y () ( ) Y u ( ) µ ( ) U ( ) ( ) ( ) ( ) () TeSyS 9 ( ) ( )( ) ( )( ) U Solució (cotiuació): Epadiedo e fraccioes simples: A Y () dode: A ( ) B ( ) A A B B A B A B A B B B B ( ) ( ) B A TeSyS 3

16 Solució (cotiuació): Luego reemplaado los valores de las costates: Y () Y () y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Z - ( ) µ ( ) µ ( ) µ ( ) TeSyS 3 Respuesta de Sistemas co fucioes Trasferecia Z Racioales U() ( ) H() Y() - H () poliomios e (o ) D() Asumimos u() co trasformada Z racioal P () () U Q() Asumimos además H() co polos simples p, p,, p y U() co polos simples q, q,, q L ; co: p q m,, m,, L TeSyS 3

17 Asumiedo además que o hay cacelació de polo-cero Supoiedo codicioes iiciales ulas, la respuesta del sistema a la etrada resulta: () ( ) P( ) Y D() Q() Epadiedo e fraccioes simples obteemos L A B Y() p q Y() A p Z - µ Respuesta atural ( ) B q µ ( ) TeSyS 33 L Respuesta Forada 9. Causalidad y Estabilidad de Sistemas e TD Causalidad: Vimos que la codició ecesaria y suficiete para que u SLE sea causal es que: h () < Vimos tambié que la RDC de la Trasformada Z de ua secuecia causal es el eterior de u círculo. Podemos cocluir que: U sistema LE es causal si y solo si la RDC de la fució trasferecia Z del sistema es el eterior de u circulo de radio r <, icluyedo el puto TeSyS 34

18 Estabilidad: La estabilidad de u sistema LE puede epresarse e térmio de las características de la fució trasferecia Z del sistema. Vimos que la codició ecesaria y suficiete para la BIBO estabilidad de u sistema lieal estacioario es: h ( ) < Veremos que esta codició implica que H() debe coteer a la circuferecia uitaria e su RDC. E efecto, cosiderado que: H () h() TeSyS 35 Luego: H () h( ) h( ) h( ) Si se evalua e la circuferecia uitaria ( ) por lo que resulta: H h De dode podemos cocluir que si el sistema es BIBO estable, etoces la RDC de H() cotiee a la circuferecia uitaria. Lo coverso tambié es válido. Cocluyedo así que: () ( ) U sistema LE es BIBO estable si y solo si la RDC de la fució trasferecia Z del sistema icluye a la circuferecia uitaria TeSyS 36

19 Las codicioes para causalidad y estabilidad so diferetes y ua o implica la otra. De hecho podemos teer sistemas: - Estab. / Causal - Iestab. / Causal - Estab. / o Causal - Iestab. / o Causal Para u sistema causal, la codició ecesaria y suficiete se puede restrigir u poco, como: Sistema causal RDC de H() es el eterior de u circulo de radio r Sistema estable RDC de H() cotiee a la circuferecia uitaria Sistema causal y estable RDC de H() es > r < TeSyS 37 Como la RDC o puede coteer polos de H() podemos cocluir que: U sistema LE causal, es BIBO estable si y solo todos los polos de H() está e el iterior del circulo uitario Ejemplo: Sea el sistema LE co trasferecia Z: 3 4 H() Especifique la RDC de H() y determie h() para las siguiete codicioes: a. El sistema es estable b. El sistema es causal c. El sistema es aticausal TeSyS 38