CAPACITANCIA Y DIELÉCTRICOS

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1 Capitulo v CAPACITANCIA Y DIELÉCTRICOS 196

2 5.1. Intoducción Cuando ncsitamos lcticidad, s ncsaio psiona un intupto y obtnla dl suministo. Po oto lado si tnmos accso a un gnado, podmos asguanos qu obtnmos lcticidad simp qu psion un intupto paa pon n moviminto l gnado po algún mdio (moviminto d una tubina d vapo, moviminto d un molino d vinto, tc). Sin mbago, si no disponmos d stos lmntos s ncsaio busca algún método paa almacna ngía léctica d tal mana qu podíamos utilizalo postiomnt cuando s ncsit. En la actualidad s conocn dos fomas básicas paa almacna lcticidad: químicamnt y mcánicamnt. La foma más común d almacnaj d ngía léctica s mdiant l uso d las batías. Estos lmntos pmitn almacnan la caga léctica mdiant la cación d componnts químicos qu pudn acciona n una solución ácida o básica libando lctons. Las batías han cumplido una labo xtaodinaia n los últimos años, sin mbago su uso ha poducido n la socidad modna algún poblma. Uno d éstos s l uso d componnts químicos tóxicos como l plomo, mcuio y cadmio qu son pligosos cuando las pilas son dschadas. Po ota pat, llas constituyn un poblma cuando d pnt apacn gitas o fisuas n l cipint las mismas qu poducn fugas d los componnts tóxicos ants mncionados. Cualqui psona qu haya abito la pat postio d una d stos lmntos obsvaá los componnts intnos d las batías las mismas qu mustan un índic d acidz o alcalinidad y qu si po algún dscuido son consumidos poducián dsodns catastóficos n l s humano. La lcticidad también pud s almacnada químicamnt n cldas d combustibl. Est dispositivo no qui d solucions ácidas o alcalinas, stas spcis químicas qu usan son l hidógno y l oxigno las mismas qu accionan a tavés d una mmbana smipmabl dando luga a una libación d lctons duant l pocso. El poducto final d stas accions son l agua, po llo l uso d stos dispositivos no gnan poblmas paa l mdio ambint. El poblma qu apac duant l uso d cldas d combustibl son su tamaño, pus n la actualidad su uso stá limitado a cupos gands como po jmplo camions. Sin mbago, s ncunta n jcución un conjunto d tabajos d invstigación los mismos qu n un futuo no muy ljano stas cldas sán utilizadas a scala industial. El almacnaminto d ngía léctica n foma mcánica s loga mdiant l uso d capacitos (condnsados), dispositivos qu almacnan ngía léctica sin la ncsidad d la psncia d accions químicas ácidas o básicas. Un condnsado s compon d dos conductos colocados uno cca dl oto po sin tocas. Cuando stos conductos son cagados con cagas d signo opusto, apacn fuzas lctostáticas qu ls pmit mantn una difncia d potncial nt llos. Po llo cuando stos conductos son conctados a tavés d un cicuito, los lctons fluy dl conducto cagado ngativamnt hacia l conducto cagado positivamnt mantniéndos simp dicha difncia d potncial. Los condnsados n la actualidad s constituyn n uno d los lmntos más impotants d los cicuitos modnos. Es así qu l quipo qu stá utilizando paa l o impimi st achivo contin millons d llos los mismos qu alizan difnts taas quidas. En ést capítulo dsaollamos un conjunto d idas sob capacitancia, condnsados con y sin diléctico así como s haá un studio dtallado dl almacnaminto d la ngía po stos dispositivos tatando d dal la impotancia cospondint n l uso n la lctónica paa disña nuvos cicuitos y n spcial su aplicación n la vida cotidiana. 5.. CAPACITANCIA Y CAPACITORES CAPACITANCIA Considmos un conducto inicialmnt dscagado como s musta n la figua 5.1a, ntoncs n ausncia d caga su potncial s nulo ( ). Si ahoa colocamos una caga q n l conducto lla s distibuiá n su supfici como s musta n la figua 5.1b y como tal l potncial fua y dnto dl conducto ya no s nulo, más aún st potncial sá popocional a la caga. Es dci 1 da V 4 (5.1) A 197

3 Figua 5.1 (a) Conducto dscagado, (b) Conducto cagado, aquí la caga s distibuy n la supfici po tanto l campo n l intio s nulo, mintas qu l potncial n l intio s contant mintas qu n l xtio dpnd d la distancia al conducto La capacitancia léctica (C) s una popidad física d un conducto qu xpsa la habilidad d un conducto paa adquii caga sin un cambio sustancial n su potncial. Matmáticamnt s xpsa como l cocint nt la caga y l potncial. Esto s q C (5.) V Es vidnt ntoncs qu si añadimos una constant abitaia al potncial s ncsaio conoc un punto d fncia global n l cual l potncial simp s co. Con l objtivo d nconta un cupo físico qu podía dsmpña como punto d fncia considmos como jmplo una sfa conductoa d adio R. Si la sfa s cagada con una caga q, su potncial s y su capacitancia s q q C 4 R (5.3) V q 4 R Así pus, una sfa con adio muy gand tndá una gan capacidad y su potncial podía s simp l mismo. Esta s la azón po la cual considamos a la tia como un punto d fncia d potncial co. En lo qu sigu considamos qu cuando un cupo s conctado a tia su potncial s nulo. Con sto hmos calculado la capacitancia d un conducto sféico la misma qu s. Sin mbago l cálculo d la capacitancia paa fomas más compljas s muy complicado, llo qui la dtminación d la distibución dl campo léctico alddo dl cupo conducto, un poblma l cual pud s sulto analíticamnt solo n un númo limitado d casos. Po lo tanto, nomalmnt s hac numéicamnt o analíticamnt. En cualqui caso, si conocmos la capacitancia C d un conducto dado, la caga q pud ncontas a pati d su potncial, s dci. Altnativamnt podmos calcula l potncial a pati d la caga mdiant la cuación, dond s l llamado coficint d potncial. Supongamos ahoa qu tamos oto conducto a una gión ccana al pimo. El sgundo conducto distosiona l campo léctico d tal mana qu l potncial n l pimo n gnal cambia. Po oto lado, l sgundo conducto adqui un potncial inducido. Así los conductos s afctan nt sí cambiando sus potncials aun cuando la caga pmanc constant d tal mana qu no podmos scibi la cuación paa cada conducto po spaado po si db tns n cunta la influncia d uno sob oto, scibindo la cuación paa l potncial V i ij j j P q (5.4) q C V (5.5) i ij j j 198

4 q1 C11 C1 C1 n V1 q C1 C C n V q n Cn 1 Cn C nn V n (5.6) 5.. CAPACITOR El capacito o condnsado s un dispositivo léctico fomado sncialmnt po dos conductos llamadas placas dl condnsado aisladas y spaadas po l mdio vacío o po un diléctico. Sob las placas s distibuyn cagas iguals y opustas +q y q tal como s musta n la figua 5.. Figua 5. Capacito fomado dos conductos (placas dl capacito) Asumindo qu l potncial n l conducto cagado positivamnt s cagado ngativamnt s. Entoncs d la cuación (5.4) s tin La difncia d potncial nt las placas s V P P q 11 1 (5.7) V P P q 1 (5.8) y qu l potncial n l conducto V V V ( P11 P1 ) q ( P1 P ) q q V ( P11 P P1 P1 ) q (5.9) C Dond ΔV, s la difncia d potncial y C s la capacitancia dl condnsado. La capacitancia dl condnsado también pud scibis. q C V Ò. A B A E nda E. ds (5.1) Db obsvas qu aunqu la cuación (5.1) contin a la caga q y a la difncia d potncial ΔV, la capacitancia d un condnsado s indpndint d la caga así como d la difncia d potncial y como tal dl campo léctico y sólo dpnd d: La disposición gomética d los conductos, qu incluy l tamaño, la foma y l spaciaminto d las placas o amaduas dl condnsado, al igual qu sus lacions gométicas. Las popidads dl mdio n l cual s ncuntan ubicados los conductos (ai, vacío, matial diléctico, tc.) 199

5 A la unidad d capacitancia (culombio/voltio), s l llama faadio, unidad d capacidad dmasiado gand po lo qu paa popósitos pácticos d utiliza l micofaadio (1 μf = 1-6 F); l nanofaadio (1 nf =1-9 F) y l picofaadio (1 pf = 1-1 F). 5.3 APLICACIONES DE LOS CONDENSADORES Una d las pincipals funcions d un condnsado s l almacnaminto d caga, n la qu la capacidad indica cuanta caga pud almacna nt sus amadua paa una difncia d potncial dada. Ota d las funcions s l almacnaminto d ngía potncial léctica dnto d sus campos lécticos cospondints. Los condnsados también son utilizados paa poduci citas configuacions d campos lécticos (campo léctico unifom nt placas conductoas paallas). Finalmnt su uso más fcunt s n la lctónica, dond po jmplo al acoplas con sistos tadan los cambios n l voltaj, como ctificados d coint altna, amplificados d voltaj, fomando cicuitos sonants. Algunas d stas aplicacions sán discutidas n capítulos postios. En la figua 5-3, s musta algunas d las aplicacions pácticas d los capacitos Figua 5.3. (a) Capacitos usados n los Flash d cámaas; (b) capacitos usados n la constucción d dsfibilados 5.4 TIPOS DE CONDENSADORES Los capacitos s fabican n vaias combinacions d conductos y dilécticos. La familias d condnsados s basan n gnal n l tipo d diléctico mplado tals como mica, cámica, papl o acit. En la figua 5.4, s musta un conjunto d stos condnsados, los mismos qu s dscibn postiomnt Figua 5.4 Divsos tipos d condnsados utilizados n la industia

6 5.4.1 Capacitos d mica La mica s un minal tanspant con alta fuza diléctica qu fácilmnt s spaa n hojas unifoms cuyo spso pud s tan bajo como,1 pulgadas, tin un alto voltaj d uptua y químicamnt s casi int. Po llo s qu s usa st matial paa fabica condnsados, los mismos qu pudn adopta fomas dondas, ctangulas o igulas, intcalando capas d hoja mtálica y d mica. La pila sultant s hojas d mtal y mica s sujta fimmnt y s ncapsula n un paqut d plástico. Las capacidads disponibls van dsd 1 pf hasta,1 μf. En la figua5.5 s musta algunos condnsados y la foma como s nsamblan (a) (b) Figua 5.5 (a) capacitos d mica; (b) nsamblaj d capacitos d mica Capacitos d cámica Comcialmnt xistn dos tipos d condnsados d cámica: (a) d baja pédida y baja constant diléctica y (b) d alta constant diléctica. Los capacitos d baja pédida s usan pincipalmnt n aplicacions d alta fcuncia, mintas qu los d alta constant diléctica pmitn un valo gand d la capacidad n un volumn pquño son aplicados n cicuitos d baja fcuncia. Sin mbago, l valo d su capacidad pud vaia mucho con la vaiación d la tmpatua, voltaj d CD y fcuncia. Las capacitancias d los capacitos d alto κ van d 1 pf a,1 pf. Paa fabica los capacitos d cámica s mpla una constucción n la cual un disco o placa d cámica s cub con mtal n ambas caga. S fijan las tminals al mtal y l capacito sultant s mpaca n un cubita d plástico paa potglo d la humdad y dmás condicions d tabajo. Los capacitos d cámica no quin polaidad spcial n l voltaj. En la figua 5.6 s musta algunos condnsados y la foma como s nsambla (a) (b) Figua 5.6 (a) capacitos d cámica; (b) nsamblaj d capacitos d cámica 5.4. Capacitos d papl Son los más usados dbido a su bajo costo y al hcho d qu s pudn constui n un amplio magn d valos d capacidad (5 pf hasta 5 pf). Admás s pudn disña paa sisti voltajs muy altos. Es usual impimi l valo d la capacidad y l voltaj n l cupo dl capacito. Paa unidads pquñas s usa una clav d colos. Cuando no s mpla sa clav s impim una banda nga n l tubo, n l xtmo más ccano a la tminal qu stá conctada a la hoja mtálica xtio. Esta tminal db conctas simp con la tminal dl cicuito qu tin mno potncial. Muchos d los capacitos d papl 1

7 tinn la foma cilíndica poqu s fabican nollando una si d capas d mtal y hojas d papl impgnado paa foma un tubo. La disposición s nvulv n plástico paa consvalo. En la figua 5.7 s musta algunos condnsados d st tipo Figua 5.7 (a) (a) capacitos d papl; (b) nsamblaj d capacitos d papl (b) Capacitos d plícula plástica S constuyn básicamnt dl mismo modo qu los capacitos d papl, con la xcpción d qu aquí s mpla como diléctico hojas dlgadas d plástico (myla, tflón, o politilno). Est diléctico mjoa las popidads dl capacito. Sus dmás caactísticas son smjants a las d los condnsados d papl. Sin mbago l costo s mayo. Los capacitos comcials d plícula plástica s fabican n angos qu van d 5 pf a 1 μf. En la figua 5.8, s musta algunos condnsados d st tipo y la foma como s ls nsambla. (a) (b) Figua 5.8 (a) capacitos d plícula plástica; (b) nsamblaj d capacitos d plícula plástica Capacitos lctolíticos S fabican gnalmnt d aluminio o d tantalio. La stuctua básica dl d aluminio consist d dos hojas d st matial, una d las cuals stá cubita con una mmbana xtmadamnt dlgada d óxido. S hac cc la capa d óxido sob l mtal mdiant un pocso d aplicación d voltajs al capacito dnominado pocso d fomación. Ent las hojas s coloca una sustancia lctolítica qu mpapa al papl. El lctolito s conducto y siv como xtnsión d la hoja no oxidada d mtal. Dbido a qu l fluido s conducto s pud concta dictamnt conta l diléctico d oxido. Las dos placas cagadas con signos opustos qudan spaadas po sólo una plícula d óxido l cual tin una constant diléctica muy alta. Una vz fomado l óxido s nollan las hojas n foma d tubo y la hoja sin óxido s concta con l mpaqu xtno. Esta tminal siv como conxión ngativa dl capacito, la ota s maca con l sino + n l cupo dl capacito. Db nfatizas qu l capacito lctolítico solo s pud concta n un cicuito con polaidad cocta. Si s concta la tminal positiva dl capacito con la tminal ngativa dl cicuito la acción química dl lctolito ompá l diléctico d óxido y dstuiá al capacito. Admás como sucd n otos capacitos no db sob pasas l voltaj nominal. Las capacidads d stos condnsados van dsd 1 μf hasta 5 μf

8 (a) Figua 5.9 (a) capacitos lctolíticos; (b) nsamblaj d capacitos lctolíticos (b) Capacitos vaiabls Al igual qu con las sistncias a vcs s ncsaio pod vaia la capacidad d un capacito mintas pmanc conctado a u cicuito. El capacito vaiabl d ai s un tipo común d capacito vaiabl. S fabica montando un conjunto d placas mtálicas (gnalmnt aluminio) sob un j intcalando nt un conjunto d placas fijas d foma simila. Dbido a qu l diléctico s l ai, la spaación nt placas s db mantn lo suficintmnt gand paa asguas qu no s toqun y s dscagun. En la figua s musta uno d stos tipos d condnsados (a) (b) Figua 5.1 (a) capacito vaiabl; (b) squma d capacitos vaiabls 5.5 SEGURIDAD CON LOS CAPACITORES Un capacito cagado almacna ngía. Si l capacito tin un valo gand d capacitancia y stá cagado con alto voltaj la cantidad d ngía almacnada pud s bastant gand. Duant la dscaga la ngía s liba po la coint qu pasa po la conxión nt las placas. Si sa dscaga ocu n foma accidntal a tavés d un s humano l choqu léctico qu s povoca pud s molsto y dolooso o incluso motal. Dbido a qu un condnsado dscagado no s distingu d uno cagado psnta u pligo oculto paa la sguidad. Esto significa qu si un capacito s caga duant su uso, s db dscaga ants d manipulalo o volvlo a guada n su luga. Po llo s cominda qu simp s db dscaga st lmnto conctándolo con una sistncia 5.6 CALCULO DE CAPACITANCIAS. En sta scción s dtminaá la capacitancia d un conjunto d capacitos Capacito d placas paallas Un capacito d placa paallas s aqul dispositivo qu stá fomado po dos placas paallas conductoas d áa A spaadas po una distancia muy pquña d compaada con las dmás dimnsions y qu llvan cagas 3

9 +q y q n la supfici como s musta n la figua 5.11a. Dbmos obsva admás qu la distibución dl campo léctico s d la foma mostada n la figua 5.11b (a) (b) Figua 5.11 (a) capacito d placas planas; (b) campo léctico n l intio d un capacito plano Paa dtmina la capacidad C, pimo s ncsita conoc l campo léctico nt las placas. Paa llo considmos un capacito al d tamaño finito d tal mana qu podmos consida al campo l intio unifom y sólo s distosiona n los bods como s musta n la figua 5.11b, n dond las línas d fuza no son ctas. Esto s conocido como fcto d bod. Sin mbago, n lo qu sigu s ignoa sos fctos y paa calcula C asumimos una situación idal, considando qu las línas d fuza nt las placas son línas ctas. En l límit cuando las placas son infinitamnt gands, l sistma tin simtía plana y podmos calcula l campo léctico nt las placas utilizando la ly d Gauss. Aplicando la ly d gauss a la supfici gaussiana lína inintumpida s tin La difncia d potncial nt las placas s Ò E nda A q nc. A E. n da E. n da E. n da 1 3 A1 A A3 A EA E i B V V E. ds E( sb sa) Ed A V V V Ed d Dond σ, s la dnsidad d caga supficial d la placa positiva y d s la distancia nt placas La capacidad dl capacito d placas planas sá q q A C V d d 4

10 A C (5.11) d La cuación (5.11) indica qu la capacidad d un condnsado plano dpnd solamnt d los factos gomético A y d y dpnd dl mdio n l cual s ncuntan las placas. Así mismo, s obsva qu la capacidad dpnd linalmnt d A invsamnt d la distancia d spaación Capacito cilíndico Ota configuación d impotancia s la mostada n la figua 5.1a, la qu constituy un capacito cilíndico l cual consta d un cilíndico sólido d adio a sob la qu s distibuido unifommnt una caga +q con una dnsidad d caga +λ, odado po una cáscaa cilíndica d adio intno b la cual llva una caga unifommnt distibuido q con una dnsidad d caga po unidad d longitud λ. Ambos cilindos tinn una longitud L (a) (b) Figua 5.1 (a) capacito cilíndico; (b) campo léctico n l intio d un capacito cilíndico Paa dtmina la capacidad C dl capacito, pimo s ncsita conoc l campo léctico nt los cilindos coaxials. Paa llo considmos un capacito n l cual la distancia nt los cilindos s mucho mno qu los adios d tal mana qu podmos consida al campo l intio diigido adialmnt como s musta n la figua 5.1b. Dspciando l fcto n los xtmos, n l límit cuando los conductos son infinitamnt gands, l sistma tin simtía cilíndica y podmos calcula l campo léctico nt las placas utilizando la ly d Gauss. En la figua 5.13 s musta la aplicación d un capacito cilíndico Figua 5.13 Aplicación d capacitos cilíndicos n las línas d tansmisión d sñals Aplicando la ly d gauss a la supfici gaussiana lína inintumpida s tin Ò E nda A 5 q nc. L E. n da E. n da E. n da 1 3 A1 A A3 L E L E

11 La difncia d potncial nt las placas s La capacidad dl capacito d placas planas sá b V V E. ds a a V V V ln( ) b b a d q q L C V ln( b a) ln( b / a) L C ln( ba) (5.1) La cuación (5.1) indica qu la capacidad d un condnsado cilíndico dpnd solamnt d los factos gomético L y a y b y dpnd dl mdio n l cual s ncuntan las placas Capacito sféico Ota configuación d impotancia s la mostada n la figua 5.14a, la qu constituy un capacito sféico l cual consta d dos cascaons sféicos concénticos d adios a y b sob los qu s ha distibuido cagas + y n sus supficis con una dnsidad d caga (a) (b) Figua 5.14 (a) capacito sféico; (b) campo léctico n l intio d un capacito sféico Paa dtmina la capacidad C dl capacito, pimo s ncsita conoc l campo léctico nt los cáscaas sféicas coaxials. Paa llo considmos un capacito n l cual la distancia nt las cáscaas sféicas s mucho mno qu los adios d tal mana qu podmos consida al campo l intio diigido adialmnt como s musta n la figua.6.3b. El sistma tin simtía cilíndica y podmos calcula l campo léctico nt los cascaons utilizando la ly d Gauss Aplicando la ly d gauss a la supfici gaussiana lína inintumpida s tin Ò E nda A EA q nc. SG A 6

12 La difncia d potncial nt las placas s (4 ) E E a a (4 ) b V V E. ds a 1 1 V V V b a La capacidad dl capacito d placas planas sá a b a d a q (4 a ) a a q C V b b b b 4 ( b a) C b a (5.13) La cuación (5.13), indica qu la capacidad d un condnsado cilíndico dpnd solamnt d los factos gométicos vía los adios d los conductos y dpnd dl mdio n l cual s ncuntan las placas,. Un conducto aislado (con l sgundo conducto n l infinito) también tin una capacitancia- Es dci n l límit dond, la cuación (5.13) s scib. C (1 b lim lim lim a b a a b b b a b a Así, paa un conducto sféico aislado d adio R, la capacitancia s C 4 R 5.7 CAPACITORES EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS. Es sabido qu un capacito s un dispositivo qu s utiliza paa almacna caga n sus placas y como tal almacna ngía n l campo léctico poducido nt llas. Esta ngía almacnada pud s utilizada postiomnt paa hac funciona otos dispositivos lécticos y lctónicos. Paa loga st objtivo s ncsaio pocd a caga l condnsado, paa llo s concta las placas dl capacito a las tminals d una batía tal como s musta n la figua Es la batía la ncagada d mantn la difncia d potncial. Al hac la conxión habá un pato d caga nt las tminals y las placas. Po jmplo, la placa qu s conctada a la tminal positiva d la batía adqui alguna caga positiva mintas qu la placa conctada a la tminal ngativa adqui alguna caga ngativa, la cantidad d caga acumulada n las placas dpnd d la capacidad dl capacito. El pato d caga ocasiona una disminución momntána d cagas n las tminals d la batía y como tal una disminución n l voltaj n las tminals. Paa mantns dicha difncia d potncial ocun accions químicas n l intio d la batía con la finalidad d compnsa la pédida d caga 7

13 Figua 5.15 Condnsado plano conctado a una batía En la páctica no utilizamos un sólo capacito sino más bin un conjunto d capacitos, los mismos qu son conctados n divsas fomas po vaias azons algunas d llas son: quiminto dl squma, flxibilidad y contol, o ajust dbido a las limitacions técnicas. En muchos casos stamos intsados n conoc cuáls son los voltajs y las cagas sob cada uno d los capacitos si algún voltaj xtno conocido ha sido aplicado al sistma complto. Altnativamnt, pud quis la sustitución d dl sistma complto po un sólo capacito fctivo cuya capacidad pud s ncontada. Esta taa s xtmadamnt fácil y qui solamnt algún tabajo técnico d utina (l cual algunas vcs pud s algo difícil si un sistma d condnsados s complicado) y no qui d cualqui at o ida nuva. Paa sto dbmos tomas n cunta las idas siguints: Todas las placas conctadas mdiant un alamb conducto stán al mismo potncial. Est s un caso spcial d conclusions antios d qu todos los puntos d un conducto tinn l mismo potncial. Las placas no conctadas a alguna funt xtna no pudn gana o pd caga, sto s, la suma d las cagas sob las placas las cuals son conctadas solamnt una con ota pmanc constant. Esta ida no s más sino la ly d consvación d caga. Solamnt pud xisti intcambio d caga nt aqullas placas qu son conctadas a una funt d voltaj xtna. Sin mbago, la caga total sob todas las placas, positiva y ngativamnt cagadas, s simp co. La difncia d potncial nt dos puntos d un cicuito no dpnd d la tayctoia sguida Capacitos n si. Supongamos qu tnmos ts capacitos inicialmnt dscagados C 1, C y C 3 los mismos qu s conctan n si, como s musta n la figua Si ahoa s aplica al sistma una difncia d potncial a los xtmos d los capacitos, conctando la placa izquida dl capacito C 1 a la tminal positiva d la batía (funt d tnsión) dicha placa ntoncs s cagada positivamnt con una caga +, mintas qu la placa dcha dl capacito C 3 s conctada a la tminal ngativa d la batía (funt d tnsión) llgando a cagas con una caga ngativa dbido a qu los lctons fluyn hacia lla. Po oto lado, las placas intios inicialmnt dscagadas ahoa s cagan po inducción lctostática atayndo cagas iguals y opustas tal qu la placa dcha dl condnsado C 1 s caga ngativamnt, la placa izquida d C s caga positivamnt, la placa dcha d C s caga ngativamnt y la placa izquida d C 3 s caga positivamnt adquiindo cagas como s musta n la figua. La difncia d potncial n cada uno d los condnsados sá V ; V ; y V (5.14) 1 3 C1 C C3 8

14 Figua 5.16 (a) (b) (c) (a) capacitos n si conctados a una batía; (b) psntación d los capacitos n l lnguaj d cicuitos y (c) condnsado quivalnt Po oto lado d la figua obsvamos qu la difncia d potncial nt los xtmos dl sistma d ts capacitos n si, s igual a la suma d las difncias d potncial n cada uno d los ts capacitos, sto s. V V1 V V3 (5.15) Es dci, la suma difncia d potncial nt los xtmos d un sistma d condnsados n si s igual a la suma d las difncias d potncial d cada uno d los capacitos conctados. Po tanto stos ts condnsados pudn s mplazados po un capacito quivalnt C qu cumpla con. Esta capacidad s obtin mplazando la cuación (5.14) n la cuación (5.15), s dci C C C C 1 3 D dond s obtin la capacidad quivalnt d los ts capacitos, la misma qu stá dada po (5.16) C C C C 1 3 La cuación (5.16) pud gnalizas paa un sistma compusto po N capacitos conctados n si, obtniéndos la cuación paa la capacidad quivalnt n sta caso como: 5.7. Capacitos n paallo C C C C C C 1 3 i N N 1 1 (5.17) C i1 C i En la figua 5.17 s musta la conxión d ts condnsados cuyas capacidads son C 1, C y C 3 conctados n paallo, s dci las placas izquidas d todos los condnsados son conctadas a la tminal positiva, ntons staán al mismo potncial qu la tminal positiva V +, mintas qu sus placas dchas a la tminal ngativa d la batía po lo tanto staán al mismo potncial qu la tminal ngativa V - Po lo tanto los ts condnsados tndán la misma difncia d potncial igual a la difncia d potncial n l condnsado quivalnt. Es dci 9

15 V V1 V V3 (5.18) La capacidad d cada uno d los condnsados sá 1 3 C1 ; C ; y C3 V V V (5.19) Po oto lado, la caga total positiva sob l sistma d ts condnsados s la suma d las cagas individuals. Esto s (5.) 1 3 (a) (b) (c) Figua 5.17 (a) capacitos n paallo conctados a una batía; (b) psntación d los capacitos n l lnguaj d cicuitos y (c) condnsado quivalnt Al mplaza la cuación (5.19) n la cuación (5.), s tin C V C V C V ( C C C ) V C C C C V 1 3 (5.1) Si ahoa s tin un sistma d N capacitos conctados n paallo, ntoncs la capacidad quivalnt no s más sino la suma d las capacidads d cada uno d los capacitos qu componn l sistma C C1 C C3... C... C i N C N C (5.) i1 i Conxión mixta En la figua 5.18, s musta un cicuito capacitivo con vaios capacitos conctados a una funt d tnsión qu l popociona una difncia d potncial. Es nusto objtivo, dtmina la capacitancia quivalnt dl cicuito 1

16 (a) (b) (c) Figua 5.18 (a) conxión mixta d capacitos; (b) ducción d los capacitos n paallo y (c) condnsado quivalnt D sta s obsva qu los condnsados cuyas capacidads son C, C 3 y C 4 stán n paallo, ntoncs su capacidad quivalnt C 34 s C34 C C3 C4 El nuvo cicuito quda como l mostado n la figua (b). Ahoa s obsva qu loa capacitos C 1, C 34 y C 5 s ncuntan n si y como tal su capacidad quivalnt s la mostada n la figua (c) y su capacitancia stá dada po C5C34 C1C 5 C1C 34 C1C 5 ( C1 C5)( C34) C C C C C C C C C C Capacitos conctados n Punt d Whatston C C1C 5( C C3 C4) C C ( C C )( C C C ) En la figua 5.19 s musta un sistma d condnsados n d n punt. En sta conxión los capacitos no stán conctados ni n si ni n paallo y paa dtmina la capacitancia quivalnt nt los puntos a y d s utiliza la tansfomación tiángulo-stlla. (a) (b) Figua 5.19 (a) Rd d capacitos n punt d Whtaston; (b) ducción d capacitos d tiángulo a stlla. Los condnsados C 1, C y C 5 son mplazados po los capacitos C x, C y y C z, cuyas capacidads s dtmina a pati d las cuacions 11

17 1 1 1 C1 C C5 C x C C C C C C C C C C1 C5 C C y C C C C C C C C C C C5 C1 C z C C C C C C C C C (5.3) (5.4) (5.5) Ahoa l cicuito s duc al mostado n la figua 5 Figua 5. Cicuito d capacitos dspués d la ducción tiángulo stlla El cicuito capacitivo ahoa s pud duci mdiant l sistma si paallo Intnt tmina la taa! 5.8 ENERGÍA ALMACENADA EN UN CAPACITOR. En las sccions pcdnts, dfinimos la Capacitancia y dscibimos y analizamos vaios tipos d capacitos. Es fácil compnd qu todo capacito cagado contin una cita cantidad d ngía. Po jmplo, n un capacito d placas paallas, las amaduas s atan mutuamnt nt sí. Si mdiant algún mdio impdimos qu s muvan, llas jcutaán una cita cantidad d tabajo. Esto indica qu paa qu un sistma alic tabajo s ncsaio qu contngan cita cantidad d ngía. Dbido a qu las placas dl capacito no xpimntan atacción mutua cuando stán dscagadas, paa qu haya atacción alguna ngía dbía s almacnada n l capacito cagado. En otas palabas, cuando un capacito stá cagándos mdiant una batía (o funt d tnsión), l tabajo s alizado po la batía paa mov la caga dsd una placa dl capacito a la ota placa. Dbido a qu l capacito stá sindo cagado, dcimos qu l capacito s ncunta almacnando ngía n foma d ngía potncial lctostática, ngía qu postiomnt pud s libada cuando s dscaga l capacito. Paa compnd l pocso considmos un capacito d placas planas paallas C inicialmnt dscagado como s musta n la figua 5.1a. 1

18 Figua 5.1 (a) (b) (c) (a) capacito dscagado; (b) capacito cagándos n un instant t y (c) condnsado compltamnt cagado a una difncia d potncial igual al d la funt. El capacito s conctado a una batía, mdiant l ci dl intupto tansfi ngía d una placa a la ota hasta qu la difncia d potncial n l capacito sa igual poducido po la funt aunqu d polaidads opustas. Cuando s alcanza la tapa mostada n la figua c s dtin l flujo d caga. En st instant s dic qu l capacito s ha cagado compltamnt a una difncia d potncial y sus placas acumulan una caga (figua 5.1c) En tapas intmdias como la mostada n la figua 51b, la placa supio dl capacito tndá una caga +q y la ota una caga q, sindo la difncia d potncial n st instant q V (5.6) C Paa mov una cantidad d caga adicional dq dsd una placa a la ota n un intvalo d timpo dt, la batía db hac una cantidad d tabajo dw, dado po. Est tabajo cospond a un cambio n la ngía potncial léctica qu s igual a. En conscuncia n l timpo dt la ngía potncial dl capacito ha aumntado n la cantidad q du E Vdq dq (5.7) C La difncia d potncial nt las placas s vaiabl d mana qu la cantidad d tabajo alizado po la batía no solamnt dpnd d dq sino también d la difncia d potncial nt las placas, qu cambia a mdida qu s acumula caga n l capacito. Paa obtn la ngía total almacnada n l capacito s intga la cuación (5.7), s dci U E 1 C qdq C U E V C V (5.8) C Dnsidad d ngía dl campo léctico S ha dtminado qu los condnsados acumulan o almacna ngía pus bin dicha ngía s almacnada n l campo léctico nt las placas dl condnsado mismo. Paa l caso d un capacito d placas planas paallas, cuya capacidad s y sindo su difncia d potncial, la ngía potncial léctica pud xpsas 1 1 A 1 U E C V ( Ed) E ( Ad) d (5.9) 13

19 Dbido a qu la cantidad Ad, psnta l volumn nt las placas, podmos dfini a la dnsidad d ngía como la ngía po unidad d volumn, s dci 1 E ( Ad) Engìa U E E Volumn V Ad E 1 E (5.3) Aun cuando la cuación (8.3) ha sido dducida paa un capacito d placas planas paallas, dicha cuación s aplicabl a cualqui tipo d capacito. Ahoa considmos un condnsado infinitsimal n l spacio compndido nt las placas como s musta n la figua 5.. Figua 5. Capacito infinitsimal utilizado paa dtmina la dnsidad d ngía Paa nconta la dnsidad d ngía obsv qu l volumn dl pquño cubo s dv, l áa d su scción tansvsal da y su spso ds. Dbido a qu ds s paallo al campo léctico nt las placas, todo l flujo qu sal dl áa da d una supfici tmina sob l áa cospondint d la supfici opusta. La ngía potncial lctostática almacnada n st condnsado infinitsimal ficticio s pácticamnt la ngía qu s qui paa situa las cagas supficials sob l áa da d los dos conductos. Podmos n st caso consida, ntoncs la ngía potncial sá 1 1 du E E ( da)( ds) E dv vol E du dv 1 E E (5.31) Dond E s la intnsidad d campo léctico n dicho punto. A pati d la cuación (5.31) s pud dtmina la ngía potncial lctostática total contnida n cualqui campo léctico, sto s 1 U du E dv (5.3) E E vol V La intgal s valúa xtndiéndos a todo l spacio lib d cagas dond xist campo léctico; s dci, n todo l spacio xtio a las funts qu poducn l campo Fuzas lctostáticas nt placas d un capacito. En l Capítulo I s inicio la discusión lctostática con la ly d Coulomb paa dtmina fuzas lécticas nt dos cagas puntuals. Utilizando l pincipio d supposición podmos dtmina la fuza 14

20 léctica nt sistmas d cagas puntuals postiomnt s xtind hacia l cálculo d la fuza léctica sob cualqui cupo n un sistma dond conocmos la distibución d caga. Como jmplo, considmos los dos cupos conductos cagados con una distibución d caga supficial como s musta n la figua 5,3. Encontmos la xpsión paa la fuza con la cual l cupo 1 actúa sob l cupo. Paa dtmina sta fuza, dividamos al cupo n pquños lmntos difncials d caga d áa y dtminmos la intnsidad campo léctico n todos los difncials dbido a la caga dl cupo 1. Esta fuza stá dada po F Ñ da E (5.33) 1 A 1 Figua 5.3 Fuza lctostática nt capacitos En sta cuación, l campo léctico stá dado po E 1 Ñ da A1 1 1 (5.34) Fuza nt placas n un capacito d placas paallas Dbido a qu las placas d dicho condnsado plano s ncuntan cagada con cagas dl mismo signo + y, spctivamnt, stas placas s jcán un fuza d tipo coulombiana. Dicha fuza s dtmina n la siguint foma La capacidad dl condnsado spaado una distancia x stá dado po La ngía potncial sá La fuza sá U A C V Ed ( x) x A C (5.36) x x C A ( ) A (5.37) x F ( x ) U A x x A F (5.38) 15

21 5.9. DIELECTRICOS D acudo con la toía atómica, dcimos qu cada uno d los átomos qu componn un sólido s ncunta fijo spcto a los otos átomos dl mismo sólido. Sin mbago, sta afimación s solo apoximadamnt cita, pus cada uno d los átomos pud viba spcto a una hipotética posición d quilibio. Po sta azón sía mjo dci qu cada uno d los átomos stán confinados n un pquño volumn. No obstant, a psa d su vibación, los átomos y las moléculas d lo sólidos s llaman patículas fijas. Y aqullas patículas qu pudn movs a tavés dl matial s dnominan patículas libs. Si ahoa s aplica una cita cantidad d ngía a una d las patículas componnts dl matial y no s posibl xtala d un dtminado volumn, s dic qu dicha patícula stá confinada a s volumn paa la mncionada ngía. D sta foma, llamamos patícula fija o ligada si l volumn n l cual s ncunta confinada s muy pquño spcto al volumn considado, qu n gnal sul s l volumn total dl sólido. Si la patícula fija tin caga léctica, s l dnomina caga fija o ligada. Po l contaio si n l matial xist una patícula lib cagada lécticamnt a lla s l dnomina caga lib. Ent los átomos d los cupos xistn gands spacios vacios. El spacio nt los átomos dl sólido pud asmjas al vacío nt las stllas n l univso. Análogamnt a lo qu ocu con l gio d los plantas alddo dl sol, n l átomo los lctons gian alddo dl núclo. Po al aumnta la ngía, algunos lctons d la última capa pudn abandona l átomo al cual ptncn y convtis n lctons libs, los mismos qu pudn movs a tavés dl sólido intactuando con los dmás lctons y ions. Dbmos calca qu n los mtals st abandono ocu a vcs sin apot d ngía, ya qu incluso n l co absoluta xistn lctons libs. En l caso molcula dbmos sñala qu las moléculas d los líquidos y gass son n gnal patículas libs, pus s muvn po todo l volumn dl fluido. Si l fluido contin patículas cagadas, podmos consida a dichas patículas como cagas libs. Po jmplo, una disolución acuosa d una sal, d un ácido o d una bas, consta d moléculas nutas, ions positivos y ngativos. Estos ions son las cagas libs. En la atmósfa, junto a las moléculas nutas d oxígno, nitógno, tc., simp xistn ions d éstos u otos cupos ointados po los ayos cósmicos, po tomntas o po otas causas, constituyndo ntoncs un conjunto d cagas libs. Dfinición. Un conducto s caactizado po psnta un volumn con cagas libs. En l caso d los mtals stas cagas libs son los lctons. Mintas qu n otas sustancias stas patículas libs pudn s los ions y los lctons Dfinición. Un diléctico o aislant s caactizado po psnta un volumn sin cagas libs. En stos matials los lctons pmancn ligados a los átomos o moléculas a los cuals llos ptncn. Podmos consida dnto d stos matials al vacio, al vidio, la mica y citos plásticos cuyos nlacs químicos mantinn todos los lctons ligados a sus átomos. El uso d los dilécticos s muy amplio, n l caso d los capacitos dichos matials son utilizados po jmplo paa mantn la spaación física d las placas. Po oto lado, dbido a qu la uptua diléctica d mucho d llos s mucho mno qu la dl ai, pmitn duci al mínimo la fuga d caga, spcialmnt cuando s l aplica altos voltajs. Pmitindo d st modo una mayo acumulación d caga n las placas dl capacito CAPACITORES CON UN DIELÉCTRICO ENTRE SUS PLACAS Si s intoduc un diléctico (vidio, plástico, acit minal) nt las placas d un capacito, la capacitancia d st nuvo condnsado vaía. Fu Faaday, quin utilizando un quipo sncillo, dscubió qu la capacidad d un capacito aumnta n un facto K a sta constant s l dnomina constant diléctica. La psncia d un diléctico nt las placas cumpl con las siguints funcions: a) Pmit mantn una distancia muy pquña nt las placas sin qu xista contacto físico, b) Pmit aumnta la difncia d potncial nt las placas dl capacito, aumntando d st modo la capacidad d almacna cagas y ngía. c) Pmit aumnta la capacitancia d un capacito s mayo cuando pos un mdio diléctico nt sus placas qu cuando l mdio nt las placas s l vacio. 16

22 Est fcto s dmusta usando un lctómto quin pmit mdi la difncia d potncial nt las placas dl capacito. La figua 5.4a musta un lctómto conctado a las placas d un capacito pviamnt cagado con cagas a una difncia d potncial. Al insta un diléctico nt las placas (figua 5.4b) s obsva qu la difncia d potncial disminuy a un valo. Si ahoa s tia l diléctico nuvamnt s cupa l valo oiginal V, st hcho musta qu las cagas oiginals no han vaiado. Figua 5.4 (a) Capacito d placas planas cagado sin diléctico conctado a un lctómto, (b) capacito con diléctico conctado a un lctómto La capacitancia oiginal C stá dado po y la capacidad con diléctico sá. Dbido a qu la caga s la misma y la difncia d potncial V s mno qu V. Esta xpincia musta qu la capacitancia C d un capacito s incmnta cuando l spacio nt los conductos s llnado con un diléctico. Es dci, cuando un matial diléctico s instado compltamnt hasta llna l spacio nt las placas, la capacidad s incmnta n C C (5.39) Dond K s la dnominada constant diléctica. En la Tabla 5.1 s musta las constants dilécticas d algunos d los matials. D lla s obsva qu todos los matials dilécticos tinn K > 1. Admás, la tabla musta la igidz diléctica (valo máximo dl campo léctico ants ocua la uptua diléctica) Tabla 5.1 Valos d constants y igidcs dilécticas d algunos matials Matial Constant diléctica (K ) Rigidz diléctica ( kv/mm) Vacío 1 Ai (1 atm) 1,59 3 Tflón,1 Polistino,6 4 Papl 3,5 16 Pyx 4,7 14 Mica 5,4 Vidio 5-1 Agua ( C) 8,4 Cuando la caga s constant,, ntoncs. En st caso la cuación (5.1) s scib V V (5.4) Es dci l voltaj nt las placas dl capacito disminuy n un facto. 17

23 5.9.. MOLÉCULAS POLARES Y NO POLARES. El hcho d qu la capacidad s incmnta n psncia d un diléctico s pud xplica dsd l punto d vista molcula. A continuación vamos a mosta qu la constant diléctica s una mdida d la spusta diléctica a un campo léctico xtno. Es sabido qu un diléctico stá fomado po moléculas lécticamnt nutas. Dsd st punto d vista los dilécticos pudn s: Polas Aqullos qu tinn momntos dipolas lécticos pmannts o intínscos. Es dci, los cntos d las cagas positivas y ngativas posn un dsplazaminto lativo. Ejmplos d st tipo lo constituy l agua (H O), l ácido clohídico (HCL), l CO, l HN, tc. En la figua 5.6a s musta la molécula d agua, n la figua 5.6b, s musta un diléctico compusto po vaias d las moléculas polas n ausncia campo xtno, n dond s obsva qu las moléculas tinn una ointación alatoia. Cuando xist la psncia d un campo xtno tal como s musta n la figua 5.6c, l toqu sob las moléculas oigina qu llas s alinn con l campo aplicado. Sin mbago, l alinaminto no s complto dbido a la agitación molcula dbido a la tmpatua. La alinación molcula da luga a la apaición d un campo léctico intno qu s opusto al campo xtio y d una magnitud mno. (a) (b) (c) Figua 5.5. (a) Molécula d agua (b) Diléctico sin campo xtno y (c) diléctico n l intio d un campo léctico xtno No polas Aqullos qu tinn momntos dipolas lécticos no pmannts. Es dci, los cntos d las cagas positivas y ngativas coincidn tal qu l momnto dipola nto s co. Ejmplos d st tipo son l H, O, N, l dióxido d cabono, tc. En la figua 5.6, s musta la molécula dl dióxido d cabono n dond s obsva qu l cnto d las cagas psoitivas y ngativas s único. Figua 5.6 Molécula d un diléctico no pola como l dióxido d cabono En la figua 5.7a s musta un diléctico compusto po vaias d las moléculas no polas n ausncia campo xtno, n dond s obsva qu las moléculas no tinn una ointación alatoia. Cuando xist la psncia d un campo xtno tal como s musta n la figua 5.7b, st campo induc cagas 18

24 supficials n las caas izquida y dcha y como tal apac un campo léctico opusta a, sindo, sindo n la dicción (a) (b) Figua 5.7. (a) Diléctico no pola sin campo xtno y (c) diléctico pola n l intio d un campo léctico xtno BASES FÍSICAS DE κ Al xamina la tabla 5.1, s obsva qu κ no tin unidads, po su valo tind al infinito cuando s tata d los mtals. Est hcho indica qu la difncia d potncial nt las placas db tnd a co. Paa valua sto considmos un condnsado plano d placas paallas tal como s musta n la figua 5.8a. La difncia d potncial nt sus placas s, y l campo léctico n l intio s, ntoncs la difncia d potncial nt placas s d V (5.41) Cuando s intoduc una hoja d mtal, nt las placas, l campo s anula n l intio dl mtal instado como s musta n la figua 5.8b y sólo toma un valo n la gión no ocupada po l conducto instado. Entoncs la difncia d potncial s La lación nt las capacidads s ntoncs ( d d o ) V (5.4) d C / V V d C ( ) / V d d V o d d (5.43) Si l spacio nt las placas stá casi compltamnt llno con mtal, la constant diléctica. Figua 5.8. (a) (b) (a) Capacito d placas planas sin diléctico, (b) capacito con una hoja mtálica n su intio 19

25 Rmplacmos ahoa la hoja mtálica po un diléctico tal como s musta n la figua 5.9 y obsvmos lo qu ocu. Los fctos qu causa st diléctico s obsvan aplicando la ly d gauss a la supfici gaussiana mostada Figua 5.9 Capacito d placas planas con un diléctico n su intio Dbido a qu la tapa stá n l conducto l campo s nulo; admás a lo lago d las supficis latals no xist flujo dbido a qu las nomals son ppndiculas al campo léctico y solamnt xist flujo n la tapa infio, ntoncs la aplicación d la ly d Gauss nos da nc E. nda E. n da E. n da E. n da Ò 1 L SG tapa c. latal fondo fondo E n da nc. Po l campo léctico s d magnitud constant n la supfici dl cubo qu s ncunta n l diléctico, ntoncs la cuación antio s scib. EA A i A nc lb ligada E i (5.44) D la cuación (5.44), pud obsvas qu la caga ligada (inducida) n l diléctico s la causa d la disminución n l campo léctico y po tanto n la disminución n la difncia d potncial nt las placas. Esto a su vz poduc un incmnto n la capacitancia dl condnsado. Si l diléctico llna compltamnt la gión nt las placas mtálicas, l campo tndá l valo dado po la cuación (5.44), xcpto n l dlgado spacio d spaación nt placas y diléctico. La difncia d potncial nt las placas sá ntoncs i V Ed d (5.45) La capacitancia n st nuvo condnsado s: C V ( i i ) d d (5.46)

26 La capacitancia ants d insta l diléctico s Po tanto la constant diléctica sá C (5.47) d C ( i ) d C i d (5.48) O también pud scibis n la foma 1 (5.49) 1 ( ) i VECTOR POLARIZACIÓN ( ) S ha dmostado n las sccions antios qu los matials dilécticos stán fomados po un conjunto d dipolos lécticos pmannts o inducidos. Uno d los concptos cucials paa l ntndiminto dl compotaminto d los matials dilécticos s l campo léctico pomdio poducido po los dipolos lécticos alinados con l campo léctico. Paa valua dicho campo, supongamos qu tnmos una piza d matial n la foma d un cilindo con áa A y altua h, como s musta n la figua 5.3a. Si ahoa al diléctico l aplicamos un campo xtno dicho campo povoca un ligo dsplazaminto, d la caga positiva n la dicción dl campo aljándos d la caga ngativa. Po oto lado, cuando s combina la caga positiva y la ngativa dnto dl diléctico, aún s canclan nt sí. Únicamnt n los xtmos apacn los fctos d dsplazaminto véas figua 5.3 d. (a) (b) (c) (d) Figua.5.3. Polaización d un diléctico En fcto, su campo léctico ha poducido cagas n los dos xtmos dl cilindo. Esta caga s ncunta fimmnt unida a las moléculas dl diléctico, dnominándos a ésta caga ligada. A difncia d las cagas libs, la caga ligada no pud movs libmnt dnto dl matial. Sin mbago, las cagas ligadas no balancadas poducn un campo xactamnt n la misma foma qu las cagas libs. Con l objto d dfini l vcto polaización considmos un diléctico fomado po N moléculas sob las qu actúa un campo xtno. Cada una d las moléculas polas adqui un pquño momnto dipola. Po tanto, un lmnto macoscópico d volumn qu contin m dipolos d sta clas tndá un momnto dipola m p pi i1 (5.5) 1

27 Figua5.31 Momntos dipolas lmntals inducidos po la aplicación d un campo léctico xtno El vcto polaización macoscópica mdio diléctico (figua 5.31), s dci s dfin como l momnto dipola mdio po unidad d volumn d m 1 P Volumn i 1 p i (5.51) Entoncs l vcto polaización o simplmnt polaización n cualqui punto dnto dl diléctico s P lim p dp v v dv (5.5) La xistncia d implica la psncia d un nuvo campo léctico dnto dl diléctico l mismo qu cancla pacialmnt al campo oiginal. Sin mbago, s difícil calcula l nuvo campo léctico supponindo dictamnt los campos poducidos po cada lmnto d volumn dnto dl diléctico. Paa dtmina l campo oiginado po la polaización, considmos un matial diléctico n l cual s unifom n todas pats como s musta n la figua 5.3. Figua 5.3. En un diléctico polaizado unifommnt, las cagas d los dipolos intnos adyacnt s cancla mutuamnt, l campo léctico inducido s db solo a la distibución d cagas supficials dsquilibadas qu apac n la supfici xtna dl diléctico. Si la caga positiva s dsplaza una distancia vctoial sá q P i v con lación a la caga ngativa, ntoncs la polaización (5.53) D la figua s obsva qu, l volumn s, ntoncs la magnitud dl vcto polaización s q q (5.54) P i i A A i

28 En conscuncia la magnitud dl vcto polaización s igual a la dnsidad d caga supficial (caga po unidad d áa). En l caso d qu no sa ppndicula a la supfici la dnsidad d caga supficial ligada s xpsa i P. n Pcos (5.55) Dond s un vcto unitaio nomal a la supfici. La cuación (5.17) también pud scibis n la foma P (5.56) i Dond P, s la componnt ppndicula a la supfici. La cuación (5.56) podía intptas dicindo qu l vcto polaización mpuja una caga i P a tavés d un áa unitaia d supfici diléctica oiginal no polaizada. En otas palabas si l áa s consida n l intio dl diléctico, la cantidad d caga positiva mpujada a tavés d ésta áa, cuando s polaiza l diléctico s P P A A i (5.57) Paa dtmina la caga dnto dl diléctico considmos una supfici cada qu ncia una poción d volumn diléctico como s musta n la figua 5.33, inicialmnt sin polaiza. Si ahoa pocdmos a polaiza dicho matial, cuánta caga positiva s mpujada hacia afua dl volumn cado po l pocso d polaización?. Figua 5.33 Matial diléctica polaizado. Es sabido qu la caga mpujada a tavés dl áa stá dada po la cuación (5.19), s dci, la caga total mpujada fua dl áa ncada s la suma d las cagas, sto s P A fua (5.58) Si ahoa hacmos l áa cada vz más pquña, la cuación (5.), s scib P da P cos da fua (5.59) S S Pusto qu l volumn dl diléctico a inicialmnt nuto, l volumn tndá ahoa un xcso d caga d n su intio. La caga no balancada n l intio dl volumn cado sá dnto P. nda S (5.6) 3

29 5.9.5 Ly d Gauss paa dilécticos En l capítulo III s studió la ly d Gauss y sus aplicacions n l caso d qu las cagas s ncontaban n l mdio vacío s dci no xistn dilécticos. Ahoa apliqumos dicha ly n l caso d la psncia d dilécticos paa sto, considmos un capacito d placas paallas con un diléctico n su intio tal como s musta n la figua Figua Ly d gauss aplicada a un capacito d placas paallas con diléctico. La aplicación d dicha ly sá Rmplazando la cuación (5.6) n (5.61) s tin nc q q lib ligada E Ò. nda (5.61) SG Simplificando la cuación antio s tin q 1 E. nda lib P. nda Ò Ò (5.6) Ò ( E P). nda qnta, lib (5.63) La cuación (5.5) s simplifica aún más cuando s tin matials dilécticos homogénos isótopos (matials qu tin popidads dilécticas similas n todas las diccions y n todos los lugas). Dbido a qu la polaización s povocada po l campo léctico, no dbmos sopndnos d qu algunos matials san linals, sto s sindo la constant d popocionalidad la llamada suscptibilidad léctica χ. Entoncs la polaización s scib P E 4 (5.64) Al mplaza la cuación (5.64) n la cuación (5.5.63) s tin (1 Ò ) E. nda qlib (5.65) Como s dmusta postiomnt, la cantidad 1 s igual a la constant diléctica K, s dci (5.66) 1 Rmplazando la cuación (5.66) n (5.65) s tin Ò E. nda qlib (5.67)

30 D oto lado al poducto 1 Y la constant diléctica pud scibis n la foma s l dnomina pmisividad dl diléctico sto s (1 ) (5.68) (1 ) (5.69) La ly d Gauss también pud scibis Ò E. nda qlib (5.7) Dsplazaminto léctico. Cuando s tin un diléctico n l intio d un capacito d placas paallas y s aplica la ly d Gauss a una supfici gaussiana, s tin q q nc i Ò E. nda SG (5.71) A i A EA (5.7) El signo mnos s db a qu la caga ligada n l intio d la supfici gaussiana s ngativa. Entoncs E E P (5.73) i Es a la cantidad qu s l conoc como dsplazaminto léctico, ntoncs la cuación D E P (5.74) Dbido a qu l campo léctico y la polaización son cantidads vctoials s pud scibi D E P (5.75) D sta cuación pud dducis qu: i. El dsplazaminto léctico stá únicamnt lacionado con la caga lib y s pud psnta po línas d fuza qu cominzan y tminan n las cagas libs. ii. La polaización, stá únicamnt lacionada con la caga ligada (caga d polaización). También s posibl psntalo po línas d fuza qu cominzan y tminan n las cagas d polaización. iii. El campo léctico, stá lacionado con todas las cagas qu xistn ya sa libs o ligadas 5

31 Figua Vctos dsplazaminto, campo y polaización lécticos n un condnsado d placas planas con diléctico. P E Tnindo n cunta qu la polaización stá dada po scibis n la foma Y la ly d Gauss n función dl dsplazaminto léctico s, l dsplazaminto léctico pud D E E (1 ) E E E (5.76) Ò D. nda qlib (5.77) SG 6

32 PROLEMAS RESUELTOS 1. Una sfa conductoa cagada y aislada d 1 cm d adio ca un campo léctico d 4,9.1 4 N/C a una distancia d 1 cm d su cnto. Cuál s su dnsidad d caga supficial?. (b) Cuál s su capacitancia?. Solución Sabmos qu l campo léctico cado po una sfa n puntos xtios s q E k Y su módulo stá dado po q E k Entoncs la caga qu pos st conducto sá 4 9 q N / C 9.1 N. m / C (, 1 m) q,4c Pat (a. ) Dnsidad d caga Pat (b). q q,4c A 4R 4 (,1 m) 1,33 C/ m Capacitancia d la sfa Pat (a) Campo léctico nt las placas Pat (b). V Ed 3 5 V E(.1 m) E 1,5 kv / m Dnsidad d caga supficial E E V m Pat (c). Pat (d) 1 3 8,85.1 (1, 5.1 / ) 11, 5 nc / m La capacitancia A C d.1 C 3,54 pf 1 4 8,85.1 (8.1 ) Caga sob la placa 3 V CV 3,54 pf(5 V ) C 88,5 pc 3. Un condnsado d placas paallas tin una capacidad d, μf y la spaación nt las placas s d 1,6 mm. (a) ué difncia d potncial pud stablcs nt las placas d capacito ants qu s poduzca la uptua diléctica dl ai?. (E max = 3 MV/m). (b) cuál s l valo d la caga máxima qu pud almacna l condnsado ants qu s poduzca sta uptua?. C R C N m m (8,85.1 /. )(,1 ) C 13,3 pf Solución Pat (a). Difncia d potncial máxima. Un capacito d ai stá fomado po dos placas paallas cada una d llas con un áa d 8 cm, spaadas po una distancia d, mm. A stas placas s l aplica una difncia d potncial d 5 V. dtmin: (a) l campo léctico nt las placas. (b) La dnsidad d caga supficial, (c) La capacitancia y (d) La caga sob la placa. Solución En la figua s musta la disposición d capacito V E d V m m 6 3 max 3.1 / (1, 6.1 ) V 4,8kV Pat (b) Caga máxima almacnada V C CV F V mx 6.1 (48 ) 96C 4. Un tamo d 5 m d cabl coaxial tin un conducto intio d,58 mm d diámto y llva una caga d 8,1 μc. El conducto qu lo oda tin un diámto intno d 7,7 mm y llva una caga d -8,1 μc. (a) Cuál s la capacitancia d st cabl?. (b) Cuál s la difncia d potncial nt los conductos?. Suponga qu l spacio nt conductos stá llno d ai. 7

33 Solución En la figua s musta l condnsado sféico. En la figua s musta la disposición dl cabl Pat (a). Capacitancia dl cabl. S ha dmostado qu la capacidad stá dada po L C ln( b/ a) Rmplazando los valos dados n l nunciado s tin C 1 (8,85.1 C / N. m )(5 m) ln(3,635/1,9) C,68nF Pat (b) Difncia d potncial nt conductos i) Pim método ii) V Sgundo método. 8,1.1 6 V C 9, 68.1 F V 3V / L V ln( b / a) ln( b / a) 6 8,1.1 C/ 5m 1 (8,99.1 C / N. m ) V 3V C ln(3,635/1,9) 5. En un capacito sféico llno d ai los adios d los cascaons intio y xtio midn 7 y 14 cm, spctivamnt. (a) Dtmin la capacitancia d st dispositivo. (b) Cuál tndía qu s la difncia d potncial nt las cascaas sféicas paa obtn una caga d 4 μc?. Pat (a) S ha dmostado qu la capacitancia paa un condnsado sféico stá dado po 4 ab C ( b a) Rmplazando los valos consignados n l poblma s tin C Pat (b) 1 4 (8,85.1 C / N. m )(,7 m)(,14 m) (,14m, 7 m) C 15,6 pf Difncia d potncial V C 1 15, 6.1 F V 56kVV 6. Dos condnsados d capacidad C 1 = 4 μf y C = 1 μf s ncuntan conctados n si y alimntados po una batía a 1 V. Si ahoa s dsconctan cuidadosamnt sin qu s dscagun y ahoa s conctan n paallo unindo sus lados positivos y sus lados ngativos. Calcula la difncia d potncial a tavés d cada uno d los condnsados dspués d s conctados. (b) Halla la ngía final inicial almacnada los condnsados. Solución En la figua s musta los condnsados conctados n l stado inicial. C Solución 8

34 Dbido a qu los condnsados stán n si las cagas n ambos son iguals a. Aplicando la ly d Kichhoff s tin 1V 4F 1F 1 1 1V 4F 1F 36C Cuando s ls dsconcta y s vul a concta n paallo l cicuito quda n la foma Solución Pat (a). Cuando l intupto S stá abito La capacidad quivalnt n st caso s C 4F 1F 16F La difncia d potncial n l condnsado quivalnt sá (36 C) V C 16F V 4,5V Pat (b). La ngía almacnada inicialmnt sá 1 1 U C V (3 C )(1 V ) U 16J inic, inc inicial inic La ngía final almacnada sá 1 1 U C V (16 C )(4,5 V ) U 16J inic, final final inic 7. Paa l sistma d condnsados qu s musta n la figua. Hall: La difncia d potncial nt a y b cuando l intupto S s ncunta abito. (b) El potncial léctico dl punto b cuando l intupto S stá cado. (c) la caga n cada condnsado cuando S stá cado. Aplicando la sgunda ly d Kichhoff a la malla ABEFA, tnmos V V V f C C V C 1 Aplicando la sgunda ly d Kichhoff a la malla ACDFA tnmos V V V f C3 C6 9V (1 ) C Aplica l toma d la tayctoia 1 Vb V 6 6 a V 6 6 a V V V V a b 1 b 9

35 Pat (b) Cuando l intupto stá cado Aplicando la pima ly d Kichhoff (consvación d la caga) al nudo A, tnmos Rducindo los condnsados n paallo, s tin q1 q q3 Aplicando l toma d la tayctoia a la malla MOABM, sulta Aplicando la sgunda ly d Kichooff, s tin V M q q C3 C1 q q V C M C3 (1) 3 3 9V (1 ) 5 1 3C Aplica l toma d la tayctoia 1 3 VT V 6 b V 6 a 1.1 V 3V a 8. Hall la difncia d potncial V A V B nt los puntos A y B dl cicuito mostado. Aplicando l toma d la tayctoia a la malla BNPAB, sulta V q q 3 B C C3 q q V B C 3 C3 Rmplazando () y (3) n (1), tnmos C3 C3 () q q C C C C q q C C C C1 C C3 (3) Aplicando l toma d la tayctoia nt A y B, V q 3 A C3 V B Solución V q C 1C 1 C C C C A VB C3 C3 3 En la figua s musta l cicuito capacitivo conjuntamnt con las polaidads n los lmntos dl cicuito y las cagas n los capacitos. V C C 1 1 AVB C1 C C3 Rta. 3

36 9. Ts condnsados s conctan tal como s musta n la figua. S cia l intupto S 1 y l condnsado C 3 s caga a una difncia d potncial d 33 V. Lugo s ab S 1 y s cia S. (a) Cuál s la difncia d potncial n cada uno d los condnsados? (b) Cuál s la caga n cada uno d los condnsados?. Los condnsados C 1 y C 3 s ncuntan n si, ntoncs s halla su capacidad quivalnt. udando l cicuito n la foma C CC 1 F( F) F C1 C F Sgún l pincipio d consvación d caga, tnmos Solución Cuando l intupto S 1 s ncunta cado y S s ncunta abito. ' 3 3 ' 99 C 3 (1) Dbido a qu los condnsados C 3 y C stán n paallo. Sus difncias d potncial son iguals. V C ' ' 3 3 V C3 C 3F 9 ' 3 3 C ( / 3) F () Rmplazando () n (1), tnmos Aplicando la sgunda ly d Kichhoff, a la malla ABCDA, s tin V V F C3 3 99C (1) Cuando s ha cagado l capacito C 3, s ab l intupto S 1 y s cia l intupto S. Entoncs l cicuito capacitivo quda n la foma C Rmplazando (3) n (), sulta 18C (3) ' 9 3 (18 C ) 81 C (4) Dbido a qu los capacitos C 1 y C s ncuntan n si, éstos tndán la misma caga, igual a la caga n capacito quivalnt. Es dci 1 18C (5) Ahoa pocdmos a dtmina las difncias d potncial n cada capacito 31

37 81C V 7V 3F ' ' 3 3 C3 18C 1 V1 C1 1 F 18C V C F 18V 9V Figua (b) Los capacitos C a y C stán n paallo ntoncs su capacidad quivalnt sá C b Cb Ca C 3,1F 6, F C 9.3F b El cicuito ducido s musta n la figua c. 1. En la figua, cada capacitancia C 1 s d 9,3 μf y cada capacitancia C s d 6, μf. (a) Calcula la capacidad quivalnt d la d nt los puntos a y b. (b) Calcul la caga n cada uno d los capacitos más ccanos a los puntos a y b cuando V ab = 84 V. Con 84 V a tavés d a y b dtmin V cd. Figua (c) Los capacitos C b y los dos capacitos C 1 stán n si ntoncs su capacidad quivalnt sá C c s Solución Pat (a) Los ts capacitos d la dcha stán n si su capacidad quivalnt sá C a C c C C C 9,3 9,3 9,3 1 b 1 9,3 Cc 3,1 F 3 El cicuito ducido s musta n la figua c. Figua (a) La capacidad sá C a C1 C1 C1 C1 C1 9,3 Ca 3,1 F 3 3 Figua (d) Los condnsados C y C c stán n paallo, ntoncs su capacidad quivalnt sá C. Cd Cc C 3,1F 6, F C 9.3F d El nuvo cicuito ducido s l mostado n la figua (). El cicuito ducido s l mostado n la figua (b) Figua () 3

38 Finalmnt s obsva qu los capacitos C 1 y C d stán n si, ntoncs su capacidad quivalnt s C C C C 9,3 9,3 9,3 1 d 1 C 9,3 3,1 F 3 Pat (b) La caga n l capacito quivalnt C sá C V 3,1 F(84 V) 64C (1) Los capacitos C 1, C d, C 1 al sta n si posán la misma caga sto s 1 d 64C () La difncia d potncial n l capacito C d sá d 64C Vd C 9,3F d V 8V (3) d b 868C Vb C 9,3F b V 93,33V (7) b Los condnsados C y C a stán n paallo, ntoncs su difncia d potncial son iguals igual al dl capacito C b V Vb 93,33V (8) La difncia d potncial nt los puntos c y d sá V V V 93,33V c V V V c d d (9) 11. Un capacito pos placas ctangulas d longitud a y anchua b. La placa supio stá inclinada un pquño ángulo como s indica n la figua. La spaación d las placas vaía d s = y a la izquida a s = y a la dcha, sindo y mucho mno qu a o b. Dtmin la capacidad utilizando bandas d anchua dx y d longitud b qu actúan como condnsados difncials. Dbido a qu C d s l sultado d los dos condnsados n paallo C c y C, las difncias d potncial d stos últimos s V Vc Vd 8V (4) La caga n l condnsado C sá CV 6, F(8 V) 1736C (5) Solución En la figua s musta la división dl capacito n capacitos d ancho b, longitud dx y d spaación nt placas h. La caga n l condnsado C sá C V 3,1 F(8 V ) c c c c 868C Dbido a qu los condnsados C 1, C C y C 1 d la figua (c) stán n si, llos tndán la misma caga, sto s 1 b c 868C (6) Entoncs la difncia d potncial n l capacito C b sá. La capacidad dl capacito difncial s ( bdx) dc h La altua h vin xpsada mdiant la cuación 33

39 h y d y x 1 h y(1 x) a y a Al mplaza l valo d h n la capacidad difncial s tin ( bdx) ( abdx) dc 1 y ( ) (1 x) y a x a La capacidad dl condnsado complto s obtin intgando la xpsión antio sto s ab a dx C dc y ( a x) ab a C ln( a x) y ab C ln y 1. Una lamina no conductoa d spso t, áa A y constant diléctica κ s instada nt l spacio d las placas d un capacito plano con spaciaminto d, caga + y áa A, como s musta n la figua. La lámina no ncsaiamnt stá n l mdio nt las placas dl capacito. Dtmin la capacitancia dl sistma Solución En la figua s musta los campos n l ai y n l diléctico E A Cuando stá psnt l diléctico l campo léctico s xpsa n la foma E E La difncia d potncial s dtmina intgando l capo léctico a lo lago d la tayctoia cta B V E. ds V V V A,1 d, d t d t V E Edt E E V E( d t) t V ( d t) t A A 1 V d t 1 A La capacidad dl condnsado sá C V 1 d t 1 A A C 1 d t1 Rta. 13. En un condnsado d placas lanas paallas s instan dos dilécticos cuyas constants dilécticas son κ 1 y κ como s musta n la figua. Dtmin la capacidad dl capacito. En ausncia d un diléctico l campo stá dado po Solución 34

40 El la figua s musta los campos lécticos n los dilécticos Dbido a qu la difncia d potncial paa cada uno d los dilécticos s la misma, podmos tata al sistma como compusto po dos condnsados con diléctico instalados n paallo El campo léctico cuando xist dilécticos stá dado po E E1 1 1A E E A La difncia d potncial nt las placas sá B V E. ds V V A 1 d d V E E1 d d V A A 1 d 1 1 d 1 V A 1 A 1 La capacidad dl capacito sá C V 1 A 1 A 1 C d En capacito d amaduas planas paallas d áa A y spaadas una distancia d s colocan dos dilécticos d constants dilécticas k 1 y k como s musta n la figua. Dtmin la capacidad dl capacito. La capacidad d cada capacito sá A/ A 1 A C1 V E1d ( E / 1) d ( / ) d 1A C1 d ( A/ ) A A C V Ed ( E / ) d ( / ) d A C d La capacidad dl capacito quivalnt sá 1A A C C1 C d d A C ( 1 ) d 15. El spacio nt dos sfas mtálicas concénticas muy finas stá llno d un diléctico cuya constant s κ. Los adios d las sfas son iguals a 1 y. La cagas d los conductos intio y xtio son iguals a + y, spctivamnt. Dtmin: (a) la difncia d potncial, (b) la dnsidad d cagas d polaización y (c) la capacidad dl condnsado sféico con diléctico. Solución En la figua s musta l capacito sféico con l diléctico así mismo s musta las cagas d polaización poducto dl campo nt las sfas conductoas y la supfici gaussiana d adio a usa paa halla l campo léctico Solución 35

41 C V ( ) C ( ) 1 Paa nconta l campo léctico nt las sfas s aplica la ly d Gauss a la supfici gaussiana, sto s SG q q q E nda E lib polaiz l. (4 ) q E 4 l 16. Consid un condnsado sféico fomado po dos conductos d adios a y c. Ent las dos supficis conductoas s llna dos matials dilécticos tal qu l diléctico d constant κ 1 stá nt a y b, y l diléctico d constant κ nt b y c como s musta n la figua. Dtmin: (a) El dsplazaminto léctico n cada uno d los dilécticos, (b) l campo léctico n cada uno d los matials dilécticos y (c) la capacitancia d st sistma. O aplicando la ly d Gauss a dilécticos, s tin SG q E nda E lib. (4 ) E 4 D dond s obtin las cagas d polaización q l q l 1 ql Las dnsidads d caga d polaización sán ( 1) l,int 41 ( 1) l,int 4 La difncia d potncial nt las amaduas dl capacito sá Vxt dv 4 ( 1) Vxt Vint 4 Vint 1 d 1 ( 1) V Vint Vxt 4 1 La capacidad dl condnsado sféico con diléctico sá Solución Pat (a). Aplicando la ly d Gauss a las supficis gaussianas psntadas con línas puntadas, s tin Pat (b). D. n da q D (4 ) SG 1 1 lib 1 D1 a b 4 D. n da q D (4 ) SG lib D b c 4 Cálculo d los campos lécticos. 36

42 D E 4 E Solución Pat (a) En la figua s musta la supfici gaussiana d adio y longitud L a utiliza paa halla l dsplazaminto léctico. D E 4 E 4 Pat (c). Cálculo d la difncia d potncial dv E d E d 1 d d dv dv d d 4 4 Vb b c Va a b Vb Va 4 a b 4 b c 1 ( b a) ( c b) V Va Vb 4 ab 4 bc Pat (d). C V 1 Cálculo d la capacitancia ( b a) ( c b) 4 ab 4 bc 1 4 abc C c( b a) a( c b) Un capacito cilíndico d longitud L stá compusto po una cáscaa d adio a con una caga + y d ota cáscaa d adio b con una caga, spaadas po un diléctico d constant κ tal como s musta n la figua. Dtmin: (a) El dsplazaminto léctico, (b) l campo léctico n l diléctico, (c) la difncia d potncial nt las placas dl capacito y (d) la capacitancia dl capacito. Aplicando la ly d Gauss s tin SG D nda q D L '. ( lib ) ' = a L = a ' ' D a b L L Pat (b) sá Pat (c). El campo léctico n l diléctico a D E a E La difncia d potncial sá dv Ed ad dv Intgando la xpsión antio, sulta Vb b ad a b d dv Va a a a b Vb Va ln a a b V Va Vb ln a Pat (d) Capacitancia dl sistma L C V a b ln a 37

43 L C b ln a 18. Una sfa conductoa d adio R n l vacio tin una caga +. (a) Dtmin la ngía potncial lctostática total almacnada n l spacio cicundant. (b) Cuál s l adio R d la supfici sféica tal qu dnto d lla qud almacnada la mitad d la ngía?. Solución Pat (a) Cálculo d la ngía potncial lctostática. En pim luga s dtmina l campo léctico n puntos xtios a la sfa conductoa du du du dv E E vol dvvol d 3 8 (4 d) 4 Intgando la xpsión antio, s tin U 8 du R U 8 R d Rta. Pat (b) Paa dtmina l adio R paa almacna la mitad d la ngía almacnada s tin 1 U 8 R R d 8 R 8 R R Paa sto s aplica la ly d Gauss a la supfici gaussiana d adio. E. nda E(4 ) SG E R 4 S pocd a dtmina la dnsidad d ngía 1 1 E E 4 E 4 3 R R Rta. 19. A una funt d f..m. ξ s l conctaon dos capacitos d placas panas paallas d ai, cada uno d los cuals tin una capacidad C. Lugo uno d éstos s llno compltamnt con un diléctico homogéno, cuya constant diléctica s κ. Cuántas vcs disminuyó la intnsidad d campo léctico n ést condnsado?. ué caga cicula a tavés d la funt?. Solución El la figua (a) s musta la instalación d los capacitos ant d la insción dl diléctico Paa dtmina la ngía qu xist n l spacio cicundant dividimos a st n cascaons sféicos d adio y spso d y s aplica la dfinición d dnsidad d ngía Aplicando la sgunda ly d Kichhoff, s tin 1 1 C C C C C 38

44 C (1) El campo léctico n cada uno d los condnsados con ai nt sus placas, s E C / A A C E () A En la figua (b) s musta l cicuito cuando s instala l diléctico n uno d los capacitos Aplicando la sgunda ly d Kichhoff al cicuito s tin C C d 1 1 C Cd C Cd CCd CC C( C) C 1 d 1 C C C C d (3) Aplicando la ly d Gauss paa dilécticos s tin. C E A E ( 1) E C E A( 1) Pat (b). Caga qu cicula a tavés d la funt d tnsión. C C 1 1 C 1 1 Rta.. El spacio nt las placas d un capacito plano s llna con un diléctico isótopo, cuya constant diléctica κ vaía n dicción ppndicula a las placas sgún una ly linal dsd κ 1 hasta κ, sindo κ 1 > κ. El áa d las placas s A, mintas qu la distancia d spaación nt las placas s d. Dtmin: (a) La capacitancia dl capacito y (b) La dnsidad volumética d las cagas ligadas n función d κ, si la caga n l capacito s y l campo léctico n él s ointa l sntido d accntaminto d κ. Solución En la figua s musta l capacito así como la vaiación d κ. Una cuación qu lacion la constant diléctica sá d 1 1 x (1) E. nda qlib E A 1 S E A 1 (4) Rmplazando la cuación (3) n (4), sulta Pat (a) 1 C /( 1) E A A C E (5) A( 1) Rlación nt campos lécticos. S pocd a dtmina l dsplazaminto léctico aplicando la ly d Gauss a una supfici gaussiana n foma cúbica, sto s S D. nda q D( A) lib 39

45 D D i () Dbido a qu l dsplazaminto léctico stá lacionado con l campo, s tin D E E D i (3) Rmplazando la cuación (1) n (3) s tin E i 1 1 x d La difncia d potncial sá V d d dv E. ds V (4) dx 1 1 x d ( 1) b d d ( ) x ( 1) b d 1 1 x ( ) b Rta. 1 1 Ad 1. Calcula la capacidad d un capacito sféico l cual pos sus amaduas d adios a y b > a, qu s llna con un diléctico isótopo, cuya constant diléctica vaía sgún la ly, dond β s una constant y s la distancia mdida dsd l cnto. Solución En la figua s musta l capacito, así como la supfici gaussiana a utiliza paa nconta l dsplazaminto léctico. 1 Intgando la xpsión antio s obtin d V V V ln ( 1) 1 (5) Pat (a). La capacitancia stá dada po Pat (b). ligadas. A C V d ln ( 1) 1 A( 1) C Rta. d ln 1 Dnsidad volumética d las cagas El vcto polaización sta dado po d P D E i i 1d( 1) x La dnsidad d caga ligada s ncunta a pai d la cuación, ntoncs s tin d d b dx 1d ( 1) x Aplicando la ly d Gauss s tin S D nda q D El campo léctico sá. lib (4 ) D 4 D D E E 4 La difncia d potncial sá Vb b b dv Ed Va a a d 4 Rmplazando l valo d, s tin b d b d V Va Vb a 4 ( / ) 4 a 4

46 V ln( b / a) 4 La capacitancia dl capacito sá C V ln( b/ a) 4 4 C Rta. ln( b/ a). Consid dos alambs lagos, paallos y d cagas opustas, d adios d y con una spaación D nt sus cntos. Suponindo qu la caga stá distibuida unifommnt s la supfici d cada uno d los alambs dmust qu la capacitancia po unidad d longitud d st pa d alambs s d Solución C l D d ln( ) d El campo léctico dbido a la caga sob l alamb positivo s ppndicula al alamb, d dicción adial y d magnitud. E (1) La difncia d potncial nt alambs dbido a la psncia d sta caga s alamb( V1 E. d alamb ( ) d Da V1 ln d d D d () La psncia d la dnsidad d caga λ sob l alamb ngativo hac una contibución idéntica a la difncia d potncial nt los alambs. Po lo tanto, la difncia d potncial total sá. ln D d V V1 d La capacitancia d st sistma d dos alambs d longitud l sá l l C V D d D d ln ln d d La capacitancia po unidad d longitud sá. C l D d ln d 3. Un capacito d 1 μf stá cagado a 15 V. A continuación s l concta n si con un capacito d 5 μf sin caga. Esta combinación n si s concta a una batía d 5 V, sgún l diagama d la figua. Dtmin las difncias d potncial qu s psntan n las tminals d los capacitos d 5 μf y 1 μf. Solución La caga inicial n l capacito d 1 μf s CV1 1F 15V 15C Dspués qu s instala los capacitos a la funt d tnción, dicha funt tansfi una caga q, dando al capacito pquño d 5μF una caga q y al capacito d 1 μf una caga d (15μF +q). Paa dtmina q s aplica la sgunda ly d Kichhoff al cicuito, sto s q 15F q 5V 5F 1F 5 q15 q q117c La difncia d potncial n l capacito d 5 μf sá q 117 C V 5 3,3V 5F 5F La difncia d potncial n l capacito d 1 μf sá q 15C 67C V1 6,7V 5F 1F 41

47 4. La figua musta una batía d 5 V y cuato capacitos d capacitancias C 1 = 1 μf, C = μf, C 3 = 3 μf, C 4 = 4 μf y C 5 = 5 μf. Encunt: (a) la caga n cada uno d los capacitos si sólo s cia la llav S 1 y (b) la caga n cada uno d los capacitos dspués d ca también la llav S. C,75 F 1,33 F,8 F c Fig c Aplicando la sgunda ly d Kichhoff, s tin Pat (a) Cuando l intupto S 1 stá cado y S s mantin abito l cicuito s l mostado n la figua (a 1 1 5V,8F 5F V.8 5 5,8 1 5V 5(, 8) 73,45C 1 Es dci la caga n los capacitos d,8 μf y 5μF, s Fig (a) Los capacitos d 1μF y 3μF, s ncuntan n si; d igual foma s ncuntan n si los capacitos d μf y 4 μf, ntoncs dspués d la ducción s tin 1 F(3 F) 3 Ca F 1F 3F 4 F(4 F) 4 Cb F F 4F 3,8 5 73, 45C La difncia d potncial n l capacito d,8 μf, s 73,45C,8 V,8 C,8,8F 35,31V Dbido a qu l capacito d,8 μf s l sultado d los dos capacitos n paallo C 1,33 y C,75, stos tndán la misma difncia d potncial, sto s V V V V 1,33,75,8 35,31 La caga n stos capacitos sá 1,33 C1,33 V1,33 1,33 F(35,31 V) 46,96C,75 C,75V,75,75 F(35,31 V) 6, 48C Fig (b) Los capacitos d,75 μf y 1,33 μf s ncuntan n paallo, ntoncs su capacidad quivalnt s Dbido a qu capacito C,75 s l sultado d los capacitos n si C 1 = 1μF y C 3 = 3μF, ntoncs stos tndán la misma caga, sto s, , 48C 4

48 Análogamnt ocu con los capacitos d μf y 4μF, s dci C 1, ,96 Pat (b) Cuando ambos intuptos stán cados, ntoncs s tin V1 V 4,65V Entoncs las cagas n llos sán. q C ( V ) 1 F(4, 65 V ) 4, 65C q C ( V ) F(4, 65 V ) 49,3C D igual foma l capacito d 7μF s l sultado d los dos capacitos n paallo C 3 = 3 μf y 4μF. Entoncs su difncia d potncial s la misma V3 V4 V7 1,56V Entoncs las caga n stos condnsados sá Los capacitos d 1μF y d μf stán n paallo y también los capacitos d 3μF y 4μF stán n paallo, ntoncs sus capacidads quivalnts son C 1 F F 3F a C 3F 4F 7F b q C ( V ) 3 F(1,56 V ) 31, 68C q C ( V ) 4 F(1,56 V ) 4, 4C Un capacito cilíndico d longitud L tin un adio intno a y un adio xtio c. El spacio nt stas dos supficis s llnado con un diléctico paa l cual la constant diléctica s κ 1 nt a y b, y oto diléctico κ nt b y c, como s musta n la figua. Dtmin la capacitancia d st sistma Aplicando la ly d Kichhoff, sulta q q q 5V 3F 7F 5F q q 5 q 73,94C 15 La difncia d potncial n los capacitos d 3 μf y 7μF, s q 73,94C V3 4,65V C3 3F q 73,94C V7 1,56V C 7F 7 Dbido a qu l capacito d 3 μf s l sultado d los dos condnsados C 1 y C n paallo, sus difncias d potncial son las mismas, ntoncs Solución Pat (a). Aplicando la ly d Gauss a las supficis gaussianas cilíndicas cuya scción tansvsal s musta psntadas con línas puntadas, s tin SG D. n da q D ( L') L' 1 1 lib 1 43

49 SG L' D 1 = a b L' D. n da q D ( L') L' lib D b c Pat (b). Cálculo d los campos lécticos. D1 1E1 E1 1 D E E Pat (c). Cálculo d la difncia d potncial dv E d E d 1 d d dv 1 d dv Vb b c Va a b 1 1 d b c Vb Va ln ln a b 1 b 1 c V Va Vb ln ln 1 a b Pat (d). Cálculo d la capacitancia C V / L 1 b 1 c ln ln 1 a b L C 1 b 1 c ln ln 1 a b 44

50 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Dos condnsados C 1 = 1μF y C = μf s conctan n paallo a una lína d 1 V. (a) Hall la caga d cada capacito y (b) Los condnsados cagados s dsconctan d la d y llos nt sí, y s vulvn a concta con las laminas d distintos signos juntas. Dtmin la caga final d cada capacito y su voltaj spctivo. Rta. a) 1 5 V/m, b) 44,3 mj/m 3, c) 17,7 nf 6. En l cicuito capacitivo, dtmin: (a) la capacitancia quivalnt y (b) l voltaj y la caga n cada uno d los capacitos. Rta: a) 1μC, 4μC; (b) 4μC, 8μC, 4V. Un capacito d capacidad C 1 = 1, F s concta n paallo con una funt d tnsión qu pos una difncia d potncial V = 3 V. Dspués d la caga s dsconcta C 1 d la funt d voltaj y s concta n paallo a oto condnsado compltamnt dscagado cuya capacidad s C =,4 F. (a) Dtmin la nuva difncia d potncial V 1, (b) Cuánta ngía s pdió al aliza la conxión?. 3. Suponindo qu todos los capacitos qu apacn n la figua son idénticos (C 1 = C = C 3 = C 4 = F). Dtmin: (a) la capacidad quivalnt, (b) la difncia d potncial nt las amaduas dl capacito C 4 y (c) las cagas n los capacitos C 1 y C Un condnsado d placas paallas con placas d áa 5 cm s caga con una difncia d potncial V y dspués s dsconcta d la funt d voltaj. Cuando las placas s spaan,4 cm, l voltaj nt llas s incmnta n 1oo V. (a) Cuánto val la caga dpositada sob la palca positiva dl capacito?. (b) En cuánto ha ccido la ngía almacnada n l capacito a causa dl moviminto d las placas?. Rta. a) 11,1 nc; b) 55,3 μj 8. La batía d 4 V s utiliza paa caga a los capacitos mostados n la figua. Dtmin: (a) la capacidad quivalnt dl sistma, (b) la difncia d potncial n cada capacito, (c) la caga n cada uno d los capacitos y (c) la ngía almacnada n l capacito d 7μF 4. En l cicuito capacitivo, dtmin: (a) la capacitancia quivalnt y (b) l voltaj y la caga n cada uno d los capacitos. 9. Un condnsado d 1, μf s caga a 3 V. Dspués d sta compltamnt cagado, s dsconcta con cuidado d la funt d voltaj y s concta a oto condnsado dscagado. El voltaj final s d 1 V. (a) Cuál s la capacidad dl sgundo capacito?. (b) Cuánta ngía s pdió al aliza la conxión? Rta. a),4μf, (b) 36 mj 5. Un capacito d placas paallas tin las placas d m d áa y una spaación d 1 mm. S caga a 1 V. (a) Cuál s l campo léctico xistnt nt las placas?. (b) Cuál s la ngía po unidad d volumn n l spacio situado nt las placas?. (c) Cuál s la capacitancia dl capacito?. 1. Hall todas las capacidads fctivas posibls qu pudn obtns utilizando ts capacitos d 1 μf, μf y 4 μf n cualqui combinación qu incluya a los ts o a dos cualsquia d los condnsados 45

51 11. El voltaj a tavés d un capacito d placas paallas con una spaación nt las placas d,5 mm s d 1 V. l capacito s dsconcta d la funt d voltaj y la spaación nt las placas s incmnta hasta qu la ngía almacnada n l condnsado s duplica. Dtmin la spaación final nt las placas. 15. Cuato capacitos stá, conctados como s musta n la figua. (a) Encunt la capacidad quivalnt dl sistma. (b) Encunt la caga n cada uno d los capacitos cuando l intupto s ncunta cado. Rta. 1 mm 1. La batía d 4 V s utiliza paa caga a los capacitos mostados n la figua. Dtmin: (a) la capacidad quivalnt dl sistma, (b)la difncia d potncial n cada capacito, (c) la caga n cada uno d los capacitos y (c) la ngía almacnada n l capacito d 4 μf. 16. Los capacitos d la figua stán inicial y s ls concta como s musta n la figua. Dtmin: (a) la difncia d potncial V cd cuando l intupto S s ncunta abito, (b) El potncial dl punto c cuando S stá abito, (c) la difncia d potncial a tavés d cada capacito cuando S s ncunta cado y (d) l potncial dl punto d cuando S s ncunta cado. 13. Ts condnsados C 1 = μf, C = 4 μf, C 3 = 6 μf, conctados n paallo s cagan con una funt d V. a continuación s dsconctan d la funt d voltaj y s conctan d nuvo las placa positivas con las ngativas como s indica n la figua. (a) Cuál s l voltaj a tavés d cada uno d los capacitos con los intuptos S 1 y S cados, po con l S 3 abito. (b) dspués d ca S 3 cuál s la caga final d cada capacito?. (c) dtmin l voltaj a tavés d cada capacito dspués d ca S 3. Rta. (a) 1 V, (c) V 6 = V 3 = 18 V 17. En l cicuito capacitivo mostado n la figua, dtmin: (a) La capacitancia total dl cicuito, (b) La caga total dl cicuito complto, (c) la difncia d potncial n l capacito d 4μF y (d) la ngía almacnada n l capacito d 3 μf. Rta. (a) V, (b) 1 = -533μC, = -133μC, 3 = 67μC; (c) V 1 = -67V, V = -133V, V 3 = 4V 14. Encunt la capacitancia quivalnt d la combinación qu s musta n la figua. Hall también la caga n l capacito d 4μF. 18. Dos capacitos idénticos, d placas planas y paallas y capacidad C = 4 F cada uno s conctan n si a tavés d una batía d 4 V. (a) Cuál s la caga d cada uno d los capacitos? (b) Cuál s la ngía total almacnada po los capacitos?. Un diléctico d constant κ = 4, s insta nt las placas d uno d los 46

52 capacitos mintas la batía todavía stá conctada. (c) Una vz instado l diléctico Cuál s la caga sob cada capacito?. (d) Cuál s la difncia d potncial a tavés d cada capacito? () Cuál s la ngía total almacnada n los capacitos.. En la figua mostada, la batía popociona una difncia d potncial d ε = 36 V y cada uno d los cinco condnsados tinn una capacitancia d 1 μf. Dtmin: (a) la capacidad quivalnt dl sistma, (b) la caga n los capacitos C 1 y C, (c) La ngía almacnada po l sistma 19. En l sistma dtmin: (a) la capacidad fctiva nt los puntos a y b; (b) si a los xtmos a y b s l aplica una difncia d potncial d 4 V, Cuál sá la ngía almacnada n l capacito d 4 μf?. Rta: (a) 7,53 μf. La batía d 5 V caga a los cuato capacitos mostados n la figua. Sabindo qu C 1 = 1 μf, C = μf, C 3 = 3 μf y C 4 = 4 μf. Dtmin: (a) la capacidad quivalnt dl cicuito cuando l intupto S stá abito, (b) la caga n cada uno d los capacitos cuando l intupto S s ncunta abito y (c) la caga n cada uno d los capacitos cuando l intupto s ncunta cado. 3. Consid l cicuito qu s musta n la figua. Pimo s caga l capacito C 1 = 1 μf, cando l intupto K. Dspués st intupto s abito, y l capacito cagado s concta al oto capacito C = 9 μf uncialmnt dscagado, cando S. Dtmin la caga inicial adquiida po C 1, así como la caga final n cada uno d los capacitos 4. La figua musta una batía d 5 V y cinco capacitos d capacitancias C 1 = 1 μf, C = μf, C 3 = 3 μf, C 4 = 4 μf y C 5 = 5 μf. Encunt: (a) la caga n cada uno d los capacitos si sólo s cia la llav S 1 y (b) la caga n cada uno d los capacitos dspués d ca también la llav S. 1. En la figua mostada la batía popociona una difncia d potncial ΔV = 9 V. Dtmin: (a) La capacidad quivalnt dl sistma, (b) la caga d los capacitos más póximos a la funt y (c) la ngía almacnada po l sistma d capacitos. 5. La batía mostada popociona una difncia d potncial d 4 V paa caga l sistma d capacitos mostados n la figua. Si C 1 = C 3 = 4μF; C = C 4 = 1 μf y C 5 = 9 μf Dspués d ca l intupto S 1, dtmin: (a) La caga n cada uno d los capacitos, (b) la difncia d potncial n cada uno d llos, (c) la capacitancia dl condnsado quivalnt y (c) la ngía almacnada n C 4 47

53 lmntos disctos d cicuito. Con la finalidad d pactica l análisis d un aglo infinito, dtmin la capacitancia C quivalnt nt los tminals X y Y dl conjunto infinito d capacitos qu s musta n la figua. Cada uno d los capacitos tin una capacitancia C 6. La batía mostada suminista una difncia d potncial d V pmitindo caga a los capacitos mostados n la figua. Dtmin: (a) la capacidad quivalnt dl sistma, (b) la caga almacnada n cada uno d los capacitos, (c) l potncial n los capacitos C 1, C y C 3 y (c) la ngía almacnada po l sistma. 3. Un capacito consist d dos placas intcaladas, como s musta n la figua. La spaación d placas y l áa fctiva d solapaminto s musta n dicha figua. Cuál s la capacitancia d st sistma?. 7. Paa l sistma d capacitos mostado, dtmin la difncia d potncial nt los punto x y, si la batía popociona una f..m. d 11 V y la lación nt las capacidads s C/ C1 C 4 A/ d Rta. 31. En l cicuito dtmin: (a) la capacidad quivalnt dl sistma, (b) La ngía total almacnada y (d) la difncia d potncial n todos los capacitos 8. En l cicuito capacitivo mostado n la figua hall la ngía almacnada po l sistma si C = 19 μf. 3. Si s cotocicuita los puntos y N. Dtmin la difncia d potncial nt los puntos A y B. 9. Algunos sistmas físicos qu tinn capacitancia distibuida d mana contínua n l spacio s pud psnta como un aglo infinito d 48

54 33. Dtmin la capacidad C x paa qu la capacitancia quivalnt dl sistma d capacitos mostados n la figua spcto d los puntos A y B no dpnda dl valo d la capacidad C. Todas las capacidads stán n micofaadios 37. En l cicuito mostado n la figua, las capacitancias d los ts capacitos son C 1 = 1μF, C = μf y C 3 = 3μF. Dtmin la caga n cada uno d los capacitos. Rta. 8μF 34. Cuato capacitos idénticos d capacidad C, stán conctados como s musta n la figua. (a) al cominzo d la xpincia, l intupto B s mantin abito y l intupto A stá cado y lugo s ab. Ahoa l intupto B s cia. Cuál s la difncia d potncial n cada uno d los capacitos?. (b) Patindo d los capacitos dscagados l intupto B stá cado. Si l intupto A s cia. Cuál s la difncia d potncial n cada capacito? Un capacito d placas planas paallas d áa A y spaciaminto d s llnado con ts dilécticos como s musta n la figua. Cada diléctico ocupa 1/3 dl volumn. Cuál s la capacitancia d st sistma?. 39. Un capacito d placas planas paallas d áa A y spaciaminto d s llnado con ts dilécticos como s musta n la figua. Cada diléctico ocupa 1/3 dl volumn. Cuál s la capacitancia d st sistma?. 35. En l cicuito capacitivo mostado n la figua, suponga qu l potncial dl punto O s igual a co. Bajo sta suposición, dtmin los potncials d los puntos a, b y c. 4. Un capacito d lacas paallas s constuido usando ts difnts matials dilécticos, como s musta n la figua. Dtmin: (a) una xpsión paa la capacidad dl dispositivo n téminos dl áa A, la distancia d y las constants dilécticas κ 1, κ, y κ 3, (b) la capacitancia usando los valos A = 1 cm, d = mm, κ 1 = 4,9, κ =5,6 y κ 3 =,1 36. Dtmin la caga n cada uno d los capacitos n l cicuito mostado Consid un capacito consistnt d dos supficis cilíndicas concénticas con adios R 1 = 5 cm y R = 9 cm como s musta n la figua. Los cilindos concénticos tinn una longitud d h = 5 cm. El spacio nt y alddo d las supficis stá llno con ai hasta qu l capacito s cagado. Una funt, la cual tin una fm d 64,V, s conctada nt las dos

55 supficis hasta qu l capacito s compltamnt cagados. (a) Cuál s la capacitancia d st capacito cilíndico?, (b) qué cantidad d caga sá almacnada n cada una d las cascaas dspués d qu l capacito stá compltamnt cagado? y (c) ué cantidad d caga almacnaá dicho capacito cuando s cagu compltamnt? 44. Un capacito sféico aislado tin una caga + n su conducto intio (adio a ) y una caga n su conducto xtio (adio b ). La mitad dl volumn nt los dos conductos s llna con un diléctico líquido d constant como s musta n la figua. Dtmin: (a) La capacidad dl capacito fomado, (b) La magnitud dl campo léctico y dl dsplazaminto léctico n todas las gions compndidas dl capacito, (c) la dnsidad d caga supficial lib n la mitad supio infio d los conductos intno y xtno, (d) la dnsidad d caga supficial ligada d las supficis intna dl diléctico. 4. Suponga qu l condnsado dl poblma 41 s llna la mitad dl spacio nt las dos cáscaas cilíndicas con un acit minal qu tin una constant diléctica κ =,1, mintas la ota mitad pmanc con ai como s ilusta n la figua. Si R 1 = 5 cm y R = 1 cm Cuál sía la nuva capacitancia d st capacito cilíndico?, (b) Cuánta caga fluiá fua o dnto dl capacito como sultado d la adición dl aislant líquido. 43. Un capacito consist n una sfa conductoa intio d adio R y un cascaón conducto d adio intio R ubicadas coaxialmnt. El spacio nt las sfas s llnado con dos dilécticos linals difnts, uno con una constant dsd = R hasta = 1,5R y l oto con una constant diléctica dsd = 1,5R hasta =,5R. Si l conducto intio tin una caga + y la cáscaa conductoa tin una caga. Dtmin: (a) El vcto dsplazaminto léctico n cada uno d los dilécticos, (b) El campo léctico n cada uno d los dilécticos, (c) la difncia d potncial nt los conductos y (d) la capacitancia fctiva dl capacito. 45. Ent las dos supficis sféicas concénticas d 1 cm y 1 cm d adios s stablc una difncia d potncial d 16 V. Si s coloca nt llas acit d tal mana qu lln l spacio nt las amaduas, l potncial s duc a 4 V. Dtmin: (a) la constant diléctica dl acit utilizado y (b) la ngía almacnada po l capacito ants y dspués d añadi l acit. 46. Un capacito s conctado a una funt d voltaj d 15 V y s cagado hasta alcanza una caga d 3 nc. Sin s dscagado s ntoncs conctado a una funt d 45 V. ué cantidad d caga adicional s almacnada finamnt po l capacito?. 47. Un capacito d 5,7 nf stá fomado po dos placas cuadadas paallas spaadas,35 mm. ué cantidad d caga s almacnada sob las placas cuando s aplicada una difncia d potncial d 3 V al capacito?, Con l capacito todavía conctado a la funt d voltaj la spaación nt las placas s disminuida,5 mm. Cuál s l nuvo valo d la caga almacnada n l capacito?. 48. Dos capacitos d placas paallas n l vacio tinn áas igual y sus placas stán spaadas las distancias d 1 y d, spctivamnt. Must qu cuando los capacitos stán conctados n si, la capacitancia quivalnt s la misma qu la d un capacito simpl con áa A y spaciaminto d 1 +d. 49. Dos capacitos d placas planas y paallas n l vacio tinn áa A 1 y A y sus spaacions son iguals a d. Must qu cuando los capacitos son 5

56 conctados n paallo, la capacidad dl condnsado quivalnt s la misma qu d un capacito simpl d áa d sus placas A 1 A y spaciaminto d. 5. ué cagas ciculan dspués d la conxión dl intupto K dl cicuito capacitivo mostado n la figua a tavés d las sccions 1 y n los sntidos macados con las flchas? 53. Un condnsado d placas paallas ctangulas d longitud a y ancho b con cagas + y, pos un diléctico d igual anchua instado pacialmnt una distancia x nt las placas como s indica n la figua. (a) Dtmin la capacidad n función d x, dspciando los fctos d bod. (b) Compoba qu la spusta ofc los sultados spados paa x = y x = a. (c) Dtmin la ngía almacnada n función d x. (d) dtmin la fuza qu actúa sob l bloqu d diléctico. 51. Un capacito d laminas plano paallas cuya supfici s A = 1 cm y cuya spaación nt placas s d = 6 mm s caga hasta un potncial V = V. Sin dsconctalo d la batía s intoducn n él ts láminas planas d diléctico d igual spso qu ocupan todo l volumn nt las amaduas. Si la constant diléctica d la lámina cntal s κ = 5 y las d las latals s κ 1 = κ 3 =,5. Dtmina: (a) la capacidad C dl condnsado sin diléctico, así como la caga y la dnsidad d caga supficial. (b) la capacidad C d dl capacito cuando llva las láminas d diléctico indicadas n su intio. (c) la dnsidad d caga n las placas una vz stán dnto los dilécticos. (d) El campo léctico n cada lámina d diléctico y () la caída d potncial n cada lámina 5. El áa y la spaación d las placas d los dos capacitos mostados n la figua son idénticos. La mitad d la gión nt las placas dl capacito C 1 s llna con un diléctico d constant κ. ué facción d volumn dl capacito C db llnas con l mismo diléctico d modo qu los dos condnsados tngan igual capacitancia 54. Un capacito plano d 1 cm d áa y distancia d spaación,1 mm nt placas s cagado con V y dspués s ls dsconcta d la funt d voltaj. (a) Calcul su capacidad; (b) la caga qu s tansfi d una placa a la ota; (c) la fuza nt las placas; (d) la magnitud dl capo léctico y la ngía almacnada, () cuál s l valo máximo d la difncia d potncial qu pud stablcs nt las placas ants d qu s poduzca la uptua diléctica dl ai? (E max = 3MV/m); (f) cuál s l valo d la caga qu pud almacna l capacito ants d qu s poduzca sta uptua?. 55. En l poblma antio s llna l capacito con un diléctico d constant κ =. En cuánto cambia la capacitancia? (a) si s mantin conctada la funt d voltaj al intoduci l diléctico, cómo vaían las cantidads calculadas n los ítms (b) y (c) ; (b) Ídm si l pocso s aliza mantnindo constant ; (d) Cuál s la capacidad si l diléctico qu s insta nt las placas tinn un spso d,8 mm. 56. Dos capacitos d placas paallas áa A spaados po una distancia d s ncuntan conctados como s musta n la figua. Si l diléctico d constant κ instado n uno d llos tin un spso d/3. Dtmin la capacidad quivalnt dl sistma n conjunto. 51

57 57. Un capacito d placas planas paallas hoizontals d áa A =,5 m y spaación d placas d = 3 mm s llnado con dos planchas dilécticas. La plancha supio cuyo spso s mm tin una constant κ 1 = 6 y la plancha infio cuyo spso s d 1 mm tin una constant κ = 1. Si s aplica al capacito una difncia d potncial d V, ncunt l valo d las siguints cantidads n cada uno d los dilécticos: (a) l campo léctico E, (b) l dsplazaminto léctico D, (c) l vcto polaización P, y () la capacitancia total dl capacito. 61. Una sfa d diléctico d 5 cm d diámto y constant diléctica κ = 4, odada d ai, tin n su cnto una distibución d caga d 1 μc y adio dspciabl. Dtmin l campo léctico, la polaización y l dsplazaminto léctico n un punto qu dista cm dl cnto y n dos puntos inmdiatamnt póximos a la supfici sféica qu limita al diléctico, po uno intio a lla y l oto xtio. Rta: (a) E = 4 y 8 kv/m; (b) D = 45 nc/m ; (c) P = 354 y 39 nc/m ; C = 1,6 nf 58. Un cilindo conducto d adio R y longitud L, llva una caga. Coaxialmnt con él s disponn dos coonas cilíndicas conductoas. La pima tin un adio intno R 1 y adio xtno R, y la sgunda d adio intno R 3 y adio xtno R 4 stá conctada a tia. Dtmin: (a) la distibución d cagas y sus spctivas dnsidads, (b) El campo léctico n las distintas gions, (c) l potncial léctico n las distintas gions (d) la capacitancia dl sistma. 6. En la disposición mostada n la figua, s aplicada una difncia d potncial ΔV, y l capacito C 1 s ajustado tal qu l voltímto instalado nt los puntos b y d la co. Est balanc ocu cuando C 1 = 4 μf. Si C 3 = 9 μf y C 4 = 1 μf. Dtmin l calo d C 59. Un capacito cilíndico consist n un cilindo conducto intno d adio a y una coona cilíndica xtna coaxial d adio intio b. El spacio nt los dos conductos stá llno d un diléctico con pmisividad ε y la longitud dl capacito s L. Dtmin la capacitancia dl capacito. 6. Ent dos cilindos conductos coaxials, d adios a y b (b = a), s intoduc dos capas d diléctico qu llnan l spacio nt los conductos. El límit d spaación nt los dilécticos s la supfici cilíndica d adio c, coaxial con los otos dos. Las pmisividads spctivas d los dilécticos son ε 1 = 4ε y ε. Si nt los conductos s aplica una difncia d potncial V. Dtmin: (a) l valo d ε paa qu l campo sob la supfici dl cilindo d adio a sa cuato vcs al campo n l diléctico sob la supfici d adio b y (b) la capacidad po unidad d longitud dl sistma con los valos d ε 1 dado y ε obtnido. 63. Un capacito con placas paallas d áa A y spaación nt placas d tin la gión nt las placas llnada con dos dilécticos como s musta n la figua. Asumindo qu d << W. (a) dtmin la capacitancia y (b) must qu cuando κ 1 = κ = κ sus sultados llgan a s los mismos qu paa un capacito contnindo un solo diléctico. 64. El cicuito mostado n la figua stá fomado po dos placas mtálicas paallas idénticas conctadas mdiant sots mtálicos idénticos a una batía d 1 V. Cuando l intupto stá abito, las placas no tinn caga y s ncuntan spaadas una distancia d = 8 mm, con una capacitancia C = 5

58 μf. Si s cia l intupto S, la distancia nt las placas disminuy n un facto d,5. Cuánta caga s acumula n cada una d las placas?. Cuál s la constant d sot n cada uno d llos?. 65. Cada capacito n la combinación mostada n la figua tin un voltaj d uptua d 15V. Cuál s l voltaj d uptua d la combinación?. 7. Consid un capacito d placas paallas llnas con ai con una placa conctada a un sot d constant lástica k, y la ota placa s mantin fija. El sistma s mantin fijo sob una msa como s v n la figua. Si sob las placas a y b xist una caga + y. Dtmin la dfomación dl sot. 66. Un conducto intno d un cabl coaxial tin un adio d,8 mm, y l adio intno dl conducto xtno s d 3 mm. El spacio nt los conductos stá llno d politilno, qu tin una constant diléctica d,3 y una intnsidad diléctica d 18 MV/m. Cuál s la difncia d potncial máxima qu pud sopota st cabl?. 67. A un capacito d capacitancia C 1 = 1 μf, cagado hasta la tnsión V = 11 V, s l conctó n paallo a los bons d un sistma fomado po dos capacitos dscagados y unidos n si, cuyas capacitancias an C = μf y C 3 = 3μF. Dtmin la caga qu cicula n st caso po los conductos d mpalm 68. Dos sfas conductoas d adios a y b posn cagas + y, spctivamnt y s ncuntan spaadas una distancia d. Dtmin la capacitancia d st sistma. 69. Cuato placas paallas P 1, P, P 3 y P 4, cada una d áa A = 7,5 cm, stán spaadas sucsivamnt po una distancia d = 1,19 mm, como s musta n la figua. La placa P 1 s conctada a la tminal ngativa d una batía, y P a la tminal positiva. La batía mantin una difncia d potncial d 1 V. ( a) Si P 3 s conctada a la tminal ngativa, cuál s la capacitancia dl sistma d ts placas P 1 P P 3?. (b) cual s la caga sob P?. (c) Si P 4 s ahoa conctada a la tminal positiva d la batía, cuál s la capacitancia dl sistma d cuato placas P 1 P P 3?- Cuál s la caga sob P 4? Cuál d la difncia d potncial n l capacito y cuál s la ngía almacnada h dicho capacito?. 7. La figua musta un cot d un sistma fomado po dos dilécticos y una caga puntual q. Los dilécticos d constants κ 1 y κ, posn cada uno caga nta nula y tinn la foma d coonas sféicas concénticas. La caga puntual s ncunta n l cnto d los dilécticos. (a) Hall l campo léctico dl sistma, (b) Paa cada diléctico dtmin su caga dpositada n sus supficis intna y xtna. 73. La figua musta un capacito fomado po una sfa conductoa d adio R 1 = R y un cascaón sféico, conducto concéntico y d adio intno R 3 = 3R. La gión compndida n l intio dl capacito, compndida nt los adios R 1 y R =

59 R s ncunta ocupada po un diléctico cuya constant s κ. La placa conductoa d adio R 1 pos una caga + mintas qu la caga nta dl diléctico s nula. (a) Hall l campo léctico n la gión R 1 < R ; (b) Calcul la difncia d potncial nt las placas dl capacito y (c) si κ = 3, y R = 3 cm. Dtmin la capacitancia dl capacito n picofaadios. 74. Los capacitos n l sistma mostado tinn igual capacidad C 1 = C = C 3 = C y al inicio s ncuntan dscagado. (a) S cia l intupto S y s spa qu los capacitos s cagun y lugo s vulv a abi l intupto. Dtmin la caga d cada capacito. (b) a continuación s intoducn dos dilécticos d constant κ qu llnan compltamnt los capacitos C 1 y C, sto s hac vitando la pédida d caga. Dtmin la nuva caga d los capacitos. Si κ = ; ε = 9 V y C = 5 μf. Cuál sá l tabajo qu aliza un agnt xtno al intoduci los dilécticos?. 75. Una caga + s distibuy unifommnt po l volumn d una sfa d adio R. Suponindo qu la constant diléctica s igual a la unidad, dtmin: (a) La ngía lctostática popia dl globo, (b) La azón nt la ngía U 1, acumulada dnto d la sfa, y la ngía U n l spacio cicundant. 76. Los dos capacitos d la figua posn capacitancias C 1 =,4 μf y C = 1, μf. Los voltajs aplicados a cada uno d los capacitos son d V 1 y V spctivamnt y la ngía almacnada n los dos capacitos s 1,14 mj. Si los tminals b y c s conctan nt sí, l voltaj s V a V d = 8 V; si l tminal a s concta al tminal b y l tminal c s concta a d, l voltaj V a V d = V. Dtmin los voltajs inicials V 1 y V. 77. Una cáscaa cilíndica tin adio intno a y adio xtno b como s musta n la figua. El matial tin una constant diléctica κ = 1. En l cnto d la cotza hay una lína d caga colinal al j d la cotza cilíndica con una caga lib po unidad d longitud λ. (a) Encunt l campo léctico paa < a, a < < b y > b. (b) dtmin la caga inducida po unidad d longitud n la supfici intna d la cotza así como n la supfici xtna. Rta. (b) -9λ/1; (b) +9λ/1 78. Dos gands placas mtálicas stán ointadas n un plano hoizontal y stán spaadas una distancia 3d. stán unidas mdiant un alamb a tia, inicialmnt las placas no tinn cagas. Ahoa s intoduc nt las placas una tca placa idéntica con caga, paallamnt a las antios y s localiza a una distancia d d la placa supio, como s musta n la figua. Dtmin: (a) La caga inducida qu apac n cada una d las dos placas oiginals, (b) La difncia d potncial qu apac nt las placas intmdias y cada una d las dmás placas. Consid qu cada una d las placas tin un áa A. 79. Cuato placas mtálicas iguals s ncuntan n l ai a distancias iguals d una d la ota. El áa A d las placas xtmas stán unidas nt sí y las dl cnto conctadas a una batía d f..m ε. La distancia nt placas s pquña n compaación con sus dimnsions d éstas. Dtmin la caga n cada placa. 54

60 8. En l cicuito capacitivo mostado. Encunt la capacidad quivalnt nt A y B. 84. En l cicuito d la figua C 1 = F; C = 4 F; C 3 = 3 F; C 4 = 6 F, y no xist mdio matial nt las placas d los capacitos. (a) Si s cia l intupto S, cuál sá la difncia d potncial nt A y B?. (b) mantnindo l intupto S cado, s intoduc n l capacito C 3 un diléctico d constant diléctica κ = 5, dtmin la difncia d potncial nt A y B y las cagas d los cuato condnsados. Consid qu V = 1 Voltios. 81. En l cicuito mostado ncunt la capacidad quivalnt nt los puntos A y B. 8. Hall la capacidad quivalnt C nt los puntos a y b d la batía d capacitos d igual capacidad C = 1 μf instalados n l cicuito mostado n la figua. 85. S musta un condnsado d placas paallas cuadadas, aista L spaados po una distancia d, n la qu un diléctico d constant κ > 1 y masa m s sostnido n la figua (1), y n la figua () su pso stá n quilibio con la fuza léctica. Halla: (a) la capacidad dl condnsado cuando l diléctico llna l 1 % dl spacio nt las placas, (b) la capacidad dl condnsado cospondint a la figua () y (c) la masa m dl diléctico qu gaantic su quilibio n la figua (). 83. Un condnsado cilíndico tin adios a y b, como s musta n la figua. Dmust qu la mitad d la ngía potncial léctica almacnada stá dnto d un cilindo cuyo adio s 86. Una cáscaa diléctica cilíndica tin adio intno a y adio xtno b como s musta n la figua. El matial tin una constant diléctica κ = 1. En l cnto d la cotza hay una lína d caga d adio colinal al j d la cotza cilíndica con una caga lib po unidad d 55

61 longitud λ = nc/m. (a) Encunt los vctos, paa < a, a < < b y > b. (b) la difncia d potncial nt la supfici dl alamb y la supfici xtio d la cotza diléctica. (c) la caga inducida po unidad d longitud n la supfici intna d la cotza así como n la supfici xtna. (1 ) paa R R paa R Dtmin (a) los vctos, y, n todas las gions dl spacio, (b) l potncial paa < R. 9. La pmisividad léctica d un mdio diléctico qu llna l spacio nt las placas d un capacito sféico con adios a y b (b> a) stá dado po paa a ( a b) / 4 paa ( a b) / b 87. Un capacito d placas paallas d áa A y spaación nt placas d, contin un diléctico d spso d/ y una constant diléctica =, n poso sob la placa ngativa. Si s aplica una difncia d potncial V nt sus placas. Dtmin: (a) l campo léctico n la gión nt sus placas y (b) la dnsidad d caga ligada sob la supfici dl diléctico Encunt: (a) la capacitancia dl capacito, (b) la distibución supficial d caga ligada y la caga total ligada n l diléctico. 91. Un capacito d placas paallas ctangulas cuyas dimnsions son a y L continn un diléctico d constant, d dnsidad d masa y d spso d nt sus placas como s musta n la figua. Si l capacito s caga conctándolo a una fut qu l popociona una difncia d potncial V, lugo d la cual s l dsconcta d la funt y a continuación s l pmit qu po la gavdad la placa diléctica dscinda sin ficción nt las placas mtálicas hasta quda n quilibio n la posición mostada. Dtmin la posición x cuando s alcanza l quilibio paa lo cual justifiqu cada uno d los pasos n su pocso. 88. Disponmos d un condnsado plano d spso d y cuyas caas tinn un lado d longitud L como s musta n la figua. El diléctico qu xist nt las placas tin una pmisividad. Si s aplica al capacito una difncia d potncial V nt sus placas. Dtmin: (a) los vctos campo y dsplazaminto lécticos, y, (b) la ngía almacnada n l capacito. 89. S tin una caga puntual odada d una sfa diléctica d adio R dond la pmisividad vaía sgún la xpsión: 9. Un condnsado cilíndico fomado po dos conductos d adios R 1 y R tin dos capas dilécticas concénticas, qu ocupan igual volumn como s musta n la figua. En la capa diléctica intio la constant diléctica vaía con. En la xtio s unifom igual a. Dtmin: (a) la capacidad dl capacito y (b) las dnsidads d caga (lib y ligada) voluméticas y supficials. 56

62 93. K Consid un capacito hcho d dos placas mtálicas paallas d áa A y spaadas po una distancia d = 1 mm. En l caso 1, l spacio nt las placas s l vacío. En l caso, l spacio nt las placas s llnado con un diléctico linal d pmisividad lativa = 5. Si la capacitancia C = 1,77 pf y la difncia d potncial aplicada s V s = 6 V 95. Dos placas conductoas cuadadas con lados d longitud L stán spaadas po una distancia D. S insta una placa d diléctico d constant y dimnsions L x L x D una distancia x n l spacio nt las placas como s musta n la figua. (a) hall la capacitancia dl sistma. (b) suponga qu l capacito stá conctado a una batía qu mantin una difncia d potncial constant V nt las placas. Si s insta la placa diléctica a una distancia adicional dx n l spacio nt placas. Dmust qu l cambio n la ngía almacnada s ( 1) du D V L dx (a) Calcul l campo léctico E, la ngía almacnada y la caga n l caso 1. (b) Una lámina d diléctico s instado nt las placas mtálicas. Calcul la capacitancia C y la caga n l caso (intupto cado n la posición 1). Cuáls son los valos d la caga d polaización y la polaización P?. Cuál sá la ngía almacnada?. (c) Consid Ud. ahoa qu l capacito n l caso 1 s cagado compltamnt, l intupto S s abito y cién insta l matial diléctico (posición ). Calcul l nuvo campo léctico dnto dl matial, la difncia d potncial V AB y la ngía almacnada. Consid qu = 8, C /N.m. 94. El capacito con ai nt las placas paallas mostado n la figua consist n dos placas hoizontals conductoas d áas iguals A. La placa infio dscansa sob un sopot fijo y la placa supio stá suspndida d cuato sots con constant lástica K. Cuando no tinn caga las placas stán spaadas po una distancia z. Si ahoa s conctan las placas a una batía la cual ca una difncia d potncial V nt llas. Esto povoca qu la spaación d placas disminuya a z. (a) Dmust qu la magnitud d la fuza lctostática nt las placas con caga s AV /z. (b) obtnga una xpsión qu lacion la spaación d placas z con la difncia d potncial. 96. Cuando cito capacito plano d placas paallas s conctado a una batía, ést acumula una caga q n cada una d sus placas. Mantnindo conctado la batía, s insta nt las placas una placa d diléctico, acumulándos una caga adicional q n cada una d las placas. Cuál s la constant diléctica d la lámina d diléctico. 97. El conducto intio d un cabl coaxial s sopotado po un tozo d tflón qu foma 9 como s musta n la figua. Si a = mm y b = 5 mm y la constant diléctica dl tflón s =. Calcula la capacidad fctiva d 1 m d longitud dl cabl coaxial. 57