Profesores: M. Guerrero - J. Pérez - C. Olivares - J. Rozas 09 de julio de Examen Probabilidad y Estadísticas

Transcripción

1 09 de julio de 013 Examen Probabilidad y Estadísticas 1) Una cadena de tiendas de pintura produce y vende pinturas de látex y esmaltes. Con base en las ventas de largo plazo, la probabilidad de que un cliente compre látex es 75%, que compre esmalte es 60%. De los que compran pintura de látex, 60% compran rodillos para pintar, de los compran esmalte el 70% compra rodillos y de aquellos que compran los dos tipos de pintura solo el 50% compra rodillos. Suponga que una persona que entra a la tienda compra al menos uno de los tipos de pintura. a) Al observar un cliente al azar, sabiendo que compro un rodillo para pintar, qué probabilidad hay que haya comprado solo pintura látex? Solución: 1/ Sean los sucesos: L El cliente compra pintura tipo Látex E El cliente compra pintura tipo Esmalte R El cliente compra Rodillos / Datos: P(L) = 0,75 ; P(E) = 0,60 ; P(R L) = 0,60 ; P(R E) = 0,70 ; P(R L E) = 0,50 Además, como la persona que entra a la tienda compra por lo menos uno de los tipos de pintura, tenemos que: Ω = L E P(L E) = P(L) + P(E) P(L E) = 1 P(L E) = 0,35 3/ Piden P(L E c R) = P(L E c R) P(R) = [P(L R) P(L E R)] P(R) = [P(L) P(R L) P(L E) P(R L E)] P(R) = [0,75 0,60 0,35 0,50] P(R) 4/ P(R) = P(R L E) = P(R [L E]) P(L E) = P( [R L] [R E] ) P(Ω) P(R) = [P(R L) + P(R E) P(R L E)] 1 P(R) = P(L) P(R L) + P(E) P(R E) P(L E) P(R L E) P(R) = (0,75)(0,60) + (0,60)(0,70) (0,35)(0,50) = 0,695 5/ Finalmente: P(L E c R) = [0,75 0,60 0,35 0,50] 0,695 = 0,75 0,695 0,3956 b) Si se observa independientemente a dos personas que ingresan a comprar, qué probabilidad hay que solo uno de ellos compre los dos tipos de pintura? Solución_1: 1/ Sea X: N de personas que compran los dos tipos de pintura / X Binomial(n = ; p = P(L E) = 0,35) 3/ f(x) = ( n x ) px q n x = ( x ) 0,35x 0,65 x ; x = 0, 1, 4/ Piden P(X = 1) = ( 1 ) 0,351 0,65 1 = 0,35 0,65 = 0,455 1

2 09 de julio de 013 Solución_: 1/ Sean los sucesos: C k El cliente k-ésimo compra los dos tipos de pintura; k = 1, / P(C k ) = P(L E) = 0,35 ; k = 1, 3/ Piden P(sólo uno de los clientes compre los dos tipos de pintura) = P(sólo el cliente 1 ó sólo el cliente compran los dos tipos de pintura) = P([C 1 C ] [C 1 C ]) = P(C 1 C ) + P(C 1 C ) = P(C 1 ) P(C ) + P(C 1 ) P(C ) = 0,35 0,65 + 0,65 0,35 = 0,455 Por ser sucesos independientes ) Un organismo de asesoría técnica selecciona personal para empresas mediante un test que entrega un puntaje X la cual es una variable aleatoria con distribución normal de media 50 puntos y varianza. Un candidato con preparación especial puede lograr un puntaje dado por la función: Y 1,0X,5 Se sabe que la probabilidad de que un candidato sin preparación especial alcance 67,94 puntos es de 0,9641. a) De 100 candidatos con preparación especial observados independientemente, cuántos se espera tengan un puntaje superior a 60 puntos? Solución: 1/ Sea X : Puntaje obtenido por candidato sin preparación especial / X N( μ x = 50 ; σ x = σ ) 3/ P(X 67,94) = 0,9641 Φ([67,94 50] σ x ) = 0, ,94 σ = Z 0,9641 = 1, σ x = 17,94 1, 9,9667 4/ Sea W : N de candidatos con preparación especial que obtienen un puntaje superior a 60 puntos 5/ W Binomial( n = 100 ; p = P(Y > 60)) ; Y : Puntaje de candidato con preparación especial (*) p = P(Y > 60) = P( 1,0 X +,5 > 60 ) = P(X > [60,5] 1,0) = 1 P(X < 56,3755) p = 1 Φ([56, ] 9,9667) 1 Φ(0,64) = 1 0,739 = 0,611 (**) Una alternativa para el cálculo de esta probabilidad es usando la propiedad de distribución Normal, que dice que cualquier combinación lineal de una variable distribuida Normalmente, también tiene distribución Normal. Esto es: Si X ~ N( μ x ; σ x ) Y = ax + b ~ N( μ y = a μ x + b ; σ y = a σ x ) ; así de esta forma:

3 09 de julio de 013 Y ~ N( μ y = 1,0 50 +,5 ; σ y = 1,0 9,9667 ) N( μ y = 53,5 ; σ y = 103,34473) Luego, p = P(Y > 60) = 1 Φ( [60 53,5] 103,34473 ) 1 Φ(0,64) = 1 0,739 = 0,611 6/ Piden E(W) = n p = 100 0,611 = 6,11 6 candidatos b) Cuál es la probabilidad que un sujeto no preparado especialmente alcance un puntaje mayor a 65? Piden P(X > 65) = 1 Φ([65 50] 9,9667) 1 Φ(1,51) = 1 0,9345 = 0,0655 3) La unidad de control de calidad de una fábrica de artículos de vestir, se encarga de encontrar y cuantificar todo tipo de defecto relevante para considerarlo defectuoso, en la forma, en el peso, en el diámetro, etc. Si un artículo posee al menos un defecto, se considera entonces como defectuoso. Si el número de defectos que pueden encontrarse en un artículo es considerado como un proceso de Poisson, con una tasa de 0,05 defectos por artículo, determine: a) La probabilidad que en 5 artículos seleccionados aleatoriamente se encuentren al menos defectos. 1/ Sea X: N de defectos encontrados en 5 artículos / X Poisson(α = λ t) ; i) λ = 0,05 defectos/artículo ; ii) t = 5 artículos α = 0,05 (defectos/artículo) 5 artículos = 0,5 3/ f(x) = 0,5 0,5 x x! ; x = 0, 1,,, 1 x=0 4/ Piden P(X ) = 1 P(X 1) = 1 f(x) = 1 0,5 (0,5 0 0! + 0,5 1 1! ) = 1 0,5 (1 + 0,5) = 1 1,5 0,5 1 0,9735 = 0,065 b) La probabilidad que tengan que seleccionarse consecutivamente 5 artículos para encontrar al primero considerado como defectuoso. 1/ Sea Y : N de artículos necesarios a seleccionar para encontrar el primero considerado como defectuoso / Y Pascal(r = 1 ; p = P(X 1 ; en un artículo) = 0,0477) Geométrica(p = 0,0477) (*) P(X 1) = 1 P(X = 0) = 1 0,05 0,0477 3/ f(y) = p q y 1 = 0,0477 0,9513 y 1 ; y = 1,, 3,, 4/ Piden P(y = 5) = 0,0477 0, ,04 3

4 09 de julio de 013 4) En cada proceso de fabricación de un cereal se agregan nutrientes necesarios para mejorar el producto. La cantidad de estos nutrientes (grs) que contiene cada caja de cereal que fabrica una empresa se puede modelar mediante la siguiente función de densidad: x f(x) = { k x 0 t. o. l. El Servicio de Salud Metropolitana decide multar a la empresa si la cantidad de nutrientes que contiene cada caja es menor a la esperada (por no estar en condiciones aptas para consumo). Este producto alimenticio es consumido principalmente por niños y adolescentes. a) El departamento de control de calidad de la empresa extrae una muestra aleatoria de envases de cereales y los observa. Determine la probabilidad de que la séptima caja de cereal extraída corresponda a la quinta apta para consumo. 1/ Sea Y : N de envases de cereales necesarios a seleccionar para encontrar la quinta apta para su consumo / Y Pascal(r = 5 ; p = P(X > E[X])) x= (1) f(x)dx = x k dx = x k = 30 k = 1 k = 30 f(x) = x 30 ; x () E(X) = x f(x)dx = x 30 dx = x 3 90 = 5 = 5,6 5,6 5,6 (3) P(X > E[X]) = P(X > 5,6) = f(x)dx = x 30 dx = x 60 5,6 = 0,544 3/ f(y) = ( y 1 r 1 ) pr q y r = ( y 1 4 ) 0,5445 0,456 y 5 ; y = 5, 6, 7,, 4/ Piden P(y = 7) = ( 6 4 ) 0,5445 0,456 0,146 b) La empresa despacha estos cereales en cajas de 0 unidades, 1 unidades de cereales Berry, el resto cereales y frutos secos, Si de una caja se eligen aleatoriamente 9 de estas unidades y son vendidas a un cliente. Determine la probabilidad de que a lo más unidades de cereales Berry estén dentro de las vendidas. 1/ Sea W : Número de unidades Berry seleccionadas de los 9 cereales en la muestra / W~Hipergeométrica( N = 0 ; A = 1 ; n = 9 ) 3/ f(w) = ( A A ) (N w n w ) (N n ) = (1 w ) ( 9 w ) (0 9 ) ; w = 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 4/ Piden P(w ) = f(1) + f() = [ ( 1 1 ) ( ) + (1 ) ( 7 ) ] (0 9 ) 4

5 09 de julio de 013 = [ ] = ,03 5