PROPIEDADES GLOBALES DE LAS FUNCIONES. =, para x 0.

Transcripción

1 PROPIEDADES GLOBALES DE LAS FUNCIONES Ejercicio. Sea f: R R la función definida por f ( ) Ln( + ), siendo Ln la función logaritmo neperiano. (a) [ punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos de la función f (puntos donde se alcanzan y valor de la función). (b) [ 5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de infleión de abscisa negativa. 4 + Ejercicio. Sea f la función definida por f ( ), para 0. (a) [0.75 puntos] Halla, si eisten, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la gráfica de f. (b) [ punto] Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos de f. (c) [0.75 puntos] Esboza la gráfica de f. + Ejercicio. Sea f: R R la función definida por f ( ). + + (a) [0 75 puntos] Estudia si eisten y calcula, cuando sea posible, las asíntotas de la grafica de f. (b) [ 5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos y los valores que alcanza en ellos la función f. (c) [0 5 puntos] Esboza la gráfica de f. Ejercicio 4. [ 5 puntos] Sea f: (, + ) R la función dada por ( ) ( ) Ln f ( ), siendo Ln la función logaritmo neperiano. Estudia la eistencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función. En caso de que eista, hállala. + Ejercicio 5. Sea f: (0,+ ) R la función definida por f ( ). (a) [ 5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que alcanzan). (b) [ punto] Calcula el punto de infleión de la gráfica de f. Ejercicio 6. Sea f: (0,+ ) R la función definida por f ( ) Ln( ) (Ln denota la función logaritmo neperiano). (a) [ 5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). (b) [ punto] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa e. Ejercicio 7. Sea f: R R la función definida por f ( ) e. (a) [ 5 puntos] Determina los etremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). (b) [ punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Ejercicio 8. [ 5 puntos] Dada la función f definida, para 0, por las asíntotas de su gráfica. f ( ) e e + determina

2 + Ejercicio 9. Sea f la función definida, para y, por f ( ). 4 (a) [ punto] Determina las asíntotas de la gráfica de f. (b) [ punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). (c) [0 5 puntos] Esboza la gráfica de f. Ejercicio 0. Sea f: R R la función definida por f ( ) ( ) e. (a) [ 5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. (b) [ punto] Calcula los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). a + b Ejercicio. Sea f la función definida como f ( ) para a. a (a) ['5 puntos] Calcula a y b para que la gráfica de f pase por el punto (,) y tenga una asíntota oblicua con pendiente - 4. (b) [ punto] Para el caso de a, b, obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa Ejercicio. Sea f la función definida como f ( ) para - y. (a) [ punto] Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f (b) [ punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. (c) [0 5 puntos] Con los datos obtenidos esboza la gráfica de f. 4 + Ejercicio.- Sea f la función definida por f ( ) para 0. (a) [ 5 puntos] Estudia las asíntotas de la gráfica de la función. (b) [ 5 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). Ejercicio 4.- Sea la función f definida por f ( ) para,. ( + ) ( ) (a) [ punto] Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de f. (b) [ punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. (c) [0 5 puntos] Calcula, si eiste, algún punto de la gráfica de f donde ésta corta a la asíntota horizontal. e Ejercicio 5.- Sea la función f definida por f ( ) para. (a) [ 5 puntos] Estudia las asíntotas de Ia gráfica de la función f. (b) [ 5 puntos] Halla los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. Ejercicio 6.- Sea : R R f ( ) e (a) [ punto] Calcula las asíntotas de f. (b) [ punto] Halla los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. (c) [0,5 puntos] Determinar, si eisten los puntos de infleión de la gráfica de f. f la función definida como ( )

3 ln( ) Ejercicio 7.- Sea f:(0,+ ) R la función definida por f ( ) (donde ln denota el logaritmo neperiano). a) ['75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) [0'75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la grafica de f. Ejercicio 8.- Sea g la función definida por m g( ) para n. ( n) a) ['75 puntos] Halla m y n sabiendo que la recta y 4 es una asíntota de la gráfica de g. b) [0'75 puntos] Determina si la gráfica de g es simétrica respecto al origen. Ejercicio 9.- Sea f la función definida por k f ( ) para a y /. ( a) ( ) a) [ punto] Halla a y k sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (0,) y que la recta es una asíntota de dicha gráfica. b) [ 5 puntos] Para k 4 y a, halla los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Ejercicio 0.- Sea f la función definida por f ( ) para > 0, (donde ln denota el ln( ) logaritmo neperiano). a) [ 5 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) [ 5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa e. Ejercicio.- Sea f la función definida por f ( ) e para -, 0. a) [ punto] Calcula los límites laterales de f en 0. b) [ 5 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS e 0 Ejercicio. Sea f la función definida por f ( ) e < 0 (a) [ punto] Estudia la derivabilidad de f en 0 y, si es posible, calcula la derivada de f en dicho punto. (b) [ 5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta. a Ejercicio. Sea f: R R la función definida por f ( ) + > (a) [0 75 puntos] Halla el valor de a sabiendo que f es continua. (b) [0 5 puntos] Esboza la gráfica de f. (c) [ 5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas + 0 y 0.

4 Ejercicio. Sea f: [0, 4] R una función tal que su función derivada viene dada por 0 < < f ( ) + 8 < 4 6 (a) [ 75 puntos] Determina la epresión de f sabiendo que f ( ). (b) [0 75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. Ejercicio 4. Se sabe que la función f: [0, 5] R definida por a + b 0 < f ( ) es derivable en el intervalo (0, 5) (a) [ 75 puntos] Calcula las constantes a y b. (b) [0 75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. Ejercicio 5. Sea f : R R la función definida por f ( ). (a) [0 75 puntos] Estudia la derivabilidad de f. (b) [ punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. (c) [0 75 puntos] Calcula los etremos relativos de f (puntos donde se alcanzan y valor de la función). ln 0 < Ejercicio 6.-Sea f: (0, ) R la función definida por f ( ) siendo ln( ) < < ln la función logaritmo neperiano. (a) [ punto] Estudia la derivabilidad de f en el punto. (b) [ 5 puntos] Calcula, 5 f ( ) d. Ejercicio 7. Sea f: R R la función definida por f ( ). (a) [ punto] Estudia la derivabilidad de f en. (b) [0 5 puntos] Esboza la gráfica de f. (c) [ punto] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas. α Ejercicio 8. Sea f: (,0) R la función definida mediante f ( ) β (a) [ 5 puntos] Determina α y β sabiendo que f es derivable. (b) [ punto] Calcula f ( ) d + a < 0 Ejercicio 9. Sea f: R R la función definida por f ( ) e 0 (a) [ punto] Determina el valor de α sabiendo que f es derivable. (b) [0 5 puntos] Haz un esbozo de la gráfica de f. (c) [ punto] Calcula f ( ) d. < < 0 4

5 a + Ejercicio 0. Sea f: R R la función definida por: f ( ) b 4 > (a) [ 5 puntos] Halla a y b sabiendo que f es derivable en R. (b) [ punto] Determina la recta tangente y la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa. + a + b 0 < Ejercicio. Sea la función f: [0, 4] R definida por f ( ) c + 4 (a) [ puntos] Determina a, b y c sabiendo que f es continua en el intervalo cerrado [0, 4], derivable en el intervalo abierto (0, 4) y que f(0) f(4). (b) [0 5 puntos] En qué punto del intervalo se anula la derivada de la función? Ejercicio. Sea f: R R la función definida por f ( ). 6 > (a) [0 75 puntos] Esboza la gráfica de f. (b) [ punto] Estudia la derivabilidad de f. (c) [0 75 puntos] Calcula el área comprendida entre la gráfica de f y el eje de abscisas. Ejercicio. [ 5 puntos] Sea la función f: R R dada por e ( + a) 0 f ( ) b + c. > 0 + Calcula las constantes a, b y c sabiendo que f es derivable y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa tiene pendiente. Ejercicio 4. Considera la función f:[0,4] R definida por + a + b 0 f ( ). c < 4 (a) [ 75 puntos] Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica f(0) f(4), determina los valores de a, b y c. (b) [0 75 puntos] Para a -, b 4 y c halla los etremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). Ejercicio 5. [ 5 puntos] Considera la función f: R R definida por e si < 0 f ( ) si 0 < < si + Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la función derivada de f. Ejercicio 6.- ['5 puntos] Se considera la función derivable f: R R definida a + < por f ( ). Calcula los valores de a y b. b a + 5

6 Ejercicio 7.- Sea f:[/e,4] R la función definida por ln( ) + a f ( ) e, donde ln denota la función logaritmo neperiano. b + ln < 4 (a) ['5 puntos] Calcula los valores de a y b para que f sea derivable en el intervalo ( e, 4). (b) ['5 puntos] Para a 0 y b halla los etremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). Ejercicio 8.- [ 5 puntos] En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad,, es de8 a 50 años, los ingresos vienen dados por la fórmula + 70, mientras que para edades iguales o superiores a 50 años los ingresos están determinados 400 por la epresión,. Calcula cuál es el máimo de los ingresos y a qué edad se 0 alcanza. + k 0 Ejercicio 9.- Sea la función continua f: R R definida por f ( ) e > 0 (a) ['5 puntos] Calcula el valor de k. (b) [ 5 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa. + e 0 Ejercicio 0.- Sea f: (-,) R la función definida por f ( ) a b 0 < < (a) [ 5 puntos] Determina a y b sabiendo que f es derivable en todo su dominio. (b) [ punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa 0. e e < Ejercicio.- Considera la función derivable f: R R definida por f ( ) 0 a + b 0 (a) [ 75 puntos] Calcula a y b. (b) [0 75 punto] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa -. 6