INTEGRAL DEFINIDA 2º BACHILLER

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1 Colegio Vizcy Mtemátics II UNIDAD DIDÁCTICA INTEGRAL DEFINIDA º BACHILLER 9

2 Colegio Vizcy Mtemátics II OBJETIVOS DIDÁCTICOS. Aproximr por exceso y por defecto, medinte rectángulos, el áre encerrd por un curv.. Conocer el concepto de integrl definid, sí como sus propieddes.. Conocer el teorem fundmentl del cálculo integrl. 4. Aplicr l regl de Brrow l cálculo de áres de superficies. CONCEPTOS. Integrl definid: definición y propieddes. Teorem de l medi. Teorem fundmentl del cálculo integrl. Regl de Brrow 4. Áre bjo un curv 5. Áre encerrd por dos curvs. 4

3 Colegio Vizcy Mtemátics II INTEGRAL DEFINIDA. INTRODUCCIÓN Se trt en est unidd de interpretr y clculr el áre bjo un curv, es decir, el áre del recinto que qued entre un función y el eje X, en un intervlo determindo. Vemos el siguiente ejemplo: Se f(x) l función que mide l velocidd de un coche que circul por l utopist Bilbo-Brcelon durnte 6 hors. Supongmos en primer lugr que l velocidd es constnte ( km/h): velocidd (km/h) tiempo (hors) Es evidente que el áre del rectángulo que determin l función con el eje X, es el producto de l velocidd por el tiempo, luego mide el espcio recorrido por el coche en ese tryecto ( 6 6 km.) Si l velocidd fuer vrible, no resultrí tn sencillo clculr dicho espcio, pues tendrímos que hllr el áre de recintos como el siguiente: velocidd (km/h) tiempo (hors) Observ que el cálculo del áre bjo un curv prece relevnte, dd l relción que pueden tener con l vid rel ls funciones que lo determinn. 4

4 Colegio Vizcy Mtemátics II. ÁREA DE RECINTOS PLANOS Dd un función f(x) continu en [,b], trtremos de medir el áre del recinto determindo por l curv, el eje X y ls rects verticles x y xb.. Pr ello, dividiremos l región en rectángulos y sumremos ls áres de cd uno. Eso nos fcilitrá proximciones por exceso o defecto l áre que buscmos A. Dividiremos en primer lugr el intervlo [,b] en subintervlos: [, x ], [x,x ], [x,x ], [x n,b] siendo {, x, x, x,, x n, b} un prtición del intervlo [,b] x <x <x < <x n b. (Podemos elegir todos los intervlos de l mism mplitud por comodidd, unque no tienen por qué serlo) Cd intervlo servirá de bse los rectángulos que pretendemos construir. Aplicmos en cd subintervlo el teorem de Weierstrss que firm que si l función f(x) es continu en un intervlo cerrdo, lcnz necesrimente en dicho intervlo un vlor máximo y un vlor mínimo. (L hipótesis inicil grntiz l continuidd de l función) Si trzmos los rectángulos cuy ltur coincide con el vlor mínimo del subintervlo (m i ) y summos ls áres respectivs, obtendremos un proximción por defecto del áre que buscmos. s (x - )m + (x -x )m (b - x n )m n A Si trzmos, por el contrrio, los rectángulos de ltur máxim (M i ) y summos sus áres, obtendremos un proximción por exceso del áre buscd. S (x - )M + (x -x )M (b - x n )M n A (L zon oscur coincide con s y l clr con S ) 4

5 Colegio Vizcy Mtemátics II Llmremos sum inferior / sum superior respectivmente, l sum de l áres de los rectángulos de ltur mínim / máxim en cd prtición. Si umentmos el número de rectángulos, mbs proximciones se finn y que ls sums inferiores umentn y ls superiores disminuyen. ** Construcciones de Mnuel Sd** Por tnto, cd vez que umentmos un rectángulo más, observmos que l sum de ls áres inferiores form un sucesión creciente y cotd superiormente por A, es decir: s s s... s n A y ls sum superiores formn un sucesión decreciente y cotd inferiormente por A: S S S... S n A Prece evidente que medid que el número de rectángulos ument infinitmente, mbs sucesiones se cercn más l áre buscd A. L coincidenci con dich áre se producirá en el límite cundo el número de rectángulos tiende, es decir: lim s n n A lim Sn n 4

6 Colegio Vizcy Mtemátics II Definición: Dd un función f(x) continu en [,b], llmmos integrl definid de f en el intervlo [,b] y lo escribimos b f (x)dx, l límite común de mbs sucesiones, que mide el áre orientd del recinto limitdo por l función f(x), el eje X y ls rects verticles x y xb. b f (x)dx lim sn n lim S n n A **Si l función es negtiv, l integrl tmbién lo es, pues el mínimo y el máximo de cd subintervlo serín negtivos. De hí l expresión áre orientd, pues dependiendo del signo de l función, será necesrio ñdir un vlor bsoluto l integrl pr que represente un áre** Actividd:. Determin el áre proximd por exceso y por defecto del recinto limitdo por l gráfic de l función f(x) x en el intervlo [,4], relizndo un prtición de tres intervlos igules. Reliz l mism proximción considerndo l función f(x) - x. (JUNIO ) Se f(x) 4-x. Se consider el intervlo I[-,] y l prtición suy P{-,-,,}. Clcul l sum superior y l sum inferior de dich función correspondientes l intervlo I y l prtición P.. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. f (x)dx Es evidente que el áre de un segmento es.. Si c es un punto del intervlo (,b), se verific: b f (x)dx c f (x)dx + b f (x)dx c Est propiedd indic que el áre totl se puede clculr como l sum de ls áres de recintos prciles.. b f (x)dx - f (x)dx b c b b f + g(x) dx b f (x)dx + b g (x)dx 4. ((x) ) 5. b k f(x)dx k b f (x)dx 44

7 Colegio Vizcy Mtemátics II 4. TEOREMA DEL VALOR MEDIO Si f(x) es un función continu en [,b], entonces existe un punto c(,b) tl que: b f (x)dx f(c) (b-) **El teorem segur que el áre del recinto coincide con l de un rectángulo de bse el intervlo [,b] y de ltur f(c) siendo c un punto del intervlo f(c) f(x) c b Demostrción: Por ser f(x) un función continu en [,b], lcnz en dicho intervlo un vlor máximo M y un vlor mínimo m (teorem de Weierstrss). Por tnto se cumplirá: m f(x) M en culquier x [,b] y ls áres de los recintos que determinn con el eje X, mntendrán l mism desiguldd: mdx b b f(x)dx Mdx b Por ser m y M funciones constntes, determinn recintos en form de rectángulo, de donde se deduce que mdx b m(b-) y Mdx b M(b-). Sustituyendo: m(b-) b f(x)dx M(b-) y dividiendo l desiguld entre (b-) obtenemos: m b b f(x)dx M y plicndo hor el teorem de Drboux o de los vlores intermedios, podemos segurr que existe un punto c(,b) tl que: b b f (x)dx f(c), es decir, f b (x)dx f(c)(b-) c.q.d. 45

8 Colegio Vizcy Mtemátics II 5. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL Vemos hor l relción que existe entre el concepto de áre de un recinto determindo por un función y el de integrl entendid como primitiv de dich función. Definición: Dd un función f(x) continu en el intervlo [,b], llmmos Función Áre l función F(x) f x (t)dt que mide el áre bjo l función f(x) desde un punto hst un punto vrible x [,b]. Formulmos hor el teorem: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL Si f(x) es un función continu en el intervlo [,b], entonces se cumple que F(x) f x (t)dt es un primitiv de f(x), es decir, F (x) f(x). Demostrción: lim h F(x + h) F(x) Sbemos que F (x) lim lim h h h x h + f(t)dt x h x+ h f(t)dt h x f(t)dt f(c) h lim lim f(c) f(x) c.q.d. h h h Como c (x, x+h) si h tiende, c debe tender x ( ) x c x+h Por ser f continu en [,b], podemos plicr el teorem del vlor medio en el intervlo [x, x+h]. Se deduce entonces que existe un punto c (x, x+h) tl que: x f(t)dt +h f(c) (x+h-x) f(c)h x Se demuestr entonces que l función áre es un primitiv de f(x). Por es rzón el cálculo de áres está socido l cálculo de integrles. 46

9 Colegio Vizcy Mtemátics II Vemos hor cómo clculr en l práctic dichs integrles definids. 6. REGLA DE BARROW Si f(x) es un función continu en [,b] y F(x) es un primitiv de f(x), entonces se cumple: Demostrción: b f (x)dx F(b) F() Sbemos que si F(x) x f (x)dx es un primitiv de f(x), entonces F(x) + C tmbién lo será y por tnto: x f (x)dx F(x) + C En el cso x f (x)dx F() + C C -F() En el cso xb obtenemos: b f (x)dx F(b) + C y sustituyendo l iguldd nterior b f (x)dx F(b) F() c.q.d. Ejemplo: (x + )dx x + x Vemos gráficmente que el áre de l región comprendid entre l función f(x)x+, el eje X y ls rects verticles x y x, es 8 u : Si dividimos l región en un rectángulo y un 5 triángulo y summos ls áres respectivs, obtenemos: áre del rectángulo: 6 áre del triángulo: Áre totl 6+ 8 u 47

10 Colegio Vizcy Mtemátics II Actividd:. Clcul ls siguientes integrles: ) e e x dx x b) ( x + x)dx c) dx x + c) Hll el vlor de > pr el que ( x + )dx En el siguiente ejemplo comprobremos que l integrl definid mide el áre orientd bjo l curv f(x), es decir, l integrl mntiene el mismo signo que l función. Ejemplo: Dd l función f(x) x, hllr el áre de l región comprendid entre x y x. - b h Por trtrse de un triángulo sbemos que áre 9 u Evidentemente el resultdo es el mismo si utilizmos l integrl definid: xdx x 9 9 Vemos hor lo que ocurre si clculmos el áre entre x- y x. El triángulo, unque invertido, tendrá l mism áre, pero l integrl result negtiv: x xdx Lógicmente, si pretendemos clculr dich áre, debemos poner l integrl en vlor bsoluto, pues debe ser de signo positivo. Áre xdx 9 9 u 48

11 Colegio Vizcy Mtemátics II 7. ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA Pr clculr el áre determind entre un función continu f(x) y el eje X en un intervlo [,b], estbleceremos tres csos según el signo de l función: 7. f(x) es continu y positiv en [,b] El áre viene dd directmente por l integrl definid. f(x) A Áre b f (x)dx b Ejemplo: Hllr el áre comprendid entre l función f(x) x, el eje X y ls rects x, x. Áre x dx x 8 7 u 7. f(x) es continu y negtiv en [,b] El áre viene dd por el vlor bsoluto de l integrl definid en dicho intervlo. b A A b f (x)dx f(x) Ejemplo: Hllr el áre de l región comprendid entre l función f(x) x, el eje X y ls rects verticles x -, x A x dx A 4 x 4 ( ) 4 ( ) u

12 Colegio Vizcy Mtemátics II 7. f(x) es continu y cmbi de signo en [,b] A A c d b A En este cso es necesrio clculr los puntos de corte (c, d), de l función con el eje X, pr determinr ls distints regiones que se formn con el eje X. El áre totl será l sum de ls áres prciles, ñdiendo un vlor bsoluto l integrl en el cso de ls zons negtivs. A A + A + A c f (x)dx + d f (x)dx + c b f (x)dx d Ejemplo: Hllr el áre determind por l función f(x) senx y el eje X en el intervlo [, ]. A A A A + A senxdx + senxdx senxdx [-cosx] Por simetrí [-cos - (-cos)] [-(-) + ] 4 u Si hubiésemos clculdo l integrl entre y, el resultdo serí, pues l ser opuests mbs zons, se contrrrestrín entre sí. Veámoslo: senxdx [-cosx] (-cos ) (-cos) + Actividdes: 4. Clcul el áre de l región limitd por l gráfic de l función f(x) 4x, ls rects x-, x y el eje de bsciss. 5. Clcul el vlor de >, sbiendo que el áre encerrd entre l curv yx +, el eje X y ls rects x- y x es igul. 5

13 Colegio Vizcy Mtemátics II 8. ÁREA DE LA REGIÓN LIMITADA POR DOS CURVAS 8. Si ls funciones f(x) y g(x) no se cortn en el intervlo [,b] f(x) A g(x) b Lógicmente, como l integrl entre y b mide el áre del recinto determindo por cd función y el eje X, A será l rest entre el recinto formdo por f(x) y el formdo por g(x), es decir: Ejemplo: b A [ f (x) ] g(x) dx Hllr el áre de l región comprendid entre ls funciones y x, yx+. ) Se dibuj previmente el recinto formdo por mbs funciones b) Se clculn los puntos de intersección de mbs funciones. Serán los límites de integrción. y x x x+ x ± + 8 -x- x y x + c) Se clcul l integrl de l rest de mbs funciones ( l de encim mnos l de debjo) entre dichos límites de integrción. x A [(x + ) - x ]dx 7 9 u 6 x x

14 Colegio Vizcy Mtemátics II 8. Si ls funciones f(x) y g(x) se cortn en el intervlo [,b] En este cso se clculn los puntos de intersección y se divide l región en subintervlos y se sumn l áres respectivs. Ejemplo: Hllr el áre del recinto formdo por ls funciones f(x) x y f(x) x. PUNTOS DE INTERSECCIÓN y y x x x - x x(x -) x x x ± Áre (x x) dx + (x - x ) dx 4 x 4 x x + 4 x u Es evidente que en este cso, por simetrí, es más rápido e igulmente cierto que: Áre (x - x ) dx Actividdes: 6. Hll el áre de l superficie limitd por ls curvs y x 4 e y -x + 8 y represent gráficmente l figur resultnte. 7. Clcul el áre comprendid entre ls curvs y 4 - x e y x 4 8. Hll el áre del recinto limitdo por los ejes de coordends, l rect y y l curv de ecución y x. 9. Hll el áre del recinto limitdo por l prábol yx -, l rect y5 x y el eje X. 5

15 Colegio Vizcy Mtemátics II INTEGRAL DEFINIDA: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS II. (JUNIO 6) Clculr el vlor de l siguiente integrl definid: x + dx x(x + ). (JULIO ) Hllr un primitiv de ls siguientes funciones f(x) cos x g(x) 4x + Utilizndo dichs primitivs hllr el vlor de ls siguientes integrles definids dx cos x dx 4x +. (JUNIO ) Enuncir l fórmul de Brrow pr el cálculo de integrles definids. Aplicr dich fórmul pr clculr l siguiente integrl definid: dx (x + )(x + ) 4. (JULIO ) Se consider el intervlo I[,6] y l prtición suy dd por P{,4,8,,4,6}. Se l función f definid por f(x) x 7 Clcul l sum superior y l sum inferior de dich función correspondientes l intervlo I y l prtición P. 5. Clcul el áre de l región limitd por l gráfic de l función f(x) cosx, ls rects x, x y el eje de bsciss. 6. Clcul el áre de l región limitd por l gráfic de l función f(x)x 4x +, ls rects x, x y el eje de bsciss. 7. Hll el áre del recinto limitdo por l prábol yx y ls rects yx, yx. 8. Hll el áre del recinto limitdo por l función y x-x y sus tngentes en los puntos en los que cort l eje de bsciss. 9. Demuestr que el áre del círculo es r. (Recuerd que l ecución de l circunferenci de centro O y rdio r es x + y r ) 5

16 Colegio Vizcy Mtemátics II PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. (JULIO 8) Se consider el recinto del plno limitdo por ls rects y 4x, y 8-4x y l curv y x - x, y situdo en el primer cudrnte. Trzr un esquem gráfico del recinto y clculr su áre medinte cálculo integrl.. (JUNIO 8) Se R el rectángulo del plno con vértices en los puntos V (,), V (,), V (,9) y V 4 (,9). Demostrr que pr todo vlor de A l curv de ecución y Ax + (-A)x ps por los vértices V y V y divide l rectángulo en dos regiones. Clculr el áre de dichs regiones y encontrr el vlor de A pr que l región situd por encim de l curv teng un áre doble que l situd por debjo de l curv.. (JULIO 7) L prábol y 4 - x, su rect tngente en x y el eje OY limitn un recinto finito del plno. Dibujr un esquem de dicho recinto y hllr su áre medinte el cálculo integrl.. (JUNIO 7) Se P l prábol de ecución y x(4 - x), y se P l prábol de ecución y (x 4)(x ). Dibujr un esquem gráfico del recinto finito del plno limitdo por dichs prábols. Hllr el áre del recinto medinte cálculo integrl. 4. (JULIO 6) Se consider el rectángulo de vértices V (,7), V (5,7), V (5,-4) y V 4 (,-4). L curv y x divide dicho rectángulo en dos zons. Trzr un esquem gráfico y clculr el áre de cd zon. 5. (JUNIO 6) L curv y x, su rect tngente en el punto x y el eje X limitn en el primer cudrnte un recinto finito del plno. Dibujr un esquem gráfico de dicho recinto y clculr su áre. 6. (JULIO 5) El rectángulo de vértices V (,), V (A,), V (,A ) y V 4 (A,A ) qued dividido en dos recintos por l curv de ecución f(x) x(a-x). Trzr un esquem de mbos recintos y clculr sus áres. 7. (JUNIO 5) Enuncir l regl de Brrow y explicr cómo se utiliz pr el cálculo de áres de figurs plns. Usr dich fórmul pr clculr el áre del recinto limitdo por l gráfic de l función f(x) x 4, el eje X y l rect x. 8. (JULIO 4) Se consider el recinto finito del plno limitdo por l rect x, l prábol yx y l curv y x 8. 54

17 Colegio Vizcy Mtemátics II 9. (JUNIO 4) L curv y x x + y l rect que ps por los puntos A(,) y B(,4) limitn un recinto finito del plno. Dibujr un esquem gráfico de dicho recinto y clculr su áre.. (JULIO ) Trzr un esquem gráfico del recinto finito del plno limitdo por ls rects y6x, y9x y l curv y x y situdo en el primer cudrnte. Clculr el áre de dicho recinto.. (JUNIO ) L rect y x+ y l curv y x limitn un recinto finito del plno. Trzr un esquem gráfico de dicho recinto y clculr su áre.. (JULIO ) L curv y x, el eje OY y l curv y 6 x limitn un recinto finito del plno. Trzr un esquem gráfico de dicho recinto y clculr su áre hciendo uso del cálculo integrl.. (JUNIO ) L curv y x divide l cudrdo de vértices V (,), V (,), V (,) y V 4 (,) en dos recintos. Dibujr dichos recintos y hllr el áre de cd uno de ellos. 4. (JUNIO ) Ls rects r y - 8x y r y x limitn junto con 4 l curv y un recinto del plno. x + Trzr un esquem gráfico de dicho recinto y clculr el áre de l prte del recinto situd en el primer cudrnte del plno, medinte un integrción decud. 5. (JULIO ) Ls curvs y 7 + sen x cosx e y x determinn, junto con x y x, un recinto del plno. Trzr un esquem gráfico de dicho recinto y clculr su áre. 6. (Septiembre 997) Se consider pr cd número nturl n l curv C n de ecución y x -4nx+4n. Se R(n) el recinto finito limitdo por l curv C n, l curv y x y el eje OX. Clculr el áre de R(n). 7. (JUNIO 997) Clculr el áre del recinto finito limitdo por l gráfic de l función y x 4, su rect tngente en el punto (,) y el eje OY. 8. (Septiembre 995) Encontrr el áre del recinto plno situdo encim del eje OX y debjo de ls curvs y x, y. x 55

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