Apéndice 1. Ajuste de la función gamma utilizando el método de máxima probabilidad ( maximum likelihood )

Transcripción

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3 Apédces 357 Apédce. Ajuste de la fucó gamma utlzado el método de máma probabldad mamum lkelhood Se descrbe a cotuacó el ajuste de la fucó gamma utlzado e el apartado.2..2 pága 28. Véase Burguess & Webster 984 para más detalles. La fucó de desdad de probabldad de ua dstrbucó gamma co parámetros y es: S, 2,... es ua muestra procedete de esta dstrbucó, la fucó de máma probabldad, L,, vee dada por: Las estmacoes de máma verosmltud de y, deomadas ˆ y ˆ se obtee mamzado L o ll respecto a y. 0 l L mplca que 0 ˆ / ˆ, ˆ ˆ a dode es la meda de. 0 l L mplca que. 0 ˆ ˆ l lˆ Γ Γ +. / Γ e g / ep, Γ g L { }. l l l l Γ + L

4 358 Apédces ˆ Γ ˆ ep ˆ Γ /. el cocete Γ ˆ / Γ ˆ es coocdo como la fucó dagamma, ψ ˆ dode ψ γ + para úmeros eteros 2, k k ψ γ, y ψ γ + /[ m{ m + }] m costate de Euler , dode es u úmero o etero, sedo γ la Así pues, la solucó se ecuetra cuado se cooce ˆ tal que: ep / { ˆ ψ } ˆ 0, ajustado etoces ˆ ˆ.

5 Apédces 359 Apédce 2. Obtecó de los ídces SADIE Se muestra a cotuacó co ejemplos la obtecó de los ídces de agregacó I a y agrupacó v medate SADIE. La formacó presetada e este apédce srve como complemeto a la descrpcó realzada e el apartado.2.2 págas 3-34 y ha sdo obteda del tutoral de SADIE, que puede descargarse e la pága web: bbsrc.ac.uk/pe/sade. Ua descrpcó más detallada de los fudametos teórcos del método, así como de sus aplcacoes práctcas, puede ecotrarse e Perry & Hewtt 99, Perry 995a, 998 y Perry et al Cálculo del ídce de agregacó I a y de su sgfcacó estadístca E el presete ejemplo se aalza el patró espacal de ua espece e ua malla de 3 3 m Fgura. Este 36 dvduos y ueve udades de muestreo, por lo que para cosegur ua dstrbucó completamete regular cada celda debería teer cuatro dvduos. Lo prmero que hay que hacer es detfcar las celdas que tee ua abudaca superor e feror a este valor, represetadas e el gráfco derecho de la Fgura como las que tee dvduos e grs y u úmero egatvo respectvamete. SADIE utlza u algortmo de trasporte para ecotrar la maera óptma de gualar el úmero de dvduos e todas las celdas mmzado la dstaca total que éstos tee que recorrer. El resultado fal es que todos los putos de muestreo tee el msmo úmero de dvduos Fgura 2. Fgura. Represetacó del úmero de dvduos presete e cada udad de muestreo gráfco de la zquerda y de las celdas que tee más o meos dvduos que la meda gráfco de la derecha.

6 360 Apédces Fgura 2. Utlzado u algortmo de trasporte, SADIE redstrbuye los dvduos desde las celdas que tee u úmero mayor que la meda gráfco de la zquerda haca las que tee u úmero meor, de forma que al fal todas las celdas tee el msmo úmero de dvduos gráfco de la derecha. E la Fgura 3 se muestra u gráfco deomado cal y fal, que proporcoa ua apromacó tutva al patró espacal presete e los datos. Los flujos flechas e la fgura se produce desde las zoas dode la desdad de dvduos es relatvamete elevada gráfco de la zquerda, esqua superor zquerda haca el resto de áreas dode ésta es relatvamete pequeña. S se toma como udad utara la dstaca etre el cetro de dos celdas cosecutvas puede calcularse la dstaca total que se ha desplazado los dvduos e la zoa de estudo, deomada dstaca a la regulardad D, que represeta el mímo esfuerzo requerdo para cambar el patró espacal observado haca u patró regular dode todas las celdas tee el msmo valor. Fgura 3. Gráfco cal y fal. E el cuadrado de la zquerda se ecuetra la dstrbucó orgal de los dvduos, metras que e el de la derecha se ecuetra la dsposcó regular que se alcaza después del movmeto de los dvduos. Los flujos desde las celdas co más dvduos que la meda se ecuetra represetados por las flechas. E este ejemplo, D 3.54 Para calcular la sgfcacó estadístca de la dstrbucó espacal observada, SADIE realza u test de permutacoes véase Legedre & Legedre 998, págas 20-26, para ua

7 Apédces 36 troduccó geeral sobre este tpo de tests. E esta prueba estadístca, los datos so dstrbudos al azar etre los putos de muestreo u determado úmero de veces, usualmete varos cetos o mles, calculádose D co cada uo de estos cambos y obteedo así su dstrbucó de frecuecas Fgura 4. La meda de D obteda e estas permutacoes es de 9.7. La dvsó del valor observado por la meda de las permutacoes produce el ídce de agregacó, I a, que e este ejemplo tee u valor de.48. U test estadístco formal puede obteerse calculado que proporcó de valores de D e la dstrbucó de frecuecas tee u valor gual o mayor al valor observado de D P a. E este ejemplo, P a 0.005, dcado la preseca de ua agregacó altamete sgfcatva. Usualmete, los datos muestra ua dstrbucó agregada s I a >, aleatora s I a y regular s I a < Fgura 4. Dstrbucó de frecuecas de los valores de la dstaca a la regulardad obtedos durate las permutacoes. 2 Cálculo del ídce de agrupacó v y de su sgfcacó estadístca Para lustrar el cálculo del ídce de agrupacó v se va a utlzar la malla de 5 5 m que se muestra e la Fgura 5 gráfco de la zquerda. El gráfco cal y fal de estos datos muestra las udades co valores por ecma y por debajo de la meda e rojo y azul respectvamete Fgura 5, gráfco de la derecha. La mpresó geeral que produce este patró espacal es la esteca de ua tedeca de la zoa NE a la SW de la cuadrícula. La udad de muestreo señalada co u círculo rojo Fgura 5, gráfco de la zquerda, de coordeadas 0, 5, y, se va a deomar a cotuacó como udad A. La meda para el cojuto de datos es de 4.92 Fgura 5, por lo que el flujo total que sale de A es El algortmo de trasporte ecuetra la dstaca míma a la regulardad y dvde este

8 362 Apédces flujo e cuatro udades Fgura 6:.56 haca la udad B, co coordeadas 0,0 e dcada co u círculo verde,.92 haca la udad C, co coordeadas 0,5 y señalada co u círculo rosa, 0.68 haca la udad D, co coordeadas 0,0 y marcada co u círculo amarllo y 0.92 haca la udad E stuada e 5,0 y especfcada co u círculo grs. Fgura 5. Dstrbucó orgal de los datos zquerda y gráfco cal y fal derecha del ejemplo empleado. La meda mea de los datos orgal es La magtud de los flujos flechas rojas e el cuadrado de la derecha dfere, pero por clardad o se tee e cueta e la fgura. Nótese como para cada udad doate abudaca superor a la meda y receptora abudaca feror a la meda aparece más de u flujo. Fgura 6. Reparto de los flujos desde la udad stuada e las coordeadas 0,5. Véase el teto para los detalles.

9 Apédces 363 La magtud del flujo que va desde A a B se deoma υ AB Fgura 7. De forma aáloga, la dstaca etre ambas udades de A a B se desga como d AB. La dstaca meda de flujo desde A flecha de color egro, poderada por la magtud de los flujos dvduales, se utlza como base para calcular u ídce de agregacó para la udad A, Υ A. E este ejemplo, Υ A d AB υ AB + d AC υ AC + d AD υ AD + d AE υ AE /υ AB + υ AC + υ AD + υ AE 63.34/ Así pues, este u valor de Υ para cada ua de las udades doates abudaca superor a la meda, señaladas e rojo e la Fgura 5 y receptoras abudaca feror a la meda, señaladas e azul e la Fgura 5, pero para dstgurlas etre sí éstos últmos tee sgo egatvo. Fgura 7. Represetacó de los flujos dvduales flechas rojas y del flujo medo flecha egra que sale de la udad A. La magtud υ y dstaca d de los flujos dvduales se dca a la derecha. Véase el teto para los detalles. El valor umérco de Υ es u bue dcador de la agregacó porque tede a ser más elevado para ua udad que forma parte de ua macha zoa de abudaca superor a la meda que para ua que tee u valor elevado pero que está rodeada por otras co valores bajos. Así, e la Fgura 8, las udades localzadas e 5,20 y e 5,0 tee el msmo úmero de dvduos, pero Υ es mayor e la prmera. De maera aáloga, para ua udad receptora se esperaría ecotrar u valor de Υ más egatvo s ésta forma parte de u claro zoa de abudaca feror a la meda que s preseta u valor bajo pero está rodeada por udades que tee valores altos. Así, las udades localzadas e 0,0 y e 5,20 tee el msmo úmero de dvduos, pero la prmera forma parte de u claro y su valor de Υ es más egatvo.

10 364 Apédces Fgura 8. Represetacó de los flujos desde/haca udades que forma parte de ua macha y de u claro respectvamete. La magtud de los flujos se muestra a la derecha. Véase el teto para los detalles. Υ A depede de la escala a la que las dstacas so meddas, del valor de cobertura y de su localzacó respecto a otras udades. Para teer e cueta estas característcas, SADIE utlza u ídce de agregacó admesoal, v, obtedo a partr de la relacó Υ A o Υ / A Υ cυ. Para obteer c Υ se calcula la meda de los valores de Υ A que resulta de permutar el valor úmerco de A etre todas las udades muestrales. E la Fgura 9 gráfco de la zquerda se muestra, para ua seleccó de las permutacoes, los vectores de flujo resultates de permutar el valor presete e A. E este ejemplo c Υ 7.46, sedo cosderablemete feror al de Y A E el caso de A Υ, e lugar de segur el valor de A a lo largo de las permutacoes, se evalúa los valores que va sedo asgados a la localzacó espacal de A durate las permutacoes Fgura 9, gráfco cetral. Así, el valor de A Υ se calcula como la meda de los valores absolutos de Υ A obtedos a partr de los valores umércos asgados a A durate las permutacoes. Nótese que e este caso se habla de valores absolutos porque puede asgarse valores ferores a la meda y, por cosguete, el valor de Υ A puede teer sgo egatvo. Sguedo el ejemplo, A Υ 7.20, uevamete feror a Υ A. o Υ se obtee a partr de la meda de A Υ para cada ua de las udades de muestreo Fgura 9, gráfco de la derecha. E este ejemplo, o Υ 7.9, por lo que el valor de v para A fue de 2.47 * 7.9/7.46 * , lo que dca que esta udad se ecuetra detro de ua macha.

11 Apédces 365 Fgura 9. Represetacó gráfca de la obtecó de c Υ, A Υ e oυ. Los vectores de color rojo y azul hace refereca a los flujos de udades doates y receptoras respectvamete. Para smplfcar la mage, o se tee e cueta la magtud de los vectores. Véase el teto para los detalles. Para evaluar estadístcamete el grado de sgfcacó del cojuto de machas y claros Fgura 0, se realza u test de permutacoes dode sus valores medos, V y V j, so comparados co los obtedos durate las permutacoes, tal como ocurre co I a. E este ejemplo, V.28. Dado que sólo el 4.99 % de las permutacoes tuvero u valor gual o más grade, P < Por lo que respecta a los claros, V j.40. E este caso sólo el 2.5 % de las permutacoes tuvo u valor gual o más egatvo, por lo que P < Fgura 0. Localzacó de las machas e rojo y los claros e azul e el ejemplo segudo. El úmero presete e la parte feror de cada celda es el ídce de agregacó, v.