Funciones Vectoriales

Transcripción

1 Apendice 2 Funciones Vectoriles Definition 1. Un función f : I R R n cuy regl de correspondenci es ft = f 1 t,f 2 t,...,f n t se denomin función vectoril de un vrible rel t. 1. El nombre de función vectoril viene ddo porque, f sign cd t I un vector en el espcio R n. 2. Lsnfuncionesrelesf i,i = 1,2,...,nsellmnfuncionescomponentesdelfunción vectoril f. 3. El dominio de l función vectoril f es el conjunto Domf = Dom f 1 Domf 2... Domf n 4. Si est regl de correspondenci l escribimos en l form x 1 = f 1 t, x 2 = f 2 t, x n = f n t, t I. 1 Los puntos x 1,...,x n = f 1 t,...,f n t, t I formn l curv C prmétrizd en el espcio R n, y describen normlmente l tryectori de un prticul, 5. A ls ecuciones x i = f i t se llmn ecuciones prmétrics de un curv C. Si en ls ecuciones prmétrics x i = ft de l curv C se elimin el prámetro t, logrmos encontrr ls ecuciones crtesins de l curv similr ls ecución simétrics de un rect 6. Si f : I R n es un función vectoril tl que ft = f 1 t,...,f n t entonces ft es el vector de posición del punto Pf 1 t;f 2 t,...,f n t en l curv C. El extremo del vector de posición ft trz l tryectori de l curv C e indic su orientción. Ejemplo 1. Trce l imgen de ls siguientes funciones ht = t,t,t 2 Solución. Ls ecuciones prmétrics de l curv descrit por l función vectoril h es x = t, y = t z = t 2 Al eliminr el prámetro t en ls ecuciones prmétrics, se obtiene que los puntos de l curv h están situdos en l intersección de ls supeficies y = x, z = x 2 1

2 Un curv C en el espcio tridimensionl R 3, se prmétriz medinte tres ecuciones x = ft y = gt z = ht como tmbién puede representrse en form vectoril, es decir, El vector rt = fti+gtj+htk = ft,gt,ht represent l posición de l prtícul en el instnte t. De hí que recibe el nombre de vector posición de l prtícul. Ls funciones f, g y h son ls funciones componentes del vector de posición r. Consideremos l tryectori de l prtícul como l curv descrit por r durnte el intervlo de tiempo I. l curv. Un función de l form rt = fti+gtj represent un curv el plno. Mientrs que un funcion vectoril de l form rt = fti+gtj+htk represent un curv en el espcio, donde ls funciones componentes f, g y h son funciones del prámetro t. Vese figur Ejemplo 2. Grfique l función vectoril rt = costi+sintj+tk SOL: No es difícil ver que ls ecuciones de ls coordends son x = cost, y = sent, z = t Como x 2 +y 2 = 1 entonces firmmos que l curv est sobre un cilindro circulr, pero l curv sube cundo el componente en k, z = k ument. Adicionlmente, Cd vez que t ument en 2π, l curv complet un vuelt, solo en en el plno xy. De mner que l tryectori de est curv es un Hélice 2

3 L curv en el ejemplo nterior es un de tipos de curvs espciles conocids como curvs helicoidles. En generl, un función vectoril de l form rt = coskti+senktj+ctk describe un hélice circulr. El número 2πc/k recibe el nombre de horquill de un hélice, es l seprción verticl de los lzos de l hélice. Un hélice circulr es sólo un cso especil de l función vectoril rt = coskti+bsenktj+ctk que describe un hélice elíptic cundo b. L curv definid por rt = tcoskti+btsenktj+ctk se denomin hélice cónic. Por último, un curv dd por rt = sinktcosti+sinktsintj+cosktk se llm hélice esféric.en ests ecuciones se supone que, b, c y k son constntes positivs. Ejemplo 3. Encuentre un función vectoril pr el segmento de rect del punto P 0 3,2,1 l punto P 1 1,4,5. SOL: No es dificil ver que los vectores de posición correspondientes los puntos ddos son r 0 = 3,2 1 y r 1 = 1,4,5. Entonces, un función vectoril pr el segmento de rect es: Ejemplo 4. Grfique l curv trzd por l función vectoril rt = 2costi+2sentj+3k SOL: Ls ecuciones prmétrics de l curv son ls componentes de l función vectoril son x = 2cost, y = 2sent, z = 3. 3

4 Ejemplo 5. Determine l función vectoril que describe l curv C de intersección del plno y = 2x y el prboloide z = 9 x 2 y 2 SOL: Primero prmetrizmos l curv C de intersección hciendo, x = t, de donde se deduce que y = 2t y z = 9 t 2 2t 2 = 9 5t 2. Por tnto ls ecuciones prmétrics son x = t, y = 2t, z = 9 5t 2, y por tnto un función vectoril que describe el trzo del prboloide en el plno y = 2x está dd por rt = ti+2tj+9 5t 2 k. Ejemplo 6. Encuentre l función vectoril que describe l curv C de intersección de los cilindros y = x 2 y z = x 3 SOL: En R 2, y = x 2 es un prábol en el plno xy y por tnto en R 3 es un cilindro prbólico cuy genertriz es prlel l eje z. Por otro ldo, z = x 3 es un cilindro cúbico cuy genertriz es prlelo l eje y. Ahor, l opción más nturl pr prmetrizr es usr x = t entonces y = t 2 y z = t 3. Por tnto, un función vectoril que describe l curv C generd por intersección de los dos cilindros es entonces rr = ti+t 2 j+t 3 k Ejemplo 7. Dibujr l gráfic C representd por l intersección del semielipsoide x y z2 4 = 1, z 0 y el cilindro prbólico y = x2. Después, hllr un función vectoril que represente l gráfic. SOL: Un opción nturl pr el prámetro es: x = t, luego y = t 2. Entonces z 2 4 t2 = t4 24 = 6+t2 4 t 2 24 Como l curv se encuentr sobre el plno xy, hy que elegir pr z l ríz cudrd positiv. Por tnto, l función vectoril resultnte es: rt = ti+t 2 6+t2 4 t j+ 2 k, 2 t 2 6 Muchs de ls técnics y definiciones utilizds en el cálculo de funciones reles se pueden plicr funciones vectoriles. Por ejemplo, ls funciones vectoriles se pueden sumr y restr, multiplicr por un esclr, tomr su límite, derivrls, integrrls y sí sucesivmente. L estrtegi básic consiste en provechr l linelidd de ls operciones vectoriles y extender ls definiciones, componente por componente., 4

5 f +gt = ft+gt, t D f D g f gt = ft gt, t D f D g φft = φtft = φtf 1 t,...,f n t, φ : R R, t D φ D f f gt = ft gt = n i=1 f itg i t, t D f D g f gt = ft gt, f,g : R R 3, t D φ D f Est extensión, componente por componente, de ls operciones con funciones reles funciones vectoriles se ilustr más mplimente en l definición siguiente del límite de un función vectoril. Si rt tiende l vector L cundo t, l longitud del vector rt L tiende 0. Es decir, rt L 0 Cundo t Ejemplo 8. Clcule lím t t0 ft en cso exist de ls siguientes funciones vectoriles 1. ft = 1 t+1 t, t+2 t+1,2, pr t 0 = 0 R/ 0,0,2 2. ft = e t e t 1, lnt 1 t, sent 1, pr t 0 = 1 R/ e, 1,1 t 1 3. ft = 1 cossent sen 2, cost cossent 1 t t 2,, pr t 0 = 0 R/ 1 t π 2,0, 1 π 5

6 4. ft = 2 t tnπ 2 t, sen 5 t 1 tn 5 t 1, t 1, pr t 0 = 1 R/ e 2/π,1, 1 t 1 2 L definición siguiente extiende l noción de continuidd funciones vectoriles. Definition 2. un función vectoril f es continu en el numero si f est definido límft existe t límft = f t De cuerdo con est definición, un función vectoril ft = f 1 t,f 2 t,...,f n t es continu en t = si y sólo si ls funciones componentes f i, son continus en t =. t 2 1 Ejemplo Dd l función vectoril ft = t+1, senπt cosπt, lnt+1 Determine t+2 si l función vectoril es continu en t = 1. R/: SI sent 2. Dd l función vectoril ft =, ln1+t, cost 1 Determine si l función t 1 t t vectoril es continu en t = 0. R/: NO L definición de l derivd de un función vectoril es prlel l dd pr funciones reles. Definition 3. L derivd de un función vectoril f es pr todo t pr el cul existe el límite. f t = lím t ft+h ft h Si f t existe, entonces f es derivble en t. Si f t existe pr tod t en un intervlo bierto I, entonces f es derivble en I. L derivbilidd de funciones vectoriles puede extenderse intervlos cerrdos considerndo límites unilterles. 6

7 NOTA: Además de l notción f t otrs notciones pr l derivd de un función vectoril son d D t [ft], dt [ft], df dt Velocidd y celercíon Si un prtícul se mueve lo lrgo de un curv C en el espcio R n, de modo que su vector posición en el tiempo t es ft = f 1 t,f 2 t,...,f n t entonces, el vector velocidd vt y el vector celerción t de l prtícul en el instnte t son dds por vt = f t = t = v t = f t = f 1t,f 2t,...,f nt f 1t,f 2t,...,f nt El vector velocidd vt tiene l dirección del vector tngente l curv C en el punto ft y el vector celerción t punt hci el ldo cóncvo de l curv C ldo hci donde se doble l curv. Regls de Derivción de funciones vectoriles: Sen f,g : I R n funciones vectoriles derivbles de t, c un constnte rel y α : I R un función rel derivble de t. Entonces se tiene: 1. [f ±g] t = f t±g t 2. [cft] = cf t 3. [αtft] = α tft+αtf t 4. [ft gt] = f t gt+ft g t 5. [ft gt] = f t gt+ft g t, válido solo en R 3 6. ft = ft f t ft si ft 0 El módulo del vector velocidd vt, esto es, vt = f t = [f 1 t]2 +[f 2 t]2 + +[f nt] 2 2 es l rpidez de l prtícul en el instnte t. Si un prtícul se mueve con un rpidez constnte c, entonces su vector de celerción es perpendiculr l vector de velocidd v. En efecto, v = c, v 2 = c 2 v v = c 2 Diferencimos mbos ldos con respecto t, 0 = d dv v v = 2v = 2v Entonces, vt t = 0 pr todo t. dt dt Ejemplo 10. Si ft = t,t 2 ;3+t, gt = cost,sent,lnt+1 y αt = e 4t, clcule 7

8 αf 0 f +g 0 f g 0 f g 0 Ejemplo 11. Considere l curv C dd por rt = cos2ti + sintj, π/2 t π/2. Encuentre l derivd r t y grfique los vectores r 0 y r π/6 SOL: L curv C es suve Porque? R/: r t = 2sen2ti+costj en concecuenci r 0 = j, r π/6 = 3i j Como gráficmos l curv? R/: Ejemplo 12. Encuentre ls ecuciones prmétrics de l rect tngente l curv C cuys ecuciones prmétrics son x = t 2, y = t 2 t, z = 7t en el punto correspondiente t = 3. SOL: L función vectoril posición es rt =, y por tnto punto en cuestion e r3 =. Luego los vectores tngentes C están ddos por r 0 = y r 3 = De mner que ls ecuciones prmétrics de l rect tngente son 8

9 Integrles de funciones Vectoriles Definition 4. Si f : [,b] R n es un función vectoril continu en el intervlo [,b] tl que ft = f 1 t,f 2 t,...,f n t entonces l integrl indefinid de f es ˆ ftdt = ˆ ˆ f 1 tdt, ˆ f 2 tdt,..., f n tdt y l integrl definid de f es ˆ b ˆ b ftdt = f 1 tdt, ˆ b f 2 tdt,..., ˆ b f n tdt Ejemplo Hlle l integrl indefinid de l función vectoril ft = 2. Clcule l integrl ˆ 1 0 ftdt, donde ft = 2t, 1 1+t,tet 1 cost, 1+t,tet Teorem 5 TeoremFund.delClculo. Se f : [,b] R n es un función vectoril continu en [, b] entonces L función F definid por Ft = ft, t [,b] ˆ b fudu = Fb F, ˆ t fudu, t b es derivble y F t = Ejemplo 14. Clcule ft = ˆ π/4 0 ftdt h0, donde tntsec 4 t,sen 3 2tcos 2 t sen 3 2tsen 2 t, 1 t π π y ˆ 1 ht = e t2 1 dt, 1 ˆ 1 0 t 2 tdt, ˆ 1 0 t 3 dt, R : 5 288, 5 2,

10 Curvs regulres Definition 6. Se dice que un curv C R n es un curv prmetrizd, si existe un función vectoril α : [,b] R n tl que α[,b] = C A l función vectoril αt = α 1 t,α 2 t,...,α n t se llm prmetrizción de l curv C. Ejemplo 15. l curv C : x 2 + y 2 = 1 tiene como prmetrizción l función vectoril α : [0,2π] R 2 definid por αt = cost,sent x x 0 Ejemplo 16. Hlle un prmetrizción pr l curv C : y = fx = x 2 x > 0 Solución. : No es difícil ver l función vectoril α : R R 2 definid por t,t t 0 αt = t,t 2 t > 0 es un prmetrizción pr l curv C. PROPIEDADES 1. Se dice que C es un curv con puntos dobles si αt 1 = αt 2, con t 1 t 2 2. Se dice que C es un curv simple si no tiene puntos dobles. 3. Se dice que C es un curv cerrd si α = αb 4. Se dice que C es un curv regulr, si l función vectoril αt tiene derivd continu y α t 0, t [,b] Definition 7 Reprmetrizción de un curv regulr. Se C R n un curv regulr, es decir, existe un función vectoril α : [,b] R n tl que α[,b] = C y α t 0, t [,b]. Un reprmetrizción de αt es un función vectoril γ = α ϕ : [c,d] R n tl que γu = α ϕu = αϕu, u [c,d] donde ϕ : [c;d] [,b] es un función rel derivble y sobreyectiv tl que ϕ u 0, u [c,d]. 10

11 1. Si ϕ t > 0 se conserv l mism orientción en l curv reprmetrizd. 2. Si ϕ t < 0 se invierte l orientción en l curv reprmetrizd. Ejemplo 17. Se α : [0,2π] R 2 un función vectoril dd por αt = cost,sent 1. Consideremos l función ϕ : [0,1] [0,2π] definid por ϕu = 2πu, entonces γu = α ϕu = αϕu = cos2πu,sen2πu es un reprmetrizción de l curv αt. Com ϕ u = 2π > 0, entonces l curv γu mntiene l mism orientción de l curv αt. 2. Consideremos l función φ : [0,2π] [0,2π] definid por φu = 2π u entonces γu = α φu = αφu = cos2π u,sen2π u es un reprmetrizción de αt. Como φ u = 1 < 0, entonces l curv γu invierte l orientción de l curv αt. Definition 8 Longitud de rco de un función regulr. Se α : [,b] R n un curv regulr en [,b], tl que C : αt = α 1 t,α 2 t,...,α n t L longitud de rco de l curv medid desde t = hst t = b es LC = ˆ b α t dt = ˆ b [α 1 t]2,...,[α nt] 2 dt L función longitud de rco de l curv αt es dd por st = lt = Ejemplo 18. Hlle l longitud de rco de ls siguientes curvs ˆ t α u du, t [,b] 3 1. αt = cost,sent,bt, desde t = 0 hst t = 2π. R/ 2π 2 +b 2 11

12 2. αt = t,1, 1 6 t t, desde t = 1 hst t = 3. R/