Combina, prueba, tantea PÁGINA 14

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1 PÁGINA 14 Pág. 1 3 Si escribes todos los números impares entre el 55 y el 555, cuántas veces habrás usado la cifra 6? Un número impar entre el 55 y el 555 solo puede tener un 6 en la cifra de las decenas. Buscamos los números de la forma a 6 a : a b puede ser 0, 1,, 3, 4 ó 5 (6 opciones) puede ser 1, 3, 5, 7 ó 9 (5 opciones) Hay, en total, 6 5 = 30 números con las condiciones dadas. El 6 se ha utilizado 30 veces. 4 Cuántos números comprendidos entre 100 y 400 contienen el dígito? Veamos primero cuántos no tienen el dígito. Buscamos números de la forma a b c : a b c puede ser 1 ó 3 ( opciones) puede ser 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ó 9 (9 opciones) puede ser 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ó 9 (9 opciones) En total, 9 9 = 16. Falta contabilizar el número 400. En total, son 163 números. Entre 100 y 400 hay 301 números y, de ellos, 163 no contienen el dígito. Por tanto, los que sí lo contienen son = Cuál es la suma de todos los números capicúas comprendidos entre y ? Vemos primero cuántos de estos capicúas hay. Buscamos números de la forma 6 a b a 6 : a puede ser 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ó 9 (10 opciones) b puede ser 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ó 9 (10 opciones) En total, = 100 capicúas. Veamos ahora cuánto suman: Cifras 1.ª y 5.ª = Cifras.ª y 4.ª = 45. Cada 10 de estas cifras suman 45 ( ) = Cifra 3.ª = La suma total es =

2 6 En cuántos ceros termina el producto de los cien primeros números naturales? Cada cero es un múltiplo de 10 = 5. Hay muchos más factores que factores 5. Habrá tantos múltiplos de 10 (tantos ceros al final) como factores 5. Del 1 al 100, cada 5 números es múltiplo de : 5 = 0 Además, cuatro de ellos (5, 50, 75 y 100) tienen el 5 como factor veces. Por tanto, en total, el 5 está como factor 4 veces es un número que acaba en 4 ceros. Pág. 7 Cuántos partidos hay que jugar para completar un campeonato de tenis, por eliminatorias, con 16 jugadores? Y con 3? Y con 64? Y con 90 jugadores? (En la primera ronda tendríamos que eliminar a 6 jugadores para que queden 64. Esto se consigue seleccionando a 5 jugadores para que jueguen 6 partidos y clasificando a los restantes directamente a la siguiente ronda). Y con 133? Mirando las soluciones de los ejercicios anteriores, ingéniatelas para decir cuántos partidos se necesitan para llevar a cabo un torneo por eliminatorias con n jugadores. Si echamos bien las cuentas, observamos que: 16 jugadores 8 15 partidos 3 jugadores 8 31 partidos 64 jugadores 8 63 partidos 90 jugadores 8 89 partidos 133 jugadores 8 13 partidos Es decir, en cada opción, se juega un partido menos que jugadores participan. Por qué? En cada partido se elimina un jugador, y solo uno. Como hay que eliminarlos a todos, excepto al campeón, es necesario jugar tantos partidos como eliminados haya, es decir, un partido menos que competidores haya. Si hubiese n jugadores, serían necesarios n 1 partidos. 8 Imagina que tienes en un bolsillo estas cuatro monedas (, 1, 0,50 y 0,0 ): Cuántas cantidades diferentes puedes formar? Con una moneda se pueden formar 4 cantidades diferentes: 1 0,50 0,0

3 Con dos monedas, 6 cantidades diferentes: Pág. 3 3,50,0 1,50 1,0 0,70 Con tres monedas, el mismo número de cantidades que con una, 4. Solo tenemos que pensar en qué moneda no cogemos: Con cuatro monedas solo hay 1 forma: En total son = 15 formas. 3,50 3,0,70 1,70 3,70 9 Julio tenía en su bolsillo monedas de 1, de 0,50, de 0,0 y de 0,10. Ha comprado una revista por 3 utilizando seis monedas. Qué monedas ha utilizado? Ha podido utilizar: 6 monedas de 0,50, o bien ( de 1 ) + (1 de 0,50 ) + ( de 0,0 ) + (1 de 0,10 ) 30 De cuántas formas diferentes se pueden juntar 6 utilizando solo monedas de, 1 y 0,50? 1 0, forma formas formas formas

4 31 Supón que dispones, exclusivamente, de sellos cuyo valor es de 0,10 y de 0,0. Con esos sellos tienes tres formas distintas de franquear una carta con 0,40 : 0,10 + 0,10 + 0,10 + 0,10 = 0,40 0,10 + 0,10 + 0,0 = 0,40 0,0 + 0,0 = 0,40 De cuántas formas distintas podrás franquear una carta con? Y una carta con n? Una carta de se puede franquear con 0 sellos de 0,10. Podríamos sustituir dos sellos de 0,10 por uno de 0,0, y esto podemos hacerlo con una, dos, tres,, hasta 10 parejas de sellos de 0,10. Por tanto, hay 11 formas de franquear la mencionada carta. Una carta de n se puede franquear con 10n sellos de 0,10. Pág. 4 Podríamos sustituir dos sellos de 0,10 por uno de 0,0, y esto podemos hacerlo con una, dos, tres,, hasta n parejas de sellos de 0,10. Por tanto, hay 10 n + 1 = 5n + 1 formas de hacerlo. 3 Cuántos tramos de carretera son necesarios para comunicar cuatro poblaciones de forma que desde cada una se pueda llegar a cualquier otra sin pasar por una tercera? Y para comunicar cinco poblaciones? Y para comunicar n poblaciones? Para cuatro poblaciones: A B D C Desde cada población hay que construir un tramo de carretera hacia las otras tres (4 3 = 1). De esta forma contamos cada tramo dos veces, el que va de una población A a otra B y el que va de B a A. Hemos de dividir por. Para cuatro poblaciones se necesitan 4 3 = 6 tramos de carretera. Para cinco poblaciones = 10 tramos de carretera. Para n poblaciones 8 n (n 1) tramos de carretera.

5 33 Estás junto a una fuente y dispones de un cántaro de 10 litros y otro de 6 litros. a) Cómo te las ingeniarías para medir, exactamente, litros de agua? b) Qué cantidades distintas puedes medir con los cántaros de que dispones? a) 10 litros 6 litros Pág. 5 Llenamos el de 10 litros y vaciamos su contenido en el de 6 litros. Quedan 4 y 6 litros. Vaciamos el envase de 6 l. Quedan 4 y 0 litros. Ponemos los 4 l en el envase de 6 l. Quedan 0 y 4 litros. Llenamos el de 10 litros. Hay 10 y 4 litros. Con el de 10 l rellenamos el de 6 litros. Quedan 8 y 6 litros. Vaciamos el de 6 litros. Quedan 8 y 0 litros. Llenamos el de 6 l con el contenido del de 10. Quedan y 6 litros. Ya hemos conseguido los litros. b) Se pueden conseguir, 4, 6, 8 y 10 litros.

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