UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA. Temas 5 y 6 Sucesiones y Series. Series de Potencias

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1 Temas 5 y 6 Sucesioes y Series. Series de Potecias SUCESIONES E los siguietes problemas determie si la sucesió { } ecuetre el límite e caso de ser covergete..- { }.- { } = 5 a.- { } a 5.- { a} = + 9 a es covergete o divegete y + 7 = { a } = + ( ) + ( ) = 7.- { } { Se( π )} a 9.- { } Material Recopilado por:: Profª. Marta Serpa(89) - - a 6.- { } = 8.- { a } L a = a.- { }.- { a } arctg = = + { } Se = a.- { }.- { } 4.- { a } 5.- { } { } + a = 6.- { a } π Se = L a = + a = e = = E las sucesioes , determie si so moótoas y acotadas. So estos resultados acordes a las respuestas ateriores?

2 SUCESIONES Y SERIES.- Determiar la covergecia o divergecia de cada sucesió. a ( ) + π c.-cos d.- + e.- 4 f.- + g.- + ( ) ( ) ( ) h.- ( + ) { } i.- (.) j.- { ( )} Se.- m.- { ( π )} Cos.- L l.- { e } o.- L ( +) p.- arctg q.- 8 ( 7 ) r.- ( 6 5 ) Determie que toda sucesió moótoa acotada es covergete..-de u ejemplo de sucesió acotada que o sea covergete. 4.- Hallar la suma de las series a.- = 4 = ( + ) = c.- ( + ) d Material Recopilado por:: Profª. Marta Serpa(89) - -

3 5.- Epresar el úmero, como el cociete de dos eteros. 6.- Trácese desde el vértice C del águlo recto de u triágulo ABC la altura correspodiete a la hipoteusa c, desde su pié trácese la perpedicular al cateto b; desde su pie la perpedicular a la hipoteusa y así sucesivamete. Calcúlese la logitud total de la poligoal de ifiitos lados así obteida. 7.- Determie si es válido el siguiete razoamieto: Si S = etoces S = = S- Despejado S de S = S -, resulta S = -? 8.- Demuestre: Si a diverge y c es ua costate distita de cero etoces = = diverge. 9.- Supoga que a coverge y que = = diverge..- Determiar si las siguietes series coverge o diverge: b diverge. Pruebe que ( a + ) = b ca a.- L = + ( + ) = + c.-.99 = d.- = e.- = f.- = + g.- = + h.- 5 i.- = 5 = ( ) L j.- = m.- L +.- ( + ) ( ) = +.- = = ( ) L l.- + = o.- = ( ) Se Material Recopilado por:: Profª. Marta Serpa(89) - -

4 p.- 5 = + 5 K q.- = L r.- = L e s = + v.- = + ( )! ( + ) t.- = ( + ) + w.- =! u.- Se =.- = L y.- arctg = + z.- e =.- Estimar el error cometido al aproimar térmios. = por la suma de sus primeros.- Probar que si = a coverge etoces a. Coverge. Es cierto el recíproco? = 4.- Demostrar: Si = a coverge etoces a tambié coverge. = 5.- Determiar si las series coverge absolutamete, coverge codicioalmete o diverge:.- Determiar ua aproimació a la suma de cada serie co u error meor que. a.- + = =! a.- = d.- 9 = + = ( ) e.- Cos = c.- f.- = = ( ) ( ) arctg 5 + Material Recopilado por:: Profª. Marta Serpa(89) - 4 -

5 g.- = π Cos h.- = L i Sea dos poliomios P() y Q() de grado al meos igual a. Supógase que para, Q(). Qué relació eiste etre los grados P() y Q() si: a.- P Q P Q = = c.- ( ) P Q cuado coverge absolutamete. coverge codicioalmete. 7.- Dé u ejemplo de dos series covergetes a y = = diverja. 8.- Hallar el radio y el itervalo de covergecia de cada serie: a.- = ( ) d.-! e.- = b, tales que ( a )! c.- = = + + f.- + = + = + = b g.- i.- = ( ) = = L l.- ( ) j.- = m.- ( ) 4 = + 6 h.- ( )! =! =.-!( ) =.- ( + ) Material Recopilado por:: Profª. Marta Serpa(89) - 5 -

6 o.- ( + ) ( ) = + p.- = ( ) q.- = a + b 9.- Sea = a tal que coverge e X=9 y diverge e X=-. Puede cocluirse algo sobre: a.- La covergecia e X=7? La covergecia absoluta e X 7? c.- La covergecia absoluta e X=9? d.- La covergecia absoluta e X=-9? e.- La divergecia e X=? f.- La divergecia e X=-5? g.- La divergecia e X=5.- Si a 6 coverge Qué puede decirse sobre la covergecia de: = a.- =.- Sí a ( 6) a 5 c.- = = + ( ) ( 5) a ( 5)? f = Hallar el itervalo de covergecia de: = 5 a.- f f.- Sea f ( ) ( ) = = +! c.- f ( t) dt 5 a.- Hallar el itervalo de covergecia. Hallar la serie de potecias de f ( t) dt. c.- Aproimar f d co u error meor que..- Demostrar que las series de Maclauri asociadas co a.- f = Se f Cos f = e represeta a las fucioes dadas e cada caso para todo. = c.- Material Recopilado por:: Profª. Marta Serpa(89) - 6 -

7 4.- Demostrar que la serie de Maclauri asociada co f para <. = + represeta a f 5.- Ecotrar la serie de Taylor de la fució dada e el valor idicado de a. a.- f = + a = 4 f = Se a = π 4 c.- f = e a = 6.- Hallar el desarrollo e serie de Maclauri de e e + a) f = Seh = b) f = a c) f = Se f = L d) 7.- Hallar el desarrollo e serie de Maclauri de f Se fució Cos 8.- Hallar el desarrollo e serie de potecias de de la fució f = derivado la serie de la. d + determiado su itervalo de covergecia y calcular ( ) meor que 4. =, ( + ) co u error 9.- Ecotrar ua represetació e series de potecias para las fucioes dadas. Determie el radio y el itervalo de covergecia. a.- f = Se t dt f = t e dt c.- f = t t e dt d.- f Se t = dt e.- f t = Cos t dt t Material Recopilado por:: Profª. Marta Serpa(89) - 7 -

8 .- Usar series de potecias para calcular las itegrales propuestas co cuatro cifras decimales eactas. a.- Cos π d Cos d c.-. t Se t dt e.-. Cos t t dt Material Recopilado por:: Profª. Marta Serpa(89) - 8 -

4. Con b = ( 1) 1 n. 6. Con c = n = p = 1, 1, ( 1) 1 2, ( 1) 1 3, ( 1) 1 4, ( 1) 1 5, ( 1) , 1 3, 1 2, 1 6 6, 5, 1.

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