TEMA 4 MERCADOS CON INCERTIDUMBRE. Revisado, noviembre de 2017

Transcripción

1 TEMA 4 MERCADOS CON INCERTIDUMBRE Revsado, novembre de 07 The book has grown out of a class I taught on the economcs of rsk at the Unversty of Wsconsn. My students have helped me n many ways wth ther questons, nqures and suggestons Jean Paul Chavas, Rsk Analyss n Theory and Practce

2 4.. La descrpcón del resgo Resgo: cualquer stuacón en la que algunos sucesos no son conocdos con certeza de antemano. En el mejor de los casos se puede atrbur una probabldad de que los resultados sean unos u otros. El marco de análss del resgo va a ser probablístco. Orgen del resgo. Aunque se entenda con certo detalle un fenómeno puede ser dfícl predecr el resultado s este camba dramátcamente con las condcones ncales. Por ejemplo, la físca que determna el resultado de trar una moneda al are (cara o cruz) es perfectamente conocda. Sn embargo, no srve para predecr con exacttud el resultado por su dependenca de mínmos cambos en las condcones de lanzamento de la moneda o del medo en que se lanza (fenómeno caótco).. Los resultados centífcos, que hacen referenca a conocmento con certeza, se obtenen en ambentes controlados. Los fenómenos del mundo real ocurren en ambentes no controlados (por ejemplo: temperatura, presón, humedad, etc.). Un ejemplo es la meteorología. Se conoce bastante sobre las propedades físcas de la atmósfera pero el fenómeno tene lugar en un ambente no controlado en que cas cualquer cambo es posble. 3. En fenómenos que no están sujetos a cambos ambentales aparecen dos crcunstancas relaconadas con la capacdad de conocmento humano. En prmer lugar, nuestra capacdad lmtada de conocmento. En segundo lugar, que el adqurr conocmento es costoso y, muy a menudo, dejar una certa ncertdumbre puede ser más benefcoso que adqurr toda la nformacón. Un caso claro es el Carlos Aras, 07

3 del juego del ajedrez. Se pueden estudar todos los movmentos y sus consecuencas pero su coste es prohbtvo. Representacón del resgo Descrpcón cuanttatva del resgo. a. Descrbr o enumerar posbles resultados. Ejemplos A: apruebo o suspendo A: Gano 000, gano 300 o perdo 500. b. Atrbur una probabldad a cada posble resultado Conceptos báscos de estadístca Varable aleatora Se trata de una varable (representante genérca de un conjunto) que tene asocada una probabldad. Probabldad Frecuenca poblaconal de aparcón (defncón nformal). Aproxmacón axomátca. Cómo trabajan los matemátcos? Por qué es útl? Subendo el nvel ntelectual de la dscusón Probabldad objetva Probabldad subjetva (Bayes) Resgo e ncertdumbre Caso En una bolsa tengo cnco bolas blancas y cnco bolas negras. Qué probabldad tenes de acertar el color de una bola extraída al azar? Carlos Aras, 07 3

4 Caso En una bolsa tenes un número ndetermnado de bolas blancas y negras. Qué probabldad tenes de acertar el color de una bola extraída al azar? Ejemplo La varable aleatora representa el número en la cara superor de un dado. Esta varable puede tomar el valor de los números naturales comprenddos entre el y el 6. Todos los números tenen la msma probabldad de aparecer en la cara superor. Es decr: = = 3= 4= 5= 6= 6 donde, es la probabldad de aparcón de cada número. Valor esperado Es la esperanza matemátca de la varable aleatora. Es decr: La esperanza ndca el "centro" de la dstrbucón probablístca. Subendo el nvel ntelectual de la dscusón Dstrbucón dscreta versus dstrbucón contnua. Punto versus ntervalo. Probabldad versus funcón de densdad y de dstrbucón. Sumatoros versus ntegrales. Matemátca dscreta versus matemátca contnua. Ventajas e nconvenentes. En el caso del dado el valor esperado es: =3, Ejemplo Lanzando una moneda al are, s sale cara ganas 6 y s sale cruz perdes 6 Carlos Aras, 07 4

5 Y 6 Y 6 Y Este es un juego de esperanza cero. Ejemplo 3 Lanzando una moneda al are, s sale cara ganas 60 y s sale cruz perdes 6 Z 60 Z 6 Z Este juego da por térmno medo un pago de 7 Cuánto se podría pagar por partcpar en este juego? Propedades de la esperanza Es un operador lneal. Se cumple que: Y E Y E Varanza La varanza es una medda de dspersón. Es la esperanza de las dstancas entre las observacones y el valor observado elevadas al cuadrado. V Es mportante darse cuenta de que se trata de la esperanza de las desvacones cuadrátcas. Es decr: V Alternatvamente se puede escrbr como: Carlos Aras, 07 5

6 V V V V Propedades de la varanza Y V V Y Demostracón: Y EY E Y EY E Y EY E V Y E Y E Y E E V Y E E V Ejemplos Calcular la varanza de lanzar una moneda (Cara=, Cruz=0) Calcular la varanza de lanzar un dado. Covaranza La covaranza de dos varables aleatoras se puede escrbr como:, C j j j Es mportante darse cuenta de que se trata de la esperanza del producto de las desvacones de cada varable con su valor esperado. Es decr:,,,, C E E E C E E E E E C E E E E E E E C E E E Carlos Aras, 07 6

7 Interpretacón Exsten tres casos.. Asocacón postva entre y La varable tende a estar por encma de la esperanza cuando la varable está por encma de la esperanza. Las dferencas con la esperanza tenden a ser postvas. Por tanto, el producto de las dferencas tende a ser postvo. Por otra parte, la varable tende a estar por debajo de la esperanza cuando la varable está por debajo de la esperanza. Las dferencas con la esperanza son negatvas. Por tanto, el producto de las dferencas tende a ser postvo. Como consecuenca, la esperanza de los productos de las dferencas (una suma ponderada) tende a ser postva. x y x x y y x x y y xy Observacón Observacón Observacón Suma Meda ,6 35,6. Asocacón negatva entre y La varable tende a estar por encma de la esperanza cuando la varable está por debajo de la esperanza (y vceversa). Las dferencas entre las varables y su esperanza son postvas y negatvas respectvamente. El producto de las dferencas tende a ser negatvo. La esperanza de este producto de dferencas (una suma ponderada) tende a ser negatva. Carlos Aras, 07 7

8 x y x x y y x x y y xy Observacón Observacón Observacón Suma Meda ,6 4,3 3. Independenca entre y Una de las varables está por encma de la esperanza y la otra puede estar, ndstntamente, por encma o por debajo. Las dferencas pueden ser postvas o negatvas. El producto es postvo o negatvo. La esperanza de este producto de dferencas (una suma ponderada) tende a ser cero. x y x x x x y y xy y y Observacón Observacón Observacón Suma Meda Varanza de la suma de dos varables aleatoras La suma y la suma al cuadrado de las varables aleatoras se escrbe como: Z Z Las esperanzas de estas varables aleatoras son: La esperanza al cuadrado es: E Z E E E Z E E E E Z E E E E Carlos Aras, 07 8

9 La varanza de la suma de varables aleatoras (Z) se escrbe como: E Z EZ = E E E E E E E V Z V Z E E E E E E E, V Z V V C Comentaro. La varanza de una suma de varables aleatoras se puede reducr s la covaranza es negatva. Caso nteresante: y son dos varables aleatoras que mden el rendmento de dos actvos. Carlos Aras, 07 9

10 4.. Preferencas sobre el resgo 4... Análss ntutvo Comparar un conjunto de negocos Ejemplo Mala Cosecha Buena Cosecha Probabldad =½ -=½ Semlla Semlla Ejemplo Mala Cosecha Buena Cosecha Probabldad =½ -=½ Semlla Semlla 0 90 Ejemplo 3 Mala Cosecha Buena Cosecha Probabldad =½ -=½ Semlla Semlla 0 00 Presentamos de nuevo los ejemplos en térmnos de valores esperados y Varanza. Ejemplo Valor Esperado Varanza Semlla Semlla Ejemplo Valor Esperado Varanza Semlla Semlla Ejemplo 3 Valor Esperado Varanza Semlla Semlla Carlos Aras, 07 0

11 Dstnta meda y Dstnta Varanza. Necestamos una representacón de las preferencas sobre el resgo. Idea ntutva sobre las preferencas sobre el resgo Dspones de.000 euros para pasar el mes. Puedes partcpar en un juego que consste en una apuesta a cara o cruz. Sale Cara: recbes.000 euros. Sale Cruz: pagas.000 euros. Aceptarías la apuesta? Análss económco básco Pasar el mes con.000 euros es mejor que pasarlo con.000 euros. Hay una gananca de benestar. Pasar el mes con.000 euros es MUCHO mejor que pasarlo con 0 euros. Hay una pérdda de benestar mucho mayor asocada a perder la apuesta que la gananca asocada a ganar la apuesta. La renuenca a aceptar esta apuesta se basa en estas dferencas del cambo de benestar ante pagos guales. La esperanza no mde ben el efecto de los pagos en las decsones de los ndvduos porque trata de gual manera las ganancas y las pérddas. Tambén trata gual las cantdades en dferentes stuacones ncales. No es lo msmo recbr 400 euros (o perderlos) cuando no tenes nada que recbr la msma cantdad (o perderla) cuando tenes mllón de euros. Sería necesaro usar una esperanza del benestar más que de los pagos. El concepto que recoge esta dea es el de Utldad Esperada. Es la Esperanza de la utldad (el benestar) que se logra bajo los dferentes resultados de una stuacón con resgo Análss formal Juego actuaralmente justo Un juego cuyo valor esperado es cero. Carlos Aras, 07

12 Observacones de la realdad. Se rechazan juegos actuaralmente justos (cuando los pagos son grandes). Se aceptan juegos que no son actuaralmente justos, es decr, con valores esperados negatvos (como la lotería). El valor esperado no es una herramenta adecuada para explcar las decsones del ndvduo en condcones de ncertdumbre. Bernoull propone la utldad esperada como alternatva. Utldad esperada EU U E U Defncón de:. Aversón (renuenca) al resgo. Neutraldad al resgo 3. Amor al resgo Modelzacón de la Aversón (renuenca) al Resgo. La Aversón al Resgo se representa por una funcón de utldad con utldad margnal decrecente. Un ndvduo es Averso al Resgo s la utldad del valor esperado con certeza es mayor que la utldad esperada de una stuacón ncerta. Una stuacón ncerta se defne del sguente modo: El valor esperado se defne como: La utldad esperada se defne como: La aversón al resgo ocurre cuando: Pagos :,, Pr obabldades :,, E EU U n n Carlos Aras, 07

13 EU( ) U E Comentaro sobre la posbldad de observar la aversón al resgo Es mportante dstngur entre preferencas sobre el resgo y comportamentos observados ante stuacones arresgados. En el comportamento observado, entrarían otras consderacones como la tecnología para manejar el resgo (por ejemplo, dversfcacón) o el entramado nsttuconal de manejo del resgo (seguros, leyes e nsttucones). En este sentdo, es lustratvo comparar España, Europa, Estados Undos y Áfrca. Ejemplo numérco de Aversón al Resgo Las preferencas del ndvduo se representan medante la sguente funcón de utldad: U Tenemos un negoco que nos proporcona los sguentes pagos con sus correspondentes probabldades: 00 =400 Es el ndvduo averso al resgo? Valor esperado del negoco: Utldad esperada del negoco: E 00 ½ 400 ½ 50 EU 00 ½ 400 ½ 5 Utldad del valor esperado recbdo con certdumbre: U E 50 5,8 Por tanto, este ndvduo prefere el valor esperado con certeza al valor ncerto. Por tanto, es Averso al Resgo. Carlos Aras, 07 3

14 A contnuacón, se dbuja la funcón de utldad de un ndvduo Averso al Resgo: U() U() U(E[]) EU() U() E[] ( ) E EU U U La clave del gráfco es que el segmento que une y contene la esperanza de este juego. S = la esperanza está en el punto. S =0 la esperanza está en el punto. Cuando la probabldad está comprendda entre cero y uno, la esperanza se encuentra en el nteror del segmento. Del msmo modo, la utldad esperada del juego analzado se encuentra en el segmento que une U() y U(). El ndvduo es Averso al Resgo s la utldad del valor esperado está por encma de la utldad esperada (segmento). Por tanto, se ha mostrado gráfcamente que: Aversón al resgo utldad cóncava en los pagos U'' 0 Intucón La funcón de utldad cóncava en los pagos se corresponde con una funcón de utldad con utldad margnal decrecente. En este caso, los pagos por encma de la meda que se producen en las stuacones buenas aumentan menos la utldad de lo que la dsmnuyen los pagos por debajo de la meda que se producen en las stuacones malas. Por tanto, el ndvduo prefere la meda de los pagos a la stuacón ncerta. Carlos Aras, 07 4

15 El equvalente certo (EC) Es aquella cantdad recbda con certeza cuya utldad es gual a la utldad esperada de la stuacón con resgo. Es decr EC U( EC) EU( ) Ejemplo Representacón de las preferencas: U Tenemos un negoco que nos proporcona los sguentes pagos con sus correspondentes probabldades: 00 =400 La utldad esperada es: EU 00 ½ 400 ½ 5 El equvalente certo se calcula buscando una cantdad cuya utldad sea gual a la utldad esperada: EC 5 EC 5 5 Cantdad con la que el ndvduo es ndferente entre la stuacón de resgo y la stuacón sn resgo. Con pagos mayores aceptaría la cantdad segura. Ejemplo Las preferencas son las msmas. Los pagos y las probabldades del negoco son: 00 = Carlos Aras, 07 5

16 5 EU ,8 7 7 EC E 4,8 EC 4,8 04,08 50 Neutraldad ante el Resgo (mportante para entender el concepto de Prma de resgo) Un ndvduo es Neutral al Resgo s se muestra ndferente entre el pago esperado de una stuacón ncerta y la stuacón ncerta. Es decr, s la utldad del valor esperado con certeza es gual que la utldad esperada de una stuacón ncerta. Por tanto, la neutraldad al resgo ocurre cuando: EU( ) U E La fórmula anteror mplca que el valor esperado es el equvalente certo para un ndvduo neutral al resgo. En el gráfco anteror la utldad del valor esperado estaría justamente sobre el segmento que une las utldades de los pagos con certdumbre. Por tanto, la utldad se superpone a ese segmento. Es decr, es lneal. Prma al resgo Es la dferenca entre el valor esperado de los pagos de la stuacón ncerta y el Equvalente Certo. PR E EC La prma al resgo mde la voluntad de pago de los ndvduos por recbr un pago medo con certdumbre. Esta voluntad de pago se calcula por dferenca entre el Equvalente Certo de un ndvduo neutral al resgo y el Equvalente Certo de un ndvduo Averso al Resgo. Carlos Aras, 07 6

17 Representacón gráfca de la prma al resgo U() U() U(E[]) EU() U() EC E[] PR Factores que afectan a la Prma al Resgo La prma al resgo puede escrbrse como: E EC rv donde, r es el coefcente de aversón al resgo de Arrow-Pratt: U '' E r U ' E El coefcente r mde la curvatura de la funcón de utldad. La concavdad será mayor cuanto mayor sea la segunda dervada en valor absoluto ( U ''). Por tanto, la aversón al rego será mayor cuanto mayor sea la segunda dervada. No obstante, la aversón al resgo no se puede medr exclusvamente por la segunda dervada ya que la medda dependería de las undades en que se mda la utldad. Al dvdr por la utldad margnal desaparecen las undades de medda de la utldad. La prma al resgo dependerá de las preferencas sobre el resgo r y de la varanza. Carlos Aras, 07 7

18 Ejemplo = = ½ = = ½ Consderamos dos ndvduos con las sguentes preferencas: Calcular el EC y la prma al resgo. U ln a U b E [ ] ½ ½ EU a ln ½ ln ½ 4,966 ln EC 4,966 EC PR a a a EU b b EC PR b ½ ½ 08,3 08,3 EC b La prma al resgo es más alta en el caso de las preferencas representadas por la funcón de utldad ln ya que es una funcón "más cóncava" que. El coefcente r es mayor y, por tanto, tene mayor aversón al resgo. ' '' Ua ln Ua Ua '' U a ra ' U a 3 ' '' Ub Ub Ub '' U b 4 rb ' Ub Por tanto, ra > rb para todo. 3 Carlos Aras, 07 8

19 Ejemplo U = = = = ½ = ½ EU () = ½ ½ =.34,77 EC = 34,77 EC = PR = =.387,5 La prma al resgo mde la voluntad de pago de los ndvduos por recbr un pago medo con certdumbre. Esta voluntad es mayor en el caso de en el de ln que. Esta voluntad de pago es mayor en el ejemplo que en el debdo a la mayor varanza del caso. Ejemplo Un trabajador averso al resgo u ln x se muestra ndferente entre dos tpos de contratos. En el prmer contrato, le ofrecen un un salaro anual de y con un probabldad de renovacón por un segundo año de ½. En el segundo contrato, le ofrecen un salaro anual de z por dos años. Analza la relacón entre ambos salaros anuales. La tabla de pagos con resgo en el prmer contrato es: Probabldad ½ ½ Pagos y y El segundo contrato mplca un pago certo de z. La utldad esperada del prmer contrato es: EU ln y lny La utldad del segundo contrato es lnz. Carlos Aras, 07 9

20 La ndferenca entre contratos mplca que: ln y lny lnz El resultado es que y z Es decr, hay que pagar un salaro anual más alto por el contrato temporal La reduccón del resgo Gestonando el Resgo. La dversfcacón Caso : el problema del transporte de huevos no pongas todos los huevos en la msma cesta Transportando una docena de huevos en un vaje con una probabldad de accdente de ½. Número de huevos transportados con éxto E E Probabldad ½ 0 ½ ½ 0 ½ 6 44 ½ 0 ½ 7 V E E Transportando una docena de huevos en dos vajes. Número de huevos transportados con éxto en dos vajes Prmer vaje Segundo vaje Total (Y) Probabldad 6 6 ¼ ¼ ¼ ¼ EY ¼ 6 ¼+6 ¼+0 ¼ 6 EY 44 ¼ 36 ¼+36 ¼+0 ¼=54 V Y E Y E Y Carlos Aras, 07 0

21 Pregunta: Qué pasaría con tres vajes? Cuántos vajes sería convenente hacer? Caso : dos negocos con certo resgo (Pndyck y Rubnfeld) Tempo caluroso Probabldad π=½ Tempo frío Probabldad π=½ Are acondconado Calefaccón Exste una tercera posbldad. Dedcar la mtad del tempo a la venta de cada tpo de electrodoméstco. Are acondconado y calefaccón (50% del tempo a cada actvdad) Tempo caluroso Tempo frío Probabldad π=½ Probabldad π=½ = =.000 a. Calcular la meda y la varanza de los tres negocos. b. Por qué se reduce tanto la varanza en el caso de la dversfcacón? Varanza de la suma de dos varables aleatoras Calcular la covaranza de la venta de estufas y de aparatos de are acondconado Carlos Aras, 07

22 . El seguro. Demanda de un seguro Por qué una persona contrata un seguro? La voluntad de pago vene determnada por la Aversón al Resgo. Oferta del seguro Por qué una persona está dspuesta a aceptar un resgo? Explcacón : Neutraldad ante el Resgo Explcacón : aplcacón de la Ley de los Grandes Números al trabajar a una escala grande. Ejemplo numérco de toma de un seguro Las preferencas de un agrcultor se representan por la funcón de utldad: U Las cosechas buenas y malas se presentan con gual probabldad. Por tanto, los pagos y las probabldades son: Cosecha Pagos Probabldad Mala = 0 = ½ Buena = 9 = ½ La utldad esperada de la cosecha son respectvamente: EU 0 9,5 Contrato de seguro Cuando haya mala cosecha le damos al agrcultor 9 y el agrcultor nos pagará todos los años una prma. Cuál será la Prma? Este contrato de seguro elmna totalmente el resgo ya que el agrcultor recbe todos los años 9 con ndependenca del resultado de la cosecha. La Prma se paga todos los años. La Prma tene que tener un valor que haga que la utldad tras haberla pagado sea mayor que la utldad esperada de la stuacón con resgo. Es decr: Carlos Aras, 07

23 9 P,5 9 P,5 P 6,75 Cuál sería el benefco esperado de esa empresa de seguros s cobrase una prma de 6,75? E Π = 6,75 ½ + (6,75 9) ½ =,5 Al utlzar el Benefco Esperado para la compañía de seguros estamos consderando que esa empresa es Neutral al Resgo. Un ndvduo es Neutral al Resgo s se muestra ndferente entre los rendmentos de una stuacón con resgo y el valor esperado de una stuacón con resgo recbdos con certeza. Una explcacón alternatva a la neutraldad al resgo es que la compañía de seguros trabaja con muchos clentes cuyos resgos son ndependentes entre s. Por tanto, exste relatvamente poca varanza alrededor de esta cfra de ganancas meda (Ley de los Grandes Números). En certo modo, el resgo se dluye al asegurar a un número alto de clentes ndependentes. La empresa de seguros trabaja con N clentes. El benefco medo es: La esperanza del benefco medo es: N N La varanza es: N N N N N V V V NV N N N Carlos Aras, 07 3

24 Menconar la mportanca de la ndependenca para el resultado anteror. Es decr, la varanza del benefco medo dsmnuye al aumentar el número de clentes. El benefco medo, se acerca al benefco esperado. S hubera competenca habría una presón para que el benefco sea cero. Cuál sería la prma que haría que ese benefco esperado sea cero? P = 4,5 Esta prma corresponde con el producto de la pérdda asegurada por la probabldad. Es decr, con la pérdda esperada. Una prma que concde con la pérdda esperada se denomna actuaralmente justa. Apéndce La aproxmacón de Taylor aproxma una funcón cualquera en un punto medante un polnomo. Se empeza con una funcón arbtrara y un punto de aproxmacón: y f x x x0 La aproxmacón medante un polnomo de segundo orden se puede escrbr como: f x a a x x a x x La aproxmacón y sus dervadas relevantes pueden escrbrse como: AP x a a x x a x x AP ' x a a x x AP ' x a La aproxmacón y sus dervadas evaluadas en el punto de aproxmacón son: Carlos Aras, 07 4

25 ' '' AP x a 0 0 AP x a 0 AP x a 0 Los coefcentes del polnomo se escogen de manera que la aproxmacón guale a la funcón y a sus dervadas en el punto de aproxmacón x0. Es decr: ' 0 ' 0 '' '' AP x a f x AP x a f x AP x a f x 0 0 Por tanto, la aproxmacón de Taylor se puede escrbr como: f x f x f x x x f x x x ' '' Ejemplo: recta tangente como aproxmacón de Taylor de prmer orden La recta tangente a una funcón en el punto x0 es un recta que pasa por el punto y tene la msma pendente que la funcón en el punto. Recta tangente: y ax b La pendente es la de la funcón en el punto. Por tanto: 0 y f ' x x b S la recta pasa por el punto, 0 0 ' ' f x f x x b b f x f x x x f x se tene que: Por tanto, la ecuacón de la recta tangente se puede escrbr como: y f ' x x f x f ' x x y f x f ' x x x que concde con la aproxmacón de Taylor de prmer orden en el punto x0. Ejemplo f x ln x Carlos Aras, 07 5

26 El logartmo neperano de es 0. Una pregunta más complcada es cuál es el logartmo neperano de,00. Una aproxmacón de Taylor permte calcular un valor aproxmado. Las dervadas y su evaluacón en el punto son: x 0 f x ln x f 0 f ' x f ' x f '' x f '' x Por tanto, la aproxmacón por un polnomo de segundo grado es: f x x x El logartmo neperano de,00 puede aproxmarse como: f,00 0,00 0,00 0, Comprobad el resultado con una calculadora. Se puede demostrar que la aproxmacón mejora con el número de térmnos del polnomo y es mejor cerca del punto de evaluacón. Apéndce Representacón analítca de la prma al resgo En prmer lugar, se aproxma la funcón de utldad con un polnomo de segundo orden en el punto E[]. U U E U E E U E E ' '' Se calcula la esperanza de este objeto: '' EU U E U E V Se aproxma la utldad con un polnomo de prmer orden (lneal) en el punto E(): ' U U E U E E Evaluamos la aproxmacón en el punto EC: ' U EC U E U E EC E Carlos Aras, 07 6

27 Ahora, se usa la defncón de Equvalente Certo: U( EC) EU( ) Susttuyendo las funcones por sus aproxmacones de Taylor se tene que: U E U E EC E U E U E V ' '' La prma al resgo puede escrbrse como: U '' E E EC V U ' E E EC rv donde, r es el Coefcente de Aversón al Resgo de Arrow-Pratt: U '' E r U ' E El coefcente r mde la curvatura de la funcón de utldad. La concavdad será mayor cuanto mayor sea la segunda dervada en valor absoluto ( U '' ). Por tanto, la aversón al rego será mayor cuanto mayor sea la segunda dervada. No obstante, la aversón al resgo no se puede medr exclusvamente por la segunda dervada ya que la medda dependería de las undades en que se mda la utldad. Al dvdr por la utldad margnal desaparecen las undades de medda de la utldad. Carlos Aras, 07 7