Pauta Auxiliar N 10 Aplicaciones de la Integral I Viernes 1 de Junio de 2012

Transcripción

1 Pauta Auxiliar N Aplicaciones de la Integral I Viernes de Junio de P.- (P Examen Adicional - ) Sea A la región delimitada por las rectas y = x, y = ax, y = ax, a a) Calcule el área de A y el volumen del sólido R al rotar A en torno al eje X. b) Calcule valores de a para las cuales el área de A es máxima. a) Sea y = x, y = ax, y = ax, la intersección de y e y es x = a, además la intersección de y e y es x = +a. El área es: a a+ y y dx + y y dx a Después de un poco de álgebra: Para el volumen, las integrales son: b) De la parte anterior: a a+ ax xdx + ax xdx a (a + ) 4a a V = π y ydx + π a V = π a x x dx + π a+ a a+ a ( V = π(a a+ ) x dx + π a + a V = π(a + a ) a(a + ) A(a) = Derivando e igualando a, con la condición a : (a + ) 4a y y dx ( ax) x dx ) ( aπ A (a) = (a + ) + 4a = a = + Si < a < a A (a) > y a > a A (a) <, luego a es mínimo. (a + ) (a) P.- (P a) Control - ) Dadas las curvas y = mx, x y y = x /, considere la región delimitada por ellas en el primer cuadrante y encuentre el valor de m para que los volúmenes generados por esta región, al girar en torno al eje OX y al eje OY, sean iguales. El punto de intersección es x = /m al igualar ambas curvas: m ( x) (mx) dx = π 6m 4 ) MA- Cálculo Diferencial E Integral /

2 Igualando V OX = V OY m = 4 5. m V OY = π x( x (mx))dx = π 5m 5 P.- (P b) Examen Adicional 6 ) Encuentre el valor de α (, ) que maximiza el área de la región R encerrada entre la curva y = x α el eje OY ; la recta x = y la recta tangente a la curva por x =. Verique que el punto encontrado es realmente un punto de área máxima. Calculamos la pendiente de la recta tangente en x = es y (x) = αx α y () = α, la recta tangente es y = α(x ) +, luego el área es: A(α) = Derivando e igualando a : A (α) = ( + α(x )) x α dx = α + α + (α + ) = α = A (α) = (α + ) < α es máximo P4.- (P Examen - ) Considere las funciones f(x) = x y g(x) = x α α > y sea A la región (acotada) limitada por los grácos de f y g. a) Calcule los volúmenes de los sólidos obtenidos al rotar en torno a los ejes OX y OY. b) Determine si existe tal que los volúmenes anteriores sean: iguales o uno el doble del otro. a) Los puntos de intersección son x = y x =, los volúmenes son (recordar x α x si α ): V OY = π x x α dx = π x x α+ dx = π ( ) α α + ( ) α α + b) Veamos si los volúmenes son iguales V OX = V OY α = no puede ser puesto que α >. V OX = V OY α no existe. V OX = V OY α = no puede ser puesto que α > P5.- Demostrar que el área del arco parabólico es igual a del producto de la base b por la altura h. Calcule el volumen generado al rotar el arco parabólico en torno al eje OX en función de b y h. Para conseguir una parábola de base b y altura h, ésta debe pasar por ( b, ), ( b, ) y por (, h), luego la parábola es: y = 4h b x + h. Luego el área viene dada por: b Para el volúmen tenemos que calcular: ( 4h b x + h)dx = V = π ( 4h b b x + h) dx = π ( 4h b x + h)dx = bh ( 4h b x + h) dx = 8 5 πbh MA- Cálculo Diferencial E Integral /

3 P6.- Hallar el volumen del cuerpo formado por la rotación en torno a la recta y =, de la región acotada por y = 4 x e y =. Desplazando hacia arriba el problema, las curvas son y = 5 x e y = 4, las que se cortan en x =, aplicando simetría (factor )y la fórmula para calcular el volúmen tenemos: V x = π y y dx = π (5 x ) 4 dx = 76π 5 6, 865 P7.- Calcular para que valor de λ > la curva y = λ cos(x) divide en dos partes de igual área la región limitada por la curva y = sen(x) y el eje de las abscisas cuando x [, π ]. Vemos primero que el área entre y π π de la función sen(x) es: sen(x)dx = [ cos(x)] π = Ahora sea a el punto de intersección entre y = λ cos(x) y y = sen(x) luego tan(a) = λ lo que implica que sen(a) = λ λ + cos(a) = λ + Luego: π sen(x)dx + λ cos(x)dx = A a = cos(a) + λ( sen(a)) = Dejando la ecuación en función λ se tiene: λ + = λ + Lo que al resolver la ecuación: λ = 4 P8.- Considere la curva cuyos puntos (x, y) satisfacen: ( + x )y = x ( x ) a) Calcule el área encerrada por la curva. b) Calcule el volumen de revolución generado por la rotación de esta curva en torno al eje OX. a) El área está determinada por: x x dx + x ya que se ha utilizado la simetría de la curva. Para calcular esta integral se realizan dos cambios de variables, el primero es u = x du = xdx luego se multiplica y divide por + u, y luego queda ( u)du = u du u udu [ = arc sen u + ] u = π u MA- Cálculo Diferencial E Integral /

4 b) El volúmen está dado por: x ( x )dx (x + )( x ( ) ) dx V ox = π + x = π + x = π π cabe destacar que se hizo división de polinomios, luego para calcular esta integral se separa en dos, el factor está incluido por simetría. P9.- (P Control Verano ) a) Considere la curva en R llamada Astroide cuya ecuación es x / + y / = a / a > Calcule el volumen de revolución generado al rotar la rama de la Astroide del primer cuadrante en torno al eje OX. b) Dadas las curvas y = mx e y = x. Considere la región R limitada por ambas curvas para x. Encuentre el valor de m > tal que los volúmenes de los sólidos de revolución obtenidos al rotar R en torno al eje OX y OY sean iguales. a) Despejando y se tiene f(x) = (a / x / ) / con x [, a], el volumen está dado por: [f(x)] dx = π (a / x / ) dx Hacemos el cambio de variables u = x u du = dx, x = u = y x = a u = a /. / (a / u ) u du / a u a / u 4 + a / u 6 u 8 du ( a ) = 6πa 9 5 b) Al igualar las curvas, obtenemos que se intersectan en x = y x = m: m ( ) m (mx) x 4 5 dx = π m5 = πm5 5 5 m ( ) m V OY = π x(mx x 4 )dx = π m4 = πm4 4 6 Igualando V OX = V OY m = 5 4 P.- a) Bosqueje la curva de ecuación x + y = a con a >, justicando debidamente (en particular indique dominio, intersección con los ejes, crecimiento, concavidades). b) Calcule el área de la región R encerrada entre las curvas C : x + y = a y C : x + y = a. c) Calcule el volumen del sólido de revolución generado por la rotación de la región R en torno al eje OX. a) Para la curva C : Dom(C ) = [, a] y = a + x ax, a y = < x [, a] x MA- Cálculo Diferencial E Integral / 4

5 Luego y es decreciente y = Luego y es convexa. La curva intersecta el eje X en el punto (a, ) y el eje Y en el punto (,a). Para la curva C : Dom(C ) = [, ) y = a x es claro que y es decreciente. La curva intersecta el eje X en el punto (a, ) y el eje Y en el punto (,a). a x b) El área es c) El volumen es V = π a x ( a x) dx = a (a x) ( a x) 4 dx = 4πa 5 P.- Hallar el volumen del sólido cuya base está acotada por el círculo x + y = R con las secciones perpendiculares al eje X: a) Cuadrados b) Triángulos Equiláteros c) Parábola de altura h d) Semicírculos e) Triángulos Rectángulos Isósceles. a) Como el cuadrado posee lado y, su área es: 4y, integrando en función de x: V a = 4y dx = 8 R x dx = 6R b) Como el triángulo equilátero posee lado y, su área es: y, integrando en función de x: V b = y dx = R x dx = 4 R c) La parábola que pasa por ( y, ), (y, ) y (, h) en el plano yz es z = hx y parábola es entonces: y y zdy = y y hx y + hdy = 4yh : El volumen es: V = 4h ydx = 4h R x dx + h, el área de la V = 8h πr 4 = hr La última integral corresponde al área de un cuarto de círculo. d) Como el semicírculo posee radio y, su área es: πy, integrando en función de x: V d = π y dx = π R x dx = πr e) Como el triángulo isósceles rectángulo de hipotenusa y, su área es: y, integrando en función de x: V e = y dx = R x dx = 4R P.- El sector A(θ) de un círculo de radio r y centro (, a) se hace rotar en torno al eje OX generando un volúmen V (θ). a) Calcule V (θ) para θ [, π ]. MA- Cálculo Diferencial E Integral / 5

6 b) Probar que los ángulos para los cuales V (θ) es igual a la mitad del volumen del toro (V toro = π r a) son las soluciones de la ecuación θ = f(θ) donde f(θ) = π r a sin(θ). c) Probar que f : [, π ] [, π ] es contractante y deducir la existencia de un único θ solución de la ecuación θ = f(θ) que es además el límite de la sucesión θ =, θ n+ = f(θ n ). a) Es claro que r < a puesto que debe existir una separación entre el origen del sector y el eje OX. Las funciones que se deben integrar son: y = r x + a que es el arco e y = cot(θ)x + a que es el segmento recto. Luego el volúmen es (el factor es por simetría): V (θ) = π r sin(θ) (y y )dx Reemplazando las funciones se tiene que: r sin(θ) V (θ) = π r a r x a cot(θ)x cosec (θ)x dx Calculando las integrales se obtiene: V (θ) = r sin(θ) + ar (θ + sin(θ) cos(θ)) ar sin(θ) cos(θ) r sin(θ) Haciendo un poco de álgebra conseguimos que: V (θ) = πr ( r sin(θ) + aθ) θ [, π ] b) Igualando la mitad del V toro con V (θ) tenemos: πr ( r sin(θ) + aθ) = π r a y despejando θ se tiene: θ = π r a sin(θ) c) Como f (θ) = r a cos(θ) θ [, π ] Luego f es contractante. Eso implica que la sucesión es de Cauchy luego convergente, por denición este límite es único. Así este límite necesariamente es la solución a la ecuación. Otra forma de verlo es denir g(θ) = θ f(θ) que es continua, además g()g( π ) < por Bolzano un θ tal que g(θ ) = y como g es estrictamente decreciente θ es único. Así θ = f(θ ). P.- (Control P -9) El sólido de la gura, de base cuadrada, se construye de modo que cada plano paralelo a la base corta al sólido en una sección cuadrada cuyos vértices se apoyan en los arcos de circunferencia ÂV, BV, ĈV, DV. Cada arco corresponde a un cuadrante de circunferencia de radio R (Ver esquema). Calcule el volúmen del sólido ABCDV. En el corte según la diagonal AC del cuadrado base, se ven los arcos de cuartos de círcunferencia AV y CV. La ecuación del arco CV será (x R) + (y R) = R. Además A C es la diagonal del cuadrado de la gura y A C = x. Entonces, si a denota el lado del cuadrado, entonces a = x a = x. Área Cuadrado = a = x. Por otra parte, de la ecuación del arco, se tiene que x(y) = R R (y R). Entonces el volumen pedido será: V = A(y)dy MA- Cálculo Diferencial E Integral / 6

7 Figura : Problema Figura : Problema donde A(y) = [x(y)]. Sigue que: V = V = V = V = (R R (y R) ) dy R R R (y R) + R (y R) dy R R R (y R) + R y + yr R dy R y + yrdy 4R R (y R) dy Sustitución y R = R sen t, dy = R cos tdt, y = t = π/, y = R t = V = R V = R R π/ 4R π/ cos (t)dt ( ) + cos(t)dt = R π MA- Cálculo Diferencial E Integral / 7