El interés compuesto se usa principalmente para operar los depósitos en los bancos y en las asociaciones de préstamos y ahorros.

Transcripción

1 Interés Compuesto

2 El interés compuesto es la operación financiera en la cual el capital aumenta al final de cada período por adición de los intereses vencidos. [Vidaurri,1997]. En otras palabras, si a un capital le agregamos los intereses que ha obtenido en un determinado período, y a este nuevo capital e intereses le pagamos un nuevo interés en un período siguiente, entonces, el interés pagado ha sido compuesto. 2

3 El interés compuesto se usa principalmente para operar los depósitos en los bancos y en las asociaciones de préstamos y ahorros. Cuando se deposita el dinero en un banco, el depositante está prestando su dinero al banco por un tiempo definido con el fin de ganar intereses, es decir, está invirtiendo su dinero. 3

4 Es importante observar en esta acumulación (capital más los intereses del período), que los intereses de cada período no son pagados sino al finalizar el plazo establecido para la inversión. El interés compuesto será la diferencia entre el monto o importe compuesto y el principal original (o capital), si no se han realizado depósitos adicionales durante el período de inversión. IC = Monto Compuesto - Capital 4

5 El período convenido para convertir el interés en capital se llama período de capitalización o período de conversión. La expresión: período de capitalización semestral, significa que el interés generado se capitaliza; es decir, se suma al capital, al término de cada 6 meses. 5

6 Al igual que en el interés simple, la tasa de interés dada en un problema de interés compuesto será una tasa anual, excepto que se diga lo contrario. Banco Azteca ofrece a un ahorrador un 20% de interés capitalizable cada semestre en su cuenta básica. Si el ahorrador deposita $2, el 1 de enero de 2002, y no hace movimientos en su cuenta durante 2 años. Cuánto tiene al 1 de enero de 2004? 6

7 Tasa anual = 20% Período de capitalización: semestral Tasa de interés por período = 20/2 =10% Número de períodos de capitalización: 4 Capital al final del primer semestre Capital (depósito inicial) + Interés = 2, = 2,200 Capital al final del segundo semestre Capital + Interés = 2, = 2,420 Capital al final del tercer semestre Capital + Interés = 2, = 2,662 Capital al final del cuarto semestre( 1/enero/2004) Capital + Interés = 2, =2,

8 Matemáticamente: Primer semestre (C + Ci) interés del período Segundo semestre (C+Ci) + (C+Ci) i factorizando (C+Ci) (1+i) = C (1+i) (1+i)= C(1+i) 2 Es decir, el monto compuesto para el período n será por lo tanto: MC = C(1+i) n 8

9 Utilizando esta última relación obtenemos para el problema propuesto: MC = 2,000 (1+0.10) 4 MC = 2,000 (1.4641) MC = 2,

10 Tasa de interés nominal y efectiva La tasa de interés anual aplicable a una inversión o a un préstamo a interés compuesto se llama tasa de interés nominal o simplemente tasa nominal. La tasa nominal es la tasa de interés convenida en la operación financiera. La tasa efectiva por período es la tasa de interés que efectivamente se aplica en cada período de capitalización. Esta tasa se obtiene al dividir la tasa nominal anual entre el número de períodos de capitalización que hay en un año. 10

11 Problemas Determine el importe compuesto (monto) y el interés compuesto para $1,000 al 9% capitalizable en forma mensual durante 1 año. Determine el interés compuesto y el monto compuesto si se deposita en un banco $3,000 al 8% por 12 años con interés capitalizable en forma trimestral. 11

12 Solución al primer problema Capital:$1,000 Interés:9% Capitalización: mensual Tasa efectiva: 9%/12 = % Períodos: 12 MC = C(1+i) n MC=1,000( ) 12 MC = 1,000( ) = $1, Interés Compuesto = MC Capital Interés Compuesto = 1, ,000 = $

13 Solución al segundo problema Capital:$3,000 Interés:8% Capitalización: trimestral Tasa efectiva: 8%/4 = 2 % Períodos: 48 MC = C(1+i) n MC =3,000(1+0.02) 48 MC = 3,000( ) = $7, Interés Compuesto = MC Capital Interés Compuesto = 7, ,000 = $4,

14 Problema con cambio de tasa durante el período de inversión Se invirtieron $5,000 en un banco de ahorro por 6 años. Cuando se realizó el depósito, el banco estaba pagando 8% capitalizable en forma trimestral. Después de dos años y medio, la tasa cambió al 8% capitalizable en forma mensual. Determínese el interés y el monto compuesto al finalizar los 6 años. 14

15 Solución utilizando una escala de tiempo 1 C MC 1 MC 2 Trimestres Meses 42 1 Escala de tiempo: es un método gráfico que permite visualizar el flujo previsto de efectivo resultante de una inversión propuesta. [Taylor,1977] 15

16 C MC 1 MC 42 2 Trimestres Meses MC 1 = C ( ) 10 MC 1 = 5000 ( ) MC 1 = $6, MC 2 = 6, ( ) 42 MC 2 = 6, (1.3219) MC 2 = $8,

17 El monto compuesto al final del sexto año es: $8, El interés compuesto generado por la inversión es de: IC = MC 2 C IC = 8, ,000 = $3,

18 Tasa de interés efectiva(i e ) También conocida como tasa efectiva, se define como la tasa de interés simple que produciría el mismo interés en un año que la tasa nominal capitalizada m períodos al año. Matemáticamente: i e = (1 + i/m) m -1 donde, i e = tasa efectiva i = tasa nominal m = número de períodos de capitalización en un año 18

19 Suponga que un inversionista deposita $1,000 en un banco que ofrece 10% capitalizado mensualmente. Cuál es la tasa de interés efectiva al final de un año? Tasa nominal: 10% períodos: 12 Tasa efectiva por período: 0.10/12 = Valor nominal compuesto al final del año: ( ) 12 = Valor tasa nominal compuesta: 10.47% Tasa efectiva i e = (1 + i/m) m -1 i e = ( /12) 12-1 i e = = i e = 10.47% 19