Cálculo de Probabilidades y Estadística. Segunda prueba. 1

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Domingo Castillo Espinoza
hace 5 años
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1 Cálculo de Probabilidades y Estadística. Segunda prueba. 1 Problema 1. En una circunferencia de radio 1 se toman tres puntos, al azar e independientemente. Hallar la probabilidad de que el triángulo que determinan sea obtusángulo.

2 Cálculo de Probabilidades y Estadística. Segunda prueba. 2 Problema 2. En un plano en el cual están trazadas rectas paralelas, a distancia L una de otra, se lanza una varilla de longitud l. Calcular la probabilidad de que la varilla interseque alguna de las rectas.

3 Cálculo de Probabilidades y Estadística. Segunda prueba. 3 Problema 3. Según la teoría cinética de los gases, la magnitud de la velocidad de una molécula de masa m en un gas a temperatura absoluta T es una variable aleatoria que sigue la distribución de Maxwell, cuya función de densidad es f(x) = Cx 2 e x2 m/2kt para x > 0 siendo k la constante de Boltzman. a) Determinar la constante C y la velocidad media. b) Obtener la distribución de la energía cinética e = mv 2 /2 y la enegía cinética media. Compararla con la energía cinética correspondiente a la velocidad media.

4 Cálculo de Probabilidades y Estadística. Segunda prueba. 4 Problema 4. Sea f(x, a) = 1 24 f(x, a)dx 0 ( 1 a sin x 1/4) e x1/4 para x > 0 y F (a) = a) Probar que F (a) = 1 y deducir que f(x, a) es una función de densidad para a [ 1, 1]. b) Comprobar que, independientemente del valor de a, 0 x n f(x, a) dx = (4n + 3)! 6 y, por tanto, todas las densidades f(x, a) para a [ 1, 1] tienen todos sus momentos iguales.

5 Cálculo de Probabilidades y Estadística. Segunda prueba. 5 Problema 5. Estudiar si las siguientes funciones son funciones características: a) φ(t) = t 4 b) φ(t) = 2e 4it 1 + (e 2)e a t 1 c) φ(t) = 2eit 3 e it 2(1 cos t) d) φ(t) = e

6 Cálculo de Probabilidades y Estadística. Segunda prueba. 6 Problema 6. Dos personas han acordado comparar las cantidades de dinero que llevan en sus bolsillos; aquél que tenga una cantidad inferior se lo lleva todo. Cada uno razona que puede perder su dinero o ganar una cantidad mayor; concluyendo que el juego es favorable para él. Es correcto este razonamiento? a) Probar que la ganancia media es nula, bajo la hipótesis de que las cantidades de cada uno son independientes y con la misma distribución F en [0, ). b) Uno de los jugadores, que lleva k pesetas, recibe la información de que la cantidad del otro es uniforme entre 0 y a. Cómo debe ser a para que le interese participar en el juego?

7 Cálculo de Probabilidades y Estadística. Segunda prueba. 7 Problema 7. La base X y la altura Y de un rectángulo se escogen aleatoriamente, con las restricciones de que la altura supere al cuadrado de la base y el área del rectángulo sea inferior a 1, y con densidad conjunta proporcional a x. a) Obtener la curva de regresión de X sobre Y. Estudiar si existe la recta de regresión de X sobre Y. b) Determinar la distribución conjunta de la base y el área del rectángulo. Estudiar si existe la recta de regresión del área sobre la base.

8 Cálculo de Probabilidades y Estadística. Segunda prueba. 8 Problema 8. Sean X e Y variables aleatorias con densidad conjunta f(x, y) = 1 2x 2 y para x 1, 1 x < y x a) Calcular P {Y > 2 X < 3}. b) Determinar las distribuciones marginales y condicionales. c) Obtener las curvas de regresión.

9 Cálculo de Probabilidades y Estadística. Segunda prueba. 9 Problema 9. El número N de preguntas de un examen se elige al azar con distribución geométrica de parámetro p; es decir P P {N = n} = p(1 p) n 1 para n = 1, 2, 3,... Las preguntas tardan en ser contestadas tiempos exponenciales de parámetro λ, independientes entre sí e independientes del número de preguntas. a) Determinar la distribución de la duración T del exámen. b) Determinar la distribución del número de preguntas si la duración del exámen ha sido t. c) Hallar el coeficiente de correlación entre N y T.

10 Cálculo de Probabilidades y Estadística. Segunda prueba. 10 Problema 10. Si X e Y son variable aleatorias independientes y Z = X 2 Y 2. calcular P { Z 1 X} supuesto que la distribución común de X e Y es a) Uniforme en (0,2). b) Normal(0,2).

11 Cálculo de Probabilidades y Estadística. Segunda prueba. 11 Problema 11. La variable bidimensional (X, Y ) está uniformemente distribuída en el triángulo 0 < y < x < 3. a) Calcular la densidad de Y, su media y su varianza. b) Determinar la curva y la recta de regresión de Y sobre X. c) Estudiar si las variables U = X + Y y V = X Y son incorreladas e independientes.

12 Cálculo de Probabilidades y Estadística. Segunda prueba. 12 Problema 12. Dos trenes A y B llegan a una estación independientemente en instantes uniformemente distribuidos en [0, T ] y tienen paradas de duraciones a y b respectivamente, siendo a, b < T. a) Determinar la probabilidad de que ambos coincidan el la estación. b) Supuesto que coinciden, hallar la probabilidad de que a haya llegado antes que B.

13 Cálculo de Probabilidades y Estadística. Segunda prueba. 13 Problema 13. Sean X e Y variables aleatorias independientes y uniformes en (0,1). Determinar la distribución de X Y condicionada por (1 X) (1 Y ).

14 Cálculo de Probabilidades y Estadística. Segunda prueba. 14 Problema 14. Comprobar que φ n (t) = sin(nt)/nt es una función característica para cualquier n natural. Verificar que lím n φ n (t) no es una función característica. Interpretarlo en términos de convergencia de las distribuciones correspondientes.

15 Cálculo de Probabilidades y Estadística. Segunda prueba. 15 Problema 15. Se consideran las variables aleatorias independientes N, U 1, U 2,... U i,... e Y, siendo cada U i uniforme en (0,1), mientras que P {N = n} = c n! para n = 1, 2, 3,... con c = 1 e 1 Sea X = mín(u 1, U 2,..., U N ). Determinar la distribución de Y para que X + Y tenga distribución exponencial de parámetro 1.

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