UNIDAD 2: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

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1 I.E.S. Rmó Girldo UNIDAD : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS Poliomios e u idetermid L epresió lgeric... 0 recie el omre de poliomio e l idetermid. Dode: es u úmero turl.,..., 0 so úmeros reles, que se deomi coeficietes del poliomio. 0 es el coeficiete de grdo cero o térmio idepediete. El epoete de l myor poteci de que prece e el poliomio se deomi grdo del poliomio. El cojuto de los poliomios co coeficietes reles se represet por: P..., /,...,, 0 0 Cd uo de los térmios de u poliomio se deomi moomio. U poliomio formdo por dos moomios es u iomio; si so tres los moomios, u triomio, y si so más, de mer geéric se deomi poliomio. Vlor umérico de u poliomio El vlor umérico de u poliomio P pr, que represetremos por P, es el úmero que result de sustituir l idetermid por el úmero y efectur ls opercioes idicds. Iguldd de poliomios Dos poliomios de l mism idetermid so idéticos si tiee igules los coeficietes del mismo grdo: P... 0 P Q,,...,, 0 0 Q OPERACIONES CON POLINOMIOS () Sum P... 0 Q... 0 P Q Propieddes: ) Comuttiv: P Q Q P ) Asocitiv: PQ R P Q R ipri Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I

2 Bloque : Álger y úmeros c) Elemeto eutro: 00 tl que P 0 P d) Elemeto opuesto: P P 0, dode P cosiderr los opuestos de todos y cd uo de sus térmios. se otiee l () Rest P Q P Q () Multiplicció L multiplicció de dos poliomios es otro poliomio de grdo igul l sum de los grdos de los fctores. Se otiee l multiplicr cd térmio de u fctor por cd uo de los térmios del otro. Propieddes: e) Comuttiv: P Q Q P f) Asocitiv: PQ R P Q R g) Elemeto eutro: tl que P P h) Distriutiv: PQ R P Q P R (4) Divisió de poliomios : Efectur l divisió D d es hllr dos poliomios C y Dd C R dode los poliomios C y degcdeg Ddeg d deg R deg d R dee verificr: (deg sigific grdo, y proviee del iglés degree) R que verifique:. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Regl de Ruffii Si el divisor es u poliomio de primer grdo del tipo, l divisió se puede relizr de u mer más secill plicdo u lgoritmo coocido como regl de Ruffii, que cosiste e: Se escrie los coeficietes del dividedo. Se coloc el térmio idepediete del divisor cmido de sigo. El primer coeficiete se coloc igul que el del dividedo. Los siguietes se hll multiplicdo el terior por y sumdo el producto co el coeficiete correspodiete del dividedo. El último úmero oteido es el resto de l divisió. Los úmeros oteidos tes so los coeficietes del cociete. Teorem del resto El vlor umérico de u poliomio poliomio por. Regl de Ruffii pr poliomios de primer grdo completos P cudo coicide co el resto de l divisió de este ipri Deprtmeto de Mtemátics

3 I.E.S. Rmó Girldo Pr poder plicr l regl de Ruffii e l divisió P :, seguimos los siguietes psos: - Dividimos dividedo y divisor por, oteiédose Q:, dode los coeficietes de Q so los de P divididos etre. - Se plic l regl de Ruffii vist teriormete. Divisiilidd de poliomios Si etre tres poliomios culesquier se verific que A B C, diremos que: - El poliomio A es múltiplo de B y C. Tmié se dice que por cd uo de los poliomios B y C. - Los poliomios B y C so divisores del poliomio A. Criterio de divisiilidd de u poliomio por : teorem del fctor U poliomio P es divisile por si, y solo si, P 0. Ríces de u poliomio Diremos que es u ríz de P sii P 0. Cálculo de ls ríces de u poliomio Determir ls ríces de u poliomio equivle resolver l ecució P 0. Poliomios de primer y segudo grdo Se trt de resolver ls ecucioes de primer y segudo grdo correspodietes. A es divisile Poliomios de grdo Ls ríces eters de u poliomio, si eiste, so divisores de su térmio idepediete. Fctorizció de poliomios L fctorizció de u poliomio se cosigue cudo es posile ecotrr otros poliomios, los fctores, de mer que su producto se el poliomio ddo. Si P... 0 es u poliomio y,..., so sus ríces, etoces, su descomposició es P... Psos seguir pr fctorizr poliomios Pr fctorizr u poliomio seguiremos los siguietes psos: º) Scr fctor comú º) Usr ls idetiddes otles º) Aplicr l regl de Ruffii Repso de ls idetiddes otles Cudrdo de u sum: ipri Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I

4 Bloque : Álger y úmeros El áre del cudrdo ros es, que es igul l áre del cudrdo mrillo, el áre del rectágulo verde,, más el áre del cudrdo rj, Cudrdo de u difereci:., más dos veces El áre del cudrdo mrillo es, que es igul l áre del cudrdo totl,, meos dos veces el áre del rectágulo verde + rj,, más el áre del rectágulo rj,, y que éste último lo hemos quitdo dos veces. Sum por difereci: 4 ipri Deprtmeto de Mtemátics

5 I.E.S. Rmó Girldo El áre del rectágulo rj + verde es, que es igul l áre del rectágulo totl,, meos el áre del rectágulo rojo oscuro,, meos el áre del rectágulo mrillo, : 4. FRACCIONES ALGEBRAICAS Defiició Si A y B so poliomios y B 0 lgeric., l epresió A B recie el omre de frcció Frccioes lgerics equivletes A C Ls frccioes y so equivletes (y escriiremos B D BC A D. A B C D ) cudo El vlor umérico de dos frccioes lgerics equivletes pr u determido vlor de es el mismo. Propiedd fudmetl Si multiplicmos el umerdor y el deomidor de u frcció lgeric por u mismo poliomio (o ulo), el resultdo es u frcció lgeric equivlete l primer. Opercioes co frccioes lgerics - Sum y rest A C M : B A M : D C B D M dode M es el m.c.m. de los deomidores. - Multiplicció 5 ipri Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I

6 Bloque : Álger y úmeros A C A C B D B D - Divisió - Potecis A : C A D B D B C A A A A... pr B B B B 0 A A A y B B B A B A B 5. EJERCICIOS POLINOMIOS. Desrroll y simplific: ) 5 d) ) e) c). Oté el cociete y el resto de ls siguietes divisioes: 5 4 : 4 5 : ) d) ) 6 4 : e) : c) 4 :. Efectú ls siguietes opercioes co poliomios: ) ) c) 5 d) 4 e) f) 6 ipri Deprtmeto de Mtemátics

7 I.E.S. Rmó Girldo g) : h) 4 5 : REGLA DE RUFFINI. TEOREMA DEL RESTO P Cosidermos el poliomio ) Hll el cociete y el resto de l divisió: P : ) Cuáto vle P? 5. Aplic l regl de Ruffii pr clculr el cociete y el resto de ls siguietes divisioes: 4 : ) ) : c) 58 : d) 4 : e) 4 5 : 5 f) : 6. Hll el vlor de k pr que el poliomio 7. Oté el vlor de k pr que el poliomio ) Clcul el vlor umérico de ) Es divisile el poliomio terior, P, etre? P k k se divisile etre P k 4 se divisile etre P pr? 9. Clcul el vlor umérico de k pr que l siguiete divisió se ect: k : 0. ) Demuestr que el poliomio 7 6 es divisile por 6. ) Demuestr que el poliomio terior o es divisile por.. Clcul el resto de ls siguietes divisioes si efecturls: 7 76 : ) ) 4 6 :. Hll el vlor de m pr que el poliomio 4 5 m se divisile por.. Clcul y pr que el poliomio 5 se divisile por Hll el vlor de k pr que l dividir el poliomio 5 k 4 por 4 se oteg de resto. 7 ipri Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I

8 Bloque : Álger y úmeros FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 5. Descompó e fctores los siguietes poliomios y di cuáles so sus ríces: 4 ) ) ) 0 4 4) 4 5) 4 8 6) 4 7) 8) 4 9) ) ) ) Hll l descomposició fctoril de los siguietes poliomios: P 6 Q R S T 7. Hll ls ríces eters de los poliomios P 5 4 Q 66 FRACCIONES ALGEBRAICAS 8. Simplific ls siguietes frccioes lgerics: ) d) 4 ) e) c) 9. Oper y simplific el resultdo: ) ) 6 d) e) 8 ipri Deprtmeto de Mtemátics

9 I.E.S. Rmó Girldo c) 4 f) 0. Efectú ls siguietes opercioes (simplificdo el resultdo cudo se posile): 7 ) 7) 4 ) 8) ) 9) 5 4) 0) 4 9 5) : ) : 6) 8 : 4 ) 4 :. Efectú ls siguietes opercioes, simplificdo el resultdo: ) ) 4 8 ) 4). Oper y simplific: ). Oper y simplific: ) 5 ) ) 4) 5) 9 ipri Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I

10 Bloque : Álger y úmeros ) 6) ( )( ) ( )( ) ( )( ) CUESTIONES TEÓRICAS 4. U poliomio A ( ) es de grdo 4 y otro B ( ) es de grdo. ) Cuál será el grdo del poliomio AB? ( ) ( ) ) Y el de A ( ): B ( )? c) Cuál puede ser el grdo del resto de l divisió del prtdo )? 5. Si l divisió P ( ):( ) es ect, qué puedes firmr del vlor de P ()? 6. Si P( 5), cuál será el resto de l divisió P ( ):( 5)? 7. Escrie tres poliomios de tercer grdo, P ( ), Q ( ) y R, ( ) tles que: ) P ( ) teg por ríces, y. ) Q ( ) teg por ríces y. c) R ( ) solo teg como ríz. 8. Escrie u poliomio de segudo grdo P ( ) tl que P() 0 y P(5) Semos que el poliomio P ( ) solo es divisile por ( ) y ( ). Puede ser el grdo de P ( ) myor que? Po ejemplos. 0. Si e el umerdor y deomidor de u frcció lgeric elimimos sumdos igules, se otiee u frcció equivlete l primer?. Escrie u poliomio de grdo 4 que o teg ríces reles. 0 ipri Deprtmeto de Mtemátics