Guía práctica para utilizar el Criterio de la primera derivada en el análisis y la graficas de funciones.

Transcripción

1 CRITERIOS DE LA PRIMERA DERIVADA PARA LA OPTIMIZACIÓN. Guía práctica para utilizar el Criterio de la primera derivada en el análisis y la graficas de funciones. 1) Determinar el dominio de la función dada. Se define el Dominio de F(x) como el conjunto de valores reales (x є R) tal que F(x) є R. {x є R / F(x) є R}. En general, para calcular el dominio de una función F(x) hay que excluir los valores de x donde no está definida (no exista) la función dada, que anulen el denominador y todos los valores que hacen negativo el interior de una raíz (de índice par). ) Calcular la primera derivada. Se aplica y la ventana de diálogo que aparece nos aseguramos de que los campos variable y orden tengan asignados los valores x y 1 respectivamente y a continuación se elige la opción. Y se obtiene el resultado. 3 Ejemplo: Analizar la siguiente función: f ( x) = x + x -5x-5 a) Domf ( x): b) Se introduce la función en Derive y se determina la primera derivada. 3) VALORES 0 PUNTOS CRITICOS. Igualando la primera derivada a cero, y luego despejar los valores de la variable x, además, buscar los valores de la variable mencionada donde no existe la derivada.

2 c) Para determinar analíticamente los puntos críticos de la función se calculan los puntos que anulan la derivada. 3x + x 5= 0 Se elige el botón de herramientas Por tanto, hay que resolver la ecuación: (resolver), y en la ventana de diálogo se comprueba que los campos: Variable, Método y Dominio tengan asignados las opciones x, Algebraico y Real y finalmente se elige la opción El resultado es: Los valores encontrados son los valores críticos 4) EN UN CUADRO DE CUATRO COLUMNAS SE ANALIZA LA FUNCIÓN: d) Tabla para representar los resultados. Se introduce una tabla en Derive de la siguiente manera: Insertar, luego Objeto OLE, seleccionar documento en Microsoft word (ver anexo) aceptar

3 Una vez activada esa ventana trabaje igual que un documento Word. Inserte una tabla de acuerdo a lo explicado en clases y llene la misma con los resultados obtenidos: 4.1) Primera columna: se organizan intervalos formados por los valores críticos encontrados ordenados de menor a mayor. (,, 1) x = 1 ( 1, ) 4.) Segunda columna: se coloca la función dada, para en ella sustituir los valores críticos, y conocer donde se localizan los extremos relativos en el plano cartesiano. Procedimiento en Derive: Se selecciona la función f(x), en este caso expresión # 1, luego se sustituye el valor de, utilizando los comandos: SIMPLIFICAR, SUSTITUIR VARIABLE, COLOCAR EL VALOR CRÍTICO, Y SIMPLIFICAR Se repite la operación para cada valor crítico encontrado.

4 Quedando la tabla: INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA (, 1.48, 1) x = 1 8 ( 1, ) 4.3) Tercera columna: se coloca la primera derivada, para buscar el signo que esta posee, dándole un valor que esté en cada uno de los intervalos formados por los valores críticos. Procedimiento en Derive: Se selecciona la función la primera derivada en este caso la expresión # 3, luego se sustituye un valor de x, que esté dentro del primer intervalo (ejemplo: 4 ), utilizando los comandos: SIMPLIFICAR, SUSTITUIR VARIABLE, COLOCAR EL VALOR SELECCIONADO, Y SIMPLIFICAR Se repite la operación para cada intervalo y cada valor seleccionado. Nota: se seleccionó los valores: 4; 0; 3 para realizar los cálculos respectivos los resultados son los señalados anteriormente. (Únicamente nos interesa el signo) (, , 1) x = 1 8 ( 1, ) +

5 4.4) Cuarta columna: indica el resumen de lo analizado. En ella se indica el resultado al aplicar los teoremas respectivos. (Intervalos donde la función crece, Intervalos donde la función decrece, puntos máximos, puntos mínimos si existen). La función es CRECIENTE en aquellos intervalos donde la derivada es positiva. La función es DECRECIENTE en aquellos intervalos donde la derivada es negativa. La función tiene un MÁXIMO LOCAL, cuando la primera derivada cambia de signo de positiva a negativa, (separa un intervalo de crecimiento (a su izquierda) de un intervalo de decrecimiento (a su derecha)). La función tiene un MÍNIIMO LOCAL, cuando la primera derivada cambia de signo de negativa a positiva, (separa un intervalo de decrecimiento (a su izquierda) de un intervalo de crecimiento (a su derecha)) (, + (crece) 1.48 Máximo relativo, 1) (decrece) x = 1 8 Mínimo relativo ( 1, ) + (crece) Nota: Es recomendable que la parte de introducir la tabla la realice después del análisis. 5) REPRESENTACIÓN GRÁFICA Para representar la función, se selecciona la expresión # 1 y a continuación activamos el comando INSERTAR, seleccionamos GRÁFICA D

6 En la nueva ventana (donde aparece el sistema de ejes cartesianos), seleccione INSERTAR, ARCHIVO, INCRUSTAR GRÁFICA, una vez que obtienen la gráfica de la función, Seleccione Y se obtiene la gráfica de la función estudiada en la hoja de trabajo. APLICACIONES DE LA OPTIMIZACIÓN PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS PRÁCTICOS. Ejemplo 1. Hallar dos números cuya suma es 18, sabiendo que el producto de uno por el cuadrado el otro es máximo. Procedimiento: a) Planteamiento: Sean: x, y los números buscados, según el enunciado x + y = 18 y la condición que P( x, y) = x y ( máximo). b) Introducir esas condiciones en Derive. b.1) En la entrada de expresiones se escribe x + y = 18 y se pulsa (enter) b.) De igual forma se introduce P( x, y) = x y

7 b.3) Despejemos la variable y de la expresión #1. Se elige el botón de herramientas (resolver), y en la ventana de diálogo se comprueba que los campos: Variable, Método y Dominio tengan asignados las opciones y, Algebraico y Real y finalmente se elige la opción b.4) Se sustituye el valor obtenido en la expresión #, utilizando los comandos: SIMPLIFICAR, SUSTITUIR VARIABLE, COLOCAR EL VALOR SELECCIONADO, Y SIMPLIFICAR. b.5) Se determina la primera derivada, y sus valores críticos (procedimiento explicado)

8 Se utilizan los valores críticos, para sustituirlo en la expresión # 5(porque es la función analizada) y valores entre los intervalos para analizar los signos de la derivada, y se colocan en la tabla resumen: Para x = 6 Para x = 18 Para x= 5 Para x= 10 INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN (0, 6 ) + Crece Máximo 6, 18 ) Decrece x = 18 0 Se concluye que existe máximo cuando x es igual a 6, se sustituye ese valor en la expresión# 4, para calcular el valor de la otra variable (y). Ejemplo. Para hacer un filtro de laboratorio, se pliega un papel circular, como lo indica la figura. Calcular la altura del cono que se forma para que el volumen sea máximo. Procedimiento:

9 a) Planteamiento: Sean: x, h las variables, según el enunciado y la figura dada se observa que π xh 9 = h + x y la condición del volumen de un cono: vxh (, ) = 3 b) Introducir esas condiciones en Derive. c) se despeja la variable x y se sustituye en la expresión# Se descarta la opción negativa por lógica, lo que indica que la altura para obtener un volumen máximo es h = 3 3cm DAMASO ROJAS MAYO 009