1. CONJUNTOS DE NÚMEROS

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1 Águeda Mata Miguel Rees, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM Definición 1. CONJUNTOS DE NÚMEROS 1.2. NÚMEROS COMPLEJOS Se llama número complejo a cualquier epresión de la forma z = + i donde e son números reales cualesquiera e i = 1 se llama unidad imaginaria. El conjunto de todos los números complejos se representa por: C = z = + i :, R} En la epresión z = + i, llamada forma binómica del complejo z, los números reales e se llaman, respectivamente, parte real parte imaginaria de z, se representan por: Re(z) = z = + i = Im(z) = Dos números complejos son iguales sí sólo si son iguales sus partes reales sus partes imaginarias: Observaciones z = w Re(z) = Re(w) Im(z) = Im(w) Cuando la parte imaginaria es cero, el número complejo +0i = es un número real, como consecuencia, el conjunto de los números reales está contenido en el conjunto de los números complejos: R C. Cuando la parte real es cero, el número complejo 0 + i = i se llama imaginario puro. En el conjunto de los números complejos eisten las raíces cuadradas de los números negativos, por ejemplo 16 = 16( 1) = 16 1 = 4i, en general, b = bi para todo b 0. Como consecuencia de lo anterior, en el conjunto de los números complejos todas las ecuaciones de segundo grado tienen solución El plano complejo Los números complejos también se pueden epresar como un par ordenado de números: z = + i = (, ) Esta epresión del número complejo, llamada forma cartesiana, permite identificar el conjunto de los números complejos con el plano R 2. Al plano cartesiano en el que se representan gráficamente los números complejos, se llama plano complejo. eje imaginario (, ) z = + i O eje real El número complejo z = + i se representa en el plano complejo por el vector que va del origen al punto (, ), que se llama afijo del número complejo.

2 Águeda Mata Miguel Rees, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM Operaciones elementales en forma binómica Dados dos números complejos, z 1 = i z 2 = i, su suma o diferencia es: z 1 ± z 2 = ( i) ± ( i) = ( 1 ± 2 ) + ( 1 ± 2 )i, teniendo en cuenta que i 2 = 1, su producto es: z 1 z 2 = ( i)( i) = i i i 2 = ( ) + ( )i Para obtener el cociente se multiplican numerador denominador (no nulo) por la epresión conjugada del denominador: z 1 = i z i = ( i)( 2 2 i) ( i)( 2 2 i) = ( ) + ( )i 2 2 = i En particular, el inverso del número complejo z = + i 0 es: Teniendo en cuenta que: 1 z = 1 + i = i ( + i)( i) = i = i 0 = 1 i 1 = i i 2 = 1 i 3 = i 2 i = i i i 2 2 la potencia n de i coincide con la potencia de eponente igual al resto de la división de n por 4: i n = i 4c+r = ( i 4) c i r = 1 c i r = i r con r = 0, 1, 2, 3 Para hallar potencias (de eponente natural) se utiliza el binomio de Newton: n ( ) n n ( ) n z n = ( + i) n = n k (i) k = n k k i k k k k=0 sustituendo ahora cada potencia de i por su valor sumando. Estas operaciones en el conjunto de los números complejos tienen las mismas propiedades que en el conjunto de los números reales Ejemplos k=0 Calcula: (a) (2 3i)(1 + 2i) (2 i) Complejo conjugado (b) (2 3i)i (1 + 2i)(3 + i) (c) i 3215 (d) (1 2i) 5 Se llama complejo conjugado de z = + i al número complejo z = i. Obviamente, de la propia definición, se tiene que: entonces: Se verifican las siguientes propiedades: Re(z) = Re(z) Im(z) = Im(z) z = z Im(z) = 0 z R 1. La operación de conjugación es involutiva: z = z. 2. El conjugado permuta con las operaciones elementales: z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 /z 2 = z 1 /z 2 3. Para cada z C: Re(z) = z + z 2 Im(z) = z z 2i

3 Águeda Mata Miguel Rees, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM Módulo de un número complejo Se llama módulo del número complejo z = + i al número real: = + i = que coincide con la distancia que ha entre el origen el afijo del número complejo, así como con la longitud el vector que lo representa. Si se define la distancia entre dos números complejos como la distancia entre sus afijos, entonces la distancia entre dos números complejos coincide con el módulo de su diferencia: d (z 1, z 2 ) = z 1 z 2 z = + i O z 1 z 1 z 2 z2 O Se verifican las siguientes propiedades: 1. 0, para todo z C. 2. = 0 si sólo si z = = = z. 4. Re(z) Im(z). 5. zz = 2, o también: = zz. 6. z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 /z 2 = z 1 / z z 1 z 2 z 1 ± z 2 z 1 + z Argumento de un número complejo Se llama argumento del número complejo z = + i 0 a cualquier ángulo θ que verifica: cos θ = sin θ = se representa por arg(z). Cada número complejo tiene infinitos argumentos, pero sólo uno en la primera circunferencia, θ [0, 2π), que se llama argumento principal se representa por Arg(z). z = + i O θ arg(z) = Arg(z) + 2kπ, k Z El argumento principal θ de z = + i se puede determinar, a partir del signo de e, con la condición: tan θ =

4 Águeda Mata Miguel Rees, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM Formas polar trigonométrica de un número complejo Cada número complejo z = + i queda definido unívocamente por su módulo cualquier argumento θ, pudiéndose epresar en función de ellos en la llamada forma trigonométrica: cos θ = sin θ = = = cos θ = sin θ = z = (cos θ + i sin θ) La epresión simbólica z = θ se llama forma polar del número complejo. En forma polar o trigonométrica, es decir, en función del módulo del argumento, dos números complejos son iguales sí sólo si tienen el mismo módulo sus argumentos difieren en un número entero de circunferencias: θ = w ϕ = w θ ϕ = 2kπ, k Z Ejemplos 1. Obtén la forma polar trigonométrica de los siguientes números complejos: (a) z = 1+ 3i (b) z = 3 3i (c) z = a R (d) z = ai, a R 2. A partir del módulo argumento de z, obtén la forma polar trigonométrica de z, z 1/z Operaciones elementales en forma polar o trigonométrica Operando a partir de la forma trigonométrica, el producto cociente de números complejos es: z 1 = z 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) z1 z 2 = z 1 z 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )] = z z 2 = z 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) 1 z 2 = z 1 z 2 [cos(θ 1 θ 2 ) + i sin(θ 1 θ 2 )], en particular, la potencia de números complejos es: [ (cos θ + i sin θ)] n = n (cos nθ + i sin nθ) (Fórmula de Moivre) Las operaciones anteriores, usando la forma polar, son: z 1 θ1 z 2 θ2 = ( z 1 z 2 ) θ1 +θ 2 z 1 θ1 z 2 θ2 = ( ) z1 z 2 θ 1 θ 2 ( θ ) n = ( n ) nθ Observaciones Del producto en forma trigonométrica se deduce que la suma de dos argumentos es un argumento del producto. Sin embargo, al sumar los argumentos principales no siempre se obtiene el argumento principal del producto, como se ilustra con el siguiente ejemplo: z 1 = i, Arg(z 1 ) = 3π 2 = z 1 z 2 = i con Arg(z 1 z 2 ) = π z 2 = 1, Arg(z 2 ) = π 2 Arg(z 1) + Arg(z 2 ) Por tanto, en general: Análogamente: arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) pero Arg(z 1 z 2 ) Arg(z 1 ) + Arg(z 2 ) arg ( z1 z 2 ) = arg(z 1 ) arg(z 2 ) pero Arg ( z1 z 2 ) Arg(z 1 ) Arg(z 2 )

5 Águeda Mata Miguel Rees, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM. 5 Al multiplicar un número complejo por otro de módulo unidad se obtiene el número complejo resultante de girar el primero, con centro en el origen, un ángulo igual al argumento principal del segundo: θ 1 ϕ = θ+ϕ De la fórmula de Moivre, en el caso particular = 1, se obtienen fórmulas para obtener el seno coseno de nθ en función del seno coseno de θ: (cos θ + i sin θ) n cos nθ = Re (cos θ + i sin θ) n = cos nθ + i sin nθ = sin nθ = Im (cos θ + i sin θ) n Ejemplos 1. Dos vértices consecutivos de un cuadrado son A( 2, 1) B(3, 3). Sabiendo que el cuadrado está en semiplano 0, halla sus otros dos vértices. 2. Epresa sin 4 cos 4 en función de sin cos Forma eponencial de un número complejo Las propiedades de las operaciones de los números complejos con respecto al módulo argumento hacen que tenga sentido epresar los números complejos como: z = (cos θ + i sin θ) = e iθ que se llama forma eponencial o forma de Euler. Propiedades de la forma eponencial: 1. Las operaciones producto, cociente potencia se realizan en forma eponencial de forma natural: ( ) ( ) r 1 e iθ 1 r 2 e iθ 2 = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ) r 1 e iθ 1 r 2 e iθ = r 1 e i(θ 1 θ 2 ) 2 r 2 2. Si z = re iθ entonces: z = re i(θ+π) z = re iθ 1 z = 1 r e iθ ( re iθ) n = r n e inθ 3. Los números complejos de módulo unidad son z = e iθ, donde θ R es uno de sus argumentos. 4. Para cualquier k Z: e i2kπ = 1 en consecuencia e i(θ+2kπ) = e iθ 5. Dos números complejos en forma eponencial son iguales si tienen el mismo módulo sus argumentos difieren en un número entero de circunferencias, es decir: r 1 e iθ 1 = r 2 e iθ 2 r 1 = r 2 θ 1 θ 2 = 2kπ, k Z 6. Usando la forma eponencial, el seno el coseno de un ángulo se pueden epresar en función de números complejos como sigue: e iθ = cos θ + i sin θ e iθ = cos θ = eiθ + e iθ sin θ = eiθ e iθ = cos θ i sin θ 2 2i Ejemplos Si z = 3 + i w = 1 + 3i, usa la forma eponencial para calcular: (a) zw; (b) z w ; (c) z10.

6 Águeda Mata Miguel Rees, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM Raíces enésimas de números complejos Se llama raíz enésima de z a cualquier número complejo cua potencia enésima es z. Cualquier número complejo no nulo tiene eactamente n raíces enésimas distintas que se hallan recurriendo a la forma eponencial: z = re iθ = n z = n re iθ = n re i θ+2kπ n = n re i( θ n + 2π n k) = w k, k = 0, 1, 2,..., n 1 Se puede observar que: Todas las raíces enésimas tienen el mismo módulo: w k = n r. La diferencia entre los argumentos de cada dos raíces consecutivas es constante: w k w k 1 = 2π n. Los afijos de las n raíces enésimas de un número complejo no nulo son los vértices de un polígono regular de n lados centrado en el origen Ejemplos Halla las siguientes raíces de números complejos: (a) 3 i; (b) 4 16; (c) 4i Conjuntos geométricos en forma compleja La identificación del plano complejo C con el cartesiano R 2 permite epresar muchos conjuntos del plano en forma compleja que es, en muchos casos, más sencilla. Algunos ejemplos son los siguientes: Circunferencia de centro z 0 radio r > 0: z z 0 = r. Interior de la circunferencia de centro z 0 radio r > 0: z z 0 < r. Eterior de la circunferencia de centro z 0 radio r > 0: z z 0 > r. Mediatriz del segmento de etremos z 1 z 2 : z z 1 = z z 2. Elipse con focos en z 1 z 2 : z z 1 + z z 2 = k, con k > z 1 z 2. Hipérbola con focos en z 1 z 2 : z z 1 z z 2 = k, con 0 < k < z 1 z 2. La ecuación cartesiana del conjunto se puede obtener sustituendo z = + i operando Polinomios. Teorema fundamental del álgebra Un polinomio de grado n es cualquier epresión de la forma: P n (z) = a n z n + a n 1 z n a 2 z 2 + a 1 z + a 0, con a n 0 donde a i C, 0 i n, se llaman coeficientes. Se llama raíz del polinomio a cualquier valor de z que lo anula, es decir: z = z 0 es raíz de P n (z) P n (z 0 ) = 0 P n (z) = (z z 0 )P n 1 (z) Mientras el polinomio cociente se anule en z 0, se puede seguir dividiendo por z z 0, se dice que: z = z 0 es raíz con multiplicidad m de P n (z) P n (z) = (z z 0 ) m P n m (z) P n m (z 0 ) 0 También se llaman raíces simples a las de multiplicidad 1, dobles a las de multiplicidad 2, así sucesivamente. El teorema fundamental del álgebra afirma que, si cada raíz se cuenta tantas veces como indica su multiplicidad, todo polinomio de grado n tiene eactamente n raíces reales o complejas, es decir, que: P n (z) = a n (z z 1 ) m 1... (z z p ) mp, con p m i = n i=1 En particular:

7 Águeda Mata Miguel Rees, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM. 7 Si los coeficientes son todos reales, cuando ha una raíz compleja también está su conjugada con la misma multiplicidad. Todo polinomio de coeficientes reales grado impar tiene, al menos, una raíz real. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Opera simplifica cada una de las siguientes epresiones complejas: (a) i 221 (b) 2i(3 + i) + (1 i)(2 + i) i 3 (1 + 2i) (c) 100 i k k=0 (d) i 2. Resuelve en C la ecuación: z 2 + i + 3z i 2 i = Halla, R para que: 3 + i 1 + 2i = + 2i. 4. Halla a R para que: a + 2i 1 i = Prueba que si = 2 entonces: 1 z 4 4z Prueba que, para cualquier z C, se cumple: Re z + Im z Calcula: (a) (1 + i) 20 ; (b) ( 3 i) Halla la suma el producto de las raíces enésimas de la unidad. 9. Halla todos los complejos z C tales que z 3 2 = Halla el lugar geométrico de todos los números complejos de la forma: z = a i 1 + i, a R Encuentra, si eisten, los que se encuentran sobre la recta = Qué curva o conjunto geométrico representa cada una de las siguientes igualdades o desigualdades? (a) z 1 + 2i = 3 (b) z i < z + i (c) 0 < z 1 < 2 (d) z 2 + z + 2 = 6 Encuentra sus ecuaciones en forma cartesiana. 12. Sabiendo que 1 + i es solución de z 4 4z 3 + 5z 2 2z 2 = 0, calcula todas sus raíces. CUESTIONES 1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) Los números reales no son complejos. (b) Los números complejos de módulo 1 son menores que los números complejos de módulo 2. (c) El inverso de un número real es complejo.

8 Águeda Mata Miguel Rees, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM. 8 (d) Si < w entonces z < w. (e) Las raíces enésimas de un número complejo tienen todas el mismo módulo. (f) Las raíces de la ecuación z 5 + 2i = 0 son los vértices de un pentágono regular. (g) Todo polinomio de grado impar tienen al menos una raíz real. 2. Demuestra que, para cualesquiera z, w C, se cumple que: z + w 2 + z w 2 = w 2 3. Demuestra que z 1 < z + 1 si sólo si Re(z) > Es cierto que las raíces cúbicas de la unidad se pueden epresar como 1, w w 2? Quién es w? 5. Justifica que eiste w tal que las raíces enésimas de la unidad son: 1, w, w 2,..., w n Justifica que las raíces enésimas de un número complejo forman una progresión geométrica. Cuáles son el primer término la razón? PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Opera simplifica cada una de las siguientes epresiones complejas: (a) i 2723 (c) (2 3i)(1 + i) (1 + 2i) 2 (e) 1 + i (1 i) 2 (g) (2 i) 5 (b) i 1 (d) (3 2i)(1 + 3i)(2 i) (f) i + i2 + i 3 + i 4 + i 5 2. Opera simplifica cada una de las siguientes epresiones: 1 + i (a) 1 + i + i i 57 (b) (1 + 2i) 4 (c) (3 2i) 5 3. Resuelve en C las ecuaciones: (a) 3 i z = 4 + 2i; (b) = Halla, en cada caso, el valor de a R para que el número complejo z = a+3i 1+i (a) Sea imaginario puro. (b) Sea un número real. (c) Esté sobre la bisectriz del segundo cuarto cuadrantes. (h) (1 + i)3 (1 i) 3 5. Encuentra dos números complejos tales que su suma es un número real, su diferencia cociente sean imaginarios puros, su producto sea igual a Halla z C si z + w = 2 + 3i w = 3 + i. 7. Prueba que si < 1 entonces: Re(1 z + z 2 ) < 3 Im(1 z + z 2 ) < Epresa en forma polar en forma eponencial los siguientes números complejos: 3 + 3i 1 + 3i 1 2i 2 2 3i 9. Halla, usando la fórmula de Moivre, sin 3 cos 5 en función de sin cos. 10. Dos vértices consecutivos de un cuadrado son O(0, 0) A(4, 1). Halla sus otros dos vértices. Es único?

9 Águeda Mata Miguel Rees, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM Halla los vértices de un heágono regular. 12. Halla las siguientes raíces: (a) 3 1 (b) 3 i (c) 4 1 (d) 1 i (e) i (f) 6 1 3i 13. Encuentra las soluciones de la ecuación z = 0 que caen dentro del recinto del plano complejo definido por z + 1 < Qué curva o conjunto geométrico representa cada una de las siguientes igualdades o desigualdades? (a) z i = z + i (b) z 1 = 2 (c) z i + z + i = 4 (d) z 2 z + 2 = 2 Encuentra sus ecuaciones en forma cartesiana. 15. Sabiendo que z = i es solución de z 7 + z 5 z 2 1 = 0, calcula todas sus raíces. 16. Estudia si la ecuación a 5 + b 4 + c 3 i 2 i = 0, con a, b, c R, tiene soluciones reales.