Variables Aleatorias

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1 Varables Aleatoras VARIABLES ALEATORIAS. Varable aleatora. Tpos.... Dstrbucón de probabldad asocada a una varable aleatora dscreta Funcón de dstrbucón. Propedades Funcón de densdad Cálculo de Probabldades Caracterzacón de una dstrbucón Moda 6.. Medana Esperanza matemátca. Propedades Momentos Momentos de orden respecto al orgen Momentos de orden respecto a la meda... 5 Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C.

2 VARIABLES ALEATORIAS Varables Aleatoras. VARIABLE ALEATORIA. TIPOS. En el tema de Estadístca Descrptva hemos estudado la varable estadístca que representaba el conjunto de resultados observados en una muestra tomada de un epermento aleatoro, presentando cada valor una frecuenca relatva. Frecuentemente, al realzar un epermento aleatoro nos nteresa más que el resultado completo del epermento (varable estadístca) una funcón real de los resultados. Tales funcones, cuyos valores dependen de los resultados de un epermento aleatoro, se llaman varables aleatoras. Así al lanzar 60 veces un dado, obtenemos una muestra que representamos por una varable estadístca que toma los valores y frecuencas relatvas sguentes: S f 0/60 7/60 /60 /60 /60 7/60 magnamos que se realza una nfndad de pruebas relatvas al epermento la nfndad de resultados posbles da orgen a la nocón de varable aleatora asocada a un epermento aleatoro. Donde los valores que toma la varable aleatora son todos guales a,,, 4, 5, y 6 cada uno de ellos con probabldad /6. La varable aleatora es pues la abstraccón o dealzacón de la varable estadístca. Tenemos así los conceptos concretos de poblacón o muestra, frecuenca y varable estadístca, como nocones concretas de las cuales, por un proceso de abstraccón, resultan los conceptos teórcos de espaco muestral, probabldad y varable aleatora. Sea (E, B, P) un espaco probablístco asocado a un epermento aleatoro. Una varable aleatora es una funcón defnda sobre el espaco muestral E que toma valores en el cuerpo de los números reales R, es decr, ξ: E R A ξ(a) Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C.

3 Varables Aleatoras Una varable aleatora puede ser dscreta o contnua. Una varable aleatora ξ se dce que es dscreta cuando toma un número fnto o nfnto numerable de valores reales, es decr, cuando es un conjunto de puntos aslados. EJEMPLO : Sea la eperenca de lanzar dos monedas al are o dos veces una moneda y observar el resultado. El espaco muestral E = {cc, c, c, }. Consderemos la varable aleatora número de caras obtendo. ξ: E R ξ(cc) = ξ(c) = ξ es una varable aleatora dscreta. ξ(c) = ξ() = 0 Podíamos haber defndo otra varable aleatora η de tal forma que: η: E R η(cc) = η es una varable aleatora dscreta. η(c) = η(c) = η() = 0 En muchos casos el resultado del epermento es un número real, entonces se adopta dcho valor. Por ejemplo, al lanzar un dado ξ( ) = Hay varables aleatoras que no toman valores aslados, sno que pueden tomar cualquer valor de un ntervalo real. A las varables de este tpo las defnremos como varables aleatoras contnuas. Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C.

4 Varables Aleatoras EJEMPLO : Consderemos un círculo graduado de 0 a y una maneclla que gra alrededor de su centro C, que puede tomar todos los valores reales de [0,). Es una varable contnua. EJEMPLO : Los errores de observacón consttuyen una varable aleatora contnua.. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ASOCIADA A UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA En el ejemplo a cada valor de la varable aleatora ξ le corresponde una probabldad. P(ξ = ) = ¼ P(ξ = ) = ½ P(ξ = 0) = ¼ En el caso de la varable η: P(η = ) = ¾ P(η = 0) = ¼ La tabla formada por los valores que toma la varable junto con sus probabldades, recbe el nombre de dstrbucón de probabldad de la varable. Sea ξ una varable aleatora dscreta. A cada valor le podemos asocar un número [ ] P( ) = P( ξ= ) 0,, hemos defndo así una funcón P() sobre la varable aleatora ξ. S en el espaco muestral los sucesos que corresponden a los dferentes valores de consttuyen una partcón de E, se verfca que dstrbucón de probabldad de ξ. P( ) =. En estas condcones P( ) se llama EJEMPLO 4: S consderamos el lanzamento de un dado y la varable aleatora ξ= puntos obtendos. E = {,,, 4, 5, 6} Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 4

5 Varables Aleatoras ξ( ) = P( ) = P( ξ = ) /6 /6 /6 4 4 /6 5 5 /6 6 6 /6 Dstrbucón de probabldad que se puede representar medante un dagrama de barras. / FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Supongamos que, en el ejemplo anteror, nos nteresa ver la probabldad de obtener una puntuacón menor o gual que un certo valor. P( ξ ) /6 /6 /6 4/6 5/6 Gráfcamente, adopta una forma de escalera, tomando los saltos en los valores aslados que toma la varable, sendo en cada uno de éstos contnua por la derecha. Obsérvese que la altura de cada salto fnto en los puntos de dscontnudad se corresponde con la probabldad en dcho punto. Obsérvese la smltud con el dagrama de frecuencas relatvas acumuladas Analítcamente, Sea ξ una varable aleatora dscreta o 0 s < / 6 s < / 6 s < F() = / 6 s <4 4 / 6 s 4 <5 5 / 6 s 5 <6 s 6 F() tal que: F() = P( ξ ) se la denomna funcón de dstrbucón. contnua, a la funcón Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 5

6 Varables Aleatoras Propedades:.- F() es monótona no decrecente S a<b entonces F(a) F(b) En efecto, F(b) = P( ξ b) = P(ξ a) + P( a < ξ b) = F(a)+P( a < ξ b) F(a) puesto que la probabldad es mayor o gual a cero..- lm F() = 0 lm F() = lm P( ξ ) = P( φ) = 0.- lm F() = lm F() = lm P( ξ ) = P (E) = 4.- La funcón de dstrbucón es contnua por la derecha. lm F( + h) F() = lm P( ξ + h) P( ξ ) = lm P( < ξ + h) = P( φ ) = h 0 h 0 h Dada la funcón de dstrbucón, podemos calcular la probabldad, P(a <ξ b) = P( ξ b) P( ξ a) = F(b) F(a), puesto que F() = P( ξ ) P(a <ξ< b) = P( ξ< b) P( ξ a) = F(b ) F(a) P(a ξ< b) = P( ξ< b) P( ξ< a) = F(b ) F(a ) P(a ξ b) = P( ξ b) P( ξ< a) = F(b) F(a ) P( ξ= b) = P( ξ b) P( ξ< b) = F(b) F(b ) corresponde al sato de dscontnudad en b En el caso de que la varable sea dscreta: F() = P( ) EJEMPLO 5: S queremos calcular la funcón de dstrbucón para el ejemplo, P(ξ= ) F() 0 s < 0 / 4 s 0 < 0 /4 /4 F( ) = / 4 s < /4 /4 s /4 Gráfcamente, Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 6

7 Varables Aleatoras En el caso contnuo: EJEMPLO 6: Consderemos el ejemplo. y que queremos determnar la probabldad de que la maneclla se pare en una poscón determnada, es decr, de obtener una puntuacón 0,6, por ejemplo. Dcha probabldad es práctcamente cero puesto que esten nfntos casos posbles. S nos preguntamos por obtener una puntuacón menor o gual a, nos dará la funcón de dstrbucón: F()= P( ξ ) = 0 s 0 < s 0 < s Gráfcamente, F() F() 0 La probabldad de que la maneclla caga entre el 0,5 y el 0,6 será: P(0,5 <ξ 0, 6) = F(0,6) - F(0,5) = 0,6-0,5 = 0, En general consderaremos, el ntervalo (, +h), para el cual P( < ξ + h) = F(+h)- F() es la probabldad en el ntervalo. S dvdmos por h, nos da la probabldad meda F( + h) F( ) que llamaremos densdad meda de ese ntervalo. Por últmo, s el ntervalo lo h tomamos nfntesmal, tendremos: lm F ( + h ) F ( ) = F () = f() que llamaremos funcón de h 0 h densdad, que representa por tanto la probabldad meda en un ntervalo nfntesmal, y que es equvalente a la funcón de probabldad de las varables aleatoras dscretas. Funcón de dstrbucón: 0 s 0 < f()= F'() = s 0 < 0 s Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 7

8 Varables Aleatoras 4. FUNCIÓN DE DENSIDAD Una varable aleatora ξ con funcón de dstrbucón F(), se dce que es una varable aleatora contnua s F() es una funcón absolutamente contnua (o smplemente contnua) de cuya dervada F () = f() este y es contnua salvo, como mucho, en un número fnto de puntos. La funcón f() defnda, se denomna funcón de densdad de ξ. Como F() es no decrecente, tendrá que ser f() 0 para todo. Además, ntegrando F( ) f( t) dt y como lm F( ) = resulta f( t) dt =. Por tanto, en una funcón de densdad = f() se verfcan sempre las dos propedades:.- f() 0 para todo.- f (t)dt = sendo F() = P( ξ ) = f(t)dt EJEMPLO 7: Sea f() = + 9 s resto Solucón: Para que sea funcón de densdad debe verfcar:.- f() 0 para todo.- f (t)dt = Es f() una funcón de densdad? en partcular f() =/ - + /9 <0, por tanto, no es una funcón de densdad, aunque = f (t)dt Determnada F() se obtene f() y recíprocamente. Medante la funcón de densdad, podemos calcular: P( a < ξ b) = F(b) F(a) = f( t)dt f( t)dt = f( t)dt b a b a Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 8

9 S f(t) es esa curva, F() es el área rayada y el área encerrada entre la curva y el eje OX es gual a la undad. La probabldad de que ξ se encuentre entre dos valores es gual al área comprendda entre estos dos valores. b f ( t )dt = P ( a < ξ b ) a En partcular P( ξ = ) = f( t)dt = 0 Varables Aleatoras EJEMPLO 8: La duracón en mnutos de una reaccón químca vene dada por una varable aleatora con la sguente funcón de densdad: s f() = 0 en el resto Calcular: a) Valor de para que f() sea funcón de densdad. b) Probabldad de que la reaccón dure entre y 4 mnutos. c) Obtener la funcón de dstrbucón. Solucón: a) Se tene que cumplr que f() 0 para todo y que f (t)dt = b) f() = s 4 0 en el resto f ()d = d = 4 = = = P( <ξ< 4) = f ()d = d + 0d = = c) F() = P( ξ ) = f(t)dt S < se tene que F() = 0 S < se tene que F() = t t dt = 4 8 = 8 Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 9

10 Varables Aleatoras S < se tene que F() = t t dt + 0dt = = 4 8 Resultando F() = cuya gráfca es: 0 s < s < 8 s F() > > f() Obsérvese que en las varables aleatoras contnuas la funcón de dstrbucón es contnua. > La funcón de densdad no tene porque ser contnua en un número fnto de puntos. 5. CÁLCULO DE PROBABILIDADES Se calcula la probabldad de cualquer suceso asocado a una varable aleatora a partr de la dstrbucón de probabldad o de la funcón de densdad. Caso dscreto P( ξ= a) Caso contnuo P( ξ= a) = f ( ) d = 0 a P( ξ< a) = F(a) P( ξ= a) P( ξ< a) = f ( ) d = F(a) = P( ξ a) b P(a <ξ b) = P( ξ b) P( ξ a) = F(b) F(a) P(a b) F(b) F(a) f ( ) d P( ξ> a) = F(a) = P( ξ a) <ξ = = a + P( ξ> a) = f ( ) d a En el caso de varable aleatora dscreta s los valores de la varable para los cuales la probabldad es dstnta de cero son,, n, la funcón de dstrbucón es: 0 s < P( ) s < P( ) + P( ) s < F() = P( ) + P( ) + P( ) s <... s n 4 F() F() P( ) = F( ) F( ) = n Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 0

11 Varables Aleatoras EJEMPLO 9: Sea X una varable aleatora con funcón de dstrbucón: a) Representar gráfcamente F(). b) Es una varable aleatora contnua? Por qué? c) Determnar la dstrbucón de probabldad. Solucón: 0 s <- 0.4 s - <- F() = 0.8 s - < s a) b) No es contnua, ya que F() es dscontnua. c) La probabldad se obtene en cada punto de dscontnudad y su valor es el salto fnto. P(X= ) - 0,4-0,8-0,4=0,4-0,8=0, Suma En el caso de varable aleatora contnua el proceso de cálculo de F() es algo dferente. Supongamos una varable aleatora contnua con funcón de densdad: f () s < f () s < f( ) =... f () s < 0 en otro caso n n n. Para calcular la funcón de dstrbucón, se tene en cuenta, el valor de la funcón de densdad en cada uno de los dstntos ntervalos, es decr Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C.

12 Varables Aleatoras 0 s < F( ) + f(t)dt s < F( ) + f(t)dt s < F() =... F( n ) + f(t)dt s n s n < n n EJEMPLO0: S la funcón de densdad de una v. a. contnua es: s 0 < 7 f () = s < 4 0 en el resto P X< 4 c) Obtener un valor de tal que a) Obtener la funcón de dstrbucón. b) ( ) P( X )=0. d) El prmer cuartl. Solucón: a) S <0, entonces F()=0 s 0<</, entonces F() = f (t)dt = tdt = 0 s /<<7/, entonces F() = f (t)dt = tdt dt + 0 = + = s 7/<, entonces F()= 0 s 0 s 0 < F() = P(X ) = 7 + s < s <. b) c) d) P( X < 4) = f ()d = d = = P(X > ) = 0, F() = P(X ) = P(X > ) = 0, = 0,7 F() = + = 0, 7 =, 4 8 Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C.

13 Varables Aleatoras F() = P(X ) = 0,5 F() = + = 0, = CARACTERIZACION DE UNA DISTRIBUCIÓN Al estudar las varables estadístcas en el prmer capítulo, vmos una sere de meddas con unas frecuencas relatvas f. S suponemos en térmnos teórcos que el número de observacones tende a nfnto, estas frecuencas relatvas tomarán el carácter de probabldades de cada uno de los valores de la varable. 6.. Moda. Moda es el mámo de la funcón de densdad o de la funcón de probabldad. 6.. Medana. Medana es el valor tal que la funcón de dstrbucón vale 0,5. En el caso dscreto será tal que F(-)<0,5<F(), o ben, (++)/ s F()=0,5 En el caso contnuo será tal que F()=0, Esperanza matemátca. Propedades. La esperanza matemátca es el valor medo teórco que resulta de susttur las f por las P, y que no es sno una meda artmétca ponderada. Se acostumbra a defnrlo como esperanza matemátca de ganancas, es decr, la gananca que teórcamente esperaba obtener un jugador frente a unas determnadas reglas de juego. Defncón: Sea ξ una varable aleatora, se defne el operador E[ ξ ] como: E[ ξ ] = n = P( X ) para una varable dscreta y fnta. Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C.

14 E[ ξ ] = convergente. E[ ξ ] = = P( X ) Varables Aleatoras para una varable dscreta y no fnta sempre que la sere sea t. f( t). dt cuando la varable ξ es contnua con funcón de densdad f() y sempre que la ntegral sea absolutamente convergente. EJEMPLO : S ξ es dscreta. E P( ) µ= [ ξ ] = E[ ] = En el ejemplo clásco del dado 4: E[ ξ ] = S ξ es contnua. µ= ξ = f ()d 6 P( ) = = = = 7 6 EJEMPLO : En el ejemplo 8 la duracón meda de la reaccón, será. E[ ξ ] =.f ().d =..d = 4 = 6 Propedades:.- La esperanza matemátca de una constante es la propa constante. E[ ] =.- La esperanza matemátca de una constante por una varable es gual a la constante por la esperanza matemátca de la varable. [. ξ] =. E[ ξ] E.- La esperanza matemátca de la suma de varables es gual a la suma de las esperanzas matemátcas de cada una de las varables. [ ξ + µ ] = [ ξ ] + [ µ ] E E E. 4.- La esperanza matemátca es un operador lneal, consecuenca de las propedades y Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 4

15 Varables Aleatoras E[ a. ξ + b. µ ] = a. E[ ξ ] + b. E[ µ ] 5.- La esperanza matemátca de un producto de varables aleatoras es gual al producto de las esperanzas matemátcas de cada una de las varables, cuando éstas son ndependentes entre sí. [ ξ. η] = [ ξ ]. [ µ ] E E E 6.- Sea ξ una varable aleatora, y g:r R contnua con esperanza fnta, entonces: ( ξ ) = g ( ) f ()d o ( ξ ) = ( ) E g una funcón, tal que g(ξ) es una varable E g g p( ) = 6.4. Momentos Momentos de orden respecto al orgen El momento de orden respecto al orgen se defne como m E[ ξ ] varables dscretas: m E[ ξ ] = =. P( ) n = y s la varable es contnua: m E[ ξ ] = =. f( ).d = en el caso de La meda o esperanza matemátca es: m E[ ] = ξ =µ Momentos de orden respecto a la meda El momento de orden respecto a la meda, µ, de la dstrbucón se defne como ( ) µ = E ξ µ. Entre estos tene partcular mportanca la varanza que es el momento de segundo orden respecto a la meda: σ = ( ξ µ ) E S se trata de una varable dscreta: ( ) σ = µ.p( ) y en el caso de una varable contnua: σ = ( µ ).f ().d Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 5

16 Varables Aleatoras S ξ es dscreta. S ξ es contnua. σ = ξ = ξ µ = µ [ ] ( ) ( ) σ = [ ξ ] = ( ξ µ ) = ( µ ) V E P( ) = V E f ()d La raíz cuadrada postva de la varanza se llama desvacón típca σ E[ ξ ]. Segudamente, veamos algunas propedades de la varanza, consecuenca del operador σ = E ξ µ = E ξ ξµ+µ = E ξ µ E ξ +µ = E ξ µ ( ) [ ] La varanza de una constante es cero. La varanza de una constante por una varable es gual al producto del cuadrado de la constante por la varanza de la varable. V(ξ ) = E (. [ ξ E[. ξ] ) ] = E (. ξ.e[ ξ] [ ) ] = E [( ξ E[ ξ] ) ] =.V( ξ) La varanza de una suma o dferenca de varables es gual en ambos casos a la suma de las varanzas de las varables, cuando éstas son ndependentes. V( ξ ± η) = V( ξ) + V( η) EJEMPLO : S queremos calcular la varanza en el ejemplo 4. (al arrojar un dado). Teníamos m = E[ ξ ] =, luego σ = ( µ ) 7.P( ) = = = y, por consguente, la desvacón típca σ= 5 Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 6

17 EJEMPLO 4: Varables Aleatoras La varanza de la reaccón para el ejemplo 8, será: E[ ] 4 E ξ =.f ().d =..d = = sn más que susttur ( [ ]) V( ξ ) = E ξ E ξ = 5 = 6 6 ξ = calculada Undad Docente de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 7

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