Probabilidad ( A) Los axiomas de la probabilidad. φ = el conjunto vacío A B = A y no B C
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- Margarita Saavedra Aguilar
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1 Los axomas de la probabldad obabldad El prmer paso para descrbr la certdumbre es cosderar el cojuto de posbles resultados obtedos a partr de u expermeto aleatoro. Este cojuto es llamado espaco muestral y se deota por Ω. U eveto se defe como cualquer subcojuto del espaco muestral. Los sguetes so evetos especales obtedos e muchos casos a partr de la mapulacó de otros evetos. φ el cojuto vacío A B A y o B C A el complemeto de A A B la uó de A y B A B la terseccó de A y B C C A B ( A B) C ( A B) C C A A el úmero de elemetos de A A y B so dsjutos s A B φ. Ua partcó de Ω es ua coleccó de evetos dsjutos cuya uó es Ω. El segudo paso es descrbr la certdumbre asgado probabldades a los evetos. Ua medda de probabldad es ua fucó y le asga u valor e [0, ] que dca que tatas posbldades tee dcho eveto. Ua terpretacó frecuetsta de la probabldad de u eveto dca que la frecueca relatva del eveto e ua secueca de expermetos depedetes e détcos tede haca el valor de probabldad, B úmero de veces que ocurre úmero de esayos C A Ua alteratva subjetva Bayesaa sugere que el valor de probabldad se asga de forma persoal y que su valor o esta restrgdo para aquellos casos e los que pueda detfcarse ua secueca de expermetos détcos. E este caso la medda de probabldad debería cumplr co las sguetes propedades: ( Ω ) ( A ) 0 ( A B) ( A) + ( B) ( A) s A y B so dsjutos
2 Estas tres propedades so adoptadas formalmete como los axomas de la probabldad e la teoría matemátca de la probabldad. A partr de estos axomas puede obteerse los sguetes resultados: ( φ ) 0 C ( A) ( A ) ( A ) ( A) ( B) s A B A B A + B A B (regla adtva) ( ) ( ) ( ) ( ) U cojuto es llamado cotable s es posble establecer ua correspodeca a etre los elemetos de dcho cojuto y los eteros postvos. S Ω es fto etoces Ω y cada elemeto de Ω es gualmete probable, etoces para todo puto x y todo eveto A ({ x} ) y ( ) A A dode es ecesaro usar las téccas de coteo para hallar A. obabldad codcoal Para evetos A y B la probabldad codcoal de A dado B es la probabldad que A A B. ocurra, asumedo que B ya ocurró y se deota por ( ) úmero de veces que ocurre A y B úmero de veces que B ocurre ( A B) La probabldad codcoal se defe como sgue ( A B) ( A B) ( B) La regla de la multplcacó se usa para calcular la probabldad de la terseccó de dos evetos ( A B) ( B) ( A B) ( A) ( B A)
3 La probabldad codcoal es equvalete a restrgr el espaco muestral a B. Para todo par de evetos dsjutos A, C B se tee Idepedeca ( B B) ( A B) 0 ( A C B) ( A B) ( C B) + Se dce que los evetos A y B so depedetes s ( A B) ( A) ( B) equvaletemete ( A B) ( A) y ( B A) ( B). La ley de la probabldad total Supoga que los evetos k o E, L, E forma ua partcó del espaco muestral Ω, es decr E E j φ para todo j y E L Ek Ω. Etoces para cualquer eveto A se tee ( A) ( A E ) ( E ) + L ( A ) ( ) + resultado coocdo como la ley de la probabldad total. Teorema de Bayes Para dos evetos A y B se tee E k E k ( B A) ( A B) ( B) ( A) resultado coocdo como el teorema de Bayes.
4 Varables aleatoras Supoga que se tee u espaco muestral Ω y ua medda de probabldad. Ua varable aleatora es ua fucó que va desde Ω haca R. E otras palabras, ua varable aleatora es u valor asocado a cada resultado de Ω. Se defe ( x) como la probabldad del eveto { Ω ( ω) x} ( x) ( { ω Ω : ( ω) A} ). La fucó de dstrbucó acumulatva de ua varable aleatora es F ( x) ( x) S se sabe que F se ecuetra defda sobre ( a, b] se tee que ( a < b) F( b) F( a) Varables aleatoras dscretas y cotuas ω :. E geeral S la fucó de dstrbucó acumulada de es ua fucó paso etoces la varable aleatora es dscreta y s la fucó de dstrbucó acumulada de Y puede escrbrse como la tegral de ua fucó, llamada fucó de desdad de probabldad, etoces la varable aleatora es cotua. Se descrbe ua varable aleatora dscreta usado su fucó de masa de probabldad, p x, tal que para todo x deotada por ( ) ( x) ( x) p Para ua varable aleatora cotua Y, se asume que la fucó de dstrbucó acumulada puede escrbrse como y ( y) ( Y y) f ( u) F dode f es la fucó de desdad de probabldad. Luego, se tee que F es cotua e todo lugar y, para todo puto y tal que f ( y) es cotua, F / ( y) exste y es gual a f ( y) (teorema fudametal del cálculo). Como F es cotua, para todo a se tee ( Y a) 0 du
5 Fucó de dstrbucó acumulada empírca e hstogramas Ua muestra aleatora de la dstrbucó F es ua secueca de varables aleatoras mutuamete depedetes,, L, co la msma fucó de dstrbucó acumulada F. Dada ua muestra aleatora, para todo x puede aproxmarse ( x) dstrbucó acumulada empírca F usado la fucó de Fˆ ( x) { x} S F es la fucó de dstrbucó acumulada de ua varable aleatora dscreta, etoces es posble estmar la fucó de masa usado pˆ ( x) { x} Ejemplo: Los datos a cotuacó represeta medcoes de la desdad de la Terra realzadas por Hery Cavedsh e 798 como múltplos de la desdad del agua. > cavedsh <- c(5.5, 5.57, 5.4, 5.6, 5.53, 5.47, 4.88, 5.6, 5.63, 4.07, 5.9, 5.34, 5.6, 5.44, 5.46, 5.55, 5.34, 5.3, 5.36, 5.79, 5.75, 5.9, 5., 5.86, 5.58, 5.7, 5.85, 5.65, 5.39) > plot(ecdf(cavedsh), xlab "Desdad de la Terra", ylab "Frecueca acumulada", ma "") > hst(cavedsh, freq TRUE, breaks 0, xlab "Desdad de la Terra", ylab "Frecueca", ma "")
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7 Esperaza y aproxmacoes ftas La esperaza de ua varable aleatora, es el cetro de masa o cetro de probabldad. Se defe por: µ E [ ] xf x xp( x) ( x) dx es dscreta es cotua Ejemplo: S se cooce la fucó de masa de probabldad de ua varable aleatora 3 dscreta es posble calcular su meda umércamete. Supoga que p( x) x para 3 x, /, /3,, /000. Es decr que p ( x) cx tal que 000 ( x) c ( k ) 3 p x x El sguete códgo e R permte calcular el valor esperado de. > x <- /(000:) > p <- x^.5 > p <- p/sum(p) > mu <- sum(x*p) > mu []
8 > plot(c(0,), c(0,max(p)), type"", xlab "x", ylab "p(x)") > les(x, p, type "h") > pots(mu, 0, pch 9) > text(mu, 0, "Meda", pos 4) Ejemplo: Supoga que es ua varable aleatora co dstrbucó ormal trucada e (0, ). Es decr, para algua costate c f ( x) c exp 0 { x } para x ( 0,) de otro modo Para calcular umércamete el E [ ] se usara la fucó smpso.r. Notar que para hallar la costate c se cosdera que ( x) f dx. > f <- fucto(x) exp(-x^/) > c <- /smpso(f, a 0, b ) > c [] > xf <- fucto(x) x*f(x) > mu <- smpso(xf, a 0, b )*c > cat('la meda de es', mu, '\') La meda de es Trasformacoes 0 Ua varable aleatora es ua fucó que va desde Ω haca R. S h es ua fucó que va desde R haca R, etoces Y h( ) també debería ser ua varable aleatora. Para toda fucó como h : R R tal que A R se defe el cojuto de valores versos h Para las varables aleatoras y Y h( ) ( A) { x : h( x) A}, la fucó de dstrbucó acumulada de Y puede ser descrta usado el cojuto de valores versos: F Y ( y) ( Y y) ( h( ) y) ( h( ) (, y] ) h ((, y] ) ( )
9 S h es estrctamete crecete etoces la versa esta be defda, y para y e el rago de h se tee F Y ( ) ( (, h ( y) ]) F ( h ( y) ) ( y) h ((, y] ) Tal como se vera más adelate la trasformacó de varables tee ua muy mportate aplcacó e el proceso de smulacó de varables aleatoras. Ejemplo: Supoga que tee fucó de masa de probabldad x p x ( ) Hallar la fucó de probabldad de Y. Ejemplo: Supoga que tee fucó de desdad ( x) ( x +) Hallar la fucó de desdad de Y exp{ } y Z. f para < x <. S se desea calcular el valor esperado de ua varable aleatora trasformada se utlza E [ h( )] h h( x) p( x) x ( x) f ( x) dx es dscreta es cotua Suma de varables aleatoras [ + Y ] E[ ] E[ Y ] E + El resultado ateror es verdadero para cualquer varable aleatora, dscreta o cotua, sempre que su valor esperado exsta. També E [ a ] ae[ ] y para varables aleatoras,, L, y costates a, a, L, a, [ a + L + a ] a E[ ] + L a E[ ] E +
10 Varaza y desvacó estádar [ ] Se defe la varaza de ua varable aleatora como E ( E[ ]) escrbrse Var [ ] o σ. Suele. La desvacó estádar de es la raíz cuadrada de la varaza. Alguas de las propedades de la varaza so: Var[ ] 0 Var[ ] E[ ] E [ ] Var [ ] 0 s y solo s es costate Var[ a b] a Var[ ] + para a y b costates La varaza de la suma de dos varables aleatoras es [ + Y ] Var[ ] + Var[ Y ] Cov[, Y ] Var + dode Cov[, Y ] E[ ( )( Y µ )] E[ Y ] E[ ] E[ Y ] µ. S e Y so varables aleatoras depedetes etoces Y [ + Y ] Var[ ] Var[ Y ] Var + Para estadarzar el valor de la covaraza y obteer ua medda varate se defe el coefcete de correlacó ρ [ Y ], Cov Var [, Y ] [ ] Var[ Y ] La ley débl de los grades úmeros Sea,, L, ua muestra aleatora co meda µ. La meda muestral es llamado u estmador de µ y es usualmete deotado por µˆ. S x es el valor observado de, etoces el valor observado de es x, el cual es llamado estmador putual de µ. Sea µ E[ ] y σ Var[ ], etoces E [ ] µ y Var[ ] σ coforme Como [ ] µ se tee que [ ] µ. E y Var[ ] 0 E se dce que es u estmador sesgado para µ.. Luego
11 Desgualdad de Markov S es ua varable aleatora que toma solo valores postvos, etoces para todo a ( a) E [ ] a Desgualdad de Chebyshev S es ua varable aleatora co meda µ y varaza σ, etoces para todo c > 0 c ( µ cσ ) La ley débl de los grades úmeros Sea, depedetes e détcamete dstrbudas co meda etoces para todo ε > 0 ( µ > ε ) 0 coforme,, L varables aleatoras µ y varaza fta σ, es decr, coverge e probabldad haca µ coforme, y se escrbe La varaza muestral µ coforme S se defe por S ( ) y es u estmador sesgado para σ, ya que E[ S ] σ. La desvacó estádar muestral S S es u estmador de la desvacó estádar poblacoal σ, s embargo se trata de u estmador sesgado.
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