Halla la longitud de la semicircunferencia. Rectifica un arco de 67,5º y radio 25mm. Dibuja el ángulo con ayuda del compás.

Transcripción

1 Halla la longitud de la semicircunferencia. Rectifica un arco de 67,5º y radio 25mm. Dibuja el ángulo con ayuda del compás. Dibuja el cuadrado equivalente al triángulo de lados 35, 40 y 45mm. Dibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm. Dados tres cuadrados de lados 15,20 y 25mm, halla gráficamente el cuadrado cuya área sea igual a la suma de los anteriores. Dadas dos circunferencias de diámetros 20 y 25 mm, halla gráficamente una circunferencia de área equivalente a la suma de sus áreas. Equivalencias y rectificaciones (1)

2 Hallar gráficamente un cuadrado equivalente a la figura siguiente: Hallar gráficamente un cuadrado equivalente a la figura siguiente: Equivalencias y rectificaciones (2)

3 Inscribe en el círculo un cuadrilátero cualquiera cuya área sea la mitad. Halla un rectángulo de lado menor a (conocido) y que sea equivalente al triángulo dado. Resuelve el problema aplicando potencia o mediante el Teorema de Thales. Detemina el cuadrado equivalente al sector circular dado. PAU. Equivalencias y rectificaciones (3)

4 # & Esquema tipo: Dibuja el triángulo del que se conocen los siguientes datos: a=45; ha=35; c=40mm $ % * (! " ) ( ' ( Dibuja el triángulo del que se conocen los siguientes datos: a=45; B=105º; mc=50mm Dibuja el triángulo del que se conocen los siguientes datos: a=45; mc=50mm; c=40mm Dibuja el triángulo del que se conocen los siguientes datos: ma=45; mc=60mm; ha=40mm + Triángulos (1) Triángulos Escalenos (1)

5 , & % ( &! Dibuja el triángulo del que se conocen los siguientes datos: a=45; B=60º; hb=40mm Dibuja el triángulo del que se conoce el lado AB y la posición del baricentro: -. Dibuja el triángulo del que se conocen los siguientes datos: A=45º; ma=60mm; mb=40mm Dibuja el triángulo del que se conocen los siguientes datos: ha=40mm; ma=50mm; ba=45mm * ( / Triángulos (2) Triángulos Escalenos (2)

6 Construye un triángulo isósceles dadas la base a=25mm y el ángulo opuesto A=30º Dibuja el triángulo isósceles del que se conocen su altura h=45mm y su perímetro p=120mm : Dibuja el triángulo isósceles (b=c) del que se conocen sus alturas ha=50mm y hb=24mm Dibuja el triángulo isósceles (b=c) del que se conoce el ángulo B=60º y la altura hb=45mm Dibuja el triángulo isósceles (b=c) del que se conoce el lado desigual a=40mm y la mediana mb=40mm Dibuja el triángulo isósceles (b=c) del que se conoce la mediana mb=50mm y la altura hb=45mm 0 Triángulos (3) Triángulos Isósceles

7 3 4 2 Construye un triángulo rectángulo sabiendo la hipotenusa a=50mm y la altura sobre la misma ha=20mm. Construye un triángulo rectángulo dados la altura sobre la hipotenusa ha=30 y la longitud de la bisectriz ba=32mm Construye un triángulo rectángulo sabiendo la altura sobre la hipotenusa ha=30mm y la mediana ma = 35mm Dibuja el triángulo rectángulo ABC del que se conoce la hipotenusa BC y el punto Ba por el que pasa la bisectriz ABa:!! 1 " Dibuja un triángulo rectángulo que tiene su hipotenusa contenida en la recta r, la altura sobre esta de 38mm y los catetos pasando por los puntos P y Q. 5 Triángulos (4) Triángulos Rectángulos (1)

8 Construye un triángulo rectángulo (A=90º) dados el ángulo en B=45º y la mediana mb=50mm. Construye un triángulo rectángulo (A=90º) conocido uno de los catetos b=45mm y la altura sobre la hipotenusa ha=30mm. Construye un triángulo rectángulo (A=90º) conocido uno de los catetos b=45mm y la mediana ma=35mm. Construye un triángulo rectángulo (A=90º) conociendo la hipotenusa a=55mm y la mediana mb=40mm. Construye un triángulo rectángulo (A=90º) sabiendo la atura sobre la hipotenusa ha=30mm y la longitud de la mediana mb=50mm. Construye un triángulo rectángulo (A=90º) sabiendo la longitud de uno de los catetos b=45mm y la longitud de la bisectriz wc=50mm 6 Triángulos (5) Triángulos Rectángulos (2)

9 Dibuja el triángulo ABC sabiendo que el lado AB=65mm, la altura del vértice C, hc=45mm y la altura del vértice B, hb=47mm. Indica la posición del baricentro. Dibuja un triángulo conocidos dos de sus ángulos, 45º y 60º, y la circunferencia inscrita de radio 12 mm. Dibuja el triángulo ABC conociendo el vértice A, el baricentro OB y el circuncentro OC. Hallar un triángulo, ABC, del que se conoce el lado b = 40mm, la mediana de A, ma = 52 mm y el radio de la circunferencia circunscrita, R = 40 mm : ; Triángulos (6) Triángulos Escalenos (3)

10 ? > Dibuja un trapezoide del que se conocen los siguientes datos: AB=45, BC=20, AD=25, AC=40, BD=43mm Construye un trapezoide ABCD conociendo una diagonal, tres ángulos y un lado: diagonal BD=50; A=60; C=75 ; D=90; lado AB=55mm Dibujar un cuadrilátero* conociendo: AB=50mm, CD=25, AC=45, ángulo ABD=30º y BDC=45º. Construye un trapezoide sabiendo que dos lados opuestos forman 30º y que AB=50, CD=30, AD=34 y BC=46. *Un cuadrilátero cualquiera (sin especificar el tipo) es un trapezoide. Construir un cuadrilátero ABCD tal que AB= 75 mm, DAB= 75º, BCD= 105º, DCA= 15º y AD=CD. PAU 2009 (modelo) < = Cuadriláteros (1) Trapezoides

11 B J K C D L M L L K M Dibuja un cuadrilátero inscribible ABCD definido por los siguientes datos: AB=55mm (base); DAB=75º; BD=70mm; AC=70mm (diagonal). Cuántas soluciones hay?. Construye el cuadrilátero ABCD inscribible en una circunferencia de modo que AB=20, BD=60, AD=50, siendo BC=CD. Dibujar un cuadrilátero inscriptible conociendo: AB=60; BC=50; B= 75º; y que las diagonales forman un ángulo de 75º Dibuja un cuadrilátero circunscriptible conociendo tres lados ( AB, BC, CD ) y el ángulo en A=60º. Dibuja un cuadrilátero inscriptible ABCD sabiendo los siguientes datos: Â=90º; AB=54; BD=68mm; AC=66mm. Dibujar un cuadrilátero inscriptible conociendo las dos diagonales y su ángulo, y el ángulo que forma una diagonal con un lado. E F G H G I J K A A A A Cuadriláteros (2) Inscribibles y circunscribibles

12 Dibuja un trapecio escaleno sabiendo las dimensiones de sus cuatro lados: AB=55, BC=20, CD=20, AD=30mm Dibuja un trapecio escaleno sabiendo las dimensiones de sus dos bases y de sus dos diagonales: AB=60, BD=50, CD=15, AC=45mm N O P Q R S T U V W T S X U Y O Z [ \ ] N Y Q ^ Z _ V S ` Z _ Y Q a X V U b V S _ T U V S Y O Z b U _ c [ \ d ] N e f g h \ ] e N [ e i g ^ _ Q ` O S j Z b S V [ ] e k g a a l m [ n f g g o p _ U X W O U a P T U q Construir un trapecio sabiendo que la diferencia de sus lados paralelos es BC-AD = 50 mm, siendo AB = 30, BD = 40 Y CD = 40 mm. [PAU2010]. Construir un trapecio sabiendo que sus lados paralelos cumplen la condición de BC = 2AD, que su altura es de 25 mm y que los lados AB y CD miden 30 y 40 mm respectivamente. [PAU2010]. Cuadriláteros (3) Trapecios escalenos

13 r L Dado el centro O de una circunferencia y una cuerda AB de la misma, representa el trapecio isósceles inscrito en la circunferencia, siendo su base mayor la cuerda AB, y sabiendo que las diagonales forman con ella un ángulo de 45º. Dibuja un trapecio isósceles dadas la base mayor AB=45mm, la base menor, CD=30mm y una diagonal d=55mm J Dibuja un trapecio isósceles dada la base mayor AB=45mm, la altura h=25mm y una diagonal d=40mm Dibuja un trapecio rectángulo de base AB=35mm, altura h=40mm y diagonal AC=47mm Dibuja un trapecio rectángulo ABCD conociendo su altura AD=40mm, la diagonal AC=47 y el ángulo C=120º + Cuadriláteros (4) Trapecios isósceles y rectángulos

14 L J K Dibuja un rectángulo sabiendo que la suma de sus lados es 120mm y que el ángulo que forman las diagonales es 120º. ] Z b _ W T Q O T Q b T Z a P Z ` U s g a a l ` U V S ` Z h Y Q ^ S _ ` O S j Z b S V U Q a U b t g g a a l m [ n f g g u p R Q b O Z q Construir un paralelogramo en el que dos de sus lados formen un ángulo de 60º y sumen 75 mm, siendo la diagonal menor de 40 mm. PAU 2008 (Modelo) l Dibuja un cuadrado de manera que los puntos A, B, C pertenezcan cada uno a un lado. / Cuadriláteros (5) Paralelogramos

15 } v y w w w { z v v w y w w z z Halla el homólogo de B en la homología definida por el centro de homología V, el eje de homología e y un par de puntos homólogos A, A'. Idem. v w x w x Halla el centro de homología conociendo las rectas homólogas s y s' y los puntos homólogos A,A' y M,M'. Halla la figura homóloga del triángulo dado. w x x w x Halla la figura homóloga del triángulo dado. De una homología se conocen las rectas r=r', s y s', y un par de puntos homólogos A y A'. Halla el eje y el centro de homología. w x w x ~ ~ x Homología (1) 5

16 y w w w y 2 Halla la figura homóloga del triángulo A,B,C, conociendo eje, centro de homología y una pareja de puntos homólogos A y A'. w x z ƒ z Halla el punto homólogo del C, conociendo un par de segmentos homólogos AB y A'B' y un punto doble M. x y x Dada la homología de la que se conoce el vértice V, el eje y una recta r y su homóloga r', halla la posición de las rectas límite. 2 Homología (2) 6

17 Š Œ Ž Definida una homología por el centro V, el eje e y el par de puntos homólogos A y A', se pide: 1. Determinar la figura homóloga del triángulo ABC. 2. Hallar el circuncentro M del triángulo ABC. 3. Hallar el punto homólogo del circuncentro M. Ž De la homología de centro V, se conocen los pares de puntos homólogos O,O' y A,A', y el punto doble M=M'. Se pide hallar la figura homóloga A'B'C'D'E'F' del hexágono ABCDE sabiendo que A es un vértice del hexágono y O el centro de su circunferencia circunscrita. ˆ ˆ Š Se define una homología por los pares de puntos homólogos AA' y OO' y por el punto doble MM', y un hexágono regular ABCDEF del que se conoce su vértice A y el centro de la circunferencia circunscrita O. Se pide: a) Dibujar el hexágono. b) Hallar el centro y el eje de la homología. c) Trazar la figura homóloga del hexágono. Homología (3) ;

18 œ Halla el punto afín de B conociendo el eje y un par de puntos afines A y A'. Determina la figura afín al polígono ABCD, conocidos el punto afín A y el eje de afinidad. Indica la dirección de afinidad d. š Halla la figura afín del triángulo ABC, conociendo el eje y un punto A' afin del A. Definida una afinidad ortogonal por el eje y un par de puntos afines A y A',representa los ejes de la cónica afin de la circunferencia dada y dibuja la cónica. Halla la elipse afín de la circunferencia dada, sabiendo que la dirección de afinidad es ortogonal al eje. Obtén los ejes de la elipse y unos ejes conjugados con ellos antes de trazar la elipse. š Afinidad (1) ž Ÿ

19 Halla los ejes principales de la elipse afín de la circunferencia de centro O, conociendo el eje e y el homólogo O' de dicho centro. Realiza una afinidad que transforme el rectángulo dado en un cuadrado, siendo el eje de la afinidad e. Completa la representación del hexágono ABCDEF, del que se conocen los puntos A, B y C, y del que se sabe que es transformado por afinidad de un hexágono regular. PAU. Afinidad (2) ž

20 «² En la inversión de centro O y potencia K, halla el inverso de los puntos A y B. En la inversión determinada por su centro O y el par de puntos A, A', halla el inverso de B. ² e Halla la figura inversa del arco PQ sabiendo la posición del centro de inversión O y el inverso de P, que es P'. El punto [ ± es inverso de si mismo en una inversión de centro O. Halla la figura inversa de la circunferencia c. «³ Traza la figura inversa de la dada sabiendo que O es el centro de la inversión y A y B puntos dobles. El punto C es el centro de la circunferencia que pasa por O, A, C1 y B, el punto C1 es el centro del arco ACB. Dibuja la circunferencia inversa de la dada siendo A y A' un par de puntos inversos. ª Inversión (1) ž ž

21 ½ ¹ Halla la figura inversa de la circunferencia de centro P, conociendo el centro de inversión O y la pareja de puntos inversos, A,A'. Dibuja la circunferencia de puntos dobles. Determina la figura inversa de la dada en una inversión de centro O tal que clc' (la circunferencia es autoinversa): º µ Determina la figura inversa de la ABCA en una inversión de centro O tal que CLC' L ½ ¾ En una inversión de centro O y potencia positiva OPxOQ, hallar el inverso del arco AB (dos métodos).» ¼» ¼ Inversión (2) ž À

22 Ê È Å Â Dibuja la circunferencia de puntos dobles de la inversión que transforma la recta r en la circunferencia de centro PÉ Á Halla la figura inversa de la dada sabiendo que A y A' son puntos inversos de centro O. Å Æ Ç Obtén la figura inversa del cuadrado en cada caso. ÃÄ Inversión (3) Ë Ì

23 Ê È Ï Ð Halla la inversa de la figura dada siendo O el centro de inversión y Ñ [ Ò un punto doble. Halla la figura inversa de la dada en una inversión de centro O de la que se conoce la circunferencia de puntos dobles. Í Î Hallar la figura inversa de la circunferencia v si la circunferencia u se invierte en si misma. Inversión (4) Ë Ó

24 Ê È Ö Ô Ô Õ Ô ³ [R,r,P] Dibuja una circunferencia de 22mm de radio tangente a la recta r y que pase por el punto N. [R,r,c] Dibuja una circunferencia de radio 16mm tangente a la recta r y a la circunferencia c. Determina los puntos de tangencia. Dibuja las circunferencias de radio 22mm tangentes a la circunferencia c dada y que pasan por el punto P Cuántas soluciones hay? Idem. Determina las circunferencias tangentes a la circunferencia c que pasan por A y por B. PAU. ³ Ë Tangencias (1) Circunferencias dando el radio

25 Õ È Ù Ú Û Ö Ê Halla las tangentes interiores a las dos circunferencias dadas y las tangentes exteriores desde P a la circunferencia pequeña. Ø Construir un hexágono regular de lado 35mm e inscribir en él seis circunferencias iguales, tangentes entre sí y tangentes a los lados del polígono. Halla el lugar o lugares geométricos de los centros de las circunferencias tangentes a las dos dadas. Dibuja todas las circunferencias situadas entre las dos circunferencias y tangentes entre si. Indica los puntos de tangencia. Conocidos los puntos A,B y C, trazar las circunferencias de centros respectivos en estos puntos y tangentes entre si. Explicación razonada (PAU Septiembre 2000). Determinar desde qué punto son iguales los segmentos tangentes a las tres circunferencias dadas. PAU. Tangencias (2) Ü Ý

26 È ëì ø Dibuja la figura dada a escala 1:1. Las cotas están dadas en b ` O Y S V Z _ milímetros. ù Y U b W T Z _ ^ V Z _ X Q b W Z _ ` U W S b j U b Y O S l á â ã ä ä ä ä ä ä Þ ßà é ê å å å å å å æ ç è í î ï ñ ò ó ô õö ð ê Tangencias (3) Aplicación enlaces Ü ú

27 Ö Ê È û ý û Õ ý ü û [r,p,p] Dibuja una circunferencia que pase por A y por B y sea tangente a la recta r, siendo AB paralelo a r. [r,p,p] Dibuja una circunferencia que sea tangente a la recta r en el punto T y que pase por el punto A. [r,r,p] Dibuja la circunferencia tangente a las dos rectas r y s de la figura, conociendo el punto de tangencia T sobre una de ellas. [r,r,r] Halla las circunferencias tangentes a las rectas r,s y t en el siguiente caso: [r,r,r] Halla las circunferencias tangentes a las rectas r,s y t en el siguiente caso: ü Tangencias (4) Soluciones por l.g. Ü Ë

28 Ö Ê È ý ü Õ û ÿ ³ [r,c,p] Traza la circunferencia tangente a la recta y a la circunferencia de la figura conociendo el punto de tangencia en esta última. Dibuja el enlace de la recta r con la circunferencia c sabiendo el punto de tangencia en r (punto A) y que la circunferencia de enlace ha de ser tangente a la recta s. croquis: Determina la circunferencia tangente a la recta t que pasa por el punto R y tiene su centro en r. Explica razonadamente el fundamento de la construcción empleada. PAU. Representa la arandela cuya circunferencia exterior es tangente a la recta t y la interior, de 10 mm menos de radio, pasa por los puntos A y B. PAU. [r,r,c] Determina las circunferencias tangentes a las rectas r y s y a la circunferencia c. PAU. þ Tangencias (5) Soluciones por l.g. Ü Ü

29 þ Ê È þ ÿ Dibuja el enlace de las rectas r y s con las circunferencias dadas. En el primer caso el enlace ha de realizarse mediante un arco de circunferencia de radio 15mm. En el segundo caso, la circunferencia de enlace ha de ser tangente a la circunferencia de centro O' en el punto P. Indica los centros de los arcos y los puntos de tangencia hallados. Esquema orientativo: [ p,r,c ] ÿ Se pide enlazar los dos arcos dados (de centros O1 y O2) mediante un tercer arco de radio R=20mm. Indicar su centro y los puntos de tangencia. ª Reproduce el diseño del esquema adjunto sabiendo que enlaza a la circunferencia de centro O y a las rectas r1 y r2, mediante arcos de circunferencia con puntos de tangencia T1 y T2. [ p,r,c ] ª ª ª Tangencias (6) Dilatación y l.g. Ü Ì

30 È Ê Ù Dibuja las circunferencias tangentes a la circunferencia c y a la recta r en el punto T. [ p,r,c ] Obtener la circunferencia de menor radio posible que sea tangente a las circunferencias c1 y c2, de igual radio, y a la recta t, siendo esta última paralela a la que une los centros de ambas circunferencias. PAU Junio ª Dibuja una circunferencia tangente a las circunferencias dadas, conociendo el punto A de tangencia en una de ellas. Tangencias (7) Dilatación y l.g. Ü Ó

31 Ê È * + Ú * + Dibuja las circunferencias que pasan por el punto B y son tangentes a las rectas r y s [ p,r,r ] Dibuja las circunferencias tangentes por el exterior a la circunferencia dada y a las rectas r y s. [ r,r,c ], -! " # $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $! % & '! ( & ) ª Ü. Tangencias (8) Homotecia y dilatación

32 Ê È * 1 / Ú 2 0 Ú Ù Dibuja las circunferencias que pasan por los puntos A y B y son tangentes a la recta r. [ p,p,r ] Ù Dibuja las circunferencias que pasan por los puntos A y B y son tangentes a la circunferencia c. [ p,p,c ] Halla, aplicando potencia, las circunferencias que pasan por el punto B y son tangentes a las rectas r y s. [ p,r,r ] Ü 3 Tangencias (9) Potencia

33 È < 5 Trazar las circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas, c1 y c2, conocido el punto de tangencia T sobre c1. (Obtener puntos de tangencia y centros de circunferencias). [ p,c,c (con p en una de las circunf.)] > = Determinar las circunferencias tangentes a la circunferencia dada, c, y a la recta r en el punto T. [ p,r,c (con p sobre r)] 8 9 : ; Determinar las circunferencias tangentes a la circunferencia c dada, que pasan por los puntos A y B Exponer razonadamente el fundamento de la construcción empleada. [ PAU ] [ p,p,c ] Ü? Tangencias (10) Potencia

34 D C B E 1 È Dibuja las circunferencias de centro r tangentes a la dada y que pasan por el punto P. PAU A Dada la circunferencia de centro C y el punto P de la recta r, hallar las circunferencias tangentes a la dada y a la recta en el punto P. PAU Ü Tangencias (11) Potencia

35 È / F * Ù / Obtén una circunferencia tangente a las dos dadas y que pase por A. Ù Dibuja una circunferencia que pase por el punto A y sea tangente a la recta r y a la circunferencia c. Tangencias (12) Inversión Ì Ý