Prof. Jesús Olivar. Resumen de Cálculo II ING. PETRÓLEO

Transcripción

1 Prof. Jsús Olivar Rsumn d Cálculo II ING. PETRÓLEO.- FUNCIÓN PRIMITIVA. INTEGRAL INDEFINIDA. La intgración s la opración invrsa d la drivación. Dada una función f, dirmos qu F s una primitiva suya si F =f. Nota: La primitiva d una función no s única; por jmplo, si f=, ntoncs F =, F = +,...tc, son primitivas d f. Propidad: Si F y F son primitivas d una misma función f, ntoncs s difrncian n una constant; o sa, F -F =ct. Dmostración: F ' F ' f F ' F ' 0 F ' F ' 0 F F ct F F ct Pus bin, acabamos d vr qu si una función f tin una función primitiva F, ntoncs admit infinitas primitivas, cuyas prsions srán F+K, sindo K una constant arbitraria. Al conjunto d todas las primitivas d f, s l llama intgral indfinida d f y s l dnota mdiant. f d. Por jmplo: d K, sindo K una constant arbitraria. Si ist la intgral indfinida d una función, s dic qu ésta s intgrabl..- PROPIEDADES DE LA INTEGRACIÓN. Las dos propidads más importants d la intgración son las siguints: La intgral d la suma difrncia d dos funcions s igual a la suma difrncia d las intgrals d dichas funcions. O sa, f g d f d g d. Dmostración: Por un lado f g d ' f g. f d g d ' f d ' g d ' f g csqd. Por otro lado,. Igual s dmustra con la difrncia. La intgral dl producto d un númro por una función s igual al producto dl númro por la intgral d dicha función. O sa, a f d a f d. Dmostración: Análoga a la antrior. La utilización d stas dos propidads constituy l llamado método d dscomposición n l qu como principio convin dscomponr l intgrando lo más posibl, aplicando las propidads antriors; a vcs, convin hacr un hábil manjo d constants, sumar y rstar una misma cantidad ó multiplicar y dividir por un mismo númro. Ejmplo: 7 d d 7 d d 7 d 7 ln K

2 Prof. Jsús Olivar Rsumn d Cálculo II ING. PETRÓLEO.- CUADRO DE INTEGRALES INMEDIATAS. TIPOS FORMAS Simpls. Potncial n- n n d K n. Logarítmico d ln K d K. Eponncial a a d K ln a. Sno sn d cos K. Cosno cos d sn K 6. Tangnt tand ln sc K 7. Cotangnt cot and ln sn K 8. Scant sc d tan K 9. Coscant cosc d cot an K 0. Arco sno d arc sn K. Arco tangnt d arc tan K. Arco scant d arc sc K Compustas Aunqu no son inmdiatas, hay algunas qu aparcn con mucha frcuncia y convin sabr. Son las siguints: m n d, d a a b c a b d c Ejmplos: d d d d atan K.

3 Prof. Jsús Olivar Rsumn d Cálculo II ING. PETRÓLEO d d d atan K d 8 8 d d d d tipo npriano tipo arcotangnt.- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE. Est método s una conscuncia d la drivación d funcions compustas. Como su nombr indica, s trata d sustituir la variabl por otra variabl t mdiant una nuva función g tal qu =gt, para transformar l intgrando fd n otro más sncillo. D sta manra, d=g tdt, con lo qu qudaría qu f d f g t g' t dt. En la práctica s sul hacr d la siguint manra: S hac t=ut, d dond dt=u d y s dspjan a continuación y d, sustituyéndolos n l intgrando. Si l cambio d variabl ha sido bin lgido, la última prsión srá más fácil d intgrar qu la primra. Una vz calculada ésta, s dshac l cambio y tndrmos así la intgral pdida. Cuándo s aconsjabl utilizar st método? a Cuando aparzca n l intgrando un producto o un cocint d funcions d modo qu una d llas rcurda a la drivada d la otra. Ejmplo: sn d. Hacmos l cambio +=t y nos qudaría +d=dt. Entoncs sn d sn d sn t dt cos K cost K b Cuando l intgrando guarda cirto parcido con una intgral inmdiata. Ejmplo: 9 d Esta intgral guarda cirto parcido con d qu s inmdiata. Dividindo n nustra intgral numrador y dnominador por 9 nos quda: 9 d * 9 d 9 d 9 9

4 Prof. Jsús Olivar Rsumn d Cálculo II ING. PETRÓLEO Ahora hacmos l cambio d variabl t d dt d dt, con lo qu * dt dt dt arctan t K arc tan K t 9 9 t 8 t 6 6 c En algunos casos s ncsario comnzar ralizando una transformación prvia para dspués aplicar un cambio d variabl. Ejmplo: d. d d d d d arc sn * En la sgunda intgral *, hacmos l cambio d variabl - =t, con lo qu d=dt y dt dt ntoncs * d t K K. t t Por lo tanto, d arc sn K..- INTEGRACIÓN POR PARTES. Est método s basa n la drivada d un producto d funcions. San u y v dos funcions d una misma variabl indpndint. Entoncs d u v u dv v du u dv d u v v du u dv u v v du Esta fórmula rduc l cálculo d la intgral u dv al d v du. Cuándo s convnint mplar st método? v a Cuando aparzca un producto o un cocint d funcions d modo qu ninguna d las drivadas d stas funcions rcurd a la otra. Ejmplo: d Llamamos u= y dv= d con lo qu du= d y Lugo d udv uv vdu v. d d * * d. En ** volvmos a hacr u= y dv= d con lo qu du=d y d. ** ** d K

5 Prof. Jsús Olivar Rsumn d Cálculo II ING. PETRÓLEO Rsumindo, d K K b A vcs, l procdiminto d intgración por parts nos conduc a la misma intgral dl principio, como n l jrcicio siguint: Ejmplo: cos d Llamamos u=cos y dv= d con lo qu du=-sn d y cos d cos sn d v. cos d sn d Lugo * En * volvmos a hacr u=sn y dv= d con lo qu du=cos d y v d. * Entoncs, cos d cos d sn cos d cos cos sn sn K cos d cos d cos c A vcs, s ncsario combinar l método d intgración por parts con otro. sn K 6.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES. Las funcions racionals son d la forma P f dond P y Q son Q funcions polinómicas y stán dfinidas n todos los puntos d R mnos n aqullos dond s anula l dnominador. Nota important: Las intgrals d muchas funcions racionals pudn calculars dirctamnt; por so, hay qu comprobar primro si l intgrando prtnc a alguno d stos tipos: a Forma potncial b Forma npriana c Forma arco tangnt d Forma npriano-arco tangnt vistos con antrioridad. Si no corrspond a ninguno d stos tipos, lo qu harmos srá transformar nustra función racional n una suma d fraccions qu tinn por dnominador polinomios d primr o sgundo grado irrducibls dscomposición n fraccions simpls. Estudiarmos solamnt l caso n l qu todas las raícs dl dnominador san rals pusto qu s l único caso qu ign n Slctividad. El squma d dscomposición n fraccions simpls s l siguint:

6 Prof. Jsús Olivar Rsumn d Cálculo II ING. PETRÓLEO tripl linal factor p R p Q p P dobl linal factor m N m M simpls linals factors c C b B a A Q P Para la dtrminación d las constants A, B, C,...,M, N,...,P, Q,... s hac lo siguint: a S multiplica la igualdad antrior por Q, obtniéndos la igualdad polinómica P=... b S dan valors numéricos n ambos mimbros, tantos como constants haya qu dtrminar. Por comodidad s utilizan las raícs obtniéndos un sistma d cuacions. c S rsulv l sistma y las solucions obtnidas s sustituyn n las fraccions simpls. Ejmplo: Vamos a dscomponr n fraccions simpls la función racional f El dnominador s dscompon como + -. Entoncs podrmos dscomponr como Multiplicando la igualdad antrior por + - rsulta +=A- +B++C+- Dando valors: Para = tnmos 8=BB= Para =- tnmos =AA=/ Para =0 por jmplo tnmos =A+B-CC=-/ Entoncs tnmos qu:. Los factors simpls así obtnidos son fácilmnt intgrabls, pus srán d la forma potncial ó npriana. En nustro caso K d d d d ln ln C B A f