Tema 5: Movimiento Armónico Simple.

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1 Tema 5: Movimiento Armónico Simple. 5.1 Oscilaciones y vibraciones Movimientos periódicos de vaivén alrededor de la posición de equilibrio. Oscilaciones (amplitud apreciable) y vibraciones (amplitud inapreciable) Proyección sobre uno de los diámetros de un movimiento circular uniforme. 5.2 Movimiento vibratorio armónico o Movimiento Armónico Simple: M.A.S. Magnitudes características de un m.a.s.: Amplitud, periodo, frecuencia, pulsación, estado de vibración, fase y fase inicial Estudio cinemático: Ecuación característica de un m.a.s.: Posición, velocidad y aceleración. Relaciones entre ellas. Ecuación del movimiento y condiciones iníciales. Casos particulares Estudio dinámico: Fuerza necesaria para un m.a.s.: Ley de Hooke. Constante recuperadora, masa y pulsación Estudio energético: Energía cinética, energía potencial y energía mecánica o total. Conservación de la energía. Diagrama energético 5.3 Oscilaciones amortiguadas, oscilaciones forzadas y resonancia Prof. José Moreno Sánchez Movimiento armónico simple.- 1

2 M.A.S. : CUESTIONES Y PROBLEMAS 1. Si se duplica la energía mecánica de un oscilador armónico, explique qué efecto tiene: a) en la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones b) en la velocidad y el período de oscilación. (Madrid junio 1998) 2. Un punto material está animado de un movimiento armónico simple a lo largo del eje X, alrededor de su posición de equilibrio en x = 0. En el instante t = 0, el punto material está situado en x = 0 y se desplaza en el sentido negativo del eje X con una velocidad de 40 cm s -1. La frecuencia del movimiento es de 5 Hz. a) Determine la posición en función del tiempo. b) Calcule la posición y la velocidad en el instante t = 5 s. (Madrid junio 1998) 3. Una partícula realiza un movimiento armónico simple con una amplitud de 8 cm y un período de 4 s. Sabiendo que en el instante inicial la partícula se encuentra en la posición de elongación máxima: a) Determine la posición de la partícula en función del tiempo. b) Cuáles son los valores de la velocidad y de la aceleración 5 s después de que la partícula pase por un extremo de la trayectoria? (Madrid septiembre 1998) 4. Una masa m oscila en el extremo de un resorte vertical con una frecuencia de 1 Hz y una amplitud de 5 cm. Cuando se añade otra masa de 300 g, la frecuencia de oscilación es de 0,5 Hz. Determine: a) el valor de la masa m y de la constante recuperadora del muelle. b) el valor de la amplitud de oscilación en el segundo caso si la energía mecánica del sistema es la misma en ambos casos. (Madrid septiembre 1999) 5. Un oscilador armónico constituido por un muelle de masa despreciable, y una masa en el extremo de valor 40 g, tiene un período de oscilación de 2 s. a) Cuál debe ser la masa de un segundo oscilador, construido con un muelle idéntico al primero, para que la frecuencia de oscilación se duplique? b) Si la amplitud de las oscilaciones en ambos osciladores es 10 cm, cuánto vale en cada caso, la máxima energía potencial del oscilador y la máxima velocidad alcanzada por su masa? (Madrid septiembre 2000) 6. Un muelle cuya constante de elasticidad es k está unido a una masa puntual de valor m. Separando la masa de la posición de equilibrio el sistema comienza a oscilar. Determine: a) El valor del período de las oscilaciones T y su frecuencia angular. b) Las expresiones de las energías cinética, potencial y total en función de la amplitud y de la elongación del movimiento del sistema oscilante. (Madrid junio 2001) 7. Una partícula efectúa un movimiento armónico simple cuyo período es igual a 1 s. Sabiendo que en el instante t = 0 su elongación es 0,70 cm y su velocidad 4,39 cm/s, calcule: a) La amplitud y la fase inicial. b) La máxima aceleración de la partícula. (Madrid septiembre 2001) 8. Una masa de 2 kg está unida a un muelle horizontal cuya constante recuperadora es k = 10 N/m. El muelle se comprime 5 cm desde la posición de equilibrio (x=0) y se deja en libertad. Determine: a) La expresión de la posición de la masa en función del tiempo, x = x(t). b) Los módulos de la velocidad y de la aceleración de la masa en un punto situado a 2 cm de la posición de equilibrio. c) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra en los extremos de la trayectoria. d) La energía mecánica del sistema oscilante. Nota: Considere que los desplazamientos respecto a la posición de equilibrio son positivos cuando el muelle está estirado. (Madrid junio 2002) 9. Un bloque de 50 g, conectado a un muelle de constante elástica 35 N/m, oscila en una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 4 cm. Cuando el bloque se encuentra a 1 cm de su posición de equilibrio, calcule: a) La fuerza ejercida sobre el bloque. b) La aceleración del bloque. c) La energía potencial elástica del bloque. d) La velocidad del bloque. (Madrid junio 2003) 10. a) Al colgar una masa en el extremo de un muelle en posición vertical, éste se desplaza 5 cm; de qué magnitudes del sistema depende la relación entre dicho desplazamiento y la aceleración de la gravedad?; b) Calcule el periodo de oscilación del sistema muelle-masa anterior si se deja oscilar en posición horizontal (sin rozamiento). Dato: g = 9,81 m s -2. Madrid junio 2004 Prof. José Moreno Sánchez Movimiento armónico simple.- 2

3 11. Se tienen dos muelles de constantes elásticas k l y k 2 en cuyos extremos se disponen dos masas m 1 y m 2 respectivamente, y tal que m l < m 2. Al oscilar, las fuerzas que actúan sobre cada una de estas masas en función de la elongación aparecen representadas en la figura. a) Cuál es el muelle de mayor constante elástica? b) Cuál de estas masas tendrá mayor período de oscilación? Madrid septiembre Una masa puntual de 150 g unida a un muelle horizontal de constante elástica k = 65 N/m constituye un oscilador armónico. Si la amplitud de la oscilación es de 5 cm, determine: a) La expresión de la velocidad de oscilación de la masa en función de la elongación. b) la energía potencial elástica del sistema cuando la velocidad de oscilación es nula. c) La energía cinética del sistema cuando la velocidad de oscilación es máxima. d) d) La energía cinética y la energía potencial elástica del sistema cuando el módulo de la aceleración de la masa es igual a 13 m/s 2. Madrid junio_ Una partícula que describe un movimiento armónico simple recorre una distancia de 16 cm en cada ciclo de su movimiento y su aceleración máxima es de 48 m/s 2. Calcule: a) la frecuencia y el periodo del movimiento; b) la velocidad máxima de la partícula. Madrid sep Un objeto de 2,5 kg está unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento armónico simple sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz. Determine: a) El periodo del movimiento y la constante elástica del muelle; b) La velocidad máxima y la aceleración máxima del objeto. Madrid junio Un cuerpo de masa m está suspendido de un muelle de constante elástica k. Se tira verticalmente del cuerpo desplazando éste una distancia X respecto de su posición de equilibrio, y se le deja oscilar libremente. Si en las mismas condiciones del caso anterior el desplazamiento hubiese sido 2X, deduzca la relación que existe, en ambos casos, entre: a) las velocidades máximas del cuerpo; b) las energías mecánicas del sistema oscilante. Madrid junio_ Una partícula que realiza un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud tarda 2 s en efectuar ua oscilación completa. Si en el instante t = 0 su velocidad es nula y su elongación positiva, determine: b) La velocidad y la aceleración de oscilación en el instante t = 0,25 s. Madrid sep _ Una partícula de 0,1 kg de masa se mueve en el eje X describiendo un movimiento armónico simple. La partícula tiene velocidad cero en los puntos de coordenadas x = 10 cm y x = 10 cm y en el instante t = 0 se encuentra en el punto x = 10 cm. Si el periodo de las oscilaciones es de 1,5 s, determine: a) La fuerza que actúa sobre la partícula en el instante inicial. b) La energía mecánica de la partícula c) La velocidad máxima de la partícula d) La expresión matemática de la posición de la partícula en función del tiempo. Madrid junio Una partícula realiza un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud y tarda 2 s en efectuar una oscilación completa. Si en el instante t = 0 su velocidad es nula y la elongación positiva, determine: b) La velocidad y la aceleración de oscilación en el instante t = 0,25 s. Madrid septiembre Una partícula que realiza un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud tarda 2 s en efectuar una oscilación completa. Si en el instante t = 0 su velocidad era nula y la elongación positiva, determine: b) La velocidad y la aceleración de oscilación en el instante t = 0,25 s. Madrid septiembre G Una partícula realiza un movimiento armónico simple. Si la frecuencia de oscilación se reduce a la mitad manteniendo constante la amplitud de oscilación, explique qué ocurre con: a) el periodo; b) la velocidad máxima; c) la aceleración máxima y d) la energía mecánica de la partícula. Madrid junio F x 2 1 Prof. José Moreno Sánchez Movimiento armónico simple.- 3

4 AUTOEVALUACIÓN 1. Un cuerpo que oscila armónicamente tarda 2 segundos en ir de un extremo al otro de su trayectoria, que están distanciados 0,4 m. Determinar el período, la frecuencia y la amplitud de este movimiento. Sol.: T = 4 s, f = 0,25 Hz, A = 0,2 m. 2. Un cuerpo realiza un m.a.s. de amplitud 5 cm y frecuencia 0,2 Hz. Justifica razonadamente la certeza de las siguientes afirmaciones: a) El cuerpo tarda 5 segundos en ir de un extremo al otro de su trayectoria. b) Cuando el cuerpo se encuentra a 5 cm de la posición de equilibrio su velocidad es nula. c) La fuerza que actúa el cuerpo cuando está a 5 cm de la posición de equilibrio es nula. d) El cuerpo realiza 12 oscilaciones en 1 minuto. Sol.: a) falso; b) cierto; c) falso; d) cierto 3. Un cuerpo que oscila armónicamente realiza 2 oscilaciones cada segundo. En el instante inicial, t = 0, pasa por la posición de equilibrio, que coincide con el origen de coordenadas, con velocidad v 0 = +2,5 m/s. Calcula: a) la amplitud y el periodo de las oscilaciones; b) la ecuación del movimiento; c) posición, velocidad y aceleración del cuerpo para t = 0,25 s. Sol.: a) A = 0,2 m, T = 0,5 s; b) x = 0,2 sen(4 t) m; c) x = 0, v = 2,5 m/s; a = 0 4. Un cuerpo de 100 g realiza un movimiento armónico simple a lo largo del eje X de acuerdo con la gráfica de la figura. Calcular: +8 a) la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones b) la ecuación del movimiento c) la aceleración máxima del cuerpo 4 8 t (s) 10 Sol.: a) A = 8 cm, f = 0,125 Hz; b) x = 0,08 cos( t/4) m ; c) 0,05 m/s Un cuerpo de 0,2 kg suspendido del techo mediante una cuerda inextensible de 2,23 m de longitud se separa 5 cm de la vertical y oscila como un péndulo simple con un período de 3 segundos. Determinar: a) el valor de la gravedad en ese lugar; b) la máxima velocidad que adquiere ese cuerpo; c) el nuevo valor del período si reducimos a la mitad la amplitud de las oscilaciones; d) el valor del período si alargamos 1 m la longitud de la cuerda? Sol.: a) g = 9,78 m/s 2 ; b) 0,1 m/s; c) no varía; d) T = 3,6 s. 6. Un oscilador armónico de masa 0,5 kg y constante elástica 450 N/m tiene una energía mecánica de 36 J. Determinar: a) el período y la amplitud de las oscilaciones que realiza el cuerpo; b) la velocidad máxima del oscilador; c) la velocidad del cuerpo para x = 20 cm; d) en qué puntos la energía potencial vale lo mismo que la energía cinética. Sol.: a) A = 0,4 m, T = 0,21 s; b) 12 m/s; c) 10,4 m/s; d) x = 28 cm. 7. La velocidad máxima de un oscilador armónico de masa 0,2 kg y constante elástica 80 N/m es de 10 m/s. Determinar: a) la amplitud y el período de las oscilaciones; b) la energía mecánica del oscilador para t = 2 s; c) las energías cinética y potencial del oscilador en el punto x = 0,25 cm; d) la velocidad y la aceleración del cuerpo en ese punto. Sol.: a) A = 0,5 m T = 0,3 s; b) 10 J; c) Ec = 7,5 J, Ep = 2,5 J, v = 8,7 m/s. 8. Un cuerpo de masa 100 g unido a un muelle elástico, realiza un m.a.s. y tarda 0,25 segundos en ir de un extremo al otro de su trayectoria que están separados 20 cm. Determinar: a) la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones que realiza el cuerpo; b) la constante elástica del muelle; c) la energía mecánica de este oscilador; d) las posiciones donde la energía mecánica es igual a la energía potencial; e) la velocidad del cuerpo cuando está a 5 cm de un extremo; f) la relación entre las energías cinética, potencial y mecánica cuando el cuerpo está a 5 cm de la posición de equilibrio. Sol.: a) A = 0,10 m, f = 2 Hz; b) k = 15,8 N/m; c) E = 79 mj; d) x = 7 cm; e) v = 1,1 m/s; f) Ep = ¼ Em; Ec = ¾ Em x(cm) Prof. José Moreno Sánchez Movimiento armónico simple.- 4

5 FÍSICA I.E.S. Juan Gris Grupo: Calificación Alumno/a: H5: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Fecha de entrega: Ejercicios para entregar 1. Un sistema masa-muelle está formado por un bloque de 0,75 kg de masa, que se apoya sobre una superficie horizontal sin rozamiento, unido a un muelle de constante recuperadora K. Si el bloque se separa 20 cm de la posición de equilibrio, y se le deja libre desde el reposo, éste empieza a oscilar de tal modo que se producen 10 oscilaciones en 60 s. determine: a) La constante recuperadora K del muelle; b) La expresión matemática que representa el movimiento del bloque en función del tiempo; c) La velocidad y la posición del bloque a los 30 s de empezar a oscilar; d) los valores máximos de la energía potencial y de la energía cinética alcanzados en este sistema oscilante. Madrid junio La gráfica muestra el desplazamiento horizontal x = x(t) respecto del equilibrio de una masa de 0,5 kg unida a un muelle. +4,5 x(cm) a) Obtenga la constante elástica del muelle. b) Determine las energías cinética y potencial del sistema en el instante t = 0,25 s. Madrid C_ junio_2010 4,5 0,2 0,4 t (s) 3. Un sistema elástico, constituido por un cuerpo de masa 200 g unido a un muelle, realiza un movimiento armónico simple con un periodo de 0,25 s. Si la energía total del sistema es 8 J. a) Cuál es la constante elástica del muelle?; b) Cuál es la amplitud del movimiento? Madrid modelo Se tiene una masa m = 1 kg situada sobre un plano horizontal sin rozamiento unida a un muelle, de masa despreciable, fijo por su otro extremo a la pared. Para mantener estirado el muelle una longitud x = 3 cm, respecto de su posición de equilibrio, se requiere una fuerza de F = 6 N. Si se deja el sistema masamuelle en libertad: a) Cuál es el periodo de oscilación de la masa? b) Determine el trabajo realizado por el muelle desde la posición inicial, x = 3 cm, hasta su posición de equilibrio, x = 0. c) Cuál será el módulo de la velocidad de la masa cuando se encuentre a 1 cm de su posición de equilibrio? d) Si el muelle se hubiese estirado inicialmente 5 cm, cuál sería su frecuencia de oscilación? Madrid junio 2011 Prof. José Moreno Sánchez Movimiento armónico simple.- 5