5. [2012] [EXT-A] Se estima que el beneficio anual B(t), en %, que produce cierta inversión viene determinado por el tiempo t en

Transcripción

1 . [204] [ET-A] Dada la función f(x) = x2-8x+6 x 2-8x+5 a) Su dominio y puntos de corte con los ejes. -x+5, 0 x 2. [204] [JUN-A] En una sesión, el valor de cierta acción, en euros, vino dado por la función: f(x) = x 2-8x+26, < x 6, donde 2x+2, 6 < x 8 x representa el tiempo, en horas, transcurrido desde el inicio de la sesión. Se pide: a) Estudiar la continuidad de f(x). b) Calcular el valor máximo y el mínimo que alcanzó la acción. c) En qué momentos convino comprar y vender para maximizar el beneficio? Cuál hubiera sido este?. [20] [ET-A] Una cadena de montaje está especializada en la producción de cierto modelo de motocicleta. Los costes de producción en euros, C(x) están relacionados con el número de motocicletas fabricadas, x, mediante la siguiente expresión: C(x) = 0x x Si el precio de venta de cada motocicleta es de 8000 euros y se venden todas las motocicletas fabricadas a) Definir la función de ingresos que obtiene la cadena de montaje en función de las ventas de las motocicletas producidas. b) Cuál es la función que expresa los beneficios de la cadena de montaje? c) Cuántas motocicletas debe fabricar para maximizar beneficios? A cuánto ascenderán estos beneficios? 4. [20] [JUN-A] Dada la función f(x) = -x2 +4x-4 x 2-4x+ a) Su dominio y puntos de corte con los eje coordenados. b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales, si las hay. 5. [202] [ET-A] Se estima que el beneficio anual B(t), en %, que produce cierta inversión viene determinado por el tiempo t en 6t meses que se mantiene dicha inversión a través de la siguiente expresión: B(t) = +, t 0. t a) Describe la evolución del beneficio en función del tiempo durante los primeros 0 meses. b) Calcula razonadamente cuánto tiempo debe mantenerse dicha inversión para que el beneficio sea máximo. Cuál es el beneficio máximo? c) Cuál sería el beneficio de dicha inversión si ésta se mantuviera en el tiempo de forma indefinida? 6. [202] [ET-B] Sea la función f (x) = (x 2 +x) 2. Se pide: b) Las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales, si las hay. c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Los máximos y mínimos locales. e) La representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores. 7. [202] [JUN-A] Dibuja la gráfica de la función y = f(x) sabiendo que: a) Está definida para todos los valores de x salvo para x =, siendo la recta x = la única asíntota vertical. b) La recta y = es la única asíntota horizontal. c) El único punto de corte con los ejes es el (0,0). d) La derivada de la función y = f(x) sólo se anula en x = /2. 7 de julio de 205 Página de 7

2 e) f'(x) < 0 en el conjunto ]-8,[ ],/2[. f) f'(x) > 0 en el intervalo ]/+8[. g) f(/2) = /2. 8. [202] [JUN-B] Una empresa dispone de 5 comerciales que proporcionan unos ingresos por ventas de 5750 euros mensuales cada uno. Se calcula que por cada nuevo comercial que contrate la empresa los ingresos de cada uno disminuyen en 250 euros. Calcula: a) Los ingresos mensuales de la empresa proporcionados por los 5 comerciales. b) La función que determina los ingresos mensuales que se obtendrían si se contrataran x comerciales más. c) El número total de comerciales que debe tener la empresa para que los ingresos por este medio sean máximos. d) Los ingresos máximos. 9. [20] [ET-A] Dada la función f(x) = x+2 x 2 - a) Su dominio y punto de corte con los eje coordenados. e) Representación gráfica a partir de los apartados anteriores. 0. [20] [ET-B] Un ganadero ordeña una vaca desde el día siguiente al día que esta pare hasta 00 días después del parto. La producción diaria en litros de leche que obtiene de dicha vaca viene dada por la función: f(x) = 20x-x2 +40, donde x representa 5000 el número de días transcurridos desde el parto. Se pide: a) El día de máxima producción y la producción máxima. b) El día de mínima producción y la producción mínima.. [20] [JUN-A] Dada la función f(x) = x x 2 - a) Ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales, si las hay. b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Máximos y mínimos locales. 2. [200] [ET-A] Una pastelería ha comprobado que el número de pasteles de un determinado tipo que vende semanalmente depende de su precio p en euros, según la función: n(p) = p, donde n(p) es el número de pasteles vendidos cada semana. Calcula: a) La función I(p) que expresa los ingresos semanales de la pastelería en función del precio p de cada pastel. b) El precio al que hay que vender cada pastel para obtener los ingresos semanales máximos. A cuánto ascenderán dichos ingresos máximos? Justifica la respuesta.. [200] [JUN-A] Dada la función f(x) = x2 + x 2-9 b) Ecuación de las asíntotas horizontales y verticales. 4. [200] [JUN-B] La siguiente función representa la valoración de una empresa en millones de euros en función 5-0,t, 0 t < 5 del tiempo, t, a lo largo de los últimos años: f(t) = 4,5+0,05(t-5), 5 t < 0. 4,75+0,(t-0) 2,0 t 7 de julio de 205 Página 2 de 7

3 Estudia analíticamente en el intervalo [0,] : a) Si la función f(t) es o no continua, indicando en caso negativo los puntos de discontinuidad. b) Instante t en el que la valoración de la empresa es máxima y dicha valoración máxima. c) Instante t en el que la valoración de la empresa es mínima y dicha valoración mínima. x 5. [2009] [ET] Dada la función f(x) = se pide: +x a) Su dominio y punto de corte con los ejes coordenados. 6. [2009] [ET] La especialidad de una pastelería es la fabricación de cajas de bombones upladits. Los costes de fabricación, C(x) en euros, están relacionados con el número de cajas producidas, x, mediante la función C(x) = 0,x 2 +20x Si el precio de venta de una caja de bombones es de 80 euros y se venden todas las cajas producidas a) La función de ingresos que obtiene la pastelería con la venta de las cajas. b) La función de beneficios, entendida como diferencia entre ingresos y costes de fabricación. c) El número de cajas de bombones que se deben producir para maximizar el beneficio y el beneficio máximo. 7. [2009] [JUN] Dada la función f(x) = x -6x a) Su dominio y punto de corte con los ejes coordenados. 8. [2009] [JUN] El rendimiento de cierto producto en función del tiempo de uso (medido en años) viene dado por la expresión: f(x) = 8,5 + x x 0. +x a) Existen intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece? en los que decrece? Cuáles son? b) En qué punto se alcanza el rendimiento máximo? Cuánto vale éste? c) Por mucho que pase el tiempo, puede llegar a ser el rendimiento inferior al rendimiento que el producto tenía inicialmente? Por qué? 9. [2009] [JUN] Dada la función f(x) = x x+7 a) Hallar sus máximos y mínimos relativos. b) Hallar sus máximos y mínimos absolutos en el intervalo [-,]. c) Hallar sus máximos y mínimos absolutos en el intervalo [-4,4]. d) Hallar sus máximos y mínimos absolutos en el intervalo [-5,5]. 20. [2008] [ET-A] Dada la función f(x) = x se pide: -x 2. [2008] [ET-A] Obtén los parámetros r, s y t para que la función f(x) = x +rx 2 +sx+t tenga un máximo en x =, un mínimo en x = 0 y pase por el punto (,-). 7 de julio de 205 Página de 7

4 22. [2008] [ET-B] La cuenta de resultados (pérdidas o ganancias) en millones de euros, y, de una empresa vienen dadas por la siguiente función de los años de existencia x de la misma: y = 5x2 +20x5. x 2 +7 a) A partir de qué año deja la empresa de tener pérdidas? b) En qué momento alcanza la empresa sus ganancias máximas? A cuánto ascienden éstas? c) Describe la evolución de la cuenta de resultados de la empresa. Cuáles serán sus beneficios a muy largo plazo? 2. [2008] [JUN-A] a) Calcula los máximos y mínimos absolutos de la función f(x) = x -6x 2 +9x+ en el intervalo [,4]. Justifica quelos puntos encontrados son máximos o mínimos absolutos. 2x+, 0 x < b) Estudia la continuidad en el intervalo [0,4] de la siguiente función: f(x) = x -6x 2 +9x+, x [2008] [JUN-B] Dada la función f(x) = x2 determina: 4-x a) Dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b) Ecuación de sus asíntotas. d) Máximos y mínimos relativos. e) Utiliza la información anterior para representarla gráficamente. 25. [2008] [JUN-B] El coste de fabricación en euros de x unidades de un artículo viene dado por la función f(x) = x x+20. a) Cuál es la función que determina el coste de fabricación unitario? b) Para qué producción resulta mínimo el coste unitario? Cuánto vale éste? Justifica que es mínimo. 26. [2007] [ET-B] Dada la función f(x) = x2 +4 2x- 27. [2006] [ET-B] Dada la función f(x) = 2x x 2 + a) Dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b) Ecuación de sus asíntotas. d) Máximos y mínimos relativos. e) Utiliza la información anterior para representarla gráficamente. 28. [2006] [ET-B] El dinero en efectivo, en euros, de una oficina bancaria durante las seis horas que permanece la caja abierta al público viene dado por la expresión C(t) = 20004t+27t 2, siendo t el tiempo en horas transcurrido desde la apertura. Determina: a) En qué momento hay más dinero en efectivo y cuánto? b) En qué momento hay menos dinero en efectivo y cuánto? Justifica que son máximo y mínimo, respectivamente. 29. [2006] [JUN-A] Dada la función y = x +x 2-5x+ b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Máximos y mínimos locales. 7 de julio de 205 Página 4 de 7

5 d) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores. 0. [2006] [JUN-A] Los beneficios anuales B(x), en miles de euros, previstos por una empresa para los próximos años vienen dados por la siguiente función, donde x representa el número de años a partir del actual: B(x) = 25x. x 2 +6 a) Cuántos años han de transcurrir para que la empresa obtenga el máximo beneficio y cuál es el valor de dicho beneficio? Justifica que es máximo. b) Puede esta empresa tener pérdidas algún año? Por qué?. [2005] [ET-A] En unos almacenes se tienen 2000 Kg. de alimentos perecederos que se pueden vender a el Kg., pero si se venden más tarde, el precio aumenta en 0, el Kg. cada día. Calcular cuándo interesa vender estos alimentos para tener los máximos ingresos si cada día que pasa se estropean 50 Kg. de ellos. Cuáles son estos ingresos máximos? Cuántos los kilos que se venden y a qué precio? Justificar que es máximo. 2. [2005] [JUN-A] Se estima que los beneficios mensuales de una fábrica de golosinas, en miles de euros, vienen dados por la función f(x) = -0,x 2 +5x-0, cuando se venden x toneladas de producto. Se pide: a) Calcular la cantidad de toneladas que se ha de vender para obtener el beneficio máximo y calcular éste. Justificar que es máximo. b) La cantidad mínima que se ha de vender para no tener pérdidas. c) Qué cantidad produce el máximo beneficio por tonelada vendida? Calcular el máximo beneficio y justificar que es máximo.. [2005] [JUN-B] Una empresa de telefonía quiere lanzar al mercado una oferta de tarifa plana de internet. Se ha realizado un estudio que determina que si la tarifa fuera de 6 podrían conseguirse 4800 contratos. Sin embargo, por cada euro menos en la tarifa, el número de contratos previsto anteriormente se incrementaría en 50. Se pide: a) Expresar el ingreso total previsto como una función de una variable. Explicar el significado de la variable utilizada. b) Cuál debería ser la tarifa para que la empresa obtuviera el ingreso máximo? Cuál es éste y con cuántos abonados se conseguiría? Justificar que el ingreso obtenido realmente es máximo. 4. [2004] [ET-A] Un restaurante abre a las 8 de la noche y cierra cuando todos los clientes se han ido. La función C(t) = 60t-0t 2 representa el número de clientes que hay en el restaurante en función del número de horas t que lleva abierto el establecimiento. Se pide: a) Determinar el número máximo de clientes que van una determinada noche al restaurante. Justificar que es un máximo. b) Si deseamos ir al restaurante cuando hay al menos 50 personas y no más de 80, entre qué horas tendríamos que ir? 5. [2004] [ET-B] Se quiere imprimir un cartel anunciador rectangular que debe contener 8 cm 2 de texto impreso (también rectangular). Los márgenes superior e inferior deben ser de 2 cm cada uno, mientras que los laterales deben ser de cm. Calcular las dimensiones del cartel para que el gasto del papel sea mínimo y justificar que dicho gasto es realmente mínimo. 6. [2004] [JUN-A] Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euros vienen dados por la función I(x) = 28x x, mientras que sus gastos (también en euros) pueden calcularse mediante la función G(x) = 44x x , donde x representa la cantidad de unidades vendidas. Calcular: a) La función que define el beneficio anual en euros. b) La cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea máximo. Justificar que es máximo. c) El beneficio máximo. 7. [200] [ET-A] El coste total en euros de la producción de x litros de un determinado producto viene dado por C(x) = 2 x2 +5x+800. Definir la función que determina el coste medio por litro introducido y determinar de forma razonada conqué producción dicho coste será mínimo. Cuál es el valor de dicho coste? 8. [200] [ET-B] La concentración C de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad durante los 20 7 de julio de 205 Página 5 de 7

6 primeros días de un determinado mes se puede aproximar por la función c(x) 90+5x-0,6x 2, donde x representa el tiempo transcurrido en días. a) Estudiar de forma razonada el crecimiento y decrecimiento de la concentración de ozono en relación con los díastranscurridos. b) Cuál es la concentración máxima de ozono alcanzada durante esos 20 días? Justificar la respuesta. 9. [200] [JUN-A] Se cree que el número y de unidades vendidas de un cierto producto en función de su precio en euros, x, viene dado por y = 50-x, donde el precio varía entre 0 y 50 euros. Si por cada unidad vendida se obtiene un beneficio x-0, determinar de forma raqzonada el precio x que producirá un mayor beneficio, el número de unidades vendidas y el beneficio obtenido. 40. [200] [JUN-B] Descomponer de forma razonada el número 90 en dos sumandos tales que el resultado de sumar el cuadrado del primero y el doble del cuadrado del segundo sea mínimo. Soluciones 5. a) crec: (0,8) b) max: (8,2) c) tiende al % 6. a) ; (0,0), (-,0) b) no c) crec: -, - 2 (0,+ ) d) min: -, 0; max: - 2 e) {-,}; 0, a) b) 50x x c) 9 d) a) D: -{-,}; cortes: -,0, (0,) b) x = -, x =, y = 0 c) decrec d) no e) 2 0. a) (60,40'72) b) (00,29'2). a) x = -, x = b) crec: -,-,+ c) max: - ; min: 2. a) 2000p-000p 2 b). a) b) x = -; x = ; y = c) crec: (-,-) (-,0) d) max: 0 e) crec: (-,) d) min: -; max: e) a) cont b) (, ) c) (5, ) 5. a) ; (0,0) b) y = 0 c) 6. a) 80x b) -0,x 2 +60x500 c) 00; a) ; (0,0), - 6,0, 6,0 b) no c) crec: -, d) max: - 2; min: 2 e) a) crec: (0,) b), 0 c) no 9. a) max: ; min: 2 b) max: ; min: 2 c) max:4, ; min: -4, 2 d) max: 5; min: a) -{-,}; (0,0) b) x = -, x = c) crec: -, d) min: - ; max: e) , 0, a) b) 7; 6'429 c) crec: (0,7); 5 2. a) max:, 4; min: b) cont. en [0,4] 24. a) -{,2}; (0,0) b) x =, x = y = - c) crec: (0,+ ) d) min: x = 0 e) - 2 x x a) x b) 0'95; a) - 2 ; 0,-4 6 b) x = 2 c) crec: (-,-) (4,+ ) d) max: -; min: 4 e) a), (0,0) b) y = 0 c) crec: (-,) d) min: -; max: e) a) inicio, de julio de 205 Página 6 de 7

7 b) 4h 20 min; a) ; (,0), (-,0), (0,) b) crec: -, -5 (,+ ) c) max: -5 ; min: d) a) 4, 25 b) no. dentro de 5 días; 750, '50; a) 5625; 2'5 b) 5 c) 500; 0. a) -50x x b) 4, 500, a) 90 b) 9 a 0 ó 2 a. 5. 5x0 6. a) -6x x b) 750 c) x ; 40; a) crec: (0,2'5) b) 8' , 20, 400 x 7 de julio de 205 Página 7 de 7