VECTORES EN EL PLANO

Transcripción

1 VECTORES EN EL PLANO ) Defncón de ector fo y ector lre. Vector de poscón de n pnto. ) Módlo de n ector. Dstnc entre dos pntos. c) Opercones áscs con ectores. d) Prodcto esclr. Expresón nlítc. e) Propeddes del prodcto esclr. f) Ánglo qe formn dos ectores. g) Relcones entre pntos del plno (pnto medo pnto smétrco lneldd y dde n segmento en prtes gles) ) DEFINICIÓN DE VECTOR FIJO Y VECTOR LIBRE. VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO. Un ector fo AB es n segmento orentdo qe del pnto A (orgen) l pnto B (extremo). ELEMENTOS DE UN VECTOR Dreccón de n ector: es l dreccón de l rect qe contene l ector. Sentdo de n ector: El sentdo del ector AB es el qe desde el orgen A l extremo B (hc el pnto l qe se drge). Módlo de n ector AB es l longtd del segmento AB se represent por AB. El módlo de n ector es n número sempre posto o cero. VECTORES LIBRES Defnmos n relcón de eqpolenc entre ectores de form qe dos ectores son eqpolentes s tenen gl módlo dreccones prlels y el msmo sentdo.

2 Un ector lre es n representnte de cd connto de ectores eqpolentes. Se crcterz porqe lo pedes dr en clqer prte del plno. COORDENADAS DE UN VECTOR LIBRE: Pr expresr n ector lre tlzmos s representnte en el orgen de form qe ls coordends del ector son ls coordends del pnto fnl el pnto ncl será ( ) : 4 (4) 4 COORDENADAS DE UN VECTOR DADO POR DOS PUNTOS S ls coordends de los pntos extremos son A( ) y B( ) Ls coordends del ector AB son ls coordends del extremo B menos ls coordends del orgen A AB A( ) B() AB 4 VECTOR DE POSICIÓN El ector qe ne el orgen de coordends O con n pnto A se llm ector de poscón del pnto A. Un pnto y s ector de poscón tenen ls msms coordends. Ls coordends de n ector ddo por dos pntos A y B se peden expresr de l form AB

3 ) MÓDULO DE UN VECTOR A PARTIR DE SUS COMPONENTES y x y : x x y x y ( 4) MÓDULO DE UN VECTOR DADO A PARTIR DE LAS COORDENADAS DE LOS PUNTOS: Prmero clclmos ls coordends del ector lre qe le corresponde y lego hllmos el módlo: AB AB A( ) AB B( ) AB 4 9 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS L dstnc entre dos pntos es gl l módlo del ector qe los ne: d ( A B) AB A(4) AB B( ) 4 d( A B) AB 9 4

4 c) OPERACIONES CON VECTORES SUMA DE VECTORES Pr smr dos ectores se smn ss componentes. GRÁFICAMENTE: Dos forms: I) Pr smr dos ectores lres y se escogen como representntes dos ectores tles qe el extremo fnl de no concd con el extremo orgen del otro ector. II) Regl del prlelogrmo Se tomn como representntes dos ectores con el orgen en común se trzn rects prlels los ectores otenéndose n prlelogrmo cy dgonl concde con l sm de los ectores. PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES (GRUPO CONMUTATIVO). ASOCIATIVA. CONMUTATIVA. ELEMENTO NEUTRO o o 4. ELEMENTO OPUESTO o PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL (ESCALAR) POR UN VECTOR Se mltplcn ls componentes del ector por dcho número: : 9 6 GRÁFICAMENTE El prodcto de n número por n ector es otro ector:

5 De gl dreccón qe el ector. Del msmo sentdo qe el ector s es posto. De sentdo contrro del ector s es negto. De módlo PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR. ASOCIATIVA. DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA DE VECTORES. DISTRIBUTIVA RESPECTO A LOS ESCALARES 4. ELEMENTO NEUTRO V TIENE ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL d) PRODUCTO ESCALAR El prodcto esclr de dos ectores es n número rel qe reslt l mltplcr el prodcto de ss módlos por el coseno del ánglo qe formn. cos cos4 9 4º () () EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR BASE CANÓNICA: Clqer ector se pede expresr en l se cnónc de l form S expresmos ls coordends de los ectores en l se cnónc y Podemos otener l expresón:

6 Y qe cosº cosº 9º cos Por tnto cos4 9 4º () () VECTORES ORTOGONALES Dos ectores son ortogonles o perpendclres s formn n ánglo de 9º cos9º = por tnto s prodcto esclr es. e) PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR. CONMUTATIVA. ASOCIATIVA. DISTRIBUTIVA c c c 4. El prodcto esclr de n ector no nlo por sí msmo sempre es posto. f) ÁNGULO DE DOS VECTORES cos cos Determnr el ánglo qe formn los ectores y 4º cos 9

7 g) RELACIONES ENTRE LOS PUNTOS DEL PLANO COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO AB A M B Ls coordends del pnto medo de n segmento son l semsm de ls coordends de los extremos. A( ) y B( ) M A(4) 4 M B( ) SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO A M A S A' es el smétrco de A respecto de M entonces M es el pnto medo del segmento AA'. Por lo qe se erfcrá gldd: AM MA ' Hllr el smétrco del pnto A(7 4) respecto de M( - ). A (xy) M( -) AM A(7 4) MA' 7 4 x y 4 x y 4 x x A'( 6) y y 6

8 CONDICIÓN PARA QUÉ TRES PUNTOS ESTÉN ALINEADOS C B A Los pntos A ( ) B( ) y C(c c ) están lnedos sempre qe dos de los AB ectores qe se peden formr con esos pntos tengn l msm dreccón: BC Esto ocrre cndo ss coordends son proporconles. S escogemos AB ( ) AC ( c c ) c c AB y AC AC : Clclr el lor de pr qe los pntos A( ) B(4 ) y C(6 ) estén lnedos. (4 ) () AB AC (6 ) (4 ) 4 ( ) DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RELACIÓN DADA : dde n segmento AB en ctro prtes gles: A P Q R B Se necestn tres pntos P Q y R pr ddr n segmento en ctro prtes: Prmero se determn el prmer pnto P tenendo en cent qe AB 4 AP Los otros dos pntos se peden hllr de dstnts forms por eemplo: AQ AP AR AP Qé pntos P y Q dden l segmento de extremos A(- -) y B( 6) en tres prtes gles? Se necestn dos pntos P y Q pr ddr n segmento en tres prtes:

9 Q(q q ) B( 6) A(- - ) P(p p ) Prmero se determn el prmer pnto P tenendo en cent qe AB (69) AB AP (69) ( p p ) p p AP ( p p ) Iglndo entre sí ls coordends correspondentes: 6 p p p P() 9 p 9 p p El otro pnto se pede hllr de dstnts forms por eemplo: PQ q q PQ AP q q AP Iglndo entre sí ls coordends correspondentes: q q Q() q 9