ESCUELAS TECNICAS ORT SEDE BELGRANO Nombre y apellido: Curso: 5GC Prof: Eric Lescano Guía 1: Operaciones con Polinomios y factorización

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1 ESCUELAS TECNICAS ORT SEDE BELGRANO Nombre y apellido: Curso: GC Prof: Eric Lescano Guía 1: Operaciones con Polinomios y factorización Introducción: Qué son los polinomios? Son expresiones algebraicas con una forma muy particular. Un polinomio puede tener varios términos pero cada término debe tener esta forma: a.x N Además la N (exponente de x) debe ser siempre un número entero positivo o cero. Cómo sería un ejemplo de un polinomio? Sería así: 17x -4x -8x + 1 Pero la x no se resuelve? No se resuelve. Por esa razón son expresiones algebraicas. Qué operaciones puedo hacer con los polinomios? Puedo hacer operaciones que den por resultado un polinomio. Por ejemplo podemos sumar dos o más polinomios, restarlos, multiplicarlos y dividirlos. Para qué sirven los polinomios? Los polinomios son de las estructuras algebraicas más utilizadas en la vida cotidiana por científicos, ingenieros y otros profesionales. El uso más importante en el que aparacen es en la formalización y resolución de ecuaciones de grado mayor a. Pueden leer más de: Estructura de la guía: La guía consiste en 41 ejercicios introductorios al estudio de los polinomios y 11 ejercicios combinados para poder poner en práctica lo aprendido en la primera sección de la guía. Los temas que se desarrollan son: Suma, resta y multiplicación de polinomios; división de polinomios por algoritmo de división y por Ruffini; teorema de Gauss; factorización de polinomios. 1) Sean los polinomios: A(x) = 1 x4 +x 10x C(x) = 7x -x -x + 1 B(x) = -x + x - D(x) = -x-x +1 a. Indicar el grado, coeficiente principal y termino independiente de cada polinomio b. Observar si están completos y ordenados. De no ser así, completarlos y ordenarlos. 1

2 c. Hallar B() + C(-1)- 1 D(0) = ) Dados los polinomios P(x) = x x x + y Q(x) = x -1 Calcular: a) P(-1) + Q(0) = b) P(-) Q() = P( 1) Q(1) = c) 4Q(0) - ) Construir un polinomio completo y ordenado sabiendo que el grado es igual al término independiente, que su especialización en cero es, que el coeficiente principal es igual al grado menos uno y que cada uno de los coeficientes restantes es igual al opuesto de su potencia. 4) Construir un polinomio completo y ordenado de grado 4, sabiendo que el coeficiente principal es 6, el término independiente es y cada coeficiente restante es igual al coeficiente anterior más 1. ) Construir un polinomio completo y ordenado de grado, sabiendo que el coeficiente principal es, el término independiente es igual al grado menos uno y cada uno de los otros coeficientes es igual al opuesto de su potencia. 6) Hallar el valor de a sabiendo que P x x ax x P 6 ( ) 1 y que ( 1) 1 7) Dada la siguiente figura: a. Hallar la expresión polinómica que permite calcular la superficie de la parte sombreada b. Para que valor de x la superficie es de 88cm? x cm 10cm 16 cm x cm 8) Dados los Polinomios: 4 A( x) x x 4x 6 4 B( x) x x C x x x ( ) 8 4 D x x x ( ) 4 E( x) x 6x Hallar : a) ( ) ( ) ( ) A x B x C x b) A( x) 4 C( x) c) D( x) E( x) d) E( x). B( x) D( x) e) C( x) D( x). B( x)

3 9) Dados : P( x) 10x x x M x x x 4 ( ) 6 4 O( x) 4 14x 8x x 1x Encuentren si es posible, un polinomio N(x) tal que: P( x) N( x). M ( x) O( x) 10) Determinen el grado, el coeficiente principal y el témino independiente del polinomio Z(x), sabiendo que Z(x) = V(x).W(x), que V(x) = x + 4x -x+6 y que W(x) tiene: 1 gradow ( x) 6, coeficiente principal y el término independiente es 0. 11) Encuentren en cada caso el cociente C(x) y el resto R(x). Después comprueben que P(x) = Q(x).C(x) + R(x), siendo P(x) Y Q(x) el dividendo y el divisor, respectivamente. a) 9x 4 x : x 4 x 1 4 e) x x x 1 : x b) x x x : x 7x 9 1x 14x 10x 4 10 x : x 4 c) 7x x 4x x : x 1 x d) x 4 x x x : x x 1 f) g) 10 x 4 14 x 10 x : x 1 x 1) Dividan aplicando la regla de Ruffini 1 a) x x x : x b) x 7 x x x : x 1 6 c) 64x 64 : x 1 d) x x 4 1 : x e) x x : x 1 x f) x 6 6x 1 : x x x x : x g) x x x x : x 1 h) 1) Verifiquen los restos del ejercicio anterior por el teorema del resto. 14) Analizar si A es divisible por B, aplicando teorema del resto. i) a) A ( x) x 8 B(x) = x + ii) b) A ( x) x x x B(x) = x iii) c) A ( x) x x 6 B(x) = x 1) Hallar k para que B(x) sea divisor de A(x) i) a) A ( x) x kx kx 4 B(x) = x 1 4 ii) b) A( x) kx x kx x k B(x) = x 1/ 16) Para cada par de polinomios, indicar si P(x) es divisible por Q(x): a) P(x) x 1 x x x Q(x) x 1 b) P(x) x 1 x x x Q(x) x 1 c) P(x) 6x x x x Q(x) x

4 17) Al dividir P(x) x 4x x a por Q(x) = x, se obtuvo 10 como resto. Hallar el a) término independiente de P(x). 18) H(x) x 14 x es divisible por Ñ(x) = x a. Hallar los valores de a para que eso sea posible. 19) Hallar h sabiendo que 1 es raíz de J(x) x 10x hx 1 x 0) Encontrar el valor de h sabiendo que 4 es raíz de M(x) x 7x 11x h 1) Calcular el valor de k sabiendo que: a) P(x) = x + 4x x + k dividido Q(x) = x - tiene por resto 10. b) T(x) = -x + x + 14 es divisible por x - k c) R(x) = kx - k tiene a x = k como raíz. ) Hallen el valor de k sabiendo que el resto de la división entre P(x) y Q(x) es 0. P(x)= x kx + y Q(x)= x + ) Determinen a de modo que al dividir P(x) = x 4 + x -ax - por (x +1) el resto sea igual a. 7 4) Hallen el valor de a para que el polinomio : P(x) = a.(x +1).(x-1).(x-) al ser dividido por (x +) de 7 como resto. ) Determinar el valor de k, sabiendo que el resto de la división entera entre P(x) y Q(x) es 0, P(x) = x kx + y Q(x) = x+. 6) Aplicando el teorema del resto, calcular el valor de k para que el resto de dividir P por D sea R P(x) = x 4 + kx + x D(x) = x- R = ) Calculen k para que: a) P(x) = x 8 -kx 4 +1 sea divisible por Q(x) = x +1 b) P(x) = x 4 -x + kx-1 sea divisible por Q(x) = x + 8) Determinen en cada caso si a o b son raíces del polinomio dado. a) x + x -14x-4 siendo a = - y b = b) x 4 + x -x -11x-6 siendo a = -1 y b = 1 c) x + 1 x -4x- siendo a = y b =0. 9) Encuentren a y b para que los siguientes polinomios tengan una raíz con los valores indicados. a) ax 4 + ax -x-1, en x =1 b) bx + bx -x, en x= 1 0) Hallar el valor de a de modo que sea una raíz del polinomio: P(x) = x 4 - x + ax +. 4

5 1) Dado el polinomio R(x) = x 4-4x (m+)x + (m+1)x + determina el valor de m, de modo que -1/ sea raíz de dicho polinomio. ) Escriban la expresión factorizada de un polinomio de grado cuyo coeficiente principal es 6 y sus raíces son 0, (raíz doble) ; - 0,4 ; 0; -4 ) P(x) es un polinomio de grado 4, su coeficiente principal es 0, y tiene dos raíces dobles que son x = - y x =. hallen la expresión factorizada y la polinómica de P(x) 4) P(x) es un polinomio de grado 4, su coeficiente principal es -1 y tiene dos raíces dobles que son X = - y X =. Hallen la expresión factorizada y la polinómica de P(x) ) Q(x) es un polinomio de grado, Q(0) = -1, tiene raíces dobles en x = y x = - y una raíz simple en x =. Hallen Q(x) 6) Dados los siguientes polinomios: a) A(x) = 1 1. x. x 6 b) B(x) = x. x.4 x 1 c) C(x) = 4 7 x 1. x Indicar: I) Todas sus raíces y el grado de multiplicidad de cada una. II) Coeficiente principal y grado del polimonio. 7) Hallen las raíces de T(x)=6x + 7x - y escriban su expresión factorizada. 8) Hallar todas las raíces de factorizado. Q x x x x ( ) 1 10 sabiendo que Q()= 0 y exprésalo 9) Hallar todas las raíces de los siguientes polinomios y factorizalos a) P( x) x x 14x 4 sabiendo que - es una raíz b Q x x x x x 4 ) ( ) 11 6 sabiendo que -1 es raíz doble 4 c)r( x) x x x 11x 1x 4 sabiendo que y - son raíces 40) Apliquen el Lema de gauss y la regla de Ruffini, y expresen P(x) como producto de sus raíces. a) P( x) x x x 1 P( x) x x x b) 4 8 c) P( x) 4x 7x d) P( x) 4x 1x 7x x 41) Hallar las raíces de los siguientes polinomios, indicar el grado de multiplicidad de cada una y factorizarlos. a) P( x) x x 4x 1

6 b) Q( x) x 6x x 4 R( x) 4x 8x 4x c) 4 d) S( x) x x 6 1 T ( x) x x e) 16 4 f) U( x) x x x x g) V(x)= 0x 60x 4x h) W ( x) x x 4 i) X(x) = x 4 -x +9/4x j) Y(x)= x +6x 4-1x -16x EJERCICIOS COMBINADOS A) Indicar el valor de y sabiendo que es divisible por (x-) y (x+). Con los valores hallados decidir, sin efectuar cuentas, si A(x) es divisible por B(x) =. Justificar. B) Hallar el valor de h y k si x= es raíz doble de C) Considerar y. Factorizar el polinómio T(x)= R(x).( ) y el polinómio U(x)= S(x).( ) D) Indicar si existe un polinomio T(x) que verifique: E) Calcular k y t para que W(x) = x 4 -tx + kx-1 sea divisible por V(x) = x + y que W()=0 F) Dados P (x), Q(x) R (x) Realizar el siguiente cálculo: G) Sea P(x) = J(x). G(x) donde J(x)=, G(x)=x+1 Indicar todas las posibles raíces que predice el método de Gauss para J(x) y reescriba P(x) en su forma factorizada. Luego hallar todos los posibles valores de z para que R(x) tenga una raíz en x= y escribir los polinomios R(x) que cumplen la condición pedida si: H) Sabiendo que Q(x) - P(x)= y que 6

7 Q(x)+P(x) =, indicar si P(x) o Q(x) son divisibles por u(x)= x+ y determinar únicamente el grado y el coeficiente principal del resultado de la siguiente operación: Q(x). [ P(x) - Q(x)] + U(x) I) Hallar h y k (reales) si x= es raíz doble de j) Hallar el grado, el coeficiente principal y el término independiente de T(x)=R(x).E(x) donde E(x)=x+1 y R(x) es el resto que se obtiene cuando se efectúa la siguiente operación ( ) : ( ) k) Dado P(x) = I. Hallar a y b (reales) de modo tal que P(x) tenga una raíz en x=-1 y además que la especialización de P(x) en x=1 resulte -4 II. Indicar todas las posibles raíces que predice el método de Gauss para el polinomio P(x) III. Para los valores de a y b hallados en el inciso k-i), verificar que y son raíces de P(x) IV. Para los valores de a y b hallados en el inciso k-i), factorizar el polinomio T(x) = P(x).(-9x+1) 7